特训4 导数及其应用-【创新教程·微点特训】2026年考前复盘高考数学冲刺

11.解析：函数f(x)=(x-a)1n十也的定义城满足+b x >0,即x(x十b)>0, 由题知f(x)的定义域关于x=2对称，故b=一4. 则f(4一x)=f(x), 即x-a)n=4-x-a)1n x 故(x-a)1n二4=（x+a-4)1n二4， 则x-a=x十a一4，解得a=2.故a十b=-2. 答案：一2 12.解析：令y2+xT由x∈R,则有r+(3y-1)1 十4y=0, 当y=0时，有x=0; 当y≠0时，则有△=(3y-1)2-16y2=-7y2-6y十1 =-(7y-1)(y十1)≥0， 解得-1≤y≤号，又y≠0，即-1≤<0或0<≤号 上可得一1长分则)中十合-y x g[-] 故y=[f(x)]的值域是{-1,0,1. 答案：{-1,0,1} 13.解：(1)因为g(x)=(m2-m十1)xm-立是暴函数，所以 m2-m十1=1，解得m=0或m=1.当m=0时，g(x)= x立，g(x)在区间(0，十o∞)上单调递减，舍去；当m=1 时，g(x)=√元，g(x)在区间(0，十∞)上单调递增，符合 题意，故g(x)=√元.又当x>0时，f(x)=g(x)十2= √丘十2，且f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0, 当x<0时，-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-(√一x [WE+2, x>0, 十2)=-√-x-2.故fx)={0, x=0 -√/-x-2,x<0. (2)由f(t-2t)+f(2-k)>0,可得f(t-2t)> 一f(2t-k).因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以 f(t-2t)>f(-2t+k).由当x>0时，f(x)=√F+2 >2,可知f(x)在(0，十∞)上单调递增，当x<0时， f(x)=-√一元-2<-2，结合f(0)=0,f(x)为奇函 数，得f(x)是R上的增函数.故t一2t>-2十k,即 k<3-2x因为3-2=3（号）广-号t∈R,所以 31-2≥-子所以k<-言，即实数k的取值范国 是（，-）月 ·6 14.解：(1)函数的定义域为R,因为函数f(x)=log2(4+ 1)十kx为偶函数，所以f(-x)=f(x),即log2(4+ 1)-kx=l0g2(4十1)十kx,所以2kx=l0g2(4x十1)一 4*十1 4 log,(4+1D=log:4r+1=log:4=-2, 所以k=一1. (2)因为f(x)=log(4+1)-x=1og4+1= 2 1g(是）当≥0时，2≥1y=2+是单调逆 增，所以f(x)在[0，十∞)上单调递增.又函数f(x)为 偶函数，所以函数f(x)在（一∞，0]上单调递减.因为 f(2m十1)>f(m-1),所以2m十1|>m-1,解得 m<-2或m>0,所以不等式的解集为(-∞，一2)U (0,+∞). (3)因为函数f(x)与g(x)的图象有2个公共点，所以 方程f(x)=g(x)有两个不同的根，即l0g(4十1)-x =log(a·2十a)有两个不同的根，方程可化为a·2 十a=2=十分设=2，心0，到am+a=+} 2* 即(a-1)t十at-1=0.又t=2在R上单调递增，所以 方程(a一1)t2十at一1=0有两个不相等的正根，所以 「a-1≠0， △=a2-4(a-1)×(-1)>0, 7>0 解得2√2-2<a<1, la-7>0, 1 所以实数a的取值范围是(2√2-2,1). 特训4 1.B[函数f(x)=是n(2x 求子得fw)=是ln(2)+县 由线f代)在1=号处的切线斜率为 又曲线f()在x=处的切线与直线y=3x十5垂直， 所以3Xa=-1,解得a=一是] 2.A[f(x)的定义域为R,f(-x)=-f(x),且f(x)= 2Cosx-3<0,所以函数f(x)为R上的减函数且为奇函 数，因此f(ma-3)十f(a2)>0→f(ma-3)>-f(a2)= 2a-3<-a2, f(-a2)→ma-3<-a2,即 -2a-3<-a2 -3<a<1>-1<a<1.] 0-1<a<3 3.B[因为f(-x)=-x-sin(-x)=-f(x),且f(x)的 定义域为R,所以f(x)=x一sinx为奇函数，所以 f(x2十4x)<-f(3)=f(-3), 因为(x)=1一cosx≥0，且不恒等于0，所以函数f(x) =x-sinx在定义域上为增函数，故x2十4x<一3，故解 集为（一3，一1）.] 4.C[根据题意，设直线y=kx十b与曲线y=e一1的切 点为(1，e-1), 与曲线y=e一2的切点为(x2,e2-2), 因为y=e一1的导数为y=e,y=e-2的导数 为y=e-2, 所以两曲线的切线方程分别为y一e十1=e1(x一x1), y-e2-2=e'22(x-x2), 可得15， (1-x1)e-1=(1-x2)e22, 解得∫3=一ln2, (x2=2-ln2, 所以切线方程为y-em2十1=em2(x十ln2), 即y=n2- 1 则6=n2-] 5.D[由题设f(x)=6x(x-1),则x<0或x>1时， f(x)>0,0<x<1时，f(x)<0,所以f(x)在(-∞， 0),(1,十0∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且f(0) =1-a,f(1)=-a. 由2十a=2,即2=2-a,而y=2在R上单调递增， y=2-a在R上单调递减， 显然2°=1<2一0=2,2=2>2-1=1，故0<a1, 所以f(0)>0>f(1), 又x→-∞时，f(x)→-∞，x→十∞时，f(x)→十∞， 结合f(x)的图象可知f(x)共有3个零点.] 金A62-3, 31 “构造函数fx)=工，x>1,则f(c)=1h工 x 令f'(x)=0,则x=e. 当1<x<e时，f(x)>0;当x>e时，f(x)<0. 故函数f(x)在(1，e)上单调递增，在(e,十∞)上单调 递减 由于b=n2=21n2-ln4=f4,c=n3-f3, 24 4 3 且e<3<4,则f(3)>f(4),即c>b. 又b=n>子-a,所以a<K] ·6 7.B[依题意，Hx>0,f(x)>g(x)台a<xe-x-lnx恒 成立，令h(x)=xe-x-lnx,x>0, 求导得h(x)=(x+1)e-1-1=(x十1)· (e-子）令g(x)=c-士，则易知p(x)在(0，+o) 上单调递增， 且（合）=E-2<0,9(1)=e-1>0,则存在。∈ (分1）使得()=0，即e= 当0<x<xo时，h'(x)<0:当x>xo时，h'(x)>0,所以 函数h(x)在(0，x)上单调递减，在(x。,十o)上单调递 增、由e而三得xe0=1zo十n=0,因此h( =h(zo)=zoe'o-2o-In zo=1, 则a<1,所以a的最大整数值为0.] 8.C[f(x)=e-ex+2x-2, 则f(1)=0.令f(x)=0,则 2 y=(e-2)x+2 e”=(e一2)x十2，如图，作出 12 函数y=e,y=(e-2)x十2 y=es 的大致图象.由图可知函数y 了x0 01x =e,y=(e一2)x十2的图象有两个交点，即函数y= f(x)有两个零点1，x。,且x<0.令f(x)>0,则x>1 或x<x:令f(x)<0,则x。<x<1,所以f(x)在 (-o∞，x),(1,十∞)上单调递增，在(x0,1)上单调递减， 故f(x)的极大值点为xo,极小值点为1.函数y=x在 (一∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，所以函 数有极小值点，无极大值点，故A不符合题意，函数y= 一x2在(-∞，0)上单调递增，在(0，十∞)上单调递减， 所以函数有极大值，点，无极小值点，故B不符合题意.由 y=x3-3x可得y=3x2-3,当x<-1或x>1时，y'= 3.x2-3>0;当-1<x<1时，y=3x2-3<0,所以函数y =x3-3x在(-∞，-1)，(1，十0∞)上单调递增，在(-1， 1)上单调递减，所以其极大值，点为一1，极小值点为1，故 C符合题意.y=一x3十3x=-（x3-3x),则由C选项分 析可知函数y=一x十3x的极小值，点为一1，极大值，点 为1，故D不符合题意，] 9.ABD[因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0, 故A正确；当x<0时，一x>0,因此f(一x)=[(-x)-3] e十2=-f(x),因此f(x)=-(x2-3)·et-2,故B 正确；当x>0时，f(x)=(x-3)·e十2，f(x)=(x2 十2x-3)e=(x+3)(x-1)e,令f'(x)>0,得x>1,令 f(x)<0,得0<x<1,因此f(x)在x=1处取得极小 值，因此奇函数∫(x)在x=一1处取得极大值，故D正 确；当x>0时，f(x)≥2，即(x2-3)e≥0，解得x≥√5， 当x<0时，f(x)在x=一1处取得极大值，f(一1)= -(1-3)e-2=2e-2>2,因此在(-∞，0)上也存在满 足f(x)≥2的区间，故C错误.] 10.AC[对于函数f(x)=ln(1+)-ln(1-x)+2 x 1十x>0 1-x>0,解得-1<x<0或0<x<1, x≠0 所以函数的定义域为（一1,0）U(0,1), 又f(-x)=ln(1-x)-ln1+)-2 x =-[n1+z)-h1-)+是]-f, 所以f(x)为奇函数，函数图象关于(0,0)对称， 故A正确； =-2x2-2(x2-1D=2-4x2 (x2-1)x2 (x2-1)x1 当e()时，f<0,即f在o号)上华 递减，故B错误； 当x()时>0,即)(1小上单 递增， 报通数的对称性可知八)在(-1，-)上单 递增，在（0上单调递减， 所以f)的极小值点为竖，极大值点为-竖，故C正 2 确；又()拉小= (2)=h3+2@+20>0. 且当x趋近于1时，f(x)趋近于无穷大，当x趋近于0 时，f(x)趋近于无穷大，所以f(x)在(0,1)上无零点， 根据对称性可知f(x)在(-1,0)上无零点，故f(x)无 零点，故D错误.门 11.解析：由y=e十x十a,得y'=e十1.设切点为P(xo, y),由直线y=2x十5是曲线y=e十x十a的一条切 线，得∫6+1=2， 。解得=0， 2x。十5=eo+x。十a,(a=4. 答案：4 12.解析：图为f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)=x3-(a十3) x2+(3a十2)x-2a,所以f(x)=3x2-2(a十3)x 十3a十2. ·63 因为x=2是f(x)的极值，点，所以f(2)=12-4(a十3) 十3a十2=0，解得a=2,经检验，符合题意，所以f(x) =(x-1)·(x-2)2,所以f(0)=-4. 答案：-4 13.解：1)因为f)=号ad2-, 所以f(x)=2ax2-2x, 则了1)=2a-2=1.解得a=是， 所以f(x)=x3-x2,则f(x)=3z2-2x=x(3x-2), 所以当0x<号时，了(x)0, 当号<<2时fx)>0, 所以f)在(0，子)上单调递减，在（号2）上单调递 增，又f0)=02)=4(号) 所以函数)在区间0.2]上的最小值为f(学)=一司 最大值为f(2)=4. 2 (②)画数fx)=与ax-x的定义城为R且f(x)= 2ax2-2x=2x(a.x-1), 若a=0时，当x<0时，f(x)>0,当x>0时，f'(x)< 0,所以f(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0，十o)上单 调递减：若a>0时，则当x<0或x>工时f'(x)>0, 当0<x<1时，f'(x)<0, 所以1)在(-0,0，（日，十）上单调递增，在 (0,日)上单调递减： 若a<0时，则当x<或x>0时，(x)<0, 当三<x<0时，f(x)>0, 所以f(x)在(0，日）(0，十∞)上单调递减，在 (日0）上单调递增： 综上可得：当a=0时，f(x)在（一∞，0）上单调递增，在 (0,十∞)上单调递减； 当a>0时，x)在(-0,0)，（日，十0）上单调递增， 在(0，日)上单调递减： 当a<0时，代x)在（∞，合）0，十o)上单调递减， 在（日0）上单调递增。 14.解：(1)由条件，g(x)=(e-1)cosx-sinx,x∈(0,2m) g'(x)=e"cos x-(e-1)sin x-cos x =(e"-1)(cos z-sin x), 由0<x<2π，e>1,所以e-1>0, 令g(x)>0,则cosx>sinx, 得0<<开或<<2， 令g(x)<0,则eosx<sinx,得开<x<5 所以g(x)在(0，于)和(，2π）上单调递增， 在（任，）上单调递减。 (2)由h(x)=e-a-xcos x, 则h'(x)=e"一cosx十xsin x,x∈[0,2π]， 令g(x)=e-（x十1)，则'(x)=e-1≥0， 所以当x∈[0,2π]时，(x)单调递增， 又p(0)=0,所以p(x)≥0→e≥x十1， h'(x)=e-cosx十xsin≥x十1-cosx+xsin x =x(1十sinx)十(1-cosx)0, 所以h(x)在[0,2π]上单调递增，h(0)=1一a, h(2r)=e2m-2r-a, 由题意，1-a≤0≤e2m-2π-a,解得1≤a≤em-2π， 所以a的最小值为1. 特训5 1,A[根据余孩定理有cosA=AB+AC-BC 2·AB·AC 6+4十25-4=5，因为0<A<180,所以A=45.] 2√6(1十√3) 2 2.D[因为cos -，所以0sa=20号-1=号， 25 又0a,所以in=小-osa√厂-，则 sin(e-子)=9(sin。-eosa)=号 (传+）0] 3B[正切函教y=1nx图象的对称中心为（受，0）∈ Z.由点(a,0)(a>0)是画数y=2an(-晋)的图象的 一个对称中心，可知a一晋（∈，即a=晋 (∈Z.由a>0可得，当=0时a取得最小值受] 4.B[在锐角△ABC中A,B∈(0，) 则2B∈(0，π)，又cosA=cos2B, 所以A=2B, ·6y [0<2B< 又0<B<受 ,所以<B<， 0<x-3B<受 所以 co5 所以4=sinA=sin2B_2 sin Beos B b sin B sin B sin B =2c0sB∈Ew⑤)，所以号的-个可能的取值为 1 故符合题意的只有B.] 