第06讲 乘法公式（知识详解+8典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

第06讲 乘法公式（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】完全平方公式 1.完全平方公式 . 也就是说,两个数的和（或差）的平方,等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式. 说明：本节中的字母a,b 可以是单项式,也可以是多项式. 2.完全平方公式的推导方法 （1）用多项式乘法法则推导完全平方公式 （2）借助几何图形推导完全平方公式 如图（1）,边长是>>的正方形的面积是,它的面积还可以视为两个小正方形与两个小长方形面积的和,即><,所以<. 如图（2）,边长是 的正方形的面积是 ,它的面积还可以视为大正方形的面积与两个小长方形面积的差,即 ,所以 . 用几何图形推导完全平方公式的方法还有很多，举例如下： 3.完全平方公式的结构特征 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方,两者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的等号右边都是二次三项式,其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方,中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍,两个公式等号右边的中间项仅有一个“符号”的差异. 示例1 利用完全平 方公式计算 说明：三项或三项以上的和（或差）的平方可转化为两项的和（或差）的平方,如 . 【知识点02】平方差公式 1.平方差公式 也就是说,两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.这个公式叫作（乘法的）平方差公式. 2.平方差公式的推导方法 （1）用多项式乘法法则推导平方差公式 （2）借助几何图形推导平方差公式如图所示,图（1）中阴影部分的面积是 ,图（2）中阴影部分的面积是 ,于是 用几何图形推导平方差公式的方法还有很多，如下方式都可以得到 3.平方差公式的结构特征 （1）等号左边是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数; （2）等号右边是一个二项式,这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 示例2 利用平方差公式计算 4.平方差公式的变化及应用 变化形式 应用举例 位置变化 符号变化 系数变化 指数变化 增项变化 连用公式 注意：在运用平方差公式时,要分清哪一项相当于公式中的a ,哪一项相当于公式中的b ,不要混淆. 【题型一】运用平方差公式进行运算 例1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）下列算式中，能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则的值为 ． 变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算：的值为 ． 变式2．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）【观察】：；； 小明发现规律：两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【验证】： （1）的结果是8的__________倍； （2）设连续的两个奇数为和（n为整数），试说明：和的平方差是8的倍数； 【延伸】：请在以下两个小题中选择一题作答．若两题都选，则取第（4）小题的得分为最终得分． （3）两个连续偶数的平方差也一定是8的倍数吗？请证明你的结论． （4）任意两个奇数的平方差也一定是8的倍数吗？请证明你的结论． 【题型二】平方差公式与几何图形 例3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为 ．    变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为21的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为3，则图中阴影部分的总面积为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）【理解】 （1）如图是一块边长为的正方形草坪，东西方向需要加长，南北方向缩短．改造后的草坪面积与原来相等吗？若不相等，其面积发生的什么变化？ 【应用】 （2）用长为的篱笆围成一个长方形用于种植草坪．可种植草坪的最大面积是多少平方米？为什么？ 【题型三】运用完全平方公式进行运算 例5．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）下面的多项式中，适用于完全平方公式的是（ ） A． B． C． D． 例6．（24-25七年级下·江苏南京·月考）用简便方法计算： (1)； (2)． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若．则 ． 变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如；求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求M的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【题型四】通过对完全平方公式变形求值 例7．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，则的值为（   ） A．16 B．9 C．3 D．1 例8．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，，则 ． 变式1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知，，则的值为（   ） A．10 B．4 C．2 D．1 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，；所以，；所以，；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则___________； 【类题探究】 （2）若满足．求的值． 【题型五】完全平方公式在几何图形中的应用 例9．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图所示的图形由一个大正方形、一个小正方形和一个长方形不重合无缝隙地拼接在一起，已知长方形的面积是10，周长为16．那么为正方形和正方形的面积之和是（   ） A．44 B．236 C．48 D．238 例10．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片1张，乙种纸片1张，丙种纸片2张拼成了如图（b）所示的一个大正方形． (1)理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ； (2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 变式1．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为 ． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）【知识生成】 我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式．2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图①所示，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c． （1）图①中涂色部分的面积用两种方法可分别表示为 、 ． （2）你能得出的a、b、c之间的数量关系是 （需化为最简形式）． （3）若一直角三角形的一条直角边长为5，斜边长为13，求它的另一条直角边的长． 【知识迁移】 通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式． 如图②是棱长为的正方体，被如图②所示的分割线分成8块． （4）用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为 ． （5）已知，，利用上面的规律求的值． 【题型六】求完全平方式中的字母系数 例11．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若关于x的二次三项式是完全平方式，则a的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 例12．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若是完全平方式，则常数m的值为 ． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．10 B． C．20 D． 变式2．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知关于x的代数式是乘法完全平方式展开的，求字母a的值． 【题型七】完全平方式在几何图形中的应用 例13．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 例14．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形． (1)你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是________（用、表示）； (2)请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：________，②：________； (3)观察图（2），请写出、、之间的一个等量关系________； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 变式1．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）现有如图所示的，，三种纸片若干张．淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片9张，再取纸片1张，还需要取纸片 张． 变式2．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b． （1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：　 ；方法二：　 ； （2）观察图②，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系； （3）请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求的值； （4）求的值． 【题型八】整式的混合运算 例15．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记，已知，则m的值是（    ） A． B．18 C．32 D．不确定 例16．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）计算： (1)； (2)． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知正方形边长为a，若每条边都增加b，则形成的新正方形面积增加 ．（需化简） 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）计算或化简： (1) (2) 一、单选题 1．将变形正确的是（　　） A． B． C． D． 2．两个连续奇数的平方差不一定是（   ） A．2的倍数 B．4的倍数 C．8的倍数 D．16的倍数 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为（    ） A．19 B．25 C．28 D．31 6．若能写成一个多项式的平方形式，则的值为（    ） A． B．14 C． D．7 7．计算的结果是（    ） A．0 B． C．1 D． 8．已知，则（   ） A．4 B．10 C．16 D．20 9．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点．连结．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ）    A． B． C． D． 10．对于整式，从中先选出一个整式，再用它来减去从剩余的整式里选出的另外一个整式，然后求两个整式差的绝对值称为“绝对差值”，例如：，把称为的“绝对差值”，，把称为的“绝对差值”，下列说法： ①存在一种“绝对差值”不含一次项； ②m，n为常数，若的结果只含常数项，则； ③所有“绝对差值”之和的最小值为28． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 11．要使多项式能运用完全平方公式进行分解因式，则整式M可以为 （写出一个符合的条件的M即可）． 12．若，则的值是 ． 13．已知，则 ．（用含的代数式表示） 14．若，则代数式的值等于 ． 15．如图，在大正方形内放置两个边长为的小正方形“”，且每个小正方形“”的一条边分别在大正方形的一组对边上，已知，设图中阴影部分的面积为，大正方形内空白部分的面积为，若，则一个小正方形“”的面积为 ． 16．冬季奥运主题活动中，某班设计如图1的“红色徽章”，其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为b的小正方形面积记作，若，则的值是 ． 17．设，，，，是从1，0，这三个数取值的一组数，若，，则，，，中为0的个数是 ． 18．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题 19．计算：． 20．运用完全平方公式计算： （1）；（2）． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．先化简，后求值：，其中． 23．先化简，再求值：，其中，． 24．先化简再求值： (1)，其中 (2)，其中 25．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b．如图1，小正方形摆放在边长为的内部右上角，其未叠合部分（阴影）的面积为；如图2，若再在图1中大正方形的右下角摆放小正方形，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为；如图3，在大正方形的外部左下角摆放小正方形，形成阴影部分的面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若a＋b＝10，ab＝20，求的值； (3)当时，求的值． 26．如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片，每种卡片各有30张．其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中．现在从这些卡片中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张）无缝隙、无重叠的拼成一个长方形． (1)若取出型卡片__________张、型卡片__________张、型卡片__________张，可以拼成一个长为、宽为的长方形； (2)若取出型卡片1张、型卡片6张，请先判断需要抽取几张型卡片才能拼成长方形，再画出相应的长方形； (3)若将选取的卡片拼成一个正方形： ①若一共选取50张卡片，能否拼成一个正方形？请说明理由． ②若，请用含的代数式表示能拼成的正方形面积的最大值．请直接写出答案，不必说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 乘法公式（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】完全平方公式 1.完全平方公式 . 也就是说,两个数的和（或差）的平方,等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式. 说明：本节中的字母a,b 可以是单项式,也可以是多项式. 2.完全平方公式的推导方法 （1）用多项式乘法法则推导完全平方公式 （2）借助几何图形推导完全平方公式 如图（1）,边长是>>的正方形的面积是,它的面积还可以视为两个小正方形与两个小长方形面积的和,即><,所以<. 如图（2）,边长是 的正方形的面积是 ,它的面积还可以视为大正方形的面积与两个小长方形面积的差,即 ,所以 . 用几何图形推导完全平方公式的方法还有很多，举例如下： 3.完全平方公式的结构特征 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方,两者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的等号右边都是二次三项式,其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方,中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍,两个公式等号右边的中间项仅有一个“符号”的差异. 示例1 利用完全平 方公式计算 说明：三项或三项以上的和（或差）的平方可转化为两项的和（或差）的平方,如 . 【知识点02】平方差公式 1.平方差公式 也就是说,两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.这个公式叫作（乘法的）平方差公式. 2.平方差公式的推导方法 （1）用多项式乘法法则推导平方差公式 （2）借助几何图形推导平方差公式如图所示,图（1）中阴影部分的面积是 ,图（2）中阴影部分的面积是 ,于是 用几何图形推导平方差公式的方法还有很多，如下方式都可以得到 3.平方差公式的结构特征 （1）等号左边是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数; （2）等号右边是一个二项式,这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 示例2 利用平方差公式计算 4.平方差公式的变化及应用 变化形式 应用举例 位置变化 符号变化 系数变化 指数变化 增项变化 连用公式 注意：在运用平方差公式时,要分清哪一项相当于公式中的a ,哪一项相当于公式中的b ,不要混淆. 【题型一】运用平方差公式进行运算 例1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）下列算式中，能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：．根据平方差公式进行判断即可． 【详解】解：A、，不可以用平方差公式计算，不符合题意； B、，可以用平方差公式计算，符合题意； C、，不可以用平方差公式计算，不符合题意； D、，不可以用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 例2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的用法；根据平方差公式求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算：的值为 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，解题的关键是将原式变形为平方差的形式． 在原式前乘以，再根据平方差公式进行求解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）【观察】：；； 小明发现规律：两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【验证】： （1）的结果是8的__________倍； （2）设连续的两个奇数为和（n为整数），试说明：和的平方差是8的倍数； 【延伸】：请在以下两个小题中选择一题作答．若两题都选，则取第（4）小题的得分为最终得分． （3）两个连续偶数的平方差也一定是8的倍数吗？请证明你的结论． （4）任意两个奇数的平方差也一定是8的倍数吗？请证明你的结论． 【答案】（1）6；（2）见解析；（3）不一定；证明见解析；（4）一定；理由见解析 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键． （1）通过平方差公式计算即可得出答案； （2）根据平方差公式求出的结果，即可说明和的平方差是8的倍数； （3）设两个连续偶数为，计算出它们的平方差即可得出答案； （4）设两个奇数为和（m、n为整数），再根据平方差公式求出，然后分情况讨论，求出结果即可． 【详解】解：（1）， 的结果是的6倍； （2） ， ∵， 又为正整数， 两个连续奇数的平方差是的倍数； （3）不一定； 设两个连续偶数为， 则 ， ∵， 又不是整数， ∴两个连续偶数的平方差不一定是8的倍数． （4）任意两个奇数的平方差一定是8的倍数；理由如下： 设两个奇数为和（m、n为整数）， ， 当m和n同为奇数或同为偶数时，是偶数，设（k为整数）， 则， ∵， 又为整数， ∴此时是8的倍数； 当m和n一个为奇数，另一个为偶数时，是偶数，设（k为整数）， 则， ∵， 又∵为整数， ∴此时是8的倍数； ∴任意两个奇数的平方差一定是8的倍数． 【题型二】平方差公式与几何图形 例3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式．解决问题的关键是根据拼接前后的面积不变得到等量关系． 边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差， 即； 剩余部分通过割补，拼成的矩形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴． 故选：B． 例4．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为 ．    【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了整式的运算，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 设正方形②的边长为，正方形①的边长为，由图可得，，即可得，得到，再由图可得，即可求解． 【详解】解：设正方形②的边长为，正方形①的边长为， 由图可得，，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为21的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为3，则图中阴影部分的总面积为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的应用，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为3，即， ∴阴影面积为． 故选：D． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）【理解】 （1）如图是一块边长为的正方形草坪，东西方向需要加长，南北方向缩短．改造后的草坪面积与原来相等吗？若不相等，其面积发生的什么变化？ 【应用】 （2）用长为的篱笆围成一个长方形用于种植草坪．可种植草坪的最大面积是多少平方米？为什么？ 【答案】（1）改造后的草坪面积与原来不相等，改造后面积减少了 （2），见解析 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】此题主要考查了平方差公式． （1）根据正方形和长方形的面积公式求出原来正方形草坪面积和改造后的长方形草坪面积，比较即得结论； （2）设种植草坪的一边长为，另一边长为，进而得种植草坪的面积为，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵正方形草坪的边长为， ∴正方形草坪的面积； 将正方形草坪的东西方向需要加长，南北方向缩短，边长为，， ∴改造后的草坪面积， 故改造后的草坪面积与原来不相等，改造后面积减少了； （2）最大面积是，理由如下： 设种植草坪的一边长为，另一边长为， ∴种植草坪的面积， ∴，种植草坪的面积最大，最大面积为． 【题型三】运用完全平方公式进行运算 例5．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）下面的多项式中，适用于完全平方公式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用完全平方公式进行判断即可得出答案． 【详解】解：， 适用于完全平方公式． 故选：D． 例6．（24-25七年级下·江苏南京·月考）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10201 (2)1 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式，将各式进行正确变形是解题的关键． （1）将原式变形后利用完全平方公式计算即可； （2）将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若．则 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题给出两个关于、与的等式，要求的值．解题思路是将两个等式相加，然后通过因式分解的方法，将式子转化为含有的形式，进而求出的值．本题主要考查了因式分解以及平方根的概念，熟练掌握完全平方公式以及平方根的求解方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如；求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求M的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1) (2)最小值为 (3)围成的菜地的最大面积是 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方式，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式、偶次方的非负性是解题的关键． （1）把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方式把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用完全平方式把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 对于任意实数x都有， ∴， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：． （2）解：由题意，∵ ， 当，时，M有最小值，最小值为； （3）解：由题意，设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米， ， 当时，S有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是． 【题型四】通过对完全平方公式变形求值 例7．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，则的值为（   ） A．16 B．9 C．3 D．1 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 例8．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，，则 ． 【答案】9 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查的是完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．将，变形为，，再把变形为，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：9． 变式1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知，，则的值为（   ） A．10 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据，即可得到，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，；所以，；所以，；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则___________； 【类题探究】 （2）若满足．求的值． 【答案】（1）3；（2） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，把完全平方公式适当的变形是解题的关键． （1）由可得，再代入，即可求出的值； （2）设，，则，进而得到，根据题意可得，求出的值，即可求出的值，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：3； （2）设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为． 【题型五】完全平方公式在几何图形中的应用 例9．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图所示的图形由一个大正方形、一个小正方形和一个长方形不重合无缝隙地拼接在一起，已知长方形的面积是10，周长为16．那么为正方形和正方形的面积之和是（   ） A．44 B．236 C．48 D．238 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的应用．设长方形中，，，则，，根据完全平方公式得到，从而根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：设长方形中，，， ∵长方形的面积是10，周长为16， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A 例10．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片1张，乙种纸片1张，丙种纸片2张拼成了如图（b）所示的一个大正方形． (1)理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ； (2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，灵活运用该公式是解决本题的关键． （1）图中阴影部分面积=大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积=两个正方形的面积和，即可得到等式； （2）①根据（1）中的公式，将，代入即可；②令，根据（1）中的公式，将代入即可． 【详解】（1）解：图（b）中阴影部分的面积，图b中阴影部分的面积， ∴等式为； （2）①由（1）知，， 当时，， 解得：； ②令， ∴， ， ， ， 即． 变式1．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式与几何背景的结合，利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后即可得出所需各类卡片的数量，根据完全平方公式求出拼成后的正方形的面积的表达式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴拼成一个边长为的正方形需要类卡片张，类卡片张，类卡片张， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）【知识生成】 我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式．2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图①所示，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c． （1）图①中涂色部分的面积用两种方法可分别表示为 、 ． （2）你能得出的a、b、c之间的数量关系是 （需化为最简形式）． （3）若一直角三角形的一条直角边长为5，斜边长为13，求它的另一条直角边的长． 【知识迁移】 通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式． 如图②是棱长为的正方体，被如图②所示的分割线分成8块． （4）用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为 ． （5）已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】（1）， （2） （3）12 （4） （5）40 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了几何体的表面积，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的结果，即可得出答案； （3）代入求出即可； （4）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案； （5）代入（4）中的等式求出即可． 【详解】解：（1）图①中涂色部分的面积用两种方法可分别表示为，． 故答案为：，； （2）由（1）知：， 即． 故答案为：； （3）∵，，， ∴， 故它的另一条直角边的长为12； （4）图形的体积为或， 即． 故答案为：； （5）∵，，， ∴， 解得：． 故的值为40． 【题型六】求完全平方式中的字母系数 例11．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若关于x的二次三项式是完全平方式，则a的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式：，熟记完全平方公式是解题关键. 根据是完全平方式，得到这个完全平方式是：或，展开后对比即可得到答案. 【详解】解：∵是完全平方式， ∴这个完全平方式是：或 即或 解得：或 故的值是. 故选：C. 例12．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若是完全平方式，则常数m的值为 ． 【答案】4 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键；根据完全平方式得出，即可求出答案． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故答案为：4． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．10 B． C．20 D． 【答案】B 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，由进行求解即可． 【详解】解： ， ， 解得：， 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知关于x的代数式是乘法完全平方式展开的，求字母a的值． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．根据题意可得，解得的值即可． 【详解】解：关于的代数式是乘法完全平方式展开的， 解得：或． 【题型七】完全平方式在几何图形中的应用 例13．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 【答案】 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例14．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形． (1)你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是________（用、表示）； (2)请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：________，②：________； (3)观察图（2），请写出、、之间的一个等量关系________； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2)①② (3) (4) 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、列代数式 【分析】（1）根据观察图形，可得小正方形的边长； （2）根据正方形的面积公式，可得方法一，根据面积的和差，可得方法二； （3）根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答案； （4）根据（3）中的等量关系，可得答案． 【详解】（1）图（2）中阴影部分的正方形的边长是， 故答案为： （2）请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①，②， 故答案为：； （3）由（2）中面积的两种表示方法可得：， 故答案为： （4）由（3）得 又∵， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键． 变式1．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）现有如图所示的，，三种纸片若干张．淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片9张，再取纸片1张，还需要取纸片 张． 【答案】6 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用 【分析】设还需要取k张C卡片，根据题意可得是一个完全平方式，据此求解即可． 【详解】解：设还需要取k张C卡片 ∵取纸片9张，取纸片1张， ∴面积和为， ∵小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，C纸片的面积为， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴（负值舍去） ∴还需6张C纸片， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个． 变式2．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b． （1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：　 ；方法二：　 ； （2）观察图②，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系； （3）请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求的值； （4）求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）25；（4）100 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用 【分析】（1）利用两种方法表示出大正方形面积，第一种用组成正方形的两个小正方形+4个三角形面积，第二种用正方形面积公式边长的平方即可； （2）根据各自表示的面积写出四个代数式之间的等量关系即可； （3）利用面积求出，（a+b）2=49，把原式变形a2+b2=（a+b）2-2ab，整体代入计算即可得到结果． （4）将算式适当变形，利用完全平方公式进行解答即可． 【详解】解：（1）方法一：；     方法二：（a+b）2；         故答案为：；（a+b）2； （2）a2+2ab+b2=（a+b）2； （3），（a+b）2=49， ∴a2+b2=（a+b）2-2ab ， =（a+b）2-4×， =49-4×6， =25；                                                （4）， =， ， ， =100． 【点睛】此题考查了完全平方公式的几何应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型八】整式的混合运算 例15．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记，已知，则m的值是（    ） A． B．18 C．32 D．不确定 【答案】A 【知识点】整式的混合运算 【分析】根据题中计算法则进行计算即可； 【详解】解：∵的系数为2； ∴ 等式左边 ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握相关运算法则及正确理解题意是解题的关键． 例16．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知正方形边长为a，若每条边都增加b，则形成的新正方形面积增加 ．（需化简） 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】先分别表示出原正方形和新正方形的面积，再用新正方形面积减去原正方形面积，最后化简得出增加的面积 ．本题主要考查了正方形面积公式以及完全平方公式的应用，熟练掌握正方形面积公式和完全平方公式的展开与化简是解题的关键． 【详解】解：原正方形边长为 ，则原正方形面积 新正方形边长为 ，则新正方形面积 ∵ 增加的面积 ∴ 故答案为： ． 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）计算或化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】添括号、整式的混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式． （1）先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项即可； （2）添括号后运用平方差公式，完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 一、单选题 1．将变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特点是解题的关键．利用平方差公式求解即可． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 2．两个连续奇数的平方差不一定是（   ） A．2的倍数 B．4的倍数 C．8的倍数 D．16的倍数 【答案】D 【分析】本题考查了代数推理运算，整式的运算等知识﹒设两个连续奇数为，则它们的平方差计算结果为，可以得到不一定是16的倍数﹒ 【详解】解：设两个连续奇数为， 则它们的平方差为， ， ， ∴两个连续奇数的平方差不一定是16的倍数﹒ 故选：D 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法．根据合并同类项法则，多项式乘多项式法则及平方差公式，完全平方公式逐项判断． 【详解】解：，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； ，故D选项符合题意； 故选：D． 4．下列各式中计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算．利用完全平方公式，多项式乘多项式法则一一判断即可． 【详解】解：A、，正确，本选项符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项错误，不符合题意； D、，本选项错误，不符合题意． 故选：A． 5．已知，，则的值为（    ） A．19 B．25 C．28 D．31 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 6．若能写成一个多项式的平方形式，则的值为（    ） A． B．14 C． D．7 【答案】A 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵，能写成一个多项式的平方形式， ∴ ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 7．计算的结果是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先根据平方差公式计算，再按照有理数的加减法计算即可． 【详解】， 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式的运用，解题关键是掌握平方差公式． 8．已知，则（   ） A．4 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用；根据已知条件，利用平方差公式求出的值，再由完全平方公式即可求得结果． 【详解】解：， ， 即， ∵， ， ． 故选：B． 9．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点．连结．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用．正确表示阴影部分面积是解题的关键． 设甲正方形的边长为，则乙正方形的边长为，由题意知，，则，，将代入求解即可． 【详解】解：设甲正方形的边长为，则乙正方形的边长为， 由题意知，，则， 点为的中点，则， ， 将代入得，原式， 故选：A． 10．对于整式，从中先选出一个整式，再用它来减去从剩余的整式里选出的另外一个整式，然后求两个整式差的绝对值称为“绝对差值”，例如：，把称为的“绝对差值”，，把称为的“绝对差值”，下列说法： ①存在一种“绝对差值”不含一次项； ②m，n为常数，若的结果只含常数项，则； ③所有“绝对差值”之和的最小值为28． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查的是完全平方公式，整式的加减，涉及到绝对值的考点，根据题目中的运算操作，逐一分析每句话是否正确．学生要熟练掌握这个知识点，根据绝对值的特点简化运算过程． 【详解】解：，，，，，， 故不存在一种“绝对差值”不含一次项，故①错误； ， ， 结果只含常数项， ，解得， ，故②错误； 当时，原式， 当取得最小值为； 当时，原式， 当取得最小值为28；故③正确， 故正确的有1个， 故选：C． 二、填空题 11．要使多项式能运用完全平方公式进行分解因式，则整式M可以为 （写出一个符合的条件的M即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】∵， 故答案为：（答案不唯一）． 12．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据，结合条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 解得：， 故答案为： 13．已知，则 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，要对公式能够灵活变形，能够进行公式间的相互转化是解题的关键． 首先要注意看出，即：和互为倒数，同时要注意底数2与4之间的关系，即．然后把所求的式子整理为和所给等式相关的式子． 【详解】解：， ． 故答案为：． 14．若，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，运用整体代入求值法，整体代入求值法是将已知条件适当变形，然后作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法．由已知条件 可得 ，将代数式 利用平方差公式变形后整体代入求值． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ． 故答案为：． 15．如图，在大正方形内放置两个边长为的小正方形“”，且每个小正方形“”的一条边分别在大正方形的一组对边上，已知，设图中阴影部分的面积为，大正方形内空白部分的面积为，若，则一个小正方形“”的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算及合并同类项，分别表示出空白部分和阴影部分的面积以及熟练运用整式乘法的运算法则及完全平方公式是解决本题的关键．设，则，分别表示出空白部分的面积和阴影部分的面积，根据可得出，即可得答案． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即一个小正方形“”的面积为． 故答案为： 16．冬季奥运主题活动中，某班设计如图1的“红色徽章”，其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为b的小正方形面积记作，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出与面积，求面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得，，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案． 【详解】如图所示，对需要的交点标注字母： ， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 化简得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，利用面积差求阴影部分面积是解题关键． 17．设，，，，是从1，0，这三个数取值的一组数，若，，则，，，中为0的个数是 ． 【答案】20 【分析】由题意可得，则，设有个1，个0，个，则，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 设有个1，个0，个， ， ， ，，，中为0的个数是20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给是数，利用完全平方公式找到数的规律是解题的关键． 18．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了平方差公式的应用以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差， 故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且，、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故答案为：②③． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 20．运用完全平方公式计算： （1）；（2）． 【答案】（1）10404；（2）9801 【分析】（1）把原式变形为（100+2）2，然后根据完全平方公式计算即可； （2）把原式变形为（100-1）2，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键 （1）利用多项式乘多项式法则计算即可； （2）先变形，再利用平方差公式计算即可； （3）先变形利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可； （4）先变形两个因式，再利用平方差公式计算，最后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 22．先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式以及代数求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式化简，然后将m、n的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解: ∵ ∴原式． 23．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算−化简求值，原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】 ， 当，时，原式． 24．先化简再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)，11 (2)，8 【分析】（1）直接利用单项式乘多项式以及平方差公式化简，再合并同类项，把x的值代入得出答案； （2）直接利用单项式乘多项式以及平方差公式化简，再合并同类项，把已知等式变形代入得出答案． 【详解】（1）解：原式 当时，原式； （2）解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键． 25．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b．如图1，小正方形摆放在边长为的内部右上角，其未叠合部分（阴影）的面积为；如图2，若再在图1中大正方形的右下角摆放小正方形，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为；如图3，在大正方形的外部左下角摆放小正方形，形成阴影部分的面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若a＋b＝10，ab＝20，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为40 (3)的值为15 【分析】（1）根据大正方形减小正方形面积求出阴影部分面积即可； （2）根据图形列出面积的代数式，然后根据完全平方公式整理求值即可； （3）根据图形列出面积的代数式，然后根据完全平方公式整理求值即可； 【详解】（1）由图可得，，； （2）， ，， ； （3）由图可得，， ， ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 26．如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片，每种卡片各有30张．其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中．现在从这些卡片中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张）无缝隙、无重叠的拼成一个长方形． (1)若取出型卡片__________张、型卡片__________张、型卡片__________张，可以拼成一个长为、宽为的长方形； (2)若取出型卡片1张、型卡片6张，请先判断需要抽取几张型卡片才能拼成长方形，再画出相应的长方形； (3)若将选取的卡片拼成一个正方形： ①若一共选取50张卡片，能否拼成一个正方形？请说明理由． ②若，请用含的代数式表示能拼成的正方形面积的最大值．请直接写出答案，不必说明理由． 【答案】(1)2，5，2 (2)5，图见解析 (3)①不存在这样的，不能拼成一个正方形，理由见解析；② 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积的综合应用，解题的关键是利用多项式乘法法则求出图形面积，进而确定卡片的数量． （1）先求出长为、宽为的长方形面积，再根据三种卡片的面积确定各自的数量； （3）先根据型和型卡片的数量求出总面积的表达式，再通过因式分解确定长方形的长和宽，从而得出型卡片的数量； （3）①设出三种卡片的数量，根据正方形面积公式和卡片总数列出方程，判断是否有正整数解；②将代入，找出能拼成正方形的最大面积． 【详解】（1）解：长方形的面积为． 型卡片面积为型卡片面积为型卡片面积为， 需要型卡片2张、型卡片5张、型卡片2张， 故答案为：2，5，2； （2）解：设需要张型卡片，面积为，则总面积为， 将其因式分解，， 需要5张型卡片， 如图所示： （3）解：①设选取张型卡片，张型卡片，张型卡片， 拼成的正方形边长为（为正整数）， 则面积为， ，且， 即， 50不是完全平方数，且为正整数， 不存在这样的，不能拼成一个正方形； ②当时： 型卡片面积为， 型卡片面积为， 型卡片面积为， 设拼成的正方形边长为（为正整数），则正方形面积为， 该面积可表示为张型卡片、张型卡片、张型卡片的面积和， 即（其中，且， 整理得， ， ， 由于，则， 则取最大为14的整数， 当时，，存在可行解如（满足且）， 能拼成的正方形面积的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $