函数与导数：含参单调性讨论问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过表格系统梳理含参单调性讨论的知识体系，将根是否有意义、根的数量、根的大小等五大讨论维度按逻辑递进组织，每个考点配套步骤解析，清晰呈现导数应用的重难点及内在联系。 讲义亮点在于例题与变式训练的梯度设计，如高二汕头期末题、高三深圳月考题等真实情境题型，引导学生通过分类讨论培养逻辑推理能力，形成解决含参问题的思维模型。分层练习支持不同学生掌握方法，助力教师实施精准教学。

函数与导数：含参单调性讨论问题讲义 函数与导数：含参单调性讨论问题讲义 考点目录 讨论根是否有意义 讨论根的数量 讨论根的大小 讨论根的大小与根是否有意义 讨论根的数量与根是否有意义 考点一 讨论根是否有意义 【知识点解析】 1.求连续函数单调性的基本流程： （1）求函数的定义域. （2）求函数的导数. （3）令函数的导数等于0，求根. （4）根据的根把定义域分区间，确定不同区间导数的正负，进而由导数的正负确定函数单调性. 2.含参问题的基本讨论点： （1）的根的个数（0个、1个、2个）. （2）的根的意义（自身意义、定义域问题）. （3）的根的大小（多根且能因式分解）. （4）在不同区间的正负. 3. 讨论根是否有意义的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，令导数，求根（只有一根）； 步骤3：讨论的根自身是否有意义以及根是否在定义域内； 步骤4：根据根的意义，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·广东汕头·期末·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得, ，即在上单调递增. ，即在上单调递减. 综上， 当时,在上单调递增， 当时,在上单调递减，在上单调递增. 例2．（25-26高三上·天津宝坻·月考·节选）函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）由，得， 当时，，，所以在上单调递增； 当时，令，得（舍去）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 因此，当，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 例3．（2026·湖南永州·模拟预测·节选）已知函数． (1)讨论的单调区间； 【答案】(1)当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. 【详解】（1）由题意得， ①当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减； ②当时，令，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式训练】 变式1．（2025·北京顺义·模拟预测·节选）已知函数．讨论的单调区间； 【答案】答案见解析 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． 变式2．（2026·四川泸州·二模·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）已知函数，其定义域为， 求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增. 当时令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 变式3．（2026·河南鹤壁·一模·节选）已知函数． (1)讨论在上的单调性； 【答案】(1)结论见解析； 【详解】（1）由题意得． 若，则，即恒成立，所以在上单调递减； 若，则，即恒成立，所以在上单调递增； 若，令，得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 考点二 讨论根的数量 【知识点解析】 讨论根的数量的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根； 步骤3：根据判别式的正负讨论的根的数量； 步骤4：根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·广东深圳·月考·节选）已知函数．讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【详解】已知，函数定义域为R， 可得， 当时，，所以在R上单调递减； 当时，因为是开口向上的二次函数，且， 若，即时，，所以；所以在R上单调递减； 若，即时，此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，因为是开口向下的二次函数，且， 此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为增函数， 在上为减函数； 综上所述，当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，函数在和上为增函数， 在上为减函数. 例2．（2026·广西南宁·一模·节选）已知函数． (1)求在上的最值． (2)设函数，讨论的单调性. 【答案】(1)最大值为，最小值为. (2)见解析； 【详解】（1），令，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在时取得极大值，在时取得极小值， 又，， 所以在上的最大值为，最小值为. （2）， ， 判别式， 当时，，，在上单调递增； 当时，，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·湖南株洲·月考·节选）已知函数. (1)讨论的单调性. 【答案】(1)当时， 在上单调递增；当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 【详解】（1）由题意得， 令，则，判别式， ①当时，解得，则恒成立，即恒成立，在上单调递增； ②当时，解得，则方程有个实根，由求根公式可知方程的解为， 由二次函数的性质可知在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 综上所述，当时， 在上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 变式2．