第八章 整式乘法（复习讲义）数学新教材苏科版七年级下册

第八章 整式乘法（复习讲义） 1. 熟练掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，理解每一步运算的算理，能准确、规范完成各类整式乘法运算； 2. 推导并牢记平方差公式、完全平方公式，精准把握两个公式的结构特征，熟练进行公式的正用、逆用及简单变形运算； 3. 感悟数学知识的连贯性和逻辑性，理解“特殊与一般”的辩证关系，初步形成代数运算的核心素养。 知识点 重点归纳 常见易错点 单项式乘单项式 单项式乘单项式法则： 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式； 易与合并同类项法则混淆: 正确： 单项式乘多项式 单项式乘多项式法则： (1)单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加. (2)符号表示： 此处单项式与多项式相乘，最易错的是各项的符号问题，尤其是符号较多的时候。 多项式乘多项式 多项式乘多项式法则： （1）多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加； （2）符号表示：() 多项式与多项式相乘易错点有两个：一是符号问题；二是乘的时候容易漏项，这是初学时最易出现的错误。 完全平方公式 (1)完全平方和公式： (2)完全平方差公式：； (3)几何图形验证： 完全平方公式最关键的问题是中间2倍项的符号，学生易错，可以通过口诀理解记忆：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，符号看前方。 平方差公式 2.平方差公式： (1)平方差公式：()()； (2)几何图形验证： 平方差公式与完全平方公式容易混淆，记忆出现错误，记忆这两个公式时，最好通过多项式乘法，自己独立乘一遍。 题型一 单项式与单项式相乘 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 单项式与多项式相乘 【例2】计算：____________． 【变式2-1】计算： (1)； (2)． 【变式2-2】化简： (1) (2) (3) 题型三 多项式乘多项式 【例3】计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式3-1】若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 【变式3-2】观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 题型四 利用完全平方公式计算 【例4】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-2】填空： （1）___ ___； （2） ____ __． 题型五 利用完全平方公式简便计算 【例5】计算：________． 【变式5-1】用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式5-2】利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 题型六 利用平方差公式化简 【例6】下列公式中，适用平方差公式化简的是（    ）． A． B． C． D． 【变式6-1】计算的结果为___________． 【变式6-2】计算： (1)． (2)． 题型七 利用平方差公式简便计算 【例7】计算：用简便方法计算． 解： ① ② ． (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用_______（填乘法公式的名称）； (2)用简便方法计算：． (3)计算：． (4)【拓展】计算：． 【变式7-1】利用乘法公式有时能进行简便计算． 例：102×98＝（100＋2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996 请参考给出的例题，通过简便方法计算： （1）31×29； （2）195×205 【变式7-2】计算：（要求用公式简便计算） (1)； (2)． 题型八 整式化简 【例8】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式8-1】化简： (1) (2) 【变式8-2】化简： (1)； (2)． 题型九 整式化简求值 【例9】先化简，再求值：，其中． 【变式9-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式9-2】先化简，再求值：，其中． 题型十 利用几何图形验证乘法公式 【例10】如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 【变式10-1】在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 题型十一 利用乘法公式变式求值 【例11】已知，．求： (1)的值． (2)的值． 【变式11-1】将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【变式11-2】阅读下列材料，完成后面的任务． 完全平方公式的变形及其应用 我们知道，完全平方公式有： ． 在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ； ． 根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如： 已知，，求 的值． 解： ． 任务： (1)已知，则 ． (2)已知，求的值． 基础巩固通关测 一、选择题（本题共10小题） 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 4．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 5．若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 9．若，，则的值为（   ） A． B． C．15 D．不存在 10．如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题） 11．计算：___________． 12．一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是______． 13．若，则___________． 14．若，则的值为___________． 15．若，则代数式的值为___________． 16．如图所示，边长为的正方形边长增加b得到新正方形，新正方形的面积为；边长为a的正方形一边增加2b，另一边减小b得到的长方形，此长方形的面积为；则__________．（填“”、“”或“”） 三、解答题（本题共4小题） 17．化简： (1)． (2)． 18．先化简，再求值：，其中， 19．已知，求： (1)； (2)的值 20．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度    方法二：从“形”的角度 解：，        解：， ，即：，    又， 又        ， ．        ． 即．        即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 能力提升进阶练 一、选择题（本题共10小题） 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设，则的值为（） A． B． C． D． 3．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为．