5,A[因为x)在[一登]上单调递增， 因为直线x=登为fx)图象的一条对称轴，（号，0）为 f(x)图象的一个对称中心， 所以号是-+6∈N.即-21+2张，K6,E N),故u=2,所以fx)=sin(2x+9),又f(是) =sin(答十9）=1，故晋+9=受+2x,∈D, 则9=号+26：x:∈Z, 因为-<g<,所以g=号，即fx)=sin(2x+号)）月 当xe[0,受]时2x+号∈[5，] 所以m(:+晋)[-号小 故当x[0,受]时，f)的最小值为-.] 6.C[f(x)=(sinx十cosx)2+√5cos2z =sinx十cos2x十2 sin xcos x十√3cos2x =1+sin2x+5cos2z-=1+2sim(2x+号）片 T=经=，①正确： 当2z+十号=受十2k,k∈Z时，x)=3,②正确： 令受+2≤2x+号<竖+2kx,keZ 解得品≤≤径-，e五 因光减区间为[臣十kx,登十kx小k∈刀，®正确： 令2x十- =，k∈，解得=一音十经，k∈，此时 f(x)=1,④错误.]数学 特训4导数及其应用 (时间：60分钟满分：90分) 、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1.曲线/)=lh(2x)在x=号处的切线与直线y=3x+5垂直，则a= () 警 A- B.- 1 12 c D 斯 2.已知函数f(x)=2sinx一3x,若对任意m∈[一2,2]，f(ma-3)+f(a)>0恒成立，则实 数a的取值范围是 ( A.(-1,1) B.(-∞，-1)U(3,+∞) h C.(-3,3) D.(-∞，-3)U(1,+o) 和 3.已知函数f(x)=x一sinx,则不等式f(x2+4x)十f(3)<0的解集为 A.(-∞，-3)U(-1,+∞) B.(-3,-1) C.(-2-√7，-2十√7) D.(-∞，-2-√7)U(-2+√7，+∞) 1 4.若直线y=x+b是曲线y=e一1的切线，也是曲线y=e2的切线，则实数b=() 阳 数 A.2n2+1 Bn2+号 c22- 2 D.gi2 5.已知实数a满足2a+a=2,则函数f(x)=2x3一3x2+1一a的零点个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 ,6= 1 6.已知a= 2。,则a6c的大小关系为 ( A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.6<c<a 7.若函数f(x)=x(e”一l)的图象恒在g(x)=lnx十a的图象的上方，则a的最大整数值为 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 ·9· 8.我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分 布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”.已知f(x)=。一er+(x-1),则下列 给出的函数中，其图象与y=f(x)的图象“相似”的是 A.y=z2 B.y=-x2 C.y=x-3x D.y=-x3+3x 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2一3)e+2,则 A.f(0)=0 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥√3 D.x=一1是f(x)的极大值点 10.若函数f(x)=ln(1十x)-ln(1-)+2,则 A.f(x)的图象关于(0,0)对称 B.f(z)在0,2上单调递增 2 C.()的极小值点为号 D.f(x)有两个零点 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.） 11.若直线y=2x十5是曲线y=e+x+a的一条切线，则a= 12.若x=2是函数f(x)=(x一1)(x-2)(x一a)的极值点，则f(0)= ·10· 四、解答题（本题共2小题，共28分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 13.18分)已知函数fr)=号ar-. (1)若f(1)=1,求函数f(x)在区间[0,2]上的最值； (2)讨论函数y=f(x)的单调性. 。11· 14.(15分)已知函数f(x)=e-a. (1)若a=1,g(x)=f(x)·cosx一sinx,讨论函数g(x)在(0,2π)上的单调性； (2)若h(x)=f(x)一xcos x在[0,2π]上有唯一的零点，求实数a的最小值. 脚 烯 ·12·