8.5一元二次方程的根与系数的关系 同步自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）八年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册《8.5一元二次方程的根与系数的关系》同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若方程的两根分别为，，则（　　） A． B． C． D． 2．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C．5 D．2 3．若方程与方程的解相同，则p、q的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知和是方程的两个解，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．在解关于x的一元二次方程时，佳佳将二次项系数“”看成了“1”，得到方程有两个相等的实数根，则原方程的两根之积为（   ） A． B．1 C． D．2 6．已知等腰三角形的一条边长为3，另外两条边的长是方程的根，则该三角形的周长为（   ） A．11 B．13 C．11或13 D．11或12 7．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 8．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“双倍方程”，以下关于双倍方程的说法，正确的是（    ） ①方程是双倍方程； ②若是双倍方程，则； ③若、满足，则关于的方程是双倍方程； ④若关于的方程（）是双倍方程，则． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 二、填空题（满分24分） 9．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 10．若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为______． 11．设，是方程的两个根，则________． 12．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________． 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 14．若一元二次方程的两个实数根分别是、，则关于的一次函数的图像一定不经过________象限． 15．等腰的一边长为，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则的值是______． 16．若平行四边形的底和其对应的高分别是一元二次方程的两个根，则该平行四边形的面积为________． 三、解答题（满分72分） 17．已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 18．关于的一元二次方程，设，是此方程的两个根． (1)若，求的值； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 19．已知关于x的方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为 、 ，且 ，求m 的值 21．关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 22．规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程． (1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）； ①；②；③；④ (2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根； (3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由． 23．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_____________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，直接写出一元二次方程的两根为_____________． 参考答案 1．解：∵对于一元二次方程， 若方程两根为，， 则 ，， 本题方程为 ，可得 ，，， ∴ ，， ∴ . 2．解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 3．解：解方程可得：， ∵方程与方程的解相同， ∴方程的解为， 根据根与系数的关系可得：，， ∴， ．     故选 C． 4．解：∵a是方程的解， ∴ ∴ ∵a和b是方程的两个解 ∴， ∴ ， 故选：D． 5．解：∵佳佳将二次项系数“”看成“”，得到方程，且该方程有两个相等实数根， ∴判别式， 即，解得， 将代入原方程，得， 设原方程的两根分别为， ∴两根之积． 6．解：设另外两边为和，由一元二次方程及根与系数的关系可知：， ∴该等腰三角形的周长为， 当该等腰三角形的腰长为3时，则，当底边长为3时，则腰长为，均符合三角形三边关系， ∴该等腰三角形的周长为11； 故选A． 7．解：设菱形的两条对角线长分别为、， ∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∵菱形的面积为，且菱形面积对角线乘积， ∴， ∴， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴菱形的边长 ， 又∵， 将，代入得， ， ∴菱形的边长． 故选B． 8．解：①解方程， ， 或， ，，即， ∴方程是双倍方程，故①正确； ②若是双倍方程，其根为，， 当时，，得， 当时，，得， ∴不一定只有，故②错误； ③∵，方程， ∴，， ∵， ∴，则， ∴该方程是双倍方程，故③正确； ④设方程的两根为和， 分两种情况： 情况一：， 由求根公式得： ， 两边同乘得：， 移项整理得：， 两边平方：， 展开得：， 整理得：； 情况二：， 同理可得： 整理得：， 平方后同样得：， ∴若方程是双倍方程，则，故④正确． 综上，正确的是①③④， 故选：D． 9．解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 10．解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m、n是，即的两个根， 根据根与系数的关系，得，， ∴ ， 故答案为：6． 11．解：∵是方程的根， ∴， 因此． 同理，也是方程的根， ∴． 因此． 于是，． 故答案为：． 12．解：∵关于的一元二次方程有两个实数根． ∴． 解得 ． 由根与系数的关系可得：，． 将其代入得： ． 解得 ． ∴的取值范围为． 13．解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和， ∴， ∵， ∴， 即可得出：，， ∵整数，是正整数， ∴或， 根据题意可知：， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 综上：或． 故答案为：或． 14．解：方程的两个实数根为和， 由根与系数的关系， 得，， 则一次函数为， 即， ∵，， ∴函数图像经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限， 故答案为：第三． 15．解：设等腰的腰长为a，底边长为b， 当，则4和b是关于x的方程的两个实数根， ∴ ∴； 此时且，符合题意； 当，则a和a是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 此时且，符合题意； 故答案为：或． 16．解：设平行四边形的底为，对应的高为， ∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∴该平行四边形的面积为． 17．解：设方程的另一个根为， 在方程中，，， 两根之和， ∴． ∴． 18．（1）解：∵是方程的根， ， ， 解得； （2）解： ， 即， ， 方程有一个根不小于5， ， ． 的取值范围是． 19．（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，，． ， 解得； （2）解：∵方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵ ， 解得， ， ． 20．（1）解：由 得 ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴，即 解得 21．（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴． 解得：． （2）解：∵， ∴的最小整数值为2．   把代入方程，得 ，    ． （3）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴ ， 根据勾股定理得， ∴， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴的周长为． 22．解：（1）①，，，，，，，故①是“等差”二次方程； ②，，，，，，，故②不是“等差”二次方程； ③，，，，，，，故③是“等差”二次方程； ④，a，b，c，，，，故④不是“等差”二次方程． 综上，符合条件的有①③； （2）当时，代入原方程得：， ∵由得， ∴将代入得：， ∴， ∵根据韦达定理，， ∴， ∴； （3）∵，是“等差”二次方程的两个根， ∴根据韦达定理，，， ∵由得，即， ∴， ∴，即， 整理得， ∴． 23．（1）解：设所求方程的根是，则，所以， 把代入，得， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根是，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）解：由（2）可知，对方程两边同时除以， 得， 则方程的两根是两根的倒数， 所以方程的两根分别是、， 故答案为：、． 学科网（北京）股份有限公司 $