按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，．设．下列值确定的是（    ）． A．m B． C． D． 5．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（       ） A．1 B．5 C．10 D．15 6．若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 7．已知是完全平方式，则a的值为（　　） A． B． C．3 D．6 8．代数式的值是（　　） A． B． C． D． 9．“以数解形”“以形助数”数形结合的思想方法在数学学习中非常重要．如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点E，与相交于点G，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别于点Q，P．若四边形和四边形都是正方形，，，则正方形的边长为（   ） A．8 B．6 C．7 D．5 10．如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片、，从纸片的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片的四个顶点处．图2中已标出裁剪后、纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（    ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 二、填空题（本题共6小题） 11．若，则___________. 12．小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是________________． 13．已知，若b不影响W的取值，则常数______． 14．将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则添加单项式的方法共有__________种． 15．已知，，则______． 16．如图，在线段上取一点，分别以，为边向上作正方形和正方形，点是线段上一点，且满足，连接和．若，，且，，则图中阴影部分的面积为_______． 三、解答题（本题共4小题） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（1）先化简，再求值： 其中，． （2）运用乘法公式计算：． 19．已知：多项式，整式．若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的多项式M． 20．观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 整式乘法（复习讲义） 1. 熟练掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，理解每一步运算的算理，能准确、规范完成各类整式乘法运算； 2. 推导并牢记平方差公式、完全平方公式，精准把握两个公式的结构特征，熟练进行公式的正用、逆用及简单变形运算； 3. 感悟数学知识的连贯性和逻辑性，理解“特殊与一般”的辩证关系，初步形成代数运算的核心素养。 知识点 重点归纳 常见易错点 单项式乘单项式 单项式乘单项式法则： 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式； 易与合并同类项法则混淆: 正确： 单项式乘多项式 单项式乘多项式法则： (1)单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加. (2)符号表示： 此处单项式与多项式相乘，最易错的是各项的符号问题，尤其是符号较多的时候。 多项式乘多项式 多项式乘多项式法则： （1）多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加； （2）符号表示：() 多项式与多项式相乘易错点有两个：一是符号问题；二是乘的时候容易漏项，这是初学时最易出现的错误。 完全平方公式 (1)完全平方和公式： (2)完全平方差公式：； (3)几何图形验证： 完全平方公式最关键的问题是中间2倍项的符号，学生易错，可以通过口诀理解记忆：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，符号看前方。 平方差公式 2.平方差公式： (1)平方差公式：()()； (2)几何图形验证： 平方差公式与完全平方公式容易混淆，记忆出现错误，记忆这两个公式时，最好通过多项式乘法，自己独立乘一遍。 题型一 单项式与单项式相乘 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （4）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1-1】下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确， (2)不正确， (3)不正确， (4)不正确， 【分析】本题考查单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （1）根据单项式乘单项式法则计算即可判断； （2）根据单项式乘单项式法则计算即可判断； （3）根据单项式乘单项式法则计算即可判断； （4）根据单项式乘单项式法则计算即可判断． 【详解】（1）解：不正确，正确结果为：； （2）解：不正确，正确结果为：； （3）解：不正确，正确结果为：； （4）解：不正确，正确结果为：． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式； （1）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （2）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （3）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （4）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型二 单项式与多项式相乘 【例2】计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 先计算积的乘方，然后利用单项式乘多项式法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为． 【变式2-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）先根据单项式乘多项式运算法则和积的乘方运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2-2】化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型三 多项式乘多项式 【例3】计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，解题的关键是熟练运用法则展开并合并同类项． 根据多项式乘多项式法则将展开，再合并同类项，对比选项确定答案． 【详解】解： 故选：A． 【变式3-1】若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， 【变式3-2】观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知等式写成第5个等式即可； （2）观察可知第个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母的指数降序排列的，且每一项只含有两个字母，每一项的系数都为 1 ，字母的指数之和为，等式右边是，据此可得答案； （3）令式子中，得到，据此可得答案． （4）将变形得到，根据（ 2 ）的结论得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知， ． （4）解： ， 根据（ 2 ）的结论，， ∴． 题型四 利用完全平方公式计算 【例4】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由完全平方差公式：，直接展开即可得到答案． 【详解】解：． 【变式4-1】用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）原式运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式运用完全平方公式进行计算即可； （4）原式运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式4-2】填空： （1）___ ___； （2） ____ __． 【答案】 12 2 5 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）通过配方法将二次式化为完全平方形式，比较系数求解； （2）使用配方法，提公因式后配完全平方，再比较系数． 【详解】（1）解：设空白处分别为和， 则， 展开右边，得， 比较系数，得，， 解得：， 代入得， 故答案为：12，2； （2）解：设空白处分别为和， 则， 展开右边，得， 比较系数，得，， 解得：， 代入得， 故答案为：，5． 题型五 利用完全平方公式简便计算 【例5】计算：________． 【答案】40000 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，通过观察表达式，识别其符合完全平方公式的结构，进而简化计算． 【详解】解： ， 故答案为：40000． 【变式5-1】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【变式5-2】利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练运用完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）先把化成，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型六 利用平方差公式化简 【例6】下列公式中，适用平方差公式化简的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的适用条件，掌握好平方差公式的结构是关键． 平方差公式为，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：对于A选项：，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式的形式，故A正确； 对于B选项：是完全平方公式的形式，不符合平方差公式，故B错误； 对于C选项：，是完全平方的形式，不符合平方差公式，故C错误； 对于D选项：中，与不是互为相反数，不符合平方差公式，故D错误． 故选：A． 【变式6-1】计算的结果为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，掌握平方差公式是解本题的关键． 识别表达式符合平方差公式的形式，直接应用公式计算． 【详解】解：给定表达式为，符合平方差公式，其中，， 代入公式得， 故答案为：． 【变式6-2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七 利用平方差公式简便计算 【例7】计算：用简便方法计算． 解： ① ② ． (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用_______（填乘法公式的名称）； (2)用简便方法计算：． (3)计算：． (4)【拓展】计算：． 【答案】(1)平方差公式； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握相关公式特征是解题的关键． （1）由题意观察例题的求解过程，利用乘法公式进行判断匹配即可； （2）将化为，进一步利用平方差公式求解； （3）先将式子变形为，进一步利用平方差公式和完全平方差公式进行计算； （4）给式子前乘以，进一步利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解：例题的求解过程中，第②步变形是利用平方差公式； 故答案为：平方差公式． （2） ． （3） ． （4） ． 【变式7-1】利用乘法公式有时能进行简便计算． 例：102×98＝（100＋2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996 请参考给出的例题，通过简便方法计算： （1）31×29； （2）195×205 【答案】（1）899（2）39975 【分析】（1）根据平方差公式即可变形求解； （2）根据平方差公式即可变形求解． 【详解】（1）31×29=（30+1）（30-1）=302﹣12＝900﹣1＝899 （2）195×205=（200-5）（200+5）=2002﹣52＝40000﹣25＝39975． 【变式7-2】计算：（要求用公式简便计算） (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，平方差公式． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型八 整式化简 【例8】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则进行计算即可； （2）先用平方差公式进行计算，再合并同类项； （3）根据积的乘方的逆应用，先让两底数相乘，再将结果进行乘方，分别用到平方差公式和完全平方公式； （4）先用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 【变式8-1】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式及合并同类项，熟练掌握整式乘法法则和乘法公式，并能准确合并同类项是解题的关键． （1）先利用单项式乘多项式法则展开，再合并同类项化简． （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-2】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简，涉及幂的运算和乘法公式． （1）先计算积的乘方，再进行乘法运算； （2）先运用平方差公式和完全平方公式计算．再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九 整式化简求值 【例9】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先利用整式的乘法公式和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式 ． 【变式9-1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式和平方差公式进行化简，再代入数值计算． 先利用完全平方公式展开，再利用平方差公式展开，然后合并同类项化简原式，最后将，代入化简后的式子求值． 