精品解析：陕西榆林市靖边中学等校2026届高三下学期3月份质量检测数学试题

2026届高三3月份质量检测 数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为虚数单位的幂的周期为，满足： 所以：，因此， 代入原式计算可得；. 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，又因为，所以 3. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 【答案】D 【解析】 【分析】设从核心区抽取的人数为人，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设从核心区抽取的人数为人， 因为各区的人口比例为，且从开发区抽取的人数为300， 可得，解得，即从核心区抽取的人数为人. 故选：D. 4. 设，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】验证充分性： 因，， 由得，因为，则，故，充分性成立； 验证必要性： 若，则，当且不为0时，，而， 则不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，则p的值是（ ）． A. 4或9 B. 2 C. 4 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】由点在抛物线上，可知，又， 所以，整理，解得或. 6. 《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 600种 【答案】D 【解析】 【分析】利用计数原理以及相邻问题捆绑法可得答案. 【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法； 4本相邻时共有种插法， 所以不同的插法共有600种， 故选：D. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. 20 C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 8. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值. 【详解】设直线与曲线的切点为. 对求导，根据，可得. 因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知， 在切点处，即. 又因为切点既在直线上又在曲线上， 所以且，即. 将代入可得：，即. 将代入可得： ， 所以当，时，取得最小值为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量X服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 是偶函数 C. D. 是增函数 【答案】CD 【解析】 【详解】由随机变量服从正态分布，所以函数，即A错误； 利用正态分布对称性可得，, 因此可得，可知B错误，C正确； 由函数，所以是单调递增函数，即D正确. 10. 已知数列的前项和为，若，，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等比数列的定义可判断A选项；求出数列的通项公式，代值计算可得的值，可判断B选项；利用作差法可判断C选项；当时，放缩得出，结合等比数列的求和公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为数列的前项和为，且，， 则，所以， 且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，A对； 对于B选项，由A选项可知，故， 所以，B错； 对于C选项， 对任意的恒成立，所以，C对； 对于D选项，当时，， 所以 ，D对. 11. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的下焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ）． A. 椭圆的离心率是 B. 线段长度的取值范围是 C. 的周长存在最大值 D. 面积的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本量求出离心率后判断A，根据A中的结果求出椭圆方程后可求并求出其范围后判断B，根据B中结果求出的周长，结合单调性可判断C的正误，求出面积并结合基本不等式可求面积的最大值后可判断D的正误. 【详解】对于A，圆的方程为，故其直径为6，故椭圆的短半轴为， 而，故，故离心率为，故A正确； 对于B，由A的分析可得椭圆的方程为， 由得，由得， 故，，故，其中， 故的取值范围为，故B正确； 对于C，的周长， 由B中分析可得， 其中， 因为均为上的减函数， 故为上的减函数，故无最大值，故C错误； 对于D，设面积为， 则， 当且仅当即时等号成立， 故面积有最大值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，．若为实数，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由向量的坐标运算，结合向量共线时的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得， 若，则，解得. 13. 已知各项均不相同的等差数列的前n项和为，若、、成等比数列，且，则______． 【答案】9 【解析】 【详解】设各项均不相同的等差数列的公差为， 由，得，解得， 由、、成等比数列，得，则，， 所以. 14. 半径为2的球O的球面上有四点A，B，C，D，其中AD为球O直径，是等边三角形，若，则四面体ABCD的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据几何图形表示，则条件转化为，再根据几何意义表示数量积，从而求得等边三角形所在圆的半径，再表示底面面积，以及高，最后根据三棱锥体积公式求解. 【详解】如图， 点是等边三角形所在圆的圆心， 连接，并延长交于点，交球于点，连结， 因为是球的直径，所以三点在大圆上，所以， 设，则，则，则， 因为，所以，即， ，得， 所以，， 所以四面体的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简函数解析式为，利用周期公式计算即得； （2）利用三角恒等变换将函数解析式化为，结合与正弦函数的性质即可求得其最小值. 【小问1详解】 函数， 所以， 所以函数， 所以函数的最小正周期为． 【小问2详解】 函数 ， 当时，， 故当时，即时，函数取得最小值为． 16. 已知焦距为的双曲线的一条渐近线与直线垂直． （1）求双曲线C的方程； （2）已知数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点在双曲线C上，求证：． 【答案】（1） （2）证明：点 在双曲线 上，代入双曲线方程得： ， 又因为，即 ； 是公差为 4 的等差数列，设首项为 ，则通项为 ； 由 ，且 ，可知 单调递增； 由 ，得： ， 因 公差为 4 ，故 ，代入得： 证明 ： 由 ，得 ，且分母 ，因此 . 证明 ： 对分母放缩：， 因此分母 . 代入， 综上， 得证. 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直可知斜率之积为 ，可得，再利用待定系数法即可求解. （2）点 在双曲线 上，代入双曲线方程得，计算 并分析范围；再分析数列 的通项，再通过分母放缩可证得，从而得证. 【小问1详解】 由已知，则，∴， ∵双曲线C的一条渐近线与直线垂直， ∴这条渐近线的斜率为2，即， 由，解得（负值舍去）， ∴双曲线C的方程为． 【小问2详解】 略 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，分别为，的中点． （1）证明：侧面为矩形； （2）若，求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接，由题知，是的中点，∴， ∵平面，而平面平面，∴平面， 又平面，∴． 又，，平面，∴平面， 又平面，∴． ∵分别是，的中点，∴，∴． ∴侧面为矩形． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的传递性可得平面，从而可得，根据等腰可得，故可证明平面，从而可得，根据平行关系可得，从而可证侧面为矩形． （2）以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 易知，，， ∴，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，取． ∴， ∴直线与平面夹角的正弦值为． 18. 有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）． （1）若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； （2）用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值； （3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设小组中有酶的人数为X，依题意，可知，分别求出与，利用条件概率公式即可求出恰有2人有酶的概率； （2）设每组检测次数，则易得，求出其分布列和数学期望，进而可求得总检测次数的期望； （3）利用（2）中若分组检测，由检测次数的期望求得总成本期望，若逐一检测，则总成本为，依题意，代值计算即得的取值范围. 【小问1详解】 设小组中有酶的人数为X，则． 已知混合样本阳性，即，则恰有2人有酶的概率为 ． 【小问2详解】 设每组检测次数，则的分布列为 1 p 期望为 则总检测次数的期望； 【小问3详解】 若分组检测，检测次数的期望为． 总成本期望为， 若逐一检测，则总成本为．由节省50%以上得． 代入，，，得， 整理得，因此，，故的取值范围是． 19. 已知函数，． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点； （3）在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导判断函数在上单调性，结合求解不等式； （2）分和讨论，利用导数判断单调性进而判断零点个数； （3）由（2）知，，，在上单调递增，利用分析法要证，只要证，即证，结合，即证，构造函数，利用导数证明. 【小问1详解】 由题知的定义域为，且， 若，则,又,故恒成立，在上单调递增， 又，故不等式的解集为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递增，没有极值点； 当时，，由函数，（）的图象知， 当时，存在唯一的，使， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故只有1个极值点， 因为，且，故1是在区间上唯一的零点，且， 又时，，故存在唯一的，使得， 所以有两个零点. 【小问3详解】 由（2）知，，，， 当时，，时，， 又在上单调递增， 要证，只要证，即证， 由，得，即要证， 因为，则，所以只需证，（*） 设（），则，令， 则，显然在上单调递增，且， 所以在上恒成立，故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 所以在上单调递增，又，故， 故，得到，即（*）式成立， 故，从而，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三3月份质量检测 数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（ ）． A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 4. 设，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，则p的值是（ ）． A. 4或9 B. 2 C. 4 D. 9 6. 《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 600种 7. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. 20 C. 16 D. 8. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量X服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 是偶函数 C. D. 是增函数 10. 已知数列的前项和为，若，，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C. D. 11. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的下焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ）． A. 椭圆的离心率是 B. 线段长度的取值范围是 C. 的周长存在最大值 D. 面积的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，．若为实数，且，则______． 13. 已知各项均不相同的等差数列的前n项和为，若、、成等比数列，且，则______． 14. 半径为2的球O的球面上有四点A，B，C，D，其中AD为球O直径，是等边三角形，若，则四面体ABCD的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最小值． 16. 已知焦距为的双曲线的一条渐近线与直线垂直． （1）求双曲线C的方程； （2）已知数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点在双曲线C上，求证：． 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，分别为，的中点． （1）证明：侧面为矩形； （2）若，求直线与平面夹角的正弦值． 18. 有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）． （1）若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； （2）用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值； （3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：） 19. 已知函数，． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点； （3）在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $