陕西榆林市靖边中学等校2026届高三下学期3月份质量检测数学试题

2026届高三3月份质量检测 数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（ ）． A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 4. 设，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，则p的值是（ ）． A. 4或9 B. 2 C. 4 D. 9 6. 《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 600种 7. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. 20 C. 16 D. 8. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量X服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 是偶函数 C. D. 是增函数 10. 已知数列的前项和为，若，，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C. D. 11. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的下焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ）． A. 椭圆的离心率是 B. 线段长度的取值范围是 C. 的周长存在最大值 D. 面积的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，．若为实数，且，则______． 13. 已知各项均不相同的等差数列的前n项和为，若、、成等比数列，且，则______． 14. 半径为2的球O的球面上有四点A，B，C，D，其中AD为球O直径，是等边三角形，若，则四面体ABCD的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最小值． 16. 已知焦距为的双曲线的一条渐近线与直线垂直． （1）求双曲线C的方程； （2）已知数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点在双曲线C上，求证：． 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，分别为，的中点． （1）证明：侧面为矩形； （2）若，求直线与平面夹角的正弦值． 18. 有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）． （1）若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； （2）用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值； （3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：） 19. 已知函数，． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点； （3）在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 2026届高三3月份质量检测 数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】9 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）证明：点 在双曲线 上，代入双曲线方程得： ， 又因为，即 ； 是公差为 4 的等差数列，设首项为 ，则通项为 ； 由 ，且 ，可知 单调递增； 由 ，得： ， 因 公差为 4 ，故 ，代入得： 证明 ： 由 ，得 ，且分母 ，因此 . 证明 ： 对分母放缩：， 因此分母 . 代入， 综上， 得证. 【17题答案】 【答案】（1）证明：如图，连接，由题知，是的中点，∴， ∵平面，而平面平面，∴平面， 又平面，∴． 又，，平面，∴平面， 又平面，∴． ∵分别是，的中点，∴，∴． ∴侧面为矩形． （2）． 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）由（1）知，当时，在上单调递增，没有极值点； 当时，，由函数，（）的图象知， 当时，存在唯一的，使， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故只有1个极值点， 因为，且，故1是在区间上唯一的零点，且， 由，， 令，则， 在单调递增，所以，所以， 所以， 令，则， 令，则， 所以当时，，单调递减； 所以当时，，单调递增； 所以，即， 所以当时，，则， 所以在单调递增，， 则，所以， 故存在唯一的，使得， 所以有两个零点. （3）由（2）知，，，， 当时，，时， ， 又在上单调递增， 要证，只要证，即证， 由，得，即要证， 因为，则，所以只需证，（*） 设（），则，令， 则，显然在上单调递增，且， 所以 在上恒成立，故在上单调递增， 又，故 在上恒成立， 所以在上单调递增，又，故， 故，得到，即（*）式成立， 故，从而，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $