8.4 乘法公式 讲义 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026苏科版七年级下乘法公式过关讲义 课题 乘法公式 教学内容 基础篇： 【考点1】平方差公式基础运算 【考点2】平方差公式推广与应用 【考点3】完全平方公式基础运算 【考点4】完全平方公式推广与应用 培优篇： 【考点1】平方差与几何图形 【考点2】完全平方与几何图形 基础篇： 【考点1】平方差公式基础运算 公式诠释：①根据平方差公式的结构特征，两个多项式相乘，只有当这两个多项式分成两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分互为相反数时，才能够运用平方差公式计算； ②在计算结果中，完全相同的部分的符号为正，互为相反数的部分的符号为负。 例1：下列各式可以用平方差公式的是（ ） A． B． C． D． 变式1：计算：① ② 变式2：计算：① ② 例2：计算： 变式1：比较下列两数的大小：和 变式2：计算：① ② 变式3：计算：… 【考点2】平方差公式推广与应用 例3：把下列各式转化为两个数的和与这两个数差的积（即“平方差公式”）的形式。 1．； 2．； 3．。 请你想一想，能否把也换成两个数的和与这两个数的差的积的形式？若能，写出表达式；若不能，请说明理由。 例4：计算：… 变式1：判断…的个位数字是多少。 例5：观察下列算式： ，，，，…… 你能发现什么什么规律？请用代数式表示这个规律，并说明理由。 变式1：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“特奇数”。如：，，，因此8，16，24这三个数都是特奇数。 ①32和2008这两个数是特奇数吗？为什么？ ②设两个连续奇数为和（其中为正整数），由这两个连续奇数构造的特奇数是8的倍数吗？为什么？ 【考点3】完全平方公式基础运算 完全平方公式 ； 。 公式诠释：①公式中的字母具有一般性，它可以表示一个数，一个字母，也可以表示一个式子，只要符合公式的结构特征，就可以运用公式计算； ②掌握完全平方公式的结构特征是运用公式的前提条件：公式左边是两数和（或差）的平方；右边是二次三项式，是左边两数的平方和，加上（或减去）左边两数积的2倍； ③易错点：容易漏掉公式右边的“”，错误地用“”进行计算。 例1：下列计算是否正确？如果不正确，请将它改正过来。 ①； ②； ③； ④。 变式1：计算的正确结果是（ ） A． B． C． D． 变式2：若是完全平方式，则的值为（ ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 变式3：多项式加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方，求这个单项式（写出所有的情况）。 【考点4】完全平方公式推广与应用 知道这4个量中的任意两个，可以求出其他两个量的值。 例1：已知，求，的值。 变式1：已知，，求的值。 变式2：已知，，求的值。 变式3：已知，，求的值。 例3：已知，求与的值。 变式1：已知，求与的值。 变式2：已知，，求与的值。 例3：若，①求的值；②求的值。 变式1：已知，①求的值；②求的值。 变式2：已知，①求的值；②求的值；③求的值。 例4：已知为有理数，且，求的值。 变式1：试说明：不论取何值，代数式的值总是正数。 变式2：已知为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状，并说明理由。 培优篇： 考点1：平方差与几何图形 例1：1．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 变式1：如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请用含a，b的代数式表示________，________； (2)写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； (3)利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 变式2：图1是一个长为，宽为的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2所示的“回”字形图其中四边形是正方形，中间的四边形也是正方形． (1)观察图2，直接写出，，之间的等量关系式：____________； (2)如果长方形的两条边，满足：，，求的值； (3)将两个正方形，如图3摆放，是边上任意一点，若两个正方形面积之和为34，，求图中阴影部分面积之和． 变式3：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 变式4：【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 考点2：完全平方公式与几何图 例：如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则______． 变式1：阅读与思考 仔细阅读下列材料并完成相应任务． 利用因式分解解决代数式的最值问题 我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题． 例如：． ∵，∴，∴， ∴当时，取得最小值，最小值为2． 任务： (1)代数式的最小值为 ． (2)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． (3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？ 变式2：【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 变式3：如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形；           (1)A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为 平方厘米； ①从这10块纸板中拿掉一块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为 厘米； ②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的边长是多少厘米？（计算说明） (2)A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉一块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出三个相同形状的大正方形，请接写出大正方形的边长． 变式4：通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 解析： 基础篇： 1．已知x+y＝5，xy＝1． （1）求x2+y2的值． （2）求（x﹣y）2的值． 解：（1）∵x+y＝5，xy＝1， ∴原式＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣2＝23； （2）∵x+y＝5，xy＝1， ∴原式＝（x+y）2﹣4xy＝25﹣4＝21． 2．已知x+y＝3，xy＝﹣2．求（x﹣y）2的值． 解：∵x+y＝3，xy＝﹣2， ∴（x﹣y）2 ＝（x+y）2﹣4xy ＝32﹣4×（﹣2） ＝17． 3．计算 （1）（2x+y﹣2）（2x+y+2） （2）（x+5）2﹣（x﹣2）（x﹣3） 解：（1）原式＝（2x+y）2﹣4＝4x2+4xy+y2﹣4； （2）原式＝x2+10x+25﹣x2+5x﹣6＝15x+19． 4．若a﹣b＝5，ab＝﹣2，求：（1）a2+b2；（2）（a+b）2的值． 解：（1）∵a2+b2＝（a﹣b）2+2ab， a﹣b＝5，ab＝﹣2， ∴a2+b2＝25﹣4＝21； （2）（a+b）2＝a2+b2+2ab＝21﹣4＝17． 5．已知a﹣b＝7，ab＝﹣10．求： （1）a2+b2的值； （2）（a+b）2+2（a﹣b）2的值． 解：（1）∵a﹣b＝7， ∴（a﹣b）2＝49， ∴a2﹣2ab+b2＝49， ∵ab＝﹣10， ∴a2﹣2×（﹣10）+b2＝49， ∴a2+b2＝29； （2）∵a﹣b＝7， ∴（a﹣b）2＝49， ∴a2﹣2ab+b2＝49， ∴a2+2ab+b2﹣4ab＝49， ∴（a+b）2﹣4ab＝49， ∴（a+b）2＝49+4ab， ∵ab＝﹣10， ∴（a+b）2＝9， ∴（a+b）2+2（a﹣b）2 ＝9+2×49 ＝9+98 ＝107． 培优篇： 例1．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【答案】(1)；； (2) (3)3 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方式的几何背景、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积， （2）根据这两个面积相等列出等式即可； （3）根据（2）得结论，可得，再代入已知计算，即可求解． 【详解】（1）解：利用图1，可以得到等式：； 利用图2，可以得到等式：； 利用图3，可以得到等式：； （2）类比（1）可得： （3）， ， 即： ， ， 解得． 1．如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请用含a，b的代数式表示________，________； (2)写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； (3)利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析 【分析】本题考查平方差公式和图形面积． （1）将图1看成大正方形减去小正方形，将图2看成一个长方形，即可解答； （2）根据即可解答； （3）根据（2）中得出的公式，将化为含有因数3、5、17的式子即可证明． 【详解】（1）解：，， （2）解：∵， ∴； （3）解： ， ， ∴既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 2．图1是一个长为，宽为的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2所示的“回”字形图其中四边形是正方形，中间的四边形也是正方形． (1)观察图2，直接写出，，之间的等量关系式：____________； (2)如果长方形的两条边，满足：，，求的值； (3)将两个正方形，如图3摆放，是边上任意一点，若两个正方形面积之和为34，，求图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，之间的等量关系式是解题的关键. （1）根据大正方形的面积等于个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）设两个正方形，边长分别为，，先根据完全平方公式的变形求出，利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可. 【详解】（1）解：∵大正方形的面积等于个小长方形面积和小正方形面积之和， ， ； 故答案为：； （2）解：由（1）得， 又∵， ∴； （3）解： 设两个正方形，边长分别为，， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ． 3．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （）先将化成，再应用所得的公式即可计算得到结果． 【详解】（1）解：图面积为，图面积为， ∵阴影面积相等， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 4．【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①90000；② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）① ； ② ． 例2．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．阅读与思考 仔细阅读下列材料并完成相应任务． 利用因式分解解决代数式的最值问题 我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题． 例如：． ∵，∴，∴， ∴当时，取得最小值，最小值为2． 任务： (1)代数式的最小值为 ． (2)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． (3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)代数式的最大值为，对应x的值为1 (3)小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用等知识点，利用完全平方公式确定最值问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）先把原式变形为，再根据非负数的性质即可解答； （3）设当小型宠物围栏的长为x，则宽为，然后列出小型宠物围栏的面积，然后运用配方法求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴代数式的最小值为． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∴当时，代数式的最大值为． （3）解：设当小型宠物围栏的长为x米，则宽为米， 则小型宠物围栏的面积为， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值为4． ∴小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米． 2．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 3．如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形；           (1)A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为 平方厘米； ①从这10块纸板中拿掉一块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为 厘米； ②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的边长是多少厘米？（计算说明） (2)A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉一块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出三个相同形状的大正方形，请接写出大正方形的边长． 【答案】(1)，①，②C类型，厘米 (2)厘米 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，能够通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是解题的关键． （1）首先表示出A、B、C、三种型号每块的面积，然后表示出A型2块，B型4块，C型4块纸板的面积和即可；①把减去，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长；②把减去2，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长； （2）首先表示出A型12块，B型12块，C型4块的总面积然后减去一块C型，根据完全平方公式得到此时正方形的边长为． 【详解】（1）解：A型边长为a厘米的正方形；B型长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型边长为1厘米的正方形， 1块A型的面积为平方厘米，B块型的面积为a平方厘米，C块型的面积为1平方厘米， 所以A型2块，B型4块，C型4块的总面积为平方厘米； 故答案为：； ①这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．剩下纸板的总面积为，而，则此正方形的边长为厘米； 故答案为：； ②从这10块纸板中拿掉2块C类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下： ， 此时正方形的边长为厘米， （2）解：从这28块纸板中拿掉1块C类型的纸板可满足要求， A型12块，B型12块，C型4块的总面积为， 拿掉1块C类型的纸板后面积为： ， ∴此时正方形的边长为厘米． 4．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键； （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方形体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）由图可知，大正方形面积为或， ， ， （2）由图可知，∵四边形和都是正方形， ， ， ，又， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 （3）由图得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4），， 由得， ， 学科网（北京）股份有限公司 $