（25-26高三上·广东湛江·月考·节选）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）由题意可得， 令，则．判别式． ①当，即时，恒成立， 即恒成立，在R上单调递增； ②当，即时，方程有2个实根， 且由求根公式可知该方程的解为， 由二次函数单调性知在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 综上，时，在R上单调递增； 时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 考点三 讨论根的大小 【知识点解析】 讨论根的大小的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数可因式分解为的形式，令导数，求根； 步骤3：讨论的两个根的大小； 步骤4：根据根的大小，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·广东广州·月考·节选）已知函数．求的单调区间 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. 例2．（25-26高三上·浙江温州·月考·节选）已知函数．讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【详解】，， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，或时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，或时，；时，， 所以在上单调递增；在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 例3．（25-26高三上·海南·期末·节选）已知函数，． (1)讨论的单调性． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【详解】（1）. 令，即，解得或. 当时，，此时，所以在上单调递增. 当，即时，在和上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当，即时，在和上，，单调递增； 在上，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【变式训练】 变式1．（2025·四川内江·一模·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由，解得，由，解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，解得，由，解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减. 变式2．（2025·陕西汉中·一模·节选）设函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1），令，解得或， 若，则，则在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 变式3．（25-26高三上·安徽·期中·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）由题意， ①若时，恒成立，则在上单调递减； ②若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； ③若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 考点四 讨论根的大小与根是否有意义 【知识点解析】 讨论根的大小与根是否有意义的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数可因式分解为的形式，令导数，求根； 步骤3：讨论的两个根的大小，以及是否在定义域内； 步骤4：根据根的大小以及是否在定义域内，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·湖北武汉·期末·节选）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）易知函数的定义域为，且， 易知， 所以当时，，此时，即在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得； 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上可知时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 例2．（25-26高二上·重庆·期末）已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，， 又由得， 所以切线方程为，即. （2）当时，， 令得或， ①若，即，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减； ②若，即，则当时，恒成立（当且仅当时取等号），单调递增； ③若，即，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上，当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时， 的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增 区间是和，单调递减区间是. 例3．（25-26高三上·安徽·期末·节选）设函数，是实数． (1)若1是的一个零点，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)； (2)答案见解析； 【详解】（1）由条件得，即，解得， 则，于是 从而，， 故切线方程为：，即：； （2）函数的定义域为， 则 ① 当时，，由，得， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增； ② 当时，，由，得或， 则当或时，，函数在和上单调递减， 当时，，函数在上单调递增； ③ 当时，，，故函数在上单调递减； ④当时，, 则当或时，，函数在和上单调递减， 当时，，函数在上单调递增； ⑤当时，, 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 例4．（25-26高三上·山东济南·月考·节选）已知函数．若，讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【详解】因为，定义域为， 所以， 当时，令，得，． （ⅰ）若，即， 则当或时，， 当时，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅱ）若，即时， 则当或时，； 当时，； 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅲ）若，即时，，在上单调递增． 综上所述，当时， 的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·广东佛山·月考·节选）已知函数．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【详解】， （1）当时，恒成立，令，解得，令，解得， 在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，令，解得，， ① 当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增,在上单调递减． 变式2．（25-26高三上·广西柳州·月考·节选）已知函数.讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【详解】， ， ， ， ， ， ①当时，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； ②当时，由，得，， （ⅰ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； （ⅱ）当时，，，在单调递增； （ⅲ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； 综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减； ②当时，在，单调递增，在单调递减； ③当时，在单调递增； ④当时，在，单调递增，在单调递减. 变式3．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知函数． (1)若，证明：在上恒成立； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）若，则，要证在上恒成立， 等价于证明：在上恒成立， 令，， 则， 令，， 因为在上单调递增，故，则， 故在上单调递增，则，即， 故在上恒成立． （2）因为函数的定义域为， 所以， 令，即，则或，解得或； ①若： 则当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增； ②若： 则当时，，，，单调递增， 当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增； ③若：则当时，单调递增； ④若： 则当时，，，，单调递增， 当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增． 综上，当的单调递减区间为，单调递增区间为； 当的单调递减区间为，单调递增区间为和； 当无单调递减区间，单调递增区间为； 当的单调递减区间为，单调递增区间为和． 变式4．（25-26高二上·江苏镇江·期末·节选）函数． (1)已知，求的值 (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意有：，所以， 解得； （2）由， 当时，，当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，令，解得或， 当时，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 当时，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增； 考点五 讨论根的数量与根是否有意义 【知识点解析】 1.讨论根的数量与根是否有意义的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根； 步骤3：根据判别式的正负讨论的根的数量； 步骤4：确定根的数量之后，用求根公式写出根的表达式，进而利用韦达定理确定根的正负； 步骤5：根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 2.已知二次方程有两个不相等的实数根、. （1）若，则方程有两个不相等的正数根. （2）若，则方程有两个不相等的负数根. （3）若，则方程有一个正数根与一个负数根. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·贵州贵阳·期末·节选）已知函数． (1)若曲线在点处的切线过原点，求实数的值； (2)求的单调区间； 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）因为，所以． 由题意知． （2）由，函数定义域为， 所以当时，恒成立，在上单调递减， 当时，令，因为，所以， 易知时，时，， 因此的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 例2．（2026·广东佛山·一模·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）函数定义域为，， 记，则， 当时，，又，， 所以有两个正根，满足， 所以当或时，， 当或时，， 所以在和单调递增， 在和单调递减； 当时，恒成立，所以恒成立，故恒成立， 所以在和单调递增； 当时，，由韦达定理可知，的两根为负， 所以在和恒成立， 所以在和恒成立， 所以在和单调递增. 综上，当时，在和单调递增， 在和单调递减； 当时，在和单调递增. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山东青岛·月考·节选）已知函数，求函数的单调区间. 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域为， 求导得，方程中，， 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，方程的二根为， 当时，由根与系数的关系可知且，故两根均为负数， 因此有，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为. 变式2．（25-26高三上·江苏·月考·节选）. (1)若，求在零点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，函数为，求导得， 令，得，解得，即零点为， 又切线斜率为，所以切线方程为； （2），记，则， 记，分情况讨论： ①当时，，故在上单调递增； ②当时，为开口向下的二次函数，对称轴， 1）若，即时， ，即，在上单调递减； 2）若，即时，有两个正根， 当时，，即， 当时，，即， 则在单调递减，单调递增，单调递减， 综上，当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减； 当时，在单调递减，单调递增，单调递减； 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：含参单调性讨论问题讲义 函数与导数：含参单调性讨论问题讲义 考点目录 讨论∫'(x=0根是否有意义 讨论f'x=0根的数量 讨论∫'(x=0根的大小 讨论f'(x=0根的大小与根是否有意义 讨论∫'(x=0根的数量与根是否有意义 考点一 讨论")=0根是否有意义 【知识点解析】 1.求连续函数单调性的基本流程： (1)求函数的定义域 (2)求函数的导数. (3)令函数的导数等于0，求根. (4)根据f”(x)=0的根把定义域分区间，确定不同区间导数的正负，进而由导数的正负确定函数单调性 2.含参问题的基本讨论点： (1)f"(x)=0的根的个数(0个、1个、2个). (2)f'(x)=0的根的意义（自身意义、定义域问题）· (3)f'x)=0的根的大小（多根且能因式分解）· (4)f"(x)在不同区间的正负. 3.讨论f'(x=0根是否有意义的步骤 步骤1：确定函数y=f(x)的定义域为R; 步骤2：求导，令导数f'(x)=0,求根（只有一根）： 步骤3：讨论f'(x)=0的根自身是否有意义以及根是否在定义域内； 步骤4：根据根的意义，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性 函数与导数：含参单调性讨论问题讲义 【例题分析】 例1.(25-26高二上广东汕头期末·节选)已知函数f(x)=lnx+0-1(a∈R). (I)讨论f(x的单调性； 例2.(25-26高三上·天津宝坻月考节选)函数f(x)=-2klnx+x2 (I)讨论函数∫(x的单调性： 函数与导数：含参单调性讨论问题讲义 例3.(2026湖南永州模拟预测节选)已知函数f(x=ax2-ln,a∈R. (1)讨论f(x的单调区间： 【变式训练】 变式1.(2025·北京顺义模拟预测节选)己知函数f(x)=e2x-ax-1.讨论f(x)的单调区间； 函数与导数：含参单调性讨论问题讲义 变式2.(2026·四川泸州二模.节选)已知函数f(x)=ln(x+1-ax. (1)讨论(x的单调性； 变式3.(2026·河南鹤壁.一模.节选)已知函数f(x)=alnx-n(x+1,a∈R. (1)讨论f(x)在0，+0)上的单调性； 函数与导数：含参单调性讨论问题讲义 考点二 讨论'(x)=0根的数量 【知识点解析】 讨论f(x=0根的数量的步骤 步骤1：确定函数y=f(x)的定义域为R; 步骤2：求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数∫'(x)=0,求根： 步骤3：根据判别式的正负讨论∫"'(x)=0的根的数量； 步骤4：根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 【例题分析】 例1.(25-26高三上广东深圳月考·节选)已知函数f(x)=mx2+1)e(m∈R).讨论函数f(x)的单调性 例2.(2026广西南宁.一模.节选)已知函数h(x)=x3-6x2+9x-1. (1)求h(x)在[0,4上的最值. (2)设函数f(x)=h(x)+(3-t)x,讨论f(x)的单调性 函数与导数：含参单调性讨论问题讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高三上湖南株洲月考·节选)已知函数f(x)=（x2+2x+ae (1)讨论f(x的单调性 变式2.(25-26高三上：广东湛江·月考.节选)已知函数f(x)=(x2+a)e. (1)讨论f(x)的单调性； 6 函数与导数：含参单调性讨论问题讲义 考点三 讨论f'x)=0根的大小 【知识点解析】 讨论f'(x=0根的大小的步骤 步骤1：确定函数y=f(x)的定义域为R; 步骤2：求导，且导数可因式分解为f'(x)=(kx+b)(kx+b,)的形式，令导数f'(x)=0,求根； 步骤3：讨论f'(x)=0的两个根的大小： 步骤4：根据根的大小，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性， 【例题分析】 例1.(25-26高三上广东广州月考节选)已知函数f(x=e(x2+ax+1(a∈R).求f(x)的单调区间 例2.(2526高三上渐江温州-月考节选)已知函数f)=x_a+2x2+2.讨论函数的单调性. 3 2 函数与导数：含参单调性讨论问题讲义 例3.(25-26高三上海南期末.节选)已知函数fx)=x3+ar2,a∈R. (1)讨论(x的单调性， 【变式训练】 变式1.(2025·四川内江一模.节选)已知函数fx)=2x3-3ax2+b. (I)讨论∫x)的单调性： P 函数与导数：含参单调性讨论问题讲义 变式2.(2025·陕西汉中.一模.节选)设函数f(x)=x3-ax2. (1)讨论(x的单调性； 变式3.(25-26高三上安徽期中节选)已知函数fx)=+ar-a ex (I)讨论∫x)的单调性： 9 函数与导数：含参单调性讨论问题讲义 考点四 讨论∫"(x)=0根的大小与根是否有意义 【知识点解析】 讨论f'(x=0根的大小与根是否有意义的步骤 步骤1：确定函数y=f(x)的定义域为(0，+o): 步骤2：求导，且导数可因式分解为f'(x)=(kx+b)kx+b,)的形式，令导数f'(x)=0,求根： 步骤3：讨论∫"(x)=0的两个根的大小，以及是否在定义域内： 步骤4：根据根的大小以及是否在定义域内，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 【例题分析】 例1.(2526高三上湖北武汉：期末节选)已知函数fx=x+a+l-al血xa∈R. (I)讨论函数f(x的单调区间； 例2.(2526高二上重庆期末)已知函数f)=r-(3a+1nx-3,其中aeR. (1)若a=1时，求函数f(x)在1，f(1)处的切线方程； (2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间. 10