1.2.3运用乘法公式进行计算和推理 同步练习 2025-2026学年湘教版七年级数学下册

1.2.3运用乘法公式进行计算和推理试题 一、选择题 1．下列各式从左到右的变形，正确的是(　　) A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知正方形与正方形的边长分别为、，如果，，则阴影部分的面积为（　　） A．38 B．39 C．40 D．41 4． 若 ，则 =（　　） A．3 B．6 C． D． 5．已知，，则的值是 A．33 B．41 C．57 D．65 6．若，，则的值为（ ） A． B．24 C．25 D．50 7．小萌在利用完全平方公式计算一个多项式的平方时，得到正确结果 ，但不小心把最后一项污染了，你认为它是(　　) A． B．5y2 C．10y2 D． 8．若 则a，b的值为(　　) A．a=3，b=9 B．a=-3，b=-9 C．a=3，b=-9 D．a=-3，b=9 9．如与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项式(a+b)"的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”. 根据“杨辉三角”计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为（　　） A．84 B．56 C．35 D．28 11．如果，那么（　　） A．16 B．14 C．196 D．194 12．若是完全平方差公式，则（　　） A． B． C．4 D．8 二、填空题 13．数学计算中给出如下定义：．若，，则的值为　 　． 14．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则　 　． 15． 若 ，则m的值是　 　. 16．已知，，则　 　． 17． 若n满足，则等于　 　． 三、解答题 18． x(3y-x)+y(2x-y)+(x-y)2， 其中x=3，y=-1. 19．计算： （1）． （2）． （3） （4）． 20．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：　 　； （2）如果图中的、满足，，求的值； （3）已知，求. 21．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形． （1）请你表示出图①中阴影部分的面积　 　； 请你表示出图②中阴影部分的面　 　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 　； （3）请应用公式计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C．，故本选项正确，符合题意； D．互为相反数，故本选项错误，符合题意． 故答案为：C． 【分析】分别根据完全平方公式逐一判断即可得出正确选项． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确，不符合题意； B、∵，∴B不正确，不符合题意； C、∵，∴C正确，符合题意； D、∵，∴D不正确，不符合题意； 故答案为：C. 【分析】利用单项式乘多项式，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方的计算方法逐项判断即可. 3．【答案】A 【解析】【解答】根据图象可得： S阴影=S正方形ABCD+S正方形CGFE-S△ABD-S△BGF=， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积为：38， 故答案为：A. 【分析】利用割补法求出阴影部分的面积即可。 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵(a2+b2+1)(a2+b2-1)=35 ∴[(a2+b2)+1][(a2+b2)-1]=35， (a2+b2)2-1=35， (a2+b2)2=36， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2=6. 故答案为：B. 【分析】根据平方差公式即可求解. 5．【答案】D 【解析】【解答】解： ∵，， ∴=(a-b)2+2ab =72+2×8=65. 故答案为：D. 【分析】将原式化为=(a-b)2+2ab ，再整体代入计算即可. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，， ∴，， 两式相加得：， 解得， 故答案为：C． 【分析】根据完全平方公式结合题意展开得到，，进而根据整式的加减运算将两式相加即可求解。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：根据(a+b)2=a2+2ab+b2知，=， 因此污染的项为25y2， 故答案为：D. 【分析】根据“(a+b)2=a2+2ab+b2”作答即可. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ 又(y+a)2=y2+2ay+a2， ∴2a=-6，b=a2， ∴a=-3，b=（-3）2=9， 故答案为：D. 【分析】根据完全平方公式“(a+b)2=a2+2ab+b2”展开(y+a)2，根据题意确定a、b的值. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：原式， 由结果不含的一次项，得到， 解得：， 故选：B． 【分析】 由平方差公式知，的结果不含x的一次项，即． 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵的第四项系数为： 的第四项系数为： 的第四项系数为： 的第四项系数为： ∴的第四项系数为： 故答案为：B. 【分析】根据图形中的规律求出的展开式中的第4项系数，即可求解. 11．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴ 故答案为：D． 【分析】本题考查完全平方公式的多次应用，解题思路是通过对已知条件进行两次平方运算，逐步推导出的值 . 12．【答案】A 【解析】【解答】解：∵是完全平方差公式， ∴， ∴ 故答案为：A． 【分析】本题考查考查完全平方公式的应用，解题关键是熟悉完全平方公式的结构。对于，要将其与完全平方公式对比，找出对应的和，从而确定的值. 13．【答案】 【解析】【解答】解：， 由题意得：， 整理得， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【分析】 先根据新定义变形得到，再利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项化简可得，把的值代入计算即可得y的值，解答即可． 14．【答案】2 【解析】【解答】解：依据二阶行列式的运算规则，可得到如下等式：将等式左边展开后得到： 去除括号后整理得： 合并同类项后得到： 最终解得： 因此，正确答案为： 【分析】本题考查了二阶行列式的运算、完全平方公式的应用、代数式的化简以及一元一次方程的求解。解题的关键在于： 1.正确理解二阶行列式的运算规则 2.准确应用完全平方公式展开表达式 3.正确处理代数式的展开和化简 4.正确求解一元一次方程 通过逐步展开和化简行列式表达式，最终转化为简单的一元一次方程，从而求得未知数x的值。 15．【答案】3 【解析】【解答】解：因为，已知，所以，则. 故答案为：3. 【分析】先对因式分解（平方差公式 ），再与对比，确定的值. 16．【答案】3 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】利用平方差公式可得，再结合，求出即可. 17．【答案】0 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】利用完全平方公式变形，可得，进而可得答案． 18．【答案】解：原式=3xy-x2+2xy-y2+x2-2xy+y2 =3xy 代入求值：当x=3，y=-1时，3xy=3×3×（-1) =-9 【解析】【分析】先利用单项式乘多项式、完全平方公式展开式子，再合并同类项化简，最后代入数值计算，关键是熟练运用乘法公式和合并同类项规则. 19．【答案】（1）解：原式=-1+4+1=4； （2）解：原式= =402 =1600； （3）解：原式=； （4）解：原式=4x2-1-4x2+4x =4x+1. 【解析】【分析】(1)先算乘方，负整数指数幂，0次幂，再算加法； (2)利用完全平方公式计算即可； (3)先计算乘方，再去括号即可； (4)先根据平方差公式，单项式乘多项式将代数式展开，再合并同类项即可. 20．【答案】（1） （2）解：由（1）题结果可得， ∴当，时， ， ∴； （3）解：设，， ∴， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∴. 【解析】【解答】解：（1）该图形的总面积为：或 故答案为：； 【分析】（1）由图形可得：大正方形的面积=长为a、宽为b的矩形面积的2倍+边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积，据此解答； （2）由（1）可得(a+b)2=a2+2ab+b2，将已知数据代入计算即可； （3）设x+9=a，x-1=b，则a-b=10，(x+9)2+(x-1)2=a2+b2=(a+b)2-2ab，代入求解可得ab的值，据此解答. 21．【答案】（1）； （2）(a+b)(a-b)=a2-b2 （3）解：应用乘法公式得： ． 【解析】【解答】解：（1）图①中：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ； 图②中：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 阴影部分长方形的长为(a+b），宽为（a-b）， . 故答案为：；； （2）由图可知，两图的阴影部分面积相等，故(a+b)(a-b)=a2-b2. 故答案为：(a+b)(a-b)=a2-b2； 【分析】（1）利用割补法可知，图①阴影部分面积可看成是大正方形面积减去小正方形面积，再利用正方形的面积公式表示出阴影部分面积；图②阴影部分面积可看出一个长方形，先求得长方形的长与宽，再表示出长方形的面积； （2）图②的阴影部分面积是由图①的两个小长方形拼接而成的，故两图的阴影部分面积相等，据此可得乘法公式 （3）先利用平方差公式对括号内的整式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可得出答案. 1 学科网（北京）股份有限公司 $