特训11 砺剑·进阶提升二-【创新教程·微点特训】2026年考前复盘高考数学冲刺

消去x得(3t+4)y2十24ty十36=0，直线l与线段AF 相交于S,与椭圆C交于P,Q两，点，则t<0且△= (24t)2-4×36×(3t十4)>0，得t<-2, -24t 所以十y3十4M%=3, 因为如中御十六 36 -24t -2m3y+2473·3兰0. (ty1+3)(ty2+3) (ty1+3)(ty2+3) 所以∠PFS=∠QFS. ②连接AP,由SAs=SAPs得QS·AS=PSFS, 中s-器又∠AsP-∠F0, 所以△ASP∽△FSQ, 所以∠PAF=∠QFS,又∠PFS=∠QFS, 所以∠PAF=∠PFA,所以PA=|PF, 所以P为线段AF的中垂线y=子与箱圆C的交点， 3 y一4 联立 y 4 3 =1, x=, -13 2 2 解得 或 3 3 y=4 y=4 做点P的生标为（四，）（西） 特训11 1.D[由题意设=x十yi,x,y∈R,所以（之十1）i=-y十 (x+1)i=2x-1=2x-1+2yi, 所以 1-y=2x-1 (x+1=2y 解得x=吉y=是，所以=吉 寻对应点（行，一子）位于第四象限门 2.B[集合A={x2≤4}={xx≤2.由x-1<3得 -2<x<4,所以B={x-2<x<4},故A∩B={x-2 <x2}.] 3.C[因为三个不同选课组合的学生人数分别为20,40， 60,所以三个不同选课组合的学生的人数的比例分别 111 为：石，方，立，所以估计这三个不同选课组合学生的数 学年均分为石a十宁什] 4.D[根据题意，AD为∠BAC的平分线，AB=2AC,则点 D到AB,AC的泥高相学，得需光-裙=2，中 ·8( BD=2CD,所以BD=2DC,所以 花-店+号(aC-) B 3店+号A正，即A0=子a+ 号6] 5.D[甲球员5场篮球比赛的得分可以是20,22,28,30， 30,故A,B错误；乙球员5场篮球比赛的得分可以是20， 25,25,25,30,故C错误；对D,设乙球员5场篮球比赛的 得分为1，x2x4x12x,且x1≤2≤x≤x1≤x,因为 5个数据有1个是30，平均数是25，方差是10，所以 号[x-25)y2+(x-25)+(x-25)+(x,-25)2+ (x-25)]=10,所以(x1-25)2+（x2-25)2十(x3 25)2+(x1-25)2十(x-25)2=50,若x1>30,则x5> 30,所以(x1-25)2+(x2-25)2十(x-25)2十(x1 25)2十(x-25)2>50矛盾，所以x=30,x1≤x2≤x x1≤30，且x1十x2十x十x1=25×5-30=95,又5× 25%=1.25,所以乙球员连续5场比赛得分的下四分位 数为x2,因为(x1-25)2十(x2-25)2+(x-25)2十(x1 -25)2=25,所以x1≥20，若x1=20,则x2=x3=x1= 25,所以x2>21,若x1=21,则x2≥22，所以x2>21,若 x1≥22，则x2≥22，综上所述，乙球员连续5场比赛得分 的下四分位数大于21，故D正确.] 6.C[由题意知，F(号，0）里然直线AB的斜率不为0， 设直线AB的方程为x=my十 ,由 红=m十乞'得 y=2px y2-2pmmy-p=0,设A(x1y1),B(x2,y2),则y十y2 =2m,y1y2=-p.因为直线OA,OB斜率之和为2，所 以头十尝=名即为十为写=2红>1（十号）十 (号）苏·务美+号+一器 2p →一2p十心=号→m=一号，所以直线AB的斜率为 2 -2.] 7,A[由iana·tan(a十)=l,得tan(a+B)=ana, 1 tan(2a-+28)=tan[2(a)]2tan(B) 1-tan(a+3) 2 2 tan a tan a 2tan a 1- 1 tan'a-1 tan'a-1' tan a tana 所以tan(3a+28)=tan[a十(2a+28] tana十tan(2a十23) 1-tana·tan(2a+23) 2tan a tan a tan'a-1 1-tana· 2tan a tan'a-l tan'a-2tan a-tan a tana-l tan'a-1-2tan'a tan'a-1 _an an+)=-tan&=m,故tan(a十B)= 1 -tan'a-1 tan a =-1,故选A.] 8.B[由f(x十4)十f(x)=0→f(x)=-f(x十4)，则f(x 十4)=-f(x十8)，所以f(x)=f(x十8)，即f(x)是周 期为8的函数，由∫(x十2)为奇函数，得∫（一x十2） =-f(x十2)，则f(-x)=-f(x十4)，所以f(-x) =f(x),即f(x)是偶函数，由f(1)=f(-1)=1,得f(3) =f(5)=-1,f(7)=1,结合周期性，对于k∈N“,f(2k -1)依次为1，-1，-1,1,1，-1，-1,1，… 所以f(2k-1)是周期为4的函数，则f(1)十2f(3)十 3f(5)十4f(7)=1-2-3十4=0， 5f(9)+6f(11)+7f(13)+8f(15)=5-6-7+8 =0,…, 13f(25)+14f(27)+15f(29)+16f(31)=13-14-15 +16=0, 17f(33)+18f(35)+19f(37)+20f(39)=17-18-19 十20=0，…，综上，易知n<19时，∑kf(2k-1)>-20, n=19时，2kf(2k-1)=-20.所以正整数n的最小值 为19.] 9.ABD[如图所示，取BD的中点 E,连接A'E,CE, 因为△A'BD和△BDC为等边 io D. 三角形， 所以A'E⊥BD,CE⊥BD, E 因为A'E∩CE=E,A'EC平面 B A'EC,CEC平面A'EC,所以BD⊥平面A'EC, 又A'CC平面A'EC,所以BD⊥A'C,故A正确； 因为BD⊥平面A'EC,所以A'在平面BCD内的射影在 直线EC上， 故∠A'CE为直线A'C与平面BCD所成的角， 因为∠ABC=受，AB=BC=2, 所以A'C=2√2， ·81 双A'E=EC=√5，所以在△A'EC中，由余弦定理得 cos∠ACE=22)-5-5,战B正确： 2X2√2X√5 为sa度=×2E×5X-(=E,BD 平面ACE,所以VD=子Sae·BD =号×E×2=2,故C错误： 3 如图，设点O,O2分别为△A'BD和△BDC的外心，过 O1,O2分别作O1O⊥平面A'BD,O2O⊥平面BDC,OO ∩OO=O,则点O为四面体A'BCD外接球的球心，连 接CO, 易知C0,=25,E0,=50,= 3 3 在△A'EC中，A)C=5×5=反，则AC边上的高为 2 √W-W2=1,an∠AEC=2,故O0,=B0.· 2 an∠4EC-5x2-5 3 31 oc-+c0-()中()-2. 则四面体A'BCD外接球的表面积为4πX2=8π，故D 正确.] 10.ABD[设角A,B,C所对的边长为a,b,c 由三角形的面积公式可得Sar=之lesin A tan A. 1 所以cosA=灰，由余孩定理，可得B十c-Q=2, 所以b十2=3，故A正确； 由saw=名红nA=四A M 2 又b+c2=3≥2bc= 2 cos A' 所以cosA≥ 3 所以tanA=√cosA /1-cosA 1 =4时取等，B正璃： 设AB,AC边上的中，点分别为E,F,在AB上取一点 M,在AC上取一点N, 由两，点间线段最短可得MNME十EF十FN= 合（a中bc当业仅言M,N,EF日点类线时取等， 所以d=之(a+b什c),又∠ABC=受， 所以tanA= anA,解得A=平，所以c=a=1,b=2, 所以d=+1,故C错误： 2 1 由以上可知，d三2(a+b+c)长22 6+c_6+1」 2 当且仅吉b=(受时取学，故D正确门 Il.AC[对于A:因为a,=in(ar+受)n∈N, 所以an∈{-1,1}，所以an≤1，但是an的极限不 存在， 即a,=sin(nr十受)有界但不收敛，故A正确： 对于B:因为a.=os(m十受)n∈N所以a=0,且 an的极限为0， 所以a,=cos(r十受)）有界且收敛，故B错误； 对于C:因为a1=2,a=3,a,=8,n∈N, an-2 1 所以a,=2=3」 1 2 3 2 3=2, 1 5,a.=Q6=3=2,ag= 1 =3, 所以a∈{，号}所以≤3但是 的极限不存在， 所以有界但不收敛，故C正确； 对于D:因为an= in(+受 L,n∈N”,所以an= {1宁吉…}所以a,的极限为0且a,≤1 所以a=1 （十登】有界且收经做D特民.门 n 12.解析：当个位数字为0时，其他三个数位为1,2,3这三 个数字任意排列，有A=3×2X1=6(种)情况. 当个位数字为2时，千位不能为0，所以千位有2种选 择（从1,3中选），百位从剩下的2个数字中选，十位再 从剩下的1个数字中选， 根据分步乘法计数原理，共有2×C=2×2=4(种) 情况 所以n=6十4=10. ·8 根据二项展开式的通项公式T,+1=Ca"-b",对于(1十 x),展开式中x3项的系数为C(k=3,4,…,10). 那么(1十x)3十(1十x)+…十(1十x)°展开式中x3项 的系数为C十C十C十…十C。. 由组合数的性质C,十C。1=Cm+1,且C=C,得C十 C+C+…+C。=C+C+C+…十C。=C十C+ …+C1o=…=C. 可得C1 11×10×9×8=330. 4×3×2×1 答案：330 13.解析：由已知得 f0)=a+b=2 解得c=1,b=2-a, (g(0)=1十c=2 又f(x)=ae,g(x)=- sin登，所以f(0)= π g'(0)得a=0, 所以a=0,b=2,c=1,所以b十c=2°十1=2. 答案：2 14.