特训12 砺剑·进阶提升三-【创新教程·微点特训】2026年考前复盘高考数学冲刺

数学 特训12砺剑·进阶提升三 (时间：120分钟满分：150分)》 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1若昌 =1+2i(i为虚数单位)，则|x一1|= A.2√2 B.√10 C.5 D.√2 整 2.已知集合A={xx2-6x+8<0}集合B={xlog2(x+1)>1},则CA= A.[1,2]U[3,+o∞) B.(-2,-1)U[4,+o∞) C.(1,2]U[4,+∞) D.(1,2)U(4,+∞) 3.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且x>0时，f(x)=-x2+ax十5-a,则“f(x)在 郑 [一2,2]上单调递增”的充要条件是 A.a≥-5 B.-5≤a≤4 C.a≥4 D.4≤a≤5 4.有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天.若每天从5人中任选2人参加服 务，则恰有1人连续参加两天社区服务的概率为 ( A号 B子 c n号 识 5.函数f(x)=sin 2x-号+90<g<)是R上的偶函数，则g= 和 A.0 B.3 c D 6.已知点A是函数f(x)=x2-lnx十2图象上的点，点B是直线y=x上的点，则|AB的 最小值为 ) A.2 B.2 c 6 D.3 1 ,如图，已知双曲线C:名一1(a>0,b>0)的两焦点分别为F,E过右焦点E,作直线 阳 a 1交双曲线右支于A,B两点，且AB=3AF,若∠FAB=5,则双曲线C的离心率为 A. B. c号 8.在纯角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3,b=7且最大角B<,则c的 3 取值范围是 ) A.(4,2√10) B.(4,7) C.(5,7) D.(5,2√/10) ·49· 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列说法正确的是 () A.一组数5,7,9,11,3,13,15的第60百分位数是11 B.若随机变量5，n满足7=3-2，D()=3,则D(7)=9 C.一组数据(xy:)(1≤i≤15，i∈N)的经验回归方程为y=3x十2，若x=2,则y=8 D.某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生 会，记选取的男生人数为X,则X服从超几何分布 10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x十2)=一f(x),当0≤x≤1时，f(x) =tan牙x,则下列结论正确的是 () A.f(x)的图象关于直线x=1对称 .) C.f(x)在区间[2023,2025]上单调递增 T0,201时，方程x=肠所有解形剂 1.已知椭圆C:号十号-1的左、右焦点分别为F,F,点P在C上，圆0：x+y2=4,则下 列说法正确的是 () A.若∠F,PF2=90°，则△FPF2的面积为2 B.若∠FPF2=90°，则直线PF2被圆O截得弦长为2√3 C.若△F,PF。为等腰三角形，则满足条件的点P有2个 D.若P为C与x轴正半轴的交点，MN为圆O的直径(M在第一象限)，PN的中点为 R,ku=一km(表示斜率)，则点R的横坐标为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，00000oo· 其甲壳上有此图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以 五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之 8 和皆为15.如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳 必 数之和等于15的概率是 13.在菱形ABCD中，E为边AD的中点，若AB·AC=2,则BE·AC= 14.