勾股定理的应用8种高频考点专项训练 2025—2026学年人教版数学八年级下册

勾股定理的应用8种高频考点专项训练 勾股定理的应用8种高频考点专项训练 考点目录 勾股定理的应用：梯子滑落高度问题 勾股定理的应用：旗杆高度问题 勾股定理的应用：大树折断前高度问题 勾股定理的应用：水杯中筷子问题 勾股定理的应用：航海问题 勾股定理的应用：汽车是否超速问题 勾股定理的应用：选址问题 勾股定理的应用：最短路径问题 考点一 勾股定理的应用：梯子滑落高度问题 例1．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时． (1)求的长． (2)如果小李说梯子的顶端A沿墙下滑到点，那么梯子底端B也外移到，小李判断的对吗？说说你的理由． 【答案】(1) (2)小李的判断错误，理由见解析 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：小李的判断错误，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴ ∴梯子的顶端沿墙下滑时，梯子底端并不是也外移，而是外移， ∴小李的判断错误． 例2．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图所示，一架长为2.5米的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙的距离为0.7米． (1)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到D，求梯子底部B向外移动的距离？ (2)如果梯子底部B向外移动的距离为1.7米，那么顶部A下滑的距离是否与相等？请给予说明． 【答案】(1)0.8米 (2)相等，理由见解析 【详解】（1）解∶在中，，，， ∴， 根据题意，得，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：梯子底部B向外移动的距离为0.8米； （2）解：相等， 理由：当时，， 在中，，， ∴， ∴， ∴顶部A下滑的距离与相等． 变式1．（24-25八年级下·广东广州·月考）如下图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端到左墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．已知点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，，． (1)求墙的高度． (2)求竹竿的长度． 【答案】(1)墙的高度为 (2)竹竿的长度为 【详解】（1）解：设墙的高度为h米，竹竿长度为L米． 在中，； 在中，． ∵两次竹竿长度相等， ∴． 展开并化简： ． 故墙的高度为． （2）解：将代入的勾股定理式： 故竹竿的长度为． 变式2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高米（即米），施救点距离地面的高度为米，此时云梯的长度为米． (1)求云梯底部到楼房的距离． (2)消防员发现在处上方米的处有人未撤离，为了救出处的被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部需沿方向前进多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1），， ． 在中， （米） 答：云梯底部到楼房的距离为米． （2）由题意，得， 由（1）可知 ． 在中， 米 由（1）可知 米 答：云梯底部需沿方向前进米． 考点二 勾股定理的应用：旗杆高度问题 例1．（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并解答问题． 今天，我在参加学校举办的升国旗仪式时，发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面时，其末端刚好与旗杆底端重合，那么，能不能借助这段绳子的长度测量旗杆的高度呢？我设计了如下测量方案： 【测量方案】 如图，线段表示旗杆，点A是旗杆的顶端，用手拉住绳子末端，从点B处后退，当绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点D处，此时测得点D到地面的距离为2米，B，C两点之间的距离为8米，已知A，B，C，D四点均在同一竖直平面内． 【计算过程】 解：如图，过点D作于点E， ∴米，米， … 请将小聪的计算过程补充完整． 【答案】旗杆的高度为17米 【详解】解：由题意知，四边形是矩形， ∴米，米， 设旗杆的高度为x米， 则的长度为米， 在中，，，， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴旗杆的高度为17米． 例2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线剩的情况下，如图，若想要让风筝的离地高度再上升至处，请判断小明能否成功，并说明理由． 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为； (2)风筝的离地高度能再上升至处，理由见解析． 【详解】（1）解：作交于点， 由题意得， 四边形是矩形， ，， 中，， ， 故风筝离地面的垂直高度为； （2）解：假设风筝的离地高度能再上升至处， 此时， ， 中，， ， ， 即， 故在余线剩的情况下，风筝的离地高度能再上升至处． 变式1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，我校数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为3米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】(1)4米； (2)小明需要后退1米． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为4米； （2）解：如图，过E作于点M， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， 由勾股定理得：（米）， ∴米， ∴（米）， 答：小明需要后退1米． 变式2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度为米 (2)他应该朝射线方向前进4米 【详解】（1）解：中， 米， 米， 答：此时风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：米， 由题意可得：米， 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 考点三 勾股定理的应用：大树折断前高度问题 例1．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则有，， ∵， ∴，即， 解得：； 即． 例2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 【答案】米 【详解】解：设水泥墙的高度为x米，则米, 由题意，知， 所以, 因为两名运动员所经过的路程长度相等， 所以，即， 所以米, 在中，由勾股定理得，即， 解得，即米, 答：水泥墙的高度为米． 变式1．（25-26八年级上·山东济南·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈（），竹子折断后，竹梢触地点离竹根3尺（尺）．问折断处离地面多高？ 【答案】折断处离地面4.55尺 【详解】解：设长x尺，则长尺， ∵在中，， ∴， ∴，，， 解得． 答：折断处离地面尺． 变式2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车；理由见解析 【详解】解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 考点四 勾股定理的应用：水杯中筷子问题 例1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 【详解】（1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 例2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：尺寸，结果用尺表示） 【答案】池塘水深尺，荷花长尺． 【详解】解：设池塘水深度为尺，则荷花原长为尺，由于荷花位于水池中央，所以为尺， 在中，，即， 解得：． ∴池塘水深为尺，荷花长度为， 答：池塘水深尺，荷花长尺． 变式1．（24-25八年级下·福建厦门·月考）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，，求的长． 【答案】的长为 【详解】解：设，则， 由题意，得， 解得，即． 变式2．（24-25八年级上·北京·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度和芦苇的长度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； (2)见解析 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ； 即尺，尺； 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 考点五 勾股定理的应用：航海问题 例1．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】(1)“远方”号沿东南方向航行 (2)25海里 【详解】（1）解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． （2）解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 例2．（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【答案】(1)750海里 (2)12小时 【详解】（1）解：由题意，得：，， ， 海里，海里， （海里）， 即渔船A与渔船B之间的距离为750海里； （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里， ， ， ， （海里）， 海里， （海里）， 则（海里）， 行驶时间为（小时）， 答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时． 变式1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，某渔轮在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在海军舰艇的北偏东、距离为海里的处，并测得该渔轮正沿南偏东的方向行进．海军舰艇立即沿北偏东的方向前去营救，与渔轮在处相遇．求渔轮的航程和海军舰艇的航程． （参考数据：．） 【答案】渔轮的航程为20海里，海军舰艇的航程为52海里 【详解】解：如图，过A，B，C三点构造矩形，过点C作于点F，过点B作于点O， 根据题意，得，，，海里， （海里）， （海里）， 又四边形是矩形，四边形是矩形， 设海里， （海里），（海里）， 又四边形是矩形，四边形是矩形， （海里）， （海里）， （海里）， （海里）， ， ， （海里）， 故， 故， 解得， （海里）， （海里）， 故（海里）， 答：渔轮的航程为20海里，海军舰艇的航程为52海里． 变式2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）一船在海面处看见一灯塔在它的正北方向，另一个灯塔在它的北偏西，此船在正西航行海里后到，这时灯塔、分别在它的东北、西北方向，求这两个灯塔间的距离结果保留根号． 【答案】这两个灯塔间的距离为海里 【详解】解：如图所示：过点作交的延长线于点， ，， ， ，，，， ，， 设，则， 故， 解得：，则， ∵， ∴， 则（海里）， 答：这两个灯塔间的距离为海里． 考点六 勾股定理的应用：汽车是否超速问题 例1．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 例2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 变式1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 变式2．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2)该车超速，理由见详解 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 考点七 勾股定理的应用：选址问题 例1．（25-26八年级上·四川攀枝花·期末）如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离、分别为、，公路上的A、B两地相距，现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等． (1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置（提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (2)求出该医院离A地的距离．（提示：若第（1）问未完成，可画简图完成此问） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，则点E就是医院的建造位置，如图所示： （2）解：连接，设，则. ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 解得， 答：该医院离A地的距离 例2．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图所示，铁路上A、B，两点相距，C、D为两工厂，于A，于B，已知，，现要在上建一个货运中转站E，使得C、D两工厂到E站的距离相等，则E站应建在距A点多远处？ 【答案】E站应建在距A点处 【详解】解：设，则， ∵于A，于B， ∴， ∴，， 由题意得：， ∴，即， 解得：， 答：E站应建在距A点处． 变式1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，表示一条铁路，A、B是两个城市，它们各自到铁路所在的直线的垂直距离分别为60千米和40千米，铁路上C、D两地相距80千米．现要在铁路上C、D两地之间建一个中转站O，使它到A、B两个城市的距离相等． (1)请用圆规和无刻度的直尺在图中作出点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求中转站O离C地的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图；作的垂直平分线与交于点O，即； （2）解：由题可知：， ， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴中转站O离C地的距离为. 变式2．（25-26八年级上·上海闵行·月考）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41；（2）（千米）； 【详解】解：小试牛刀：由图可知： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，    则：，， ， 在中，由勾股定理，得， （千米）， ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，则，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 考点八 勾股定理的应用：最短路径问题 例1．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm 【详解】（1）解：如图所示： 该圆柱的展开图为矩形，将圆柱沿点A竖直剪开，则点在与点所在的线段的对边中点正下方1cm处． （2）解：如图， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程． 由题意知，，，， 根据勾股定理，得， ． 答：蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm． 例2．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 【答案】村庄A到村庄B的最短路线为6千米 【详解】解：将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线， 由题意得，到B的垂直距离为， 由勾股定理得：， ∴总路径为 ， ∴村庄A到村庄B的最短路线为6千米． 变式1．（24-25八年级下·广东惠州·月考）葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）： (1)如图，若树底面的周长为，从点绕1圈到点，葛藤升高，则它绕树盘旋的最短路程是多少分米？ (2)若树底面的周长为，葛藤绕树1圈的路程是，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？ 【答案】(1) (2)   【详解】（1）解：如图①，将树的一部分沿侧面展开，得到长方形， 则长方形的对角线的长为最短路径． 由题意，得，． 由勾股定理，得． 故葛藤绕树盘旋的最短路程是． （2）解：如图②，同（1）得到长方形，则由题意得，． 由勾股定理，得， 葛藤绕树1圈升高． 若绕树圈到达树顶，则树干的高为． 变式2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $勾股定理的应用8种高频考点专项训练 勾股定理的应用8种高频考点专项训练 考点目录 勾股定理的应用：梯子滑落高度问题 勾股定理的应用：旗杆高度问题 勾股定理的应用：大树折断前高度问题 勾股定理的应用：水杯中筷子问题 勾股定理的应用：航海问题 勾股定理的应用：汽车是否超速问题 勾股定理的应用：选址问题 勾股定理的应用：最短路径问题 考点一 勾股定理的应用：梯子滑落高度问题 例1．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时． (1)求的长． (2)如果小李说梯子的顶端A沿墙下滑到点，那么梯子底端B也外移到，小李判断的对吗？说说你的理由． 例2．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图所示，一架长为2.5米的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙的距离为0.7米． (1)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到D，求梯子底部B向外移动的距离？ (2)如果梯子底部B向外移动的距离为1.7米，那么顶部A下滑的距离是否与相等？请给予说明． 变式1．（24-25八年级下·广东广州·月考）如下图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端到左墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．已知点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，，． (1)求墙的高度． (2)求竹竿的长度． 变式2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高米（即米），施救点距离地面的高度为米，此时云梯的长度为米． (1)求云梯底部到楼房的距离． (2)消防员发现在处上方米的处有人未撤离，为了救出处的被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部需沿方向前进多少米？ 考点二 勾股定理的应用：旗杆高度问题 例1．（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并解答问题． 今天，我在参加学校举办的升国旗仪式时，发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面时，其末端刚好与旗杆底端重合，那么，能不能借助这段绳子的长度测量旗杆的高度呢？我设计了如下测量方案： 【测量方案】 如图，线段表示旗杆，点A是旗杆的顶端，用手拉住绳子末端，从点B处后退，当绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点D处，此时测得点D到地面的距离为2米，B，C两点之间的距离为8米，已知A，B，C，D四点均在同一竖直平面内． 【计算过程】 解：如图，过点D作于点E， ∴米，米， … 请将小聪的计算过程补充完整． 例2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线剩的情况下，如图，若想要让风筝的离地高度再上升至处，请判断小明能否成功，并说明理由． 变式1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，我校数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为3米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 变式2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 考点三 勾股定理的应用：大树折断前高度问题 例1．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度． 例2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 变式1．（25-26八年级上·山东济南·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原高一丈（），竹子折断后，竹梢触地点离竹根3尺（尺）．问折断处离地面多高？ 变式2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 考点四 勾股定理的应用：水杯中筷子问题 例1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 例2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：尺寸，结果用尺表示） 变式1．（24-25八年级下·福建厦门·月考）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，，求的长． 变式2．（24-25八年级上·北京·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度和芦苇的长度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 考点五 勾股定理的应用：航海问题 例1．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 例2．（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 变式1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，某渔轮在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在海军舰艇的北偏东、距离为海里的处，并测得该渔轮正沿南偏东的方向行进．海军舰艇立即沿北偏东的方向前去营救，与渔轮在处相遇．求渔轮的航程和海军舰艇的航程． （参考数据：．） 变式2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）一船在海面处看见一灯塔在它的正北方向，另一个灯塔在它的北偏西，此船在正西航行海里后到，这时灯塔、分别在它的东北、西北方向，求这两个灯塔间的距离结果保留根号． 考点六 勾股定理的应用：汽车是否超速问题 例1．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 例2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 变式1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 变式2．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 考点七 勾股定理的应用：选址问题 例1．（25-26八年级上·四川攀枝花·期末）如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离、分别为、，公路上的A、B两地相距，现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等． (1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置（提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (2)求出该医院离A地的距离．（提示：若第（1）问未完成，可画简图完成此问） 例2．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图所示，铁路上A、B，两点相距，C、D为两工厂，于A，于B，已知，，现要在上建一个货运中转站E，使得C、D两工厂到E站的距离相等，则E站应建在距A点多远处？ 变式1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，表示一条铁路，A、B是两个城市，它们各自到铁路所在的直线的垂直距离分别为60千米和40千米，铁路上C、D两地相距80千米．现要在铁路上C、D两地之间建一个中转站O，使它到A、B两个城市的距离相等． (1)请用圆规和无刻度的直尺在图中作出点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求中转站O离C地的距离． 变式2．（25-26八年级上·上海闵行·月考）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 考点八 勾股定理的应用：最短路径问题 例1．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 例2．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 变式1．（24-25八年级下·广东惠州·月考）葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）： (1)如图，若树底面的周长为，从点绕1圈到点，葛藤升高，则它绕树盘旋的最短路程是多少分米？ (2)若树底面的周长为，葛藤绕树1圈的路程是，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？ 变式2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $