8.2用配方法解一元二次方程 同步自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）八年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册《8.2用配方法解一元二次方程》 同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 2．将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 3．用配方法将方程进行配方得到的是（   ） A． B． C． D． 4．已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 5．已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为（    ） A． B． C． D．4 6．若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是（    ）． A． B．9 C． D．2 8．如图，是佳佳用配方法解方程时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（   ） 解：，① ，② ，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题（满分24分） 9．一元二次方程的根是___________． 10．若代数式与的值互为相反数，则的值为________． 11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m取值范围是____． 12．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为_____． 13．若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为________． 14．新定义运算：，例如，则方程的解为______． 15．我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．如：．如果，则的值为_____． 16．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是__________． 三、解答题（满分72分） 17．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 18．利用配方法解方程：． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)配方，得＋____________，得（______）＝______， (2)降次，可得______＝______， (3)解得______，______． 19．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 20．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ③ 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 21．定义新运算“”：对于任意有理数，，都有． (1)计算：的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 22．小明在学习有关整式的知识时，将x的不同取值分别代入，发现了一个有趣的现象：当x的不同取值关于“”对称时，的值相等． x 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 请结合小明的探索方法解决下列问题： (1)当x的不同取值关于_________对称时，代数式的值相等； (2)当x的不同取值关于_________对称时，代数式的值相等； (3)若关于x的多项式的值关于“”对称，求b的值； (4)整式关于_________对称． 23．利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 通过直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ，． 故选：C． 2．D 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即，整理为的形式得， ，． 3．C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需遵循配方法步骤：移项、配方（等式两边加一次项系数一半的平方）、整理得到完全平方式，然后即可求解； 【详解】解：， ， ， ， 故选：C； 4．D 【分析】本题考查了解一元二次方程，由于平方数具有非负性，当为负数时，方程无实数解，熟练掌握平方数具有非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵对于所有实数，， ∴当时，方程没有实数解， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是将配方后的方程展开，与原方程对比系数求的值． 先将展开为，整理成一般式，再与原方程对比，得到． 【详解】配方后得到 ， 展开得 ， 即 ， 又原方程为 ， ． 故选B 6．B 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了配方法．设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出，再根据题意得出，最后求出答案即可． 【详解】解：设印刷不清的数字是a， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即印刷不清的数字是2， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．佳佳在配方法过程中，步骤②添加平方数时未保持方程平衡，导致错误． 【详解】解：原方程化简为， 移项得， 配方得，即， 但步骤②直接写为，即加4未调整右边，破坏方程平衡， ∴ 错误从步骤②开始． 故选：B． 9． 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． 根据直接开平方法计算即可． 【详解】解：， 直接开平方法得：， 故答案为：． 10．2 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元二次方程，由相反数的定义可得，再解一元二次方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 11． 【分析】该题考查了解一元二次方程，根据方程有两个不相等的实数根，得，解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】该题考查了一元二次方程的解，将根代入方程，得到关于的方程，解出的值，并确保二次项系数不为0． 【详解】解：因为方程有一个根为0， 所以代入，得：， 即， 解得：或． 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数，即． 因此． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解与根的关系，熟练掌握对一元二次方程根的推到能力是解题的关键． 首先需要将给定的方程展开，转化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的两个根，最后根据两根之差的绝对值建立等式，从而求出p的值． 【详解】解：将方程用直接开平方法求解： 对等式两边开平方，得， 由此可求出方程的两个根： ，， 接下来计算两根之差的绝对值： ， 已知， ， 解得． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据新定义运算列方程并解方程是解题的关键． 由新定义得，解方程即可． 【详解】解：由新定义得：， 解得：． 故答案为： ． 15． 【分析】本题考查的是新定义运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据新定义运算法则列式得，再进行化简计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 则， ∴ ， 则， ∴， ∴ ， 解得． 故答案为： 16．2025 【分析】本题主要考查了新定义运算和配方法求最小值问题，解决此题的关键是正确理解题目中新定义；由题中新定义得到的值，再把配方得到最小值即可； 【详解】解：∵一元二次方程与是“同族二次方程”， 即一元二次方程与是“同族二次方程”， 由新定义可知：此两个方程是一样的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴代数式的最小值是2025． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）解：（1）， ， 或， 解得，． （2）， ， ， ， 解得，． 【点睛】本题主要考查了用开平方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 按照配方法的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：配方，得，得， 故答案为； （2）解：降次，可得， 故答案为； （3）解得． 故答案为． 19．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，． 20．(1)② (2)见解析 【分析】（1）步骤②中，等式两边没有同时加1； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：第二步出现错误，原因是右边没有加1， 故答案为：②； （2）解：， 配方得，即， 开方得或， ∴． 21．(1)33 (2) (3) 【分析】本题考查了定义新运算的理解与应用，涉及代数运算和方程求解，以及解一元二次方程，解题的关键是准确理解新运算规则，并将其转化为常规数学表达式进行计算或列方程． （1）直接代入，计算； （2）将新运算转化为关于的方程，求解一元二次方程； （3）将代数式代入，展开化简后列方程求解． 【详解】（1）解： （2）解： ， 解得 （3）解： ， 整理得 解得 22．(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）根据新定义即可得出答案； （2）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义得出，求解即可； （4）将原式进行变形，最后得到，再判断即可． 【详解】（1）解：对于代数式，当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等， ∴关于对称， 故答案为：； （2）解：， ∴当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等，即的值相等， ∴关于对称， 故答案为：； （3）解：， ∴当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等，即的值相等， ∴多项式关于对称， ∵关于x的多项式的值关于“”对称， ∴， ∴； （4）解： ， ∴当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等，即的值相等， ∴多项式关于对称， 故答案为：． 23．(1) (2)．理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的解题过程进行模仿，得，再分析，得出，即可作答． （2）先整理得，，故，再分析，则，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ∴， 则； （2）解：，理由如下： 由题意，得， 则， ， ∵， ， 即， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $