特训3 函数及其性质-【创新教程·微点特训】2026年考前复盘高考数学冲刺

数学 特训3函数及其性质 （时间：60分钟 满分：90分) 、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1 1.若函数y= 的定义域为M,值域为N,则M∩N= 整 2x-x2 A.(0,+∞) B.(2,+o∞) C.(1,2] D.[1,2) 郑 2已知是定义在R上且周期为2的偶函数，当2长3时)-5一2红，则f(-) h A-日 B. 0. 柄 3若函数f)=1+ 是偶函数，则m A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.函数f(x)=cosx·1n(2+2)在区间[一3π，3π]上的图象可能是 1 阳 5.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心 学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1十1%)365=1.0135；如果每天的 “退步”率都是1%，那么一年后是(1一1%)365=0.9935.那么大约经过几天后“进步”的是 “退步”的2倍？请选出最接近的一项.(1g2≈0.301030,1g101≈2.004321，lg99≈ 1.995356) A.25 B.30 C.35 D.40 ·5· log2x,0<x≤2， 6.已知函数f(x)= 若f(a十1)-f(2a-1)≥0，则实数a的取值范围是 2x-3,x>2, A.（-∞，2] B.[2,+∞) C.[2,6] 7.已知奇函数f(x)是R上的增函数，g(x)=xf(x),则 A.g log,g(2)8(2) Bg1og)>g(2)>g(2) C.g(2)>g(2)>glg, D.g((2o 8.已知2+log2x=3十logy=5十log之，则x,y,之的大小关系不可能为 A.x>y>z B.>>y C.y>x>x D.y>>x 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知定义在R上的函数f(x)在（一∞，2]上单调递增，且f(x十2）为偶函数，则() A.f(x)的对称中心为(2,0) B.f(x)的对称轴为直线x=2 C.f(-1)<f(4) D.不等式f(x+3)>f(4x)的解集为 10.若实数x1,x2满足e1=2-x1,x2nx2=1一2x2,则 A0K<号 B.x2(2-x1)=1 C.x2 D.x-x1<2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.） 11.已知函数f(x)=(x一a)1n十也的图象关于直线x=2对称，则a十b= 12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数y=[x]称 为高斯函数，其中x∈R,[x]表示不超过x的最大整数，例如：[一2.1]=一3，[3.1]=3. 已知函数f(x)= 十日，则函数y=[f(x)]的值域是 x2+3x十4 ·6 四、解答题（本题共2小题，共28分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 13.(13分)已知幂函数g(x)=(m2-m+1)x”在区间(0，十∞)上单调递增，定义域为R 的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)=g(x)十2. (1)求f(x)的解析式； (2)若对于任意实数t,都有f(t一2t)+f(2t一k)>0恒成立，求实数k的取值范围. ·7· 14.(15分)已知函数f(x)=log2(4+1)+kx为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解关于m的不等式f(2m+1)>f(m-1); (3)设g(x)=log2(a·2十a)(a≠0)，若函数f(x)与g(x)的图象有2个公共点，求实数 a的取值范围. 砌 烯 ·8·因为DA=DB,所以点E在线段DM上，不妨设DE= ADM,A∈[0,1]，所以CE=CD+ADM 易知DM=DA+AM=C店-CD,所以CE=C市 A(G市-2CD)=(-含)ci+AC店.周为C正=xc 十)CD,所以x十y=1-合十A=1+会因为[01， 所以+y1+含[是]门 9.BC[设x=a十bi,a,b∈R,由之-1|=|之=1，得 √a+b=1, 对于A=号士9不是实发，A错误对于B,日 |a-bi=√a+(-b)=√a+b=1,B正确；对于C, +=a十bi十a-i=2a=1,C正确：对于D,由=号 =9由=9得=9可 知之≠，因此，三≠1，D错误.门 10.BD[若b=0,则显然有a∥b,b∥c,但a与c没有限制 条件，故a∥c未必成立，故A错误；a在b上的投影向 量为6690=4,2.故B正病：与向量1,2)共 线的单位向量为。-（得，2）成(5,2故 C错误；若向量a=(cosa,sina),b=(2,1),则a一b= √(cosa-2)'+(sina-1)'=√/6-2(2cosa+sina) =√6-2W5cos(a-p)≤√6+2V5=V5+1,其中cosg -26 5sin9=号，当且仅当a一孕=π十2π，k∈乙时， a一b取得最大值√5+1，故D正确.] 11.AD[设数列{an}的首项为a1. 由已知得6么湖号带则数列{侣}为省数列， 即号=4所以a,=na,则a1一a,=(a+1a,一a =a1,所以数列{an}为等差数列，A正确；由cn⊥bn,得 (m十1a1=-m即。=一n行不为定值，所以 an 数列{an}不是等比数列，B错误；由已知得b1=(1,2), c1=(a1,a2),c2=(a2ag）,由c1·b1=c2·b1,得a1 2a2=a2十2a,即a1十a2=2aa,无法确定C1=c(另解： 若G1·b1=c2·b1=0,即c1⊥b1,C2⊥b1,则无法确定c1 ·5 =c2),C错误；an=2n-3,则c1=(a1,a2)=（-1,1),又 b=(3,4),所以向量C1在向量b1上的投影向量为 ·冬（层）D正确] 12.解析：因为之12=(a十2i)(3-i)=3a十2十(6-a)i为 纯虚数，所以3a十2=0 （6-a≠0， 所以a=一号 答聚：号 13.解析：由a十b十c=0,得(a十b十c)2=a十b十c2+2a· b十2b·c+2c·a=0,故2(a·b+b·c+c·a) =-(a2+b2+c2) =-9 ab+b:c+c:a=-号 答案：-号 14.解析：因为a=1,b=3,cos(a,b>=3,所以(2a十b)· b=2a·b+b2=2a·b1·cos(a,b)+b2=2X1 ×3×号+3=11 答案：11 特训3 1.D[由y= 1有意义可得2x-x2>0,所以x √/2x-x 2x<0,解得0<x<2,所以函数y= 1 一的定义域 √2x-x M=(0,2). 由0<x<2,可得y=2x-x2=-(x-1)2+1∈(0,1]， 所以函数y= 1一的值城N=[1,十∞)， √2x-x 所以M∩N=[1,2).] 2.A[由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数可得， (-)=()=(子+2）-f(得)因为当2≤x ≤3时，)=5-2，所以f(得）=5-2x =脚f(是）=] 3A[画数f代)=(1十)的定义城为z≠0， 由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x), 中-(+10)）=(+”）小整理得 e"-1 =-2,所以m=-2.] 4.D[因为f(x)的定义域为R,关于原点对称， 且f(-x)=cos(-x)·ln(2x+2) =cosx·ln(2十2)=f(x), 所以f(x)为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除 A,C. 因为f(0)=1n2>0,故排除B.] 5.C[假设经过n天，“进步”是“退步”的2倍， 则(9)=2即(0)广=2. 解得n=1og号2=g101-1g99 1g2 0.301030 =2.004321-1.995635 ≈35， 即经过约35天，“进步”是“退步”的2倍.门 6.D[因为当x∈(0,2]时，f(x)= y=f(a) logx单调递增，此时f(x)≤ f2)=1,当x∈(2，十oo)时， f八x)=2x一3单调递增，此时 0 /12 f(x)>1, /l0g2x,0<x2, 所以f(x) 是 2x-3,x>2 定义在(0，十o∞)上的增函数 所以若f(a+1)-f(2a-1)≥0， 即f(a+1)≥f(2a-1), 则a十1≥2a-1>0,得<a<2.] 7.B[由奇函数f(x)是R上的增函数可得，当x>0时， f(x)>0, 又g(x)=xf(x),则g(-x)=-xf(-x) =zf(z)=g(x), 即g(x)为偶函数，且当x>0时单调递增， 根据偶函数的对称性可知，当x<0时，函数单调递减， 距离对称轴越远，函数值越大， 为g(g)）=gg4,g(2)=(房) ,而1og4>1,1>2章>2>0，即 10g4>2子>2，所以g(g）>g(2)> g(2音).] 8.B[由题意知log2x=1十logy=3十log之， 令log2x=1十logy=3十log之=k,则x=2, y=3-1,x=5-3, y 大小关系 结论 0 1 3 125 I>y>x A正确 9 1 y>I>x C正确 6 64 243 125 y>x>I D正确 下面证明：选项B错误 若x>x,则2>5-3 ( <53,两边同时取自然对 ·60 数，得kln 5<3ln5,即k<5;若2>，则53 2 1n2 3即（停）》 >52,两边同时取自然对数， 得(k-1)·ln >2n5,即k>2n5+1 3 5 1n /下面此较ln5和2n5+1的大小】 5 1n2 5 In 3 因为3n5 2ln5+1 3n5_2n5-1 5 5 1n2 1n3 5 In 3 1n2 1n53h号-2n号） 一1， 因为()-（侵）=罗空=器<0，所以 (3)<(侵），即3n号<2n,所以3血<血 5 。号 十1，所以k<3血5与>2血5+1不可能同时成立，故 5 1n3 B错误.] 9.BCD[因为f(x十2)为偶函数，所以f(一x十2) =f(x十2)，所以f(x)图象关于直线x=2对称， 故A错误，B正确； 又f(x)在(-∞，2]上单调递增，所以f(x)在(2，十∞)上单 调递减，所以f(-1)=f(5)<f(4),故C正确； 由不等式f(x十3)>f(4x)结合f(x)的对称性及单调 性，得x十3-2<4x-2, 即(x十3-2)2<(4x-2)2,即(5x-1)(3x-3)>0,解得 <号或>1， 所以不等式f(x+3)>f(4x)的解集为(-∞，)U (1,十∞)，故D正确.] 10.ABD[设函数f(x)=e十x-2,显然为增函数，f(0) =-1<0,f(合)=e立-吾>0，由已知fa)=0,故 0K<2,故A正确：由xlnx=1-2,有e片十 n子-2=0，则=h士i=又cm=2-,制 42-)=1,故B三确：由0<血<合得号<法 <x2<1,则x2>x1,故C错误；由x2（2-x1)=1,得x1 十-2，由于2<<1，得 0K十号一-2号故D正确门 11.解析：函数f(x)=(x-a)1n十也的定义城满足+b x >0,即x(x十b)>0, 由题知f(x)的定义域关于x=2对称，故b=一4. 则f(4一x)=f(x), 即x-a)n=4-x-a)1n x 故(x-a)1n二4=（x+a-4)1n二4， 则x-a=x十a一4，解得a=2.故a十b=-2. 答案：一2 12.解析：令y2+xT由x∈R,则有r+(3y-1)1 十4y=0, 当y=0时，有x=0; 当y≠0时，则有△=(3y-1)2-16y2=-7y2-6y十1 =-(7y-1)(y十1)≥0， 解得-1≤y≤号，又y≠0，即-1≤<0或0<≤号 上可得一1长分则)中十合-y x g[-] 故y=[f(x)]的值域是{-1,0,1. 答案：{-1,0,1} 13.解：(1)因为g(x)=(m2-m十1)xm-立是暴函数，所以 m2-m十1=1，解得m=0或m=1.当m=0时，g(x)= x立，g(x)在区间(0，十o∞)上单调递减，舍去；当m=1 时，g(x)=√元，g(x)在区间(0，十∞)上单调递增，符合 题意，故g(x)=√元.又当x>0时，f(x)=g(x)十2= √丘十2，且f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0, 当x<0时，-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-(√一x [WE+2, x>0, 十2)=-√-x-2.故fx)={0, x=0 -√/-x-2,x<0. (2)由f(t-2t)+f(2-k)>0,可得f(t-2t)> 一f(2t-k).因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以 f(t-2t)>f(-2t+k).由当x>0时，f(x)=√F+2 >2,可知f(x)在(0，十∞)上单调递增，当x<0时， f(x)=-√一元-2<-2，结合f(0)=0,f(x)为奇函 数，得f(x)是R上的增函数.故t一2t>-2十k,即 k<3-2x因为3-2=3（号）广-号t∈R,所以 31-2≥-子所以k<-言，即实数k的取值范国 是（，-）月 ·6 14.解：(1)函数的定义域为R,因为函数f(x)=log2(4+ 1)十kx为偶函数，所以f(-x)=f(x),即log2(4+ 1)-kx=l0g2(4十1)十kx,所以2kx=l0g2(4x十1)一 4*十1 4 log,(4+1D=log:4r+1=log:4=-2, 所以k=一1. (2)因为f(x)=log(4+1)-x=1og4+1= 2 1g(是）当≥0时，2≥1y=2+是单调逆 增，所以f(x)在[0，十∞)上单调递增.又函数f(x)为 偶函数，所以函数f(x)在（一∞，0]上单调递减.因为 f(2m十1)>f(m-1),所以2m十1|>m-1,解得 m<-2或m>0,所以不等式的解集为(-∞，一2)U (0,+∞). (3)因为函数f(x)与g(x)的图象有2个公共点，所以 方程f(x)=g(x)有两个不同的根，即l0g(4十1)-x =log(a·2十a)有两个不同的根，方程可化为a·2 十a=2=十分设=2，心0，到am+a=+} 2* 即(a-1)t十at-1=0.又t=2在R上单调递增，所以 方程(a一1)t2十at一1=0有两个不相等的正根，所以 「a-1≠0， △=a2-4(a-1)×(-1)>0, 7>0 解得2√2-2<a<1, la-7>0, 1 所以实数a的取值范围是(2√2-2,1). 特训4 1.B[函数f(x)=是n(2x 求子得fw)=是ln(2)+县 由线f代)在1=号处的切线斜率为 又曲线f()在x=处的切线与直线y=3x十5垂直， 所以3Xa=-1,解得a=一是] 2.A[f(x)的定义域为R,f(-x)=-f(x),且f(x)= 2Cosx-3<0,所以函数f(x)为R上的减函数且为奇函 数，因此f(ma-3)十f(a2)>0→f(ma-3)>-f(a2)= 2a-3<-a2, f(-a2)→ma-3<-a2,即 -2a-3<-a2 -3<a<1>-1<a<1.] 0-1<a<3