解析：因为△ABC的三 边长分别为1,1，√5，不 a 妨设AB=1,AC=1,BC B =√3，如图， 由余孩定理得c0s∠BAC=AB十AC-BC 2XABXAC =1+1-3=- 2 2,得∠BAC=120,故∠ABC=30, ∠ACB=30°.在△ABP中，∠APB=180°-a-(30°- )=150,由正孩定理得BP -AB 12 sin a sin∠APB=1 2 则BP=2sina.在△PBC中，∠CPB=180°-a-(30° BC a)=150,由正弦定理得sin30-a-sin/CPB工 BP =2√3，则2sina=2√3sin(30°-a), 故tana= 音案9 15.解：(1)证明：：2Sn-an=n2,.当n≥2时，2Sn-1-a-1 =(n-1)2, 两式相减得2Sn-a,-(2S。-1-a,-1)=n2-（n-1) =2n-1, 又2Sn-an-(2Sn-1-an-1)=2Sn-2Sn-1-an十am-1 =an十an-1 ∴.an十an-1=2n-1, .(an+1十an)-(an+an-1)=[2(n+1)-1]-(2n-1) =2,且a2十a1=3, .数列{an十a+1}是首项为3，公差为2的等差数列. (2)解：由(1)知an十an-1=2n-1(n≥2) ∴.S2。=(a1十a2)十(a3十a1)十(a5十a6)十…十(a1g十 40)=2+7+11+…+39=10X(3+392=210 2 16.解：(1)因为sin2C=√3sinC, 所以2 sin Ccos C=√3sinC. 因为C∈(0，元)，所以sinC≠0， 所以msC=写又CE0,所以C=吾 (2)因为△ABC的面积S=言binC=合×aX6X吉 =6√3，所以a=4√3. 由余弦定理可得c2=a2十b2-2 abcos C=48十36-72 =12,所以c=2√5， 所以△ABC的周长为a十b+c=4√5+6十2√5 =6(√3+1). 17.解：(1)证明：如图，连接BD 交AC于点F,连接EF, AD∥BC.BC=2AD.PB= 3PE,所以器-器-号 A- 所以EF∥PD,因为EFC - 平面AEC,PD丈平面AEC,所以PD∥平面AEC, 得证 (2)由题知，底面ABCD是等腰梯形，作AG垂直BC于 点G,BC=2AB=2AD=6V2,则BG=3y2,GC=92 2 2 AG-AB-BG36 2 PA⊥底面ABCD,设AP=t,PB=3PE,分别以AG, AD,AP所在直线为x轴，y轴，之轴建立如图所示的空 间直角坐标系， E D 易得A(0,0,0),B y5,-3y.0 2 2 ·83 c(g5,99o）n080.p0.0. (号) 花-(-( d-060丽-(3，g9小 设平面AEC的一个法向量n1=(x1,y1,),平面PBC 的一个法向量n2=(x2y2,之)， a…-9号+=0 则 4·正-5+ 21=0 [n2·BC=6√2y2=0 同理 n·B币=-36，+3E 2+ 2y十t2=0 令西=6，则m=(60,是） 由平面ABC1平面PBC,得m·m=36-2,5=0, 得t=3, 则(9-号2成-(5￥o -(, 设平面EDC的一个法向量n3=(xay,之)， m成-3+3=0 则 ·成，+2%=0 令x1=√5，则n=(√5，-3，-6√2)， 又n1=(3,-5,-√6)， %:m,=3 所以cosm)=n·n 14 故二面角ACED的余孩值为3☑ 14 18.解：(1)设动圆的圆心为(a,0),因为经过（一4,0）， 则a>-2,半径为a十4， 圆的方程为(x一a)2十y2=(a十4)2，与x轴的另一个交 点为B(2a十4,0)， 与y轴的交点为C(0,y),即x=2a十4，y=8a十16， ∴y=4x,即曲线下的方程为y2=4x. (2)由(1)作图： 2=4 设过F点的直线方程为x=my十1，显然m是存在的， 联立方程： (y=4x 得y2-4my-4=0,设P(x1y1), (x=my+1 Q(x2y2）,则y十y2=-4m,① y1y2=-4,② 再设P(,2t),Q(s2,2s), 代入①②得ts=一1，t十s=-2m,③ 则直线OP的方程为y=二，直线0的方程为 y=子，联立方程 ,(x-1)2+y=1 2 y=2 ON=2s +4 1OP|=√t)+(2)=t√+4， OQ=s√5+4， S△aMy=IOM·ON 4 SAoPQ TOP·OQT(t+4)(s+4) 4 =)+4+)+160 由③得t2十s2=(t十s)2-2ts=4m2十2，代入④得： SMN= 4 S△0pQ16m2+25' 显然当m=0时最大，最大值为25· 4 综上可知，曲线Γ的方程为y=4x,△OMN与△OPQ 的面积之比的最大值为号 19.解：(1)当a=e时，f(x)=xe-e十1， f(x)=(x十1)e-e=xe, 当x∈(0，十∞)时，f(x)>0,则f(x)在(0，十∞)上单 调递增； 当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0,则f(x)在(-∞，0)上单 调递减； ·84 故当a=e时，函数f(x)的减区间为（一o∞，0），增区间 为(0，十∞) (2)因为a≥e,当x≥0时，a≥e,所以xa≥xe, 当x<0时，a≤e,所以a≥xe,所以xa-e十l≥xe -e+1, 设p(x)=xe-e+1,由(1)可知p(x)≥p(0)=0,所 以不等式f(x)≥0成立. (3)f'(x)=(xlnx+1)a-e =a(zlnx+1)- ()) 设g)=(hx+1)-(侣)广，此时g0)=0, 则g(x)=ha-1-haw·(后）广， 因为1Ka<6,所以0<na≤号名>1， 则9'(x)在R上为减函数，9(0)=2lna-1, ①当a=√时，9'(0)=0，结合0(x)在R上为减函数， 当x∈(-o∞，0)时，9(x)>0,(x)在(-∞，0)上单调 递增： 当x∈(0，十∞)时，9'(x)<0,(x)在(0，十∞)上单调 递减： 所以(x)≤(0)=0，所以f(x)≤0，即f(x)在R上 为减函数， 又因为f(0)=0,所以f(x)只有一个零点； ②当1<a<√e时，p'(0)=2lna-1<0, 所以存在x。<0,使得p(xo)=0, 当x∈(-∞，x)时，9'(x)>0, 所以(x)在（一o∞，x。)上单调递增； 当x∈(x,十o∞)时，(x)<0,所以p(x)<0 在(x。,十∞)上单调递减. 因为p(0)=0,则g(x)>0,当x→-o∞，g(x)→-o∞， 3x1∈（-o∞，xo)使得(x1)=0, 所以x∈（-o∞，x1)时，(x)<0,即f(x)<0, 即f(x)在（一∞，x1)上单调递减； 当x∈(x1,0)时，(x)>0,即f(x)>0, 即f(x)在(x1,0)上单调递增； 当x∈(0，十∞)时，(x)<0,即f(x)<0, 即f(x)在(0，十∞)上单调递减； 当x→一∞，f(x)→1，又因为f(0)=0,所以f(x1)<0. 所以3x2∈（-∞，x1)使得f(x2)=0, f(x)在(0，十o∞)上单调递减，所以当x>0时， f(x)<f(0)=0,所以f(x)存在两个零，点. 综上所述：当a=√时，函数f(x)有1个零点； 当1<a<√e时，函数f(x)有2个零点.数学 特训11砺剑·进阶提升二 (时间：120分钟 满分：150分》 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1.已知复数之满足（之十1）i=2之一1，则复数之在复平面内对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={x|2≤4}，B={x|x一1|<3}，则A∩B= ( 整 A.(-4,2] B.(-2,2] C.(-4,2) D.[-2,2) 3.某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均分分别为α，b,c,若按 不同选课组合采用分层抽样的方法抽取了一个120人的样本，抽到三个不同选课组合的 郑 学生人数分别为20,40,60，则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为 () A.a十b+c B.a十b+c 1 2 3 D.+3+ 4.已知△ABC中，点D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，AB=2AC,若AB=a,AC 刻 =b,则AD ( ) C.a- 病 5.现有甲、乙两位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知两位球员得分 情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是28，平均数是26： 乙球员：5个数据有1个是30，平均数是25，方差是10. 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是 ( 俐 A.甲球员连续5场比赛得分都不低于21分 B.甲球员连续5场比赛得分都不低于22分 C.乙球员连续5场比赛得分都不低于21分 D.乙球员连续5场比赛得分的下四分位数大于21 6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，O 为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之和为2，则直线AB的斜率为 ( B C.-2 D.4 厨 7.已知tana·tan(a+B)=1,tan(3a+23)=m,则tan(a+B) ( A动 B.-m C.m D.3√5m2 8.