【详解】解： . 当 ， 时，原式． 【变式9-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式混合运算及求值，平方差公式及完全平方公式，先利用平方差公式和完全平方公式将括号打开，合并同类项完成化简，再将代入即可求出正确答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 题型十 利用几何图形验证乘法公式 【例10】如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． 【变式10-1】在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题关键是能根据图形准确列出整式，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案． 【详解】解：A 中不存在等量关系，故A不符合题意； 由B可得，故B不符合题意； 由C可得，故C不符合题意； 由D可得，故D符合题意； 故选：D． 【变式10-2】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【分析】（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答； （2）①根据正方形面积公式求解，②用总面积减去四个相等的长方形面积即可． （3）阴影部分的面积相等，结合（2）可得出答案． （4）由（3）得：，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分小正方形的边长为：； （2）解：①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为， ②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为； （3）解：阴影部分的面积相等，结合（2）可得出； （4）解：由（3）得：， ∵，， ∴， ∴． 题型十一 利用乘法公式变式求值 【例11】已知，．求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1)10 (2) 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ． 【变式11-1】将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)22 (2)7 (3)2 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）利用，代入已知条件即可解答； （2）设，则，，结合，即可解答； （3）设，则，，结合，求得的值，最后根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则，， ∴， 即的值为7； （3）解：设，则， ∵， ∴， ， 即， ， ． 【变式11-2】阅读下列材料，完成后面的任务． 完全平方公式的变形及其应用 我们知道，完全平方公式有： ． 在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ； ． 根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如： 已知，，求 的值． 解： ． 任务： (1)已知，则 ． (2)已知，求的值． 【答案】(1)4 (2)1 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值． （1）利用完全平方公式列等式，再利用等式的性质计算； （2）利用完全平方公式列等式，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：4； （2）解：， ， ， ， ， ． 基础巩固通关测 一、选择题（本题共10小题） 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘单项式法则，分别计算系数乘积与同底数幂的乘积，保留原有单独字母即可得到结果． 【详解】解： = ． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算法则及单项式乘法法则，需根据相关法则逐一判断各选项的计算是否正确． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴A选项中，，故A错误； ∵积的乘方，需将积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘， ∴B选项中，，故B错误； ∵单项式乘单项式，系数相乘，同底数幂分别按法则计算， ∴C选项中，，故C正确； ∵与底数不同，无法合并为以6为底的幂， ∴D选项中，，故D错误． 故选：C． 3．一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查长方体体积公式及单项式乘多项式的运算，关键是熟练应用公式列代数式；需先根据体积公式列出算式，再按运算法则计算求解． 【详解】解：由题意得   故选：C． 4．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算，掌握单项式乘多项式时要注意符号的分配，每一项都要乘以单项式并保留符号是解题的关键． 对每个选项运用单项式乘多项式的法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出计算错误的选项． 【详解】解：A、等式左边，但等式右边为 ，两者不相等，计算错误，符合题意； B、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意； C、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意； D、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意． 故选：A． 5．若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，解题的关键是理解“不含x的一次项”意味着一次项的系数为0． 通过展开多项式、合并同类项后令一次项系数为0求解n的值． 【详解】解：∵ 又∵展开合并后不含x的一次项， ∴一次项系数， 解得， ∴常数n的值为2． 故选：A． 6．已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ， 故选：D． 7．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 8．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 9．若，，则的值为（   ） A． B． C．15 D．不存在 【答案】C 【分析】利用完全平方公式进行变形，将已知条件代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ． 又∵， ∴， ， ∴． 10．如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 又∵大正方形可看作由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， ∴． 故选：A． 二、填空题（本题共6小题） 11．计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查单项式的乘法运算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 计算两个单项式的乘积，涉及负号和分数，先确定符号，再计算系数和变量的乘法，即可得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12．