特训5 三角函数与解三角形-【创新教程·微点特训】2026年考前复盘高考数学冲刺

数学 特训5三角函数与解三角形 (时间：60分钟满分：90分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1.在△ABC中，BC=2,AC=1+√3，AB=√6，则A= ( A.45° B.60° C.120° D.135 整 2.已知0<a<π，cos 则m。-引 斯 A. 10 B. 5 C.3② 10 n.0 1 3.已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tanx- 的图象的一个对称中心，则a的最小值为 吹 ( 4π 和 A.6 B. 零 C. D. 4.在锐角△ABC中，cosA=c0s2B,则号 一个可能的取值为 ( 2 A. B C.2 D.3 - 御 5.已知f(x)=sin(wx十p)(w>0,-π<p<π)在 登上单调递增，且直线为 f(x)图象的一条对称轴， 行0为fx)图象的一个对称中心，当x∈[0，受]时，f()的最 小值为 1 2 2 B.- C.1 D.0 6.对于函数f(x)=(sinx十cosx)2+√3cos2x,有下列结论：①最小正周期为元；②最大值 为3；③减区间为 +，+x小水k∈：@对称中心为-+x,0小∈.则上述 结论正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ·13· 7.已知0a<受，sin 任-小-则g的值为 () 6 1+tan a A. B.24 51 13 c D.207 13 8.已知△ABC的角A,B,C对应的边分别为a,bc,∠BAC=号，∠BAC的平分线交边BC 于点D,若AD=√5，则b+2c的最小值为 ( A.2+22 B.4 C.3+2√2 D.3+23 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知函数f(x)=sin wx十√3 cos wx(w>0)的最小正周期为π，则 Afu)的图象关于点（一若0对称 B.f代x)的图象关于直线u=晋对称 C.f(x)的图象可由y=2sin2x的图象向左平移x个单位长度得到 6 D.将图象上所有点的横坐标变为原来的2，得到的图象对应的函数在 上单 调递减 10.已知△ABC的面积为7，cos2A+cos2B+2sinC=2,cos Acos B·sinC-子，则 A.sin C=sinA+sinB B.AB=√2 C.sin A+sin B6 D.AC2+BC=3 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.） 11.已知函数f(x)=sine x+)>0)的最小正周期T满足8T<T<x,且该函数的图象 关于点(，0中心对称，则w的值为 12.已知a,8c0,号，且sim(2a+)+2sim2acos=3sim月，则cosB的最小值为 ·14· 四、解答题（本题共2小题，共28分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 13.(13分)在△ABC中，AB=2,D为AB的中点，CD=√3. (1)若BC=√6，求AC的长； (2)若∠BAC=2∠BCD,求AC的长. ·15· 14.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin B=√3 bcos A,c-2b=1, a=7. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值. 脚 烯 ·16·14.解：(1)由条件，g(x)=(e-1)cosx-sinx,x∈(0,2m) g'(x)=e"cos x-(e-1)sin x-cos x =(e"-1)(cos z-sin x), 由0<x<2π，e>1,所以e-1>0, 令g(x)>0,则cosx>sinx, 得0<<开或<<2， 令g(x)<0,则eosx<sinx,得开<x<5 所以g(x)在(0，于)和(，2π）上单调递增， 在（任，）上单调递减。 (2)由h(x)=e-a-xcos x, 则h'(x)=e"一cosx十xsin x,x∈[0,2π]， 令g(x)=e-（x十1)，则'(x)=e-1≥0， 所以当x∈[0,2π]时，(x)单调递增， 又p(0)=0,所以p(x)≥0→e≥x十1， h'(x)=e-cosx十xsin≥x十1-cosx+xsin x =x(1十sinx)十(1-cosx)0, 所以h(x)在[0,2π]上单调递增，h(0)=1一a, h(2r)=e2m-2r-a, 由题意，1-a≤0≤e2m-2π-a,解得1≤a≤em-2π， 所以a的最小值为1. 特训5 1,A[根据余孩定理有cosA=AB+AC-BC 2·AB·AC 6+4十25-4=5，因为0<A<180,所以A=45.] 2√6(1十√3) 2 2.D[因为cos -，所以0sa=20号-1=号， 25 又0a,所以in=小-osa√厂-，则 sin(e-子)=9(sin。-eosa)=号 (传+）0] 3B[正切函教y=1nx图象的对称中心为（受，0）∈ Z.由点(a,0)(a>0)是画数y=2an(-晋)的图象的 一个对称中心，可知a一晋（∈，即a=晋 (∈Z.由a>0可得，当=0时a取得最小值受] 4.B[在锐角△ABC中A,B∈(0，) 则2B∈(0，π)，又cosA=cos2B, 所以A=2B, ·6y [0<2B< 又0<B<受 ,所以<B<， 0<x-3B<受 所以 co5 所以4=sinA=sin2B_2 sin Beos B b sin B sin B sin B =2c0sB∈Ew⑤)，所以号的-个可能的取值为 1 故符合题意的只有B.] 5,A[因为x)在[一登]上单调递增， 因为直线x=登为fx)图象的一条对称轴，（号，0）为 f(x)图象的一个对称中心， 所以号是-+6∈N.即-21+2张，K6,E N),故u=2,所以fx)=sin(2x+9),又f(是) =sin(答十9）=1，故晋+9=受+2x,∈D, 则9=号+26：x:∈Z, 因为-<g<,所以g=号，即fx)=sin(2x+号)）月 当xe[0,受]时2x+号∈[5，] 所以m(:+晋)[-号小 故当x[0,受]时，f)的最小值为-.] 6.C[f(x)=(sinx十cosx)2+√5cos2z =sinx十cos2x十2 sin xcos x十√3cos2x =1+sin2x+5cos2z-=1+2sim(2x+号）片 T=经=，①正确： 当2z+十号=受十2k,k∈Z时，x)=3,②正确： 令受+2≤2x+号<竖+2kx,keZ 解得品≤≤径-，e五 因光减区间为[臣十kx,登十kx小k∈刀，®正确： 令2x十- =，k∈，解得=一音十经，k∈，此时 f(x)=1,④错误.] .c[因为sm(-)-号 所以号os&一sn0 6 所以cosa-sina=3, 所以1-2 sin0sa=号， 4 得sin acos a=g, 因为cosa十sina=V+2 sin acos-y 3 4 所以，sina=sina -sin acos a 9 1+tan a sin a cos a+sin a 17 cos a 3 &[Sam=之esin A=9c,周为 ∠BAC的平分线交边BC于点D,且AD =, 所以∠BAD=∠CAD=否， S XADXcX sin/BAD- S-XADXbXsin_CAD- 而Sa=Sw十5au所以c=5+9o。 化芳得c=十b,即6十1 +2=2)（+）3++会≥ 3+2√×=3+2E, 当且仅当b=√2c=√2十1时取等号，即b十2c最小值 为3十2√2.] 9.AC[因为fx)=sin+5 o=2sin(oz+号） (w>0),f(x)的最小正周期为π，所以2匹=，所以@=2， 所以fx)=2sin(2x+于)】月 为f(-后)=2sin[2×(若)+号)=0，所以x) 的因象关于点（吾，0）对称，故A正确：因为（后） 2si(2X看+晋）=2n号=万，所以fx)的图象不关 ·65 于直线x=石对称，故B错误：将y=2sin2x的图象向 左平移晋个单位长度，可得到y=2sim[2(+否)门 2si(2x十牙）的图象，故C正确，将f八)图象上所有点 的横坐标变为原来的之 得到y=2sin(4红+号)的图象，当晋<x<号时，<4红 十号<受而y=血上在(，号）上先成后增，对y 2sim(4红+晋)在（后，号）上也先减后增，故D错误.] 10.ABC[因为cos2A+十cos2B+2sinC=2,所以2cosA -1+2cos B-1+2sin C=2,cos A+cos'B+sin C =2, 所以1-sinA+1-sinB+sinC=2,即sinC=sinA 十sinB.故A正确； 当C>受时，A+B<受，即0<A<受-B<受，故有 0<sinA<sin(径-B）,即0<sinA<sinB,同理有 0<sin B<cos A, 所以sinA十sin'B<sin Acos B+sin Bcos A =sin(A十B)=sinC, 与A选项矛盾，故C>受不成立，同理可得C<受也不 成立，故C=受，则sinC=1,cosC=0. 因为cos Ac0 Bin C=子，所以cos Ace0sB=子，因为 A+B=受，所以cosB=sinA,所以cos Asin A= 41 即sn2A=之，又A∈(0，受)2A∈(0,0，故2A=看 或，即A=或登 当A=是时，an8=a(号-圣)=2-5， 所以瓷=20. Sr=2AC·BC=子，故AC·BC=合②，结合① Ac=2+3 2 ②可得 所以AB=AC2+BC2=2, BC:=2- 2 则AB=√2，故B正确，D错误 当A=是时m吾-如（传-）52血语 sm(后+）所以nA十如B5 4 5+巨-E,故C正确； 当A-受时，同理可得B正确，C正确，D错误] 1山.解析：根据题意，T-二用为平<T<,所以平< 4 4ω <元，所以2<w<分 8 又函教f(x)的图象关于点(0）中心对称， 所以sim(经。+晋）=0， 因为2<w<号，所以当k=4时，w=号 答案：号 12.解析：由sin(2a十B)十2sin2 acos B=3sinB,得 3sn2acos9计cos2asin月=3sinR由月e(0,号）：得 cos≠0，则3sin2a十cos2 atan B=3tanB,则tanB= 3sin 2a 6sin acos a 3tan a 3 3c2 sin2 2an 2t tan 1 因为a∈(0，号）所以tana∈(0)，则2ana+ 1 tan a 2区，当且仅当ana二2时等号成立，从而anS 3-3 2√24 又e(0,号）所以当tanB取得最大值时，csB取得 策小推，里装小值为2 答案2 13.解：(1)如图，在△DBC中，CD =√5，BC=√6，BD=1, 根据余弦定理，得cOs∠DBC _BD2+BC*-CD 2BD·BC 12+(6)-(w3)2_6 2×1×√6 3 ·66 又在△ABC中60∠ABC-5,BC=5,AB=2. 根据余弦定理，得cOs∠ABC=AB+BC-AC 2AB·BC 22+(W6)2-AC_ 2×2×w6 3 解得AC=√2. (2)如图，延长BA,使AE=AC, 则△AEC为等腰三角形， ∠AEC=∠ACE, ∠BAC=∠AEC+∠ACE D =2∠AEC, B 又∠BAC=2∠BCD,所以 ∠BCD=∠AEC,所以∠BDC=∠BCE, 所以△BDC∽△BCE, 则EBBC CB BD' 即AB+AE_BC CB BD 所以2合C-C月BC=2AC 又Ac=AD+DC,BC-BD+DC. 所以AC=AD+D元=AD+D元+2AD· DCcos∠BDC, BCI=BD+DC=BD+DC+2 BDI. DCl cos.∠ADC, 所以AC2+BC2=2(AD12+D元) =2[12+(√3)2]=8， 所以AC2+AC+2=8,即AC2十AC-6=0, 解得AC=2或AC=-3(舍). 14.解：(1)因为asin B=√3 bcos A, 所以由正弦定理得sin Asin B=√3sinB·cosA, 因为B∈(0，π)，sinB≠0， 所以sinA=√3cosA,即tanA=√5，又A∈(0，π)， 所以A=受 (2)由1)可知，A=号，又a=7, 由余弦定理得cosA=十c-a2.1 2bc 2 即+c-1-1,b+c-7=c0, bc 又c-2b=1②， 联立①@，可得人=3， b=1, 所以c的值为3. (3)由(2)可知b=1,报据正孩定理日A日B b 移岭 1 3 sin B' 2 所以sinB=2红1 142· 又1<7<3，即bCa<c,所以B∈(0，石）： 对cB=厂万-源 sin 2B=2sin Beos B=2x21x575 14 14 141 2111 c0s2B=1-2simB=1-2×14X14-14 所以sin(A十2B)=sin Acos2B十cosA·sin2B 号×是×-9 特训6 1.B[记{an}的公差为d. (3a1十3d=6, 因为S4=6,S=-5,所以 解得 (5a1+10d=-5, /a=5, 所以S=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15.] d=-3, 2.C[由题意，设正项等比数列{an}的公比为q, 其中q>0, 由等比数列的性质可知aa,=a1ag,由题干可得ag=1, 即ag=1a 若q=1,则S=3a1=3,不合题意，故q≠1， 所以S=11-92-a1(1-9)1+g+g 1一q 1一9 =a1(1+q+g)=2(1+g+g)=2+1+1=7, 解得号=2点号=-30合去，故a,=号-4] 3.B[由S+1-2S,=n,得Sn+1十n十2=2(Sn十n十1)， 因为a1=2,所以S1十1十1=4， 所以{S,十n十1}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以S十n十1=4×2-1，所以S,=2m+1-n-1, 所以a10=S1。-S。=1023.] 4.C[由Sn=-n2+8n, 可得当n=1时，a1=S=-1十8=7； 当n≥2时，a,=S,-S。-1=(-n2十8n)-[-(n-1)2十 8(n-1)], ·6 整理可得an=一2n十9， 经检验，当n=1时，a1=7符合上式. 综上，an=一2n十9(n∈N”),可知数列{an}为等差数列. 当n≤4时，an>0; 当n≥5时，an<0, 所以{an}的前12项和 Ti2=(a1十a2十ag十a1)-(a5十a6十a7十…十a12)= 4×(7+1)_8×(-1-15)=16+64=80.] 2 2 5.B[设2=t,由题意得A”={t,2t,2t,…,第n项为 antl=2"-t, an 当n≥2时，a,=42·8·84。·a·a1=1…21· an-1 22·2-4·41=2山41·a1,当n=1时，上 式也成立 因为a1=1,a5=32, 所以2t·a1=1,2t·a1=32, 解得1=4a,品故适] 6.D[已知{an}是等差数列，根据等差数列的性质可得 a3十a?=a5十a5=2a5=10,则a5=5. 又因为a5a=65,所以5a4=65,解得a,=13.设等差数 列{an}的公差为d,根据等差数列通项公式a,=a1十 （n-1)d,可得a,=a,十4d=5 解得d=2,a1=-3.根 (a,=a1+8d=13 据等差数列的前n项和公式可得Sn=n×(一3)十 nn2D×2=-3m+n(m-1)=m-4n. 2 将S=-n代入可得：多-二加=n一4.们 n 7.A[因为a十a十3a,十…十 1 a =2X3+1-6(n∈N)①， 所以当n=1时，a1=2×32-6=12, 当2≥2时a十弓4十方4中 1 1 'n-10,-1 =2×3”-6②， 0-②得.=2X31-6-(2×3-6)=4×3 所以an=4nX3"(n≥2)， 当n=1时，a1也满足上式，所以an=4nX3”, 4n×3" 3+1 3” 所以6，=(2m+1V02m+3=2n+32n+ 记数列{bn}的前n项和为Sn, 则s=(传号)十（号-）十（居）十…十 7