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x+4)+f(x)=0,f(x十2)为奇函数，且f(1)=1, 若f(2k-1)≤-20，则正整数n的最小值为 ( k=1 A.17 B.19 C.21 D.23 ·41· 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=,将菱形ABCD沿对角线BD折成四面体 A'BCD,使得∠A'BC=,则 ( A.直线AC与直线BD所成角为号 B.直线A'C与平面BCD所成角的余弦值为 C.四面体A'BCD的体积为42 3 D.四面体A'BCD外接球的表面积为8π 10.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在 △ABC中，BC=1,BC边上的高等于tanA,以△ABC的各边为直径向△ABC外分别 作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W,其“直径”为d,则 () A.AB2++AC=3 B.△ABC面积的最大值为写 C当∠ABC=时，d=5 2 D.d的最大值为+1 2 11.在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格的变化来确保自己的风 险，这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数M,使得对一切正整 数n,都有|an|≤M,则称{an}为有界数列，我们把极限存在（不含无穷大）的数列称为收 敛数列，如数列a,=},显然对一切正整数m都有a,≤1，而上的极限为0，即数列{a, 17 既有界也收敛.如数列b。=(一1)”，显然对一切正整数n都有|b|≤1，但不存在极限，即 数列{b}有界但不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有 () A.d-sin B.am=cosn元+) C.a1=2,a2=3,a,-a D.a=- an-2 之 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.用0,1,2,3组成没有重复数字的四位偶数有n个，则(1十x)3十(1十x)十·十(1十x) 的展开式中，x3项的系数为 ·（用数字作答) 13.设曲线f(x)=ae+b和曲线g(x)=cos受+c在它们的公共点P(0,2)处有相同的切 线，则b+c的值为 14.三角形是常见的几何图形，它有很多性质，如：性质1：△ABC的面积S=号AB·ACsin A -A店.ACuan AA-≠}月 性质2：对于△ABC内任意一点P,有AB·AP+BC·BP+CA·CP=AB·AC+BC·BA+ CA·CB; 性质3：△ABC内存在唯一一点P,使得∠PAB=∠PBC=∠PCA=a,这个点P称为 △ABC的“勃罗卡点”，角α称为△ABC的“勃罗卡角”. 若△ABC的三边长分别为1,1,3，根据以上性质，可计算出△ABC的“勃罗卡角”的正 切值为 ·42· 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.(13分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn一an=n2,n∈N". (1)证明：数列{an十an+1}是等差数列； (2)求S2o. 16.(15分)在△ABC中，sin2C=√3sinC. (1)求C (2)若b=6,且△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长. ·43· 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD 是等腰梯形，AD∥BC,BC=2AB=2AD=6√2，E是PB上一点，且 PB=3PE. (1)求证：PD∥平面AEC； (2)已知平面AEC⊥平面PBC,求二面角ACED的余弦值. 18.(17分)已知圆心在x轴上移动的圆经过点A(一4,0)，且与x轴、y轴分别交于B(x,0), C(0,y)两个动点，记点D(x,y)的轨迹为曲线T. (1)求曲线Γ的方程； (2)过点F(1,0)的直线1与曲线Γ交于P,Q两点，直线OP,OQ与圆F:(x一1)+y=1的 另一交点分别为M,N(其中O为坐标原点)，求△OMN与△OPQ的面积之比的最 大值. 19.(17分)已知f(x)=xa-e+1(a>1). (1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间； (2)当a≥e时，求证：f(x)≥0； (3)当1<a<√，试讨论函数f(x)的零点个数， ·44·