8.5一元二次方程的根与系数的关系 同步自主提升训练题 2024-2025学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

2024-2025学年鲁教版（五四学制）八年级数学下册《8.5一元二次方程的根与系数的关系》同步自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．关于一元二次方程的根的说法，正确的是（   ） A．有两个相等实数根 B．没有实数根 C．两根之和为 D．两根之积为 2．已知是方程的一个根，则这个方程的另一个根是（    ） A． B．2 C． D．4 3．若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．若方程的两个实数根为，，则的值为（   ） A．12 B．10 C．4 D． 5．若直角三角形的两直角边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（   ） A．1或5 B．1或 C． D．5 7．关于的方程有两个实数根为，，若，则为（   ） A．或 B．或 C． D． 8．若菱形的对角线，的长分别为关于的一元二次方程的两个根，且，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 二、填空题 9．写出一个两根都是正数的一元二次方程 ． 10．一元二次方程的两个根分别为．若，则 ． 11．已知关于的方程的两根为和，则 ． 12．已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 13．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则 ． 14．设一元二次方程的两根分别是，，则 ． 15．关于的方程的两实数根互为倒数，则两根之和为 ． 16．若一个矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个实数根，则这个矩形的一条对角线的长是 ． 三、解答题 17．设，是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值： (1) (2) 18．关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求的值． 19．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 20．已知：的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5．k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值时，该方程总有两个实数根； (2)若的两条直角边恰好是该方程的两个实数根，且斜边长的长为，求的值． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为、，且满足，求实数m的值． （参考结论：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，） 23．阅读材料 材料1．关于x的一元二次方程的两个根为和系数a，b，c有如下关系： ； 材料2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：m，n是一元二次方程的两个实数根， ． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，则_______，_______； (2)一元二次方程的两个根为m，n，则的值； (3)已知实数s，t满足且，求的值； 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B A B C D C 1．解：由题意可知：， ∴方程没有实数根，则不存在两根之和，两根之积， 故选：B． 2．解：设设方程的另一个根为，由题意，得：； ∴； 故选A． 3．解：由题意得，， ∴， 故选：B． 4．解：方程的两个实数根为， ，， ； 故选：A． 5．解：设是方程的两根， 由根和系数的关系得，， ∴该直角三角形的面积是， 故选：． 6．解：∵，是方程的两实根， ∴，， ， ∴，解得：， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； 故选：C． 7．解：关于的方程有两个实数根为，， ，， ，即， ， 解得：， 关于的方程有两个实数根， ， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ． 故选：D． 8．解：菱形的两条对角线的长分别是关于x的方程的两根， ， ∵菱形的面积为， ∴， ∴， 解得：． 故选：C． 9．解：依题意，写出一个两根都是正数的一元二次方程可以是 ，原方程有两个不等式实根，且，，则两根都是正数， 故答案为：（答案不唯一）． 10．解：根据题意得， ∴ 所以 ． 故答案为． 11．解：∵方程的两根为和， ∴， ∴， 故答案为：1． 12．解：∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．解：∵关于x的一元二次方程方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 经检验当时，符合题意， 故答案为：． 14．解：一元二次方程的两根分别是，， ，， ， ． 故答案为：3． 15．解：设的两个根为， 则：， ∵关于的方程的两实数根互为倒数， ∴， ∴， 当时，，此方程无解，不符合题意； 当时，， ∴； 故答案为：． 16．解：一个矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个实数根，设矩形的长和宽分别为a、b， 则， 所以矩形的对角线长=， 故答案为：． 17．解：（1）∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴ ； （2） ． 18．（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：设此方程的两个根分别为， 则，， ∵， ∴， 解得或， ∴满足条件的m值为2或． 19．解：（1）关于的一元二次方程有实数根 即，解得：； （2）方程的两个实数根分别为 ，． 整理得： 解得：， 又， 20．解：分两种情况： ①当时，， ， 解得不存在； ②当时，即， ， 解得或， ③当时，同理求得或； 则的周长为：或． 综上所述，当或4时，是等腰三角形．其相应的的周长是14或16． 21．（1）证明：∵ ∴不论取何值时，方程总有两个实数根 （2）解：由题意，用分别表示方程的两个根，即三角形的两直角边的长，则有 ， 又∵斜边长 根据勾股定理 ∴ ∴ 即 或 ∵为两个正根 ∴舍去 ∴ 22．解：（1）根据题意得， 解得； （2）根据题意，， 因为， 所以，即， 所以， 整理得， 解得，，而； 所以． 23．（1）解：一元二次方程的两个根为， 则，； （2）解：由题意得， ． （3）解：实数s，t满足，且， s，t可看作是一元二次方程的两个数根． ． ， ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$