如图所示，四边形A'B'C'D是边长为2的正方形ABCD在平面a上 的投影（光线AA',BB',CC,DD'互相平行），光线AA'与平面α所成 角为60°，转动正方形ABCD,在转动过程中保持BC∥平面α且 BC⊥AA',若平面ABCD与平面a所成角为0，且BB=2cos0,则多a 面体ABCD-A'B'C'D的体积的最大值为 ·50· 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.13分)已知函数fx)=sim(x+go>0.g≤圆C:-号)+y-是 (1)若f(x)两条相邻的对称轴与C相切，求w,9; (2)若9=受，x,(i=1,2,…)是f(x)的极值点，且点(x,0)i=1,2,…)有且仅有两个在 C的内部，求ω的取值范围. 16.(15分)已知Sn、Tn分别是等差数列{am}和等比数列{bn}的前n项和，S=15,bb4=64, a2=b1,S3=T2. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若{bn}为递增数列，cn=a,bn,求数列{cn}的前n项和A. 17.(15分)如图①所示，在Rt△ABC中，C=90°，A=30°，BC=2,E为AC中点.过点E作 EF⊥AB,垂足为F.再将△AEF沿EF翻折至△PEF的位置，如图②所示，连接PB, PC,过点P作PGLBF,垂足为G,且GF= (1)若平面PEG∩平面PBC=l,求证：BC∥l; (2)求二面角E-PBC-B的正弦值， 图① 图② ·51· 18.(17分)2025年9月19日~21日，第10届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行，自 2025年9月1日起，某市市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含 量抽样检验，规定：在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于55%为优级品，固形物含量低 于55%且不低于50%为一级品，固形物含量低于50%为二级品或不合格品. (1)现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品： ()若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下， 第2次抽到一级品的概率； (ⅱ)对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的品级时终 止检验，记检验次数为X,求随机变量X的分布列与期望. (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为(0<p<1),且各件产品是否为优级品 相互独立，若在10次独立重复抽检中，至少有8次抽到优级品的概率不小于7×0.75， 求的最小值 19.(17分)二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来 表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.记十进制下 的自然数m在二进制下的表示为(aa-1…a1ao)则m=a,·2,其中a,∈{0，l},若 a6十ag-1十…十a1十a=3,则称m为“Z20数”.记f(n)表集合{n十1，n十2，…，2n}中 “Z20数”的个数. (1)计算f(3),f(4); (2)求f(2”+2)(n≥2，n∈N"); (3)求证：Hs∈N“,了n∈N”,有f(n)=s,并求出使得n的取值唯一的所有s. ·52·特训12 1.B[由号1+2i,可得-1=(1十21-iD=3+i 所以之-1=√32+1严=10.] 2.C[A={xx2-6.x十8<0}={x2<x<4},B={x log2(x+1)>1}={xx>1,∴.CA=(1,2]U[4, 十0∞).] 3.D[因为f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0,且 x>0,f(x)=-x十a.x十5-a,若f(x在[-2,2]上单 5-a≥0， 调递增，则 号≥2. 解得4≤a≤5，故“f(x)在[-2， 2]上单调递增”的充要条件是“4≤a≤5”.] 4.A[不妨记5名志愿者为a,b,c,d,e,假设a连续参加 了两天社区服务，再从剩余的4人中抽取2人分别参加 星期六、星期日的社区服务，有A=12(种)情况，同理， b,c,d,e连续参加两天社区服务，也各有12种方法，所 以恰有1人连续参加两天社区服务有5×12=60（种）情 况.总的情况数为CC=100.故恰有1人连续参加两天 社区限务的概牵为品会】] 5.D[f)=sin(2x-号+9）0<g<π)是R上的偶函 数，即关于x=0对称，则f(0)=士1， 则sin(-十9）=±1，则-号十9=(2k+1),k∈z, 解得g=kx十爱，(k∈Z).0<p<,则g=要] 6.A[当与直线y=x平行的直线与f(x)的图象相切时， 切点到直线y=x的距离AB最小， 令f(x)=2x-1=1, 解得=1或=2（合去） 又f(1)=3,所以切点(1,3)到直线y=x的距离即为 AB的最小值， AB min 1-3L=瓦.] 1+1 7.D[令AF2=t,由AB=3AF2,得AB=3t,BF2= 2t,由双曲线定义得|AF-AF2|=2a,|BF1 |BF2|=2a,则|AF1=t十2a,BF|=2t+2a.在 △ABF中，∠FAB=号，由余弦定理可得AF十 |AB2-2AF·AB·cos∠FAB=BF112,则(t+ 2a)+(3)-2(t+2a)·3c0s号=(21+2a),整理得 3对-10a=0,解得=90或t=0(合去)，所以AP= ·85 1什2a与，A=1号设双由线C的焦距为2，在 △AFF2中，由余弦定理得AF2十AFP-2AF|· IAF,∠RAB=FRR,得(5a)+(a)-2· 。·aams吾=(a只，整见将g,=4,对离心率e 8D[由题意可知：受<B<号，则-合< cosB<0,由余弦定理可得cosB= 正+-99=0，对号 2ac 2X3c 0 <40<0,解得5<<2而，所以c的 6c 取值范围是(5,2√10).] 9.ACD[对于A:数据组为5,7,9,11,3,13,15，排序后为 3,5,7,9,11,13,15. 因为7×0.6=4.2，所以第60百分位数为第5个位置的 数，对应数值11，因此选项A正确： 对于B: 随机变量7=3-2，已知D()=3, 所以D(7)=3XD()=9X3=27,所以选项B错误； 对于C: 经验回归方程y=3x十2必经过样本均值点（工，y), 当x=2时，代入方程得y=3X2十2=8，选项C正确； 对于D: 从12名候选人(7男5女)中不放回地抽取5人，男生人 数X服从超几何分布H(12,7,5),选项D正确.] 10.AC[由f(x十2)=-f(x)=f(-x)知，f(x)的图象 关于直线x=1对称，故A正确：f(告)=∫（号） 1am吾9，故B错误：寺品戴fx)在[0,1门上单调道 增，且f(0)=0,所以f(x)在[一1,1]上单调递增，由 f(x十4)=-f(x十2)=f(x)知，f(x)是周期为4的函 数，所以f(x)在区间[2023,2025]上单调递增，故C正 确：由)的用泉关于直线=1对称（号）写。 、且f(2)在[-1,1]上单调递增知，方程f(x)二在 [一1，]上有一款为号秀结合对称性可得)=号 在[1.3]上有一根为告，则在一个调期内fx)=号有 两根，故f)-在[0,201门上所有根的和为2X1十 5+9+.+201)-(202-号)=10100号，故D 错误.] 11.ABD[a=2,b=√2，c=√2，记PF2|=t,则|PF1= 4-t,因为PF1⊥PF2,所以(-t十4)2十t=8,解得t= 2,所以△F,PE,的面积为2PEPF,=号×2X2 =2,故A正确； 若∠FPF,=90°，则PF,=DF1=2,所以P(0, √2)，F,(√2,0)，所以直线PF2的方程为二十兰=1，即 x十y-√2=0，故圆O:x2十y=4的圆心到直线PF, 距离d==1,所以直线PF,技圆0我得的孩长为 √2 2√/4-d=2√4-1=2√3，故B正确； 由椭圆的性质可知a一c≤|F,P|≤a十c,即2一√2≤ F,P≤2十√2，若△FPF2是以P为顶点的等腰三角 形，则点P位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点 P有2个；若△FPF2是以F1为顶点的等腰三角形， 则FP=FF2=2√2，则满足条件的点P有2个： 同理，若△FPF2是以F,为顶点的等腰三角形，满足 条件的点P有2个，故使得△FPF。为等腰三角形的 点P共6个，故C错误； 设P(2,0),M(x1,y1),N(-x1,-y1), 个学子到品-”道 2 2 产之调为侧一所以一台所以点R的横 坐标为43上，故D正确] 2-3 12.解析：从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法， 其中满足题意的取法有两种：4,6和2,8， 所以能使这两数与居中阳数之和等于15的概率p= 2 答案：号 13.解析：方法-：BE.AC =(AE-AB)·AC =(2Ai-A方)·AC -7AD.AC-AB.AC. ·86 :AB·AC=2,且由对称性易知AD,AC=AB·AC =2配.AC=吉a亦.A花-A店.4C=支×2-2 =-1. 方法二：设AB,BE在AC上的投影向量分别为a,B,易知 B=-a,由数量积的几何意义可知，AB,AC=a· AC-2脏.A6-.ac=-合a·aC=子×2 =-1. 答案：-1 14.解析：因为BC⊥AA',BC⊥AB,AB∩AA'=A,AB, AA'C平面ABBA',所以BC⊥平面ABBA',因为BC∥平 面a,BCC平面BCCB',且平面BCCB'∩平面a=B'C', 所以BC∥BC',又因为BB∥CC,所以四边形BCCB 为平行四边形，所以BC=B'C',同理可得，AD∥A'D', 且AD=A'D',又因为AD∥BC,且AD=BC, 所以多面体ABBA'-DCCD'为直四棱柱. 如图，作BM∥A'B'交AA'于点M,AB'C平面ABC'D', BM过平面A'B'C'D',则BM∥平面A'B'C'D',因为BC∥ 平面A'B'C'D',且BC∩BM=B,BC,BMC平面BCM, 所以平面BCM∥平面A'BC'D',又因为BC⊥平面 ABBA',所以设∠ABM=0,作AN⊥A'B'交A'B′于点 N,所以BC⊥AN,即B'C⊥AN,又A'B'∩B'C'=B, A'B,BC'C平面A'B'CD',所以AN⊥平面 A'B'CD',所以∠AA'N就是直线AA'与平面a所成 角，即∠AA'N=60°，所以∠AMB=∠AA'N=60°，在 △ABM中，由正弦定理得，AM=兰sin9,BM √3 =4sin(0+60)=2cos9+2sin0,点B到直线AA'的 √3 距离为d=BM·sin60°=√5cos0十sin9,所以多面体 ABB'A'-DCC'D'的体积V=2(AA'+BB')XdX BC =43cos 0+4cos 0sin 0+4sin Ocos 0sin'0 =43cos 0-+8cos Osin 0+4sin'0 3 =46x专1+os2》+4n29+看×号1-co20 84sin 204 cos √3 3c0s20 是+房n(9+晋）5， 当且仅当日=石时取等号. D' B 答案，16⑤ 3 15.解：(1)由题知，f(x)相邻对称轴间的距离为π 又国C的直径为3，则恶=3，得如=哥， 又国心C(侵，0）所以fx)的一条对称轴为x=2, ∴2X十9=受十k,得9=一十，k∈Z 又9≤受g=- (2)若9=受，则fx)的极值点满足uz十受=受十k, kEZ,得x=r,k∈Z,又圆C与x轴交点分别为(-1， 0),(2,0),所以原题设等价于有且仅有2个k的值满足 -1<r(k∈Z), 整理得一只<<兴，故k能且仅能取0,1两个值，所 以1<织≤2，解得e(受，] 16.解：1)因数列{a,为等差数列，则S=(a1十a)X5 2 =5a3=15,解得a3=3, 同理可得S=3a2, 因S:=T2,则3a2=b1十b2,又a2=b1,得b2=2b1, 因数列{bn}为等比数列，则b,b=b2=64, 解得b,=士8， 若b2=8,则b1=2,b,=4,a2=2,公比为2，公差为1； 若b3=-8,则b1=-2,b2=-4,a2=-2,公比为2，公 差为5， 则an=n,bn=2”或an=5n-12,bn=-2" (2)因{bn}为递增数列，则an=n,bn=2”, 则cn=n·2”, 则A,=1×2+2×2+3×23+…十n·2”, 2An=1X22+2×23十3X21+…十n·2m+1, ·87 两式相减得，An=n·2+1-2-22-23-…一2” =n·2m+1 2-2+1 1-2 =n·2"+1十2-2+1=(n-1)·2m+1+2. 17.解：(1)证明：在题图①中BC=2,∠BAC=30°，所以AB =4,AC=2√3， 因为E为AC的中点，EF⊥AB,所以AE=√5， 因为FG=合，所以点G在题图①中AB的中点位置， 所以EG∥BC, 在题图②中，因为EGC平面PEG,BC丈平面PEG, 所以BC∥平面PEG, 因为BCC平面PBC,平面PEG∩平面PBC=L,所以 BC∥L. (2)在题图②中，因为EF⊥PF,EF⊥BF, PF∩BF=F,PF,BFC平面PBF, 所以EF⊥平面PBF, 又EFC平面EFBC,所以平面PFB⊥平面EFBC, 因为平面PFB∩平面EFBC=FB,PG⊥FB,PGC平 面PFB,所以PG⊥平面EFBC 由(1)知AF= ，即PF=，又GF=, 所以G√()-()=E, 过，点G在平面GECB内作Gy⊥EG, 以G为坐标原点，GE,Gy,GP所在直线分别为x,y,之 轴建立如图所示的空间直角坐标系， B 则P(0,0√2)，E(1,0,0),C(1,W5,0),B(-1√5,0)， 所以PC=(1,N5,-√2)，EC=(0W5,0), BP=(1,-√5，N2) 设平面PEC的法向量为n1=(x,y,z), m·PC=x十√3y-√2x=0, 则 m.E元=5y=0, 令x=2,解得x=√2， 所以n1=(2,0,W2). 设平面PBC的法向量为n2=(m,n,a), (n2·PC=m+√3n-√2a=0, (n,·BP=m-√3n+√2a=0, 令n=√2，解得a=√3，所以n2=(0,√2√3)， n1·ng 6 所以c0smn:》=n·m-6·后万 所以sinn,m》=2y5 51 所以二面角EPCB的正孩值为25 5 18.解：(1)(i)设第1次抽到优级品为事件A,第2次抽到 一级品为事件B, 1×4 则P(BA)= P(AB)35 4 P(A) 5 3 故所求的概率为导 (ⅱ)根据题意可知X的取值可能为2,3,4,5. 则P(X=2)= P(X-3)-CiCA_2 A_1 A 15 P(X=4)= A+CCA4 A -151 P(X=5)= CCA+CCA As 15 则X的分布列为 2 3 4 5 1 8 15 15 15 15 所以E(X)=2× +3× 2 64 (2)设在10次抽检中至少有8次抽到优级品的概率为 f(p), 则f(p)=Cp8(1-)2十C。p(1-p)十力°=45p(1 -p)2+10p°(1-p)十p°=p(36p2-80p十45)，其中 0<p<1, 因为f()=360p(p-1)2>0,所以f(p)在(0,1)上 单调递增。 注意到f(子)=7X(得)），所以p≥子故。的最小 值为子 19.解：(1)由题知，f(3)表示集合{4,5,6}中“Z20数”的个 数，f(4)表示集合{5,6,7,8}中“Z20数”的个数， 由于4=1×22+0×2+0×2°，1十0+0=1≠3，故4不 是“Z20数”， 由于5=1×2+0×2+1×2°，1十0+1=2≠3，故5不 是“Z20数”， ·88 由于6=1×2+1×2+0×2°，1+1+0=2≠3，故6不 是“Z20数”， 故f(3)=0 由于7=1×2+1×2十1×2°，1+1+1=3，故7是 “Z20数”， 由于8=1×23+0×22+0×2+0×2°，1+0+0+0=1 ≠3，故8不是“Z20数”， 故f(4)=1. (2)f(2+2)(n≥2，n∈N*)表示集合{2”十3,2”十4， …,2+1十4》中在二进制表示下恰有3个1的所有元素 的个数. 因为{2”十3,2”+4，…，2”+1-1}中在二进制表示下恰 有3个1的数都是从右起第(n十1)位数字是1，再在后 面n位中找两个位置放1，其余位置放0而得到的，故 该集合中有C个“Z20数”. 又2m+1,2+1十1,2m+1十2,2+1十3,2m+1十4的二进制表 示分别为 (100…0000)2,(100…0001)2, (100…0010)2,(100…0011)2, (100…0100)2, 其中只有2+1十3的二进制表示中恰有3个1， 所以当n≥2，n∈N时，f(2”+2)=C2十1. (3)设T表示所有的“Z20数”组成的集合，因为在二进 制表示下， 在(n十1)的二进制表示的最右边的数字后面添加一个 0,恰为2(n十1)在二进制下表示的数， 故(n十1)与2(n十1)同时属于T,或者同时不属于T, 集合{n十2，n+3,…,2(n十1)}比{n十1，n+2,…,2n}恰 少了一个(n十1)，多个(2n+1),(2n十2)两个数，因此 （f(n),2n+1任T, f(n+1)= f(n)+1,2n+1∈T, 由f(1)=0,且对任意正整数5，都存在正整数n使得 f(n)≥s, 结合递推关系可知存在正整数n使得f(n)=s. 当s=1时，易知f(4)=f(5)=1,故s=1不符合题意. 当s≥2，s∈N"时，假设恰有一个n(n≥6，n∈N")使得 f(n)=s,则f(n-1)=s-1,f(n十1)=s十1， 当且仅当2n-1∈T,2n十1∈T时成立，由二进制表示 知n必有2*十2(k≥2，k∈N“)的形式，故s=f(n)= f(2+2)=C十1(k≥2，k∈N”). 故使得f(n)=s只有唯一解的全体s由正整数C十1(k≥ 2,k∈N)给出，且唯一解为n=2十2(k≥2，k∈N”).