一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】解：∵长方形面积长宽 ， ∴这个长方形的面积是． 故答案为：． 13．若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，型多项式乘法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 展开左边多项式，与右边对比常数项． 【详解】解：左边展开：， 与右边对比， 得， 故答案为：． 14．若，则的值为___________． 【答案】2 【分析】本题考查平方差公式．根据进行计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：2． 15．若，则代数式的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了公式法化简和代数式代入求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先将根据公式法化简为，然后把代入，即可求解； 【详解】解：， ∵， ∴； 故答案为：6； 16．如图所示，边长为的正方形边长增加b得到新正方形，新正方形的面积为；边长为a的正方形一边增加2b，另一边减小b得到的长方形，此长方形的面积为；则__________．（填“”、“”或“”） 【答案】＞ 【分析】此题考查了整式的乘法公式和混合运算的应用，分别求出，，作差比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共4小题） 17．化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，整式的乘法去括号，合并同类项即可． 本题考查了整式的乘法，合并同类项，掌握基本运算法则是解题关键． 【详解】（1）原式， （2）原式． 18．先化简，再求值：，其中， 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先利用乘法公式和单项式乘以多项式法则计算化简，再代入，结合幂的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 19．已知，求： (1)； (2)的值 【答案】(1)13 (2)1 【分析】（1）化为，代值计算即可； （2）化为，代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分面积分别能解释的数学公式． 图1：________；图2：________；图3：________． (2)通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度    方法二：从“形”的角度 解：，        解：， ，即：，    又， 又        ， ．        ． 即．        即． 根据所给材料，解决以下问题： 如图，点是线段上的一点，以，为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)；； (2)12 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式与图形面积的结合，解题的关键是通过图形的分割、拼接，将代数式与几何图形的面积建立联系，利用“数形结合”的思想进行转化求解； （1）图1：通过面积和列等式，得到完全平方和公式；图2：通过大正方形减去两个矩形，再加上重叠的小正方形，得到完全平方差公式；图3：通过面积相等得到平方差公式； （2）设，，根据完全平方公式及条件求出的值，再根据阴影部分是直角三角形，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设，， 则． 因为， 即， ， 即阴影部分的面积为12． 能力提升进阶练 一、选择题（本题共10小题） 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 利用单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意；     D．，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 2．设，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．根据单项式乘单项式和同底数幂乘法，左边相乘后指数相加，再与右边对比指数，列方程求解和． 【详解】解：∵， 又∵右边为， ∴且， 解方程： ∴ 解得， ∴． 故选：A． 3．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 4．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为．按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，．设．下列值确定的是（    ）． A．m B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与正方形重叠面积的计算、代数式化简及变量关系推导，解题的关键是根据“阴影面积长方形面积（两正方形面积和重叠面积）”，结合面积差条件建立等式，通过消元推导与、的关联． 设、，则；设图①、②、③中两正方形重叠面积分别为、、．由阴影面积公式得、、；利用、化简得、，两式相减消去；再根据正方形放置位置确定、，代入后化简求与的关系． 【详解】解：设，，则； 两正方形重叠面积分别为（图①）、（图②）、（图③）． 由阴影面积公式：，， 故①； 同理②． ②①得：． 由放置位置：图①中，（重叠边长为）； 图②中，（重叠边长为）． 代入得：， 化简得：，即（值确定）． 故选：B． 5．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为 “杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（       ） A．1 B．5 C．10 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化规律的探究．根据图形中的规律，即可求出的展开式中从左起第三项的系数． 【详解】解：通过观察可得除了每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和； ∴每一行第三项的系数等于上一行第二项与第三项的系数之和， 的各项系数分别为1，3，3，1， 的各项系数分别为1，4，6，4，1， 的各项系数分别为1，5，10，10，5，1， ∴的第三项系数， 故选：D． 6．若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，根据展开后的多项式中不含项，则展开后的多项式中项的系数为0，由此即可解答本题． 【详解】解：， ∵展开的结果中不含项， ∴，解得：， 故选：A． 7．已知是完全平方式，则a的值为（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据完全平方式的结构特征，对应原式系数求解a，需考虑完全平方式的两种不同符号情况． 【详解】解：∵=，=，是完全平方式， ∴ 原式可写成的形式， 展开得， ∴ ． 8．代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的连续运用和幂的运算性质，熟练掌握平方差公式 的结构特征是解题的关键．本题可以连续运用平方差公式进行化简，最后得出结果并选择对应选项． 【详解】解： 故选：C． 9．“以数解形”“以形助数”数形结合的思想方法在数学学习中非常重要．如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点E，与相交于点G，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别于点Q，P．若四边形和四边形都是正方形，，，则正方形的边长为（   ） A．8 B．6 C．7 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，：设，则可得到，根据得到，根据长方形的面积公式得到，据此根据完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【详解】解：设，则， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∵重叠部分是面积为8的长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴正方形的边长为6， 故选：B． 10．如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片、，从纸片的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片的四个顶点处．图2中已标出裁剪后、纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（    ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 【答案】A 【分析】本题考查了乘法公式与几何图形，设四个小正方形的边长为x，根据原正方形的边长不变可列方程求出，然后根据割补法分别求出、，最后计算、，即可判断． 【详解】解：设四个小正方形的边长为x， 根据题意，得， 解得， ∴， ， ∴， ， ∴小海正确、乐乐正确， 故选：A． 二、填空题（本题共6小题） 11．若，则___________. 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式得，由可求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12．小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式的运算，熟练掌握单项式乘多项式“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则是解题的关键． 先根据单项式乘多项式的法则计算左边式子，再通过对比等式两边确定被污染的部分． 【详解】解： ， ∵， ∴对比得，即． 故答案为：． 13．已知，若b不影响W的取值，则常数______． 【答案】2 【分析】先根据整式乘法法则展开原式，合并同类项后，根据b不影响W的取值可知，W中所有含b的项的系数为0，据此列一元一次方程求解即可得到k的值． 【详解】解： ， 因为b不影响W的取值，所以含b的项的系数为0，即， 解得． 14．将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则添加单项式的方法共有__________种． 【答案】5 【分析】本题考查了完全平方公式，考虑添加单项式后多项式成为完全平方的几种形式：二项式的平方或单项式的平方． 【详解】解：添加单项式后，能使多项式成为完全平方的情况如下： 1．添加，得到． 2．添加，得到． 3．添加，得到． 4．添加，得到． 5．添加，得到．故共有5种方法， 故答案为：5． 15．已知，，则______． 【答案】30 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是将所求式子转化为含与的形式，再代入已知条件计算． 先将变形为，再代入与进行计算． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 16．如图，在线段上取一点，分别以，为边向上作正方形和正方形，点是线段上一点，且满足，连接和．若，，且，，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的灵活应用是解题的关键．由正方形的性质得出，，则有，可得，图中阴影部分的面积为，通过完全平方公式的变形可求出答案． 【详解】解：四边形和四边形都是正方形， ，， ， ， ， ， ，， 又，， 图中阴影部分的面积为： ． 故答案为：． 三、解答题（本题共4小题） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算，包括完全平方公式、平方差公式、幂的运算和整式的乘除．解题时需熟练掌握相关运算法则，逐步计算． （1）先根据完全平方公式计算，再去括号即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘法和除法，然后合并同类项即可； （3）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项； （4）先算括号里，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（1）先化简，再求值： 其中，． （2）运用乘法公式计算：． 【答案】（1）；8；（2） 【分析】本题考查整式的化简求值，利用平方差公式进行简便运算，熟练掌握相关运算法则，正确地进行计算，是解题的关键． （1）先进行完全平方公式和平方差公式的计算，再合并同类项进行化简，将，代入求值即可． （2）将改写为，再利用平方差公式进行计算即可。 【详解】（1）解：原式 当，时， 原式 ． （2）解： ． 19．已知：多项式，整式．若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的多项式M． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式的化简，完全平方式特点，熟练掌握整式的混合运算法则以及完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵是关于x的一个完全平方式， ∴则可以使其等于， ∴ ， ∴（答案不唯一）． 20．观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)长为米 【分析】本题考查完全平方公式的实际应用，利用完全平方式的变形求值是解题关键． （1）阴影面积为两个小正方形，也可以看作大正方形减去两个矩形，由此得到等式； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）将看作，看作，则，，利用（1）的结论进行计算即可． （4）设，，由题意可得，，利用完全平方公式计算得． 【详解】（1）解：观察图②可知，阴影部分为两个小正方形，面积和为，也可以用大正方形减去两个矩形得到，即， ∴运算为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； （3）解：设，，则， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论得：， ∴， ∴； （4）解：设，， ∵于点， ∴（平方米），（平方米），（平方米），平方米， ∵种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ∴， ∴，即米， 答：长为米． 2 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $