2.5 实验：用单摆测量重力加速度 讲义-2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦“用单摆测重力加速度”核心实验，从单摆简谐运动周期公式出发，系统梳理摆长测量（游标卡尺测直径、米尺测摆线长）、周期测量（多次全振动计时）及数据处理（公式法求平均值、图像法T²-L斜率），构建从原理到操作再到误差分析的完整学习支架。 该资料突出科学探究与科学思维培养，通过规范实验步骤（如摆角控制、悬点固定）、两种数据处理方法（图像法减小误差）和详细误差分析，结合多样化例题（含游标卡尺读数、圆锥摆误差等），课中辅助教师引导学生实验操作，课后帮助学生巩固科学推理与数据处理能力，培养严谨科学态度。

实验：用单摆测重力加速度 1、实验目的 　　利用单摆测定当地的重力加速度 2、实验器材 　　铁架台（带铁夹）一个，中心有孔的金属小球一个，长约1m的细线一条，毫米刻度尺一根，游标卡尺（选用），秒表一块 3、实验原理 　　单摆在偏角很小时的振动是简谐运动，振动周期跟偏角的大小和摆球的质量无关，这时单摆的周期公式是，变换这个公式可得。因此只要测出单摆的摆长和振动周期T，即可求出当地的重力加速度g的值。 4、实验步骤 　　（1）在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大些的结，将细线穿过 球上的小孔，制成一个单摆。 　　（2）如图，将铁夹固定在铁架台的上端，铁架台放在实验桌边，使 铁夹伸到桌面以外，把做好的单摆固定在铁夹上，使摆线自由下垂。 　　　　　　　　　　　　　　 　　（3）测量单摆的摆长：用游标卡尺测出摆球直径2r，再用米尺 测出从悬点至小球上端的悬线长，则摆长。 　　（4）把单摆从平衡位置拉开一个小角度，使单摆在竖直平面内摆动，用秒表测量单摆完成全振动30至50次所用的时间，求出完成一次全振动所用的平均时间，这就是单摆的周期T。 　　（5）重复上述步骤，将每次对应的摆长、周期T填于表中，按公式算出每次g值，然后求出结果。 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的 平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 5.数据处理 （1）公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g的值，最后求出g的平均值。 （2）图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 6、注意事项 　　（1）选择材料时摆线应选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1m；小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm； 　　（2）单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象； 　　（3）摆动时控制摆线偏离竖直方向不能超过5°。； 　　（4）摆动时，要使之保持在同一个运动平面内，不要形成圆锥摆； 　　（5）计算单摆的振动次数时，应在摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球从同一方向通过最低位置时进行读数，且在数“零”的同时按下秒表， 开始计时计数。 7.误差分析 (1)测量摆长时引起的误差 ①若测量摆长时摆线拉得过紧；测量了摆线长后却误加了摆球直径等，会使测量的摆长偏大； ②若在未悬挂摆球前测量了摆长；悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动；测量了摆线长漏加了摆球半径等，使测量的摆长偏小。 (2)测量周期时引起的误差 ①由于测量全振动次数错误造成误差。 ②开始计时或停止计时时过早或过迟按下停表。 ③计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。 例题： 1．如图1所示，某实验小组进行“用单摆测量重力加速度”实验。 (1)下面两种悬挂方式中，正确的是_________（填“甲”或“乙”）。 (2)如图2，用游标卡尺测得钢球的直径_________cm。 (3)计数时，应选择小球运动过程中的最_________（填“低”或“高”）点作为计时起点。 (4)下列操作可能导致重力加速度测量偏小的是_________。 A．绳长测量偏短 B．钢球未在同一竖直面内摆动 C．误将29次全振动数成了30次 (5)改变摆长，重新测量周期，多次实验后，做出图线，如图3所示。已知图中直线斜率为，则重力加速度的表达式_________。 (6)若采用（5）的实验方案，能否不测量小球的直径？________（填“能”或“不能”），并简述原因：________。 2．某实验小组的同学们利用单摆来测量某地的重力加速度，按如图甲安装好实验仪器。 (1)该小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是（    ）； A．尽量选择质量大、体积小的摆球 B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为 C．用悬线长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏小 D．利用图甲测量重力加速度，由于摆球做圆锥摆导致测量的重力加速度偏大 (2)实验过程中测量小球直径时游标卡尺读数如图乙所示，其读数为______mm；小组同学通过改变摆线的长度，获得了多组摆长L和对应的单摆周期T的数据，作出T2−L图像如图丙所示，可测得重力加速度g=_________m/s2（π2=9.87，结果保留三位有效数字）； (3)在实验中，有三位同学作出的T2−L图线分别如图丁中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值，则相对于图线a和c，下列分析正确的是（    ） A．图线c对应的g值小于图线b对应的g值 B．图线a对应的g值大于图线b对应的g值 C．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次 D．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L 3．小李同学要测量当地的重力加速度，设计的实验装置如图甲所示，力传感器可以测量细线的拉力随时间变化的规律，测得细线长为L。 (1)实验前先用螺旋测微器测小球的直径，示数如图乙所示，则小球直径________mm； (2)让小球在竖直面内做小角度摆动，力传感器记录细线拉力随时间变化的图像如图丙所示，则小球摆动的周期________；求得当地的重力加速度________（用L、d、、表示）； (3)小王同学也用该装置测当地的重力加速度，他让小球在竖直面内做大角度摆动，力传感器测得小球摆动过程中细线上的最大拉力为、最小拉力为，小李同学又测得小球质量为m，由此求得当地的重力加速度________。 4．某同学在“用单摆测重力加速度”的实验中： (1)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的______。 A．最高点 B．最低点 C．任意位置 (2)用刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示。为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为________m；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则球的直径为________cm；单摆的摆长为________m（计算结果保留三位有效数字）。 (3)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n=1，单摆每经过标记记一次数，当数到n=60时秒表的示数如图甲所示，该单摆的周期是T=________s（结果保留三位有效数字）。 (4)测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2－L图像如图丁，造成图线不过坐标原点的原因可能是 _____； A．摆球的振幅过小 B．将摆线长计为摆长L C．将摆线长加小球直径计为摆长L D．摆球质量过大 (5)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度ΔL，再测出其振动周期T2。用该同学测出的物理量表示重力加速度为g＝________。 5．了解地球表面重力加速度的分布，对地球物理学、航空航天技术及大地测量等领域都有十分重要的意义。某实验小组的同学做“用单摆测重力加速度”的实验： (1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有（　　） A．摆线要选择细些、伸缩性尽量小些、适当长一些的 B．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始拉开摆球时，应使摆角大一些 C．为保证摆球摆动时摆长不变，应用夹子夹住摆线上端 D．拉开摆球，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔∆t即为单摆周期T (2)实验中，测量不同摆长及对应的周期，用多组实验数据做出摆长与周期平方的图像如图乙所示，则重力加速度的大小为__________m/s2（π2取9.86，结果保留三位有效数字。 (3)另一名同学不小心，每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的L-T2图像是图丙中的__________（选填“①”“②”或“③”），该同学测得的重力加速度与真实值相比__________（选填“偏大“偏小”或“不变”）。 6．(1)单摆是一种重要的理想模型。小明使用质量为m的摆球、长度为L的摆绳开展实验。用单摆测定重力加速度，组装了如图几种实验装置，最合理的装置是（　　） A． B． C． D． (2)实验中没有游标卡尺，无法测小球的直径，小明将摆绳长计为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出l-T2图像，则实验得到的l-T2图像应是如图中的__________（选填“a”，“b”或者“c”），实验测得当地重力加速度大小是_______________m/s2（保留3位有效数字）。 7．某探究小组借助手机的计时器和测角度软件来测量当地的重力加速度，实验装置如图甲所示，两根长度均为的细线系在小球的顶端，构成双线摆。请回答下列问题： (1)让双线摆垂直于纸面做小角度摆动，用手机的计时器测小球摆动的周期：小球某次摆到最低点时开始计时，并计数为1，第二次摆到最低点时计数为2，当小球第次摆到最低点时停止计时，若手机计时器测得的总时间为，则双线摆摆动的周期________。 (2)若其他操作正确，只是在测周期时，将小球摆动到最低点的次数多数了一次，则利用单摆周期公式得到的重力加速度比真实值________（选填“大”或“小”）。 (3)现利用图像处理数据，多次改变细线的两个悬点、间的距离，用手机测角度软件测出细线与竖直方向的夹角，重复实验多次，得到多组、，作图像，如图乙所示，若图像的斜率为，则当地的重力加速度________（用、、表示）。该方法________（选填“能”或“不能”）消除因未知小球重心到其顶端的距离而造成的误差。 8．某实验小组，采用单摆实验装置测定当地重力加速度的大小。实验装置如图所示：摆线上端固定于O点，下端悬挂一个质量分布均匀的小钢球，光电门传感器固定在O点正下方，用于记录摆球经过最低点时的时间间隔，从而测定单摆的周期。实验步骤如下： a．用毫米刻度尺测量摆线的长度； b．用游标卡尺测量小钢球的直径d； c．让摆球做小角度摆动（摆角小于5°），通过光电门测得单摆的周期T； d．改变摆线长度，重复上述实验，记录多组不同摆长L和对应的周期平方的数据，拟合得出的图线如图所示： (1)单摆的摆长_______（用和d表示）； (2)下列关于实验操作或原理的说法中，正确的是________； A．小球相邻两次通过光电门的时间间隔为一个周期 B．实验中摆角控制在小于5°的目的是使单摆的运动近似为简谐运动 C．多次改变摆长测量的目的是为了减小系统误差 (3)利用图线，计算当地重力加速度的值为_______（结果保留2位有效数字，取9.87）。 (4)若实验小组在实验过程中，误将摆线长度当作摆长L（未加入小钢球的半径），其他操作均正确，则根据本次实验结果计算出的重力加速度与真实值g相比________（填“偏大”“偏小”或“不变”）。 9． 在“用单摆测重力加速度”的实验中 (1)某组同学的常规操作步骤为： a、取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上； b、用米尺量得细线长度l； c、在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球； d、用秒表记录小球完成n次全振动的总时间t，得到周期； e、用公式计算重力加速度。 按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比___________（选填“偏大”、 “相同”或“偏小”）。 (2)另外一组同学用创新形式做该实验。 ①如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为____________________________s（结果保留3位有效数字）。另外利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为T=___________； ②发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度__________，小钢球重心到摆线下端的高度差__________；（结果均用k、b表示） ③用3D打印技术制作了一个圆心角小于10°、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.65m/s2。若周期测量数据无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是____________________________。 10． (1)某同学用多用电表的欧姆挡测量阻值一万多欧的电阻。 ①以下给出的是可能的操作步骤，其中S为选择开关，P为欧姆调零旋钮，把你认为正确的步骤选出来，并将其按合理的顺序填写在横线上_________（填步骤前的字母）。 A．旋转S使其尖端对准欧姆挡挡位 B．将两表笔分别连接到被测电阻的两端，读出的阻值后，断开两表笔 C．旋转S使其尖端对准欧姆挡挡位 D．将两表笔短接，调节P使指针对准刻度盘上欧姆挡的零刻度，断开两表笔 E．旋转S使其尖端对准交流电压最高挡，并拔出两表笔 ②根据图所示指针位置，此被测电阻的阻值约为_________Ω。 ③下列关于使用多用电表欧姆挡测量电阻的说法中正确的是_________。 A．测阻值不同的电阻时必须重新进行欧姆调零 B．电流从红表笔流入多用电表，从黑表笔流出 C．测电路中的电阻时，应先把该电阻与电路断开 D．若指针偏转角过小，应将选择开关S拨至倍率较小的挡位，重新调零后测量 (2)某同学利用甲图所示的单摆装置测量重力加速度的大小。 ①用图乙的游标卡尺测得小钢球的直径为_________mm。 ②改变摆长，测量出多组周期T、摆长L数值后，画出图丙所示的图像，测得的重力加速度大小________（用图丙中的字母M、N及表示）。 ③该同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度，造成这一情况可能的原因是_________（填选项前的字母）。 A．开始摆动时振幅较小 B．测量周期时，误将摆球59次全振动的时间记为60次 C．开始计时时，过早按下停表 D．测量摆长时，以悬点到小球上端边缘的距离为摆长 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)甲 (2)1.06 (3)低 (4)A (5) (6) 能 小球直径不影响图线的斜率 【详解】（1）单摆实验要求摆长在摆动过程中保持不变。甲图中细线用夹子夹住，摆动时不容易滑动导致摆长变化；乙图中细线缠绕在横杆上，摆动时摆长会发生改变，故甲正确。 （2）游标卡尺主尺读数为 ，游标尺为 10 分度，第6条刻度线与主尺刻度线对齐，读数为 （3）小球在最低点时速度最大，经过该位置的时间极短，人眼对位置的判断误差对时间测量的影响最小，故应选择最低点作为计时起点。 （4）根据 可知 A．若绳长测量偏短，则的测量值偏小，导致 的测量值偏小，A 正确； B．钢球未在同一竖直面内摆动形成圆锥摆，根据 可知周期变小，导致 测量值偏大，B 错误； C．误将 29 次全振动数成 30 次，周期 测量值偏小，导致 测量值偏大，C 错误。 故选A。 （5）由单摆周期公式 可得 则 解得 （6）[1][2]设摆线长为，小球直径为，则实际摆长 代入周期公式得 由此可知 图线为线性关系，其斜率 仅通过斜率即可求出，与截距无关，故能不测量小球直径。 2．(1)AD (2) 22.6 9.87 (3)C 【详解】（1）[1]A．尽量选择质量大、体积小的摆球，以减小阻力的影响，故A正确； B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为，故B错误； C．根据，可得 用悬线长度加摆球的直径作为摆长，则摆长偏大，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大，故C错误； D．利用图甲测量重力加速度，由于摆球做圆锥摆则根据 解得 则测得的周期值偏小，根据可知导致测量的重力加速度偏大，故D正确。 故选AD。 （2）[1]实验过程中测量小球直径时游标卡尺读数为22mm+0.1mm×6=22.6mm [2]小组同学通过改变摆线的长度，获得了多组摆长L和对应的单摆周期T的数据，作出T2−L图像如图丙所示，根据 可得 则重力加速度 （3）AB．根据，可得 T2−L图像的斜率，由图所示图像可知，对图线a与图线b的斜率相同，所以图线a对应的g值等于图线b对应的g值，图线c对应的g值大于图线b对应的g值，故AB错误； C．如果实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率k偏小，故出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次，故C正确； D．由图所示图像可知，对图线a，当L为零时，T不为零，所测摆长偏小，可能是把细线长度作为摆长L，也可能是把悬点到摆球上端的距离作为摆长，故D错误。 故选C。 3．(1)5.980 (2) (3) 【详解】（1）小球的直径 （2）[1]小球摆动的周期 [2]根据单摆周期公式 得到当地的重力加速度 （3）设小球摆动时的摆角为，摆长为l，根据牛顿第二定律有， 根据机械能守恒有 解得 即当地的重力加速度 4．(1)B (2) 0.9900 2.075 1.00 (3)2.29 (4)B (5) 【详解】（1）小球经过最高点速度小，测量误差大，所以该标记应该放置在摆球摆动的最低点。此位置速度大，测量误差小。 故选B。 （2）[1]最小分度值为0.1cm，所以单摆的摆线长为 [2]游标卡尺示数为 [3]单摆的摆长为 （3）由题图可知，停表示数为 单摆的周期 （4）题图图线不通过坐标原点，将图线向右平移1cm就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小1cm，可能是测摆长时漏掉了摆球的半径。 故选B。 （5）根据题意，由单摆周期公式 可得， 联立可得 5．(1)AC (2)9.86 (3) ③ 不变 【详解】（1）A．为了减小实验误差和摆线对实验的影响，摆线选择细些、伸缩性尽量小些、适当长一些的，故A正确； B．可以通过适当增加摆长来增大单摆的周期，但摆角不能过大，不能超过5°，故B错误； C．为保证摆球摆动时摆长不变，应用夹子夹住摆线上端，故C正确； D．在摆球摆动至平衡位置时开始计时，且记录摆球摆动若干次全振动的总时间，再计算单摆的周期，以减小实验误差，故D错误。 故选AC。 （2）根据单摆周期公式 可得 从图像中可知斜率 解得 （3）[1]根据单摆的周期公式可得 所以 即L-T2图像纵轴截距为正，图像为③； [2]图像斜率仍为，对重力加速度的测量无影响。 6．(1)B (2) a 9.87 【详解】（1）该实验中，摆长要固定，需用铁夹固定上端，选用细绳保证摆长不变，同时选用质量大，体积小的小球。 故选B。 （2）[1]设小球半径为r，由单摆周期公式 所以 则实验得到的l-T2图像应是如图中的a； [2]结合图像可得 解得 7．(1) (2)大 (3) 能 【详解】（1）从第1次摆到最低点到第次摆到最低点，共存在个时间间隔；小球摆动一个周期会两次经过最低点，因此相邻两次经过最低点的时间间隔为，可得总时间满足： ，整理得周期 。 （2）若多数了一次，计算得到的偏大，得出的周期偏小。根据单摆周期公式变形得，偏小会使计算出的重力加速度比真实值大。 （3）[1]设小球重心到小球顶端的距离为，可得双线摆的等效摆长 代入单摆周期公式 两边平方得： 因此图像的斜率，整理得。 [2]由推导可知，重心距离只影响图像的截距，不影响斜率，重力加速度的值与无关，因此该方法能消除未知重心距离带来的误差。 8．(1) (2)B (3)9.9 (4)不变 【详解】（1）单摆摆长定义为悬点到小球重心的距离。已知摆线长度为，小球直径为d，小球重心在球心，则小球半径为。因此，摆长公式为 （2）A．根据小球运动特征，小球相邻两次通过光电门的时间间隔为半个周期，A错误； B．摆角小于5°时，单摆回复力近似满足，运动视为简谐运动，B正确； C．多次改变摆长测量周期，目的是通过多次实验减小偶然误差，C错误。 故选B。 （3）根据单摆周期公式 变形得 图像的斜率 解得 （4）误将摆线长度当作摆长L，则有 可得 图线斜率不变，则根据本次实验结果计算出的重力加速度与真实值g相比不变。 9．(1)偏小 (2) 1.31 存在阻力，且小球不是纯平动而有滚动，导致实际测出的周期大于理想情况下的周期，导致g的测量值小于真实值 【详解】（1）用公式计算重力加速度时，摆长L用细线长度l计算时，摆长带入数值偏小，则得出的重力加速度值与实际值相比偏小。 （2）①[1]根据图2可知单摆的周期为 [2]单摆的周期为 ②[3][4]根据，可得 可知，可得 当l=0时，则有T2=b，解得h=kb。 ③[5]获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是小球运动过程中存在阻力，且小球不是纯平动而有滚动，导致实际测出的周期大于理想情况下的周期，导致g的测量值小于真实值。 10．(1) ADBE BC (2) 20.2 B 【详解】（1）[1]由于待测电阻的阻值为一万多欧，为使指针位置接近表盘中央，应先将旋转S使其尖端对准欧姆挡×1k挡位，再将红黑表笔短接进行欧姆调零（调节P使指针指向欧姆的零刻度），调零完成后连接待测电阻进行测量，测量结束后应将S调整到“OFF”挡或交流电压最高挡并拔出表笔。 所以选出正确步骤并排序为ADBE。 [2]此被测电阻的阻值约为。 [3] A．测阻值不同的电阻时若不换倍率则不需要重新进行欧姆调零，故A错误； B．红表笔连接“+”插孔，黑表笔“-”插孔，故电流从红表笔流入多用电表，从黑表笔流出，故B正确； C．根据欧姆表测电阻的原理可知，测电路中的电阻时，应先把该电阻与电路断开，故C正确； D．若指针偏转角过小，说明待测电阻为大电阻，应将选择开关S拨至倍率较大的挡位，重新调零后测量，故D错误。 故选BC。 （2）[1]由图乙可知，小钢球的直径为。 [2]由，得 则图像的斜率 由图丙可知，图像的斜率 可得 [3] A．振幅越小，单摆的振动越接近简谐运动，故振幅较小不会对重力加速度的测量造成系统误差，故A不符合题意； B．测量周期时，误将摆球59次全振动的时间记为60次，根据 可知，周期的测量值偏小，根据，得 故重力加速度的测量值偏大，故B符合题意； C．开始计时时，过早按下停表，会导致周期的测量值偏大，根据可知，重力加速度的测量值偏小，故C不符合题意； D．测量摆长时，以悬点到小球上端边缘的距离为摆长，会导致摆长的测量值偏小，根据可知，重力加速度的测量值偏小，故D不符合题意。 故选B。 $