第20章 勾股定理 单元复习卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 人教版八年级下册勾股定理单元复习卷，立足文化传承与生活应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，考查勾股定理及逆定理、勾股数等核心知识，适配暑假复习，培养数学抽象、几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|勾股数判定、直角三角形识别、数轴表示无理数|结合《周髀算经》渗透文化，网格问题培养几何直观| |填空题|6题|第三边分类讨论、四边形面积计算、尺规作图应用|旗杆折断等生活情境，考查空间观念与运算能力| |解答题|5题|飞镖零件面积、海伦-秦九韶公式、动态旋转最值|跨学科整合数学史，综合应用培养推理能力与创新意识|

第20章勾股定理复习卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．12，13，14 B．24，25，26 C．9，30，31 D．9，40，41 2．下列三边能够组成直角三角形的是（     ） A．，， B．1，2， C．3，5，8 D．2，3，4 3．已知，对于以a，b，c为三边长的三角形的形状，以下判断中正确的是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（     ）m路，却踩伤了花草 A．1 B．5 C．2 D．7 5．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 6．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形．若正方形A，C的面积分别为1和6，则正方形B的面积为（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，数轴上点A所表示的数为,则的值是(      ) A． B． C． D． 8．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1， 的顶点A，B，C均正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 9．在中，，点O为的三条角平分线的交点，，点D，E，F分别为垂足，且，则点O到三边的距离分别是（     ） A．2，2，2 B．3，3，3 C．4，4，4 D．2，3，5 10．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 二、填空题 11．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 12．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米． 13．如图，，，，，，则四边形的面积是______． 14．如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为__________． 15．如图，等边中，是上一点，且，点为AB边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则的最小值为__________． 16．如图，在中，，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接，则线段的长为________． 三、解答题 17．如图，某精密仪器的零件的平面图呈“飞镖”状（凹四边形），其中，，，，．若制作该零件的成本为20元，问每生产一个这种零件需要投入多少元？ 18．如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点． (1)求的值； (2)如果，且，．求的长． 19．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 20．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积．这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式． (1)如图1，若的三边长依次为，，． ①利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S； ②除了利用以上两个公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积S？请写出求解过程； (2)如图2，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 21．解答下列问题： (1)如图1，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，使，连接，试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，，连接，若，求的长； (3)如图3，在四边形中，连接，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第20章勾股定理复习卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C A A C C A B 1．D 【分析】勾股数的定义为：三个正整数中，若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数. 本题只需依次验证各选项是否满足该条件即可． 【详解】解：A：∵ ，，， ∴ 12，13，14不是勾股数； B：∵ ，， ， ∴ 24，25，26不是勾股数； C：∵ ，， ， ∴ 9，30，31不是勾股数； D：∵ ， ∴ 9，40，41是勾股数． 2．B 【分析】利用勾股定理的逆定理结合三角形三边关系判断即可；先确定每个选项中最长边，计算两短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，即可得出结论． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长，满足，则该三角形为直角三角形，且需先满足三角形三边关系：两边之和大于第三边 选项A：三边长为，最长边为，，，，不能组成直角三角形，不符合题意； 选项B：三边长为，最长边为，，，且满足三边关系，，能组成直角三角形，符合题意； 选项C：三边长为，，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； 选项D：三边长为，最长边为，，，，不能组成直角三角形，不符合题意． 3．D 【分析】利用非负数的性质求出三边长，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状即可. 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∵，， ∴， 该三角形是直角三角形， 又∵， ∴该三角形是等腰直角三角形. 4．C 【分析】根据勾股定理求出，再根据解答． 【详解】解：如图所示，根据题意，得， 根据勾股定理，得， 则， 所以他们仅仅少走了路． 5．A 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再设点C到的距离是h，根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 设点C到的距离是h， 根据题意，得， 即， 解得， 所以点C到的距离是． 6．A 【分析】首先得到，，证明，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意得，， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴正方形B的面积为7． 7．C 【分析】根据勾股定理求出斜边长，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，图中直角三角形的两直角边为和， ∴斜边长为， ∴点A所表示的数为． 8．C 【分析】利用网格，根据勾股定理计算三边长度的平方，利用勾股定理逆定理判断三角形形状，进而计算面积和点到直线的距离，逐一排查选项． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ，故A选项结论正确； ， 是直角三角形，且，故B选项结论正确； ∴ ，故C选项结论错误； 设点 到直线的距离为 ， ，即， ，故D选项结论正确． 9．A 【分析】首先利用勾股定理求出的长，然后根据角平分线的性质得出点到三边的距离相等，设为，等积法建立关于的方程求解即可. 【详解】解： ∵，，， ∴； ∵点为的三条角平分线的交点，，，， ∴； 设， 连接，，， ∵， ∴，即， 解得； ∴点到三边，，的距离分别是，，. 10．B 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，根据，求出， 根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 11．10或 【分析】分两种情况：第一种，6和8是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理求第三边的长；第二种，8是直角三角形的斜边长，6是直角边长，根据勾股定理求第三边的长． 【详解】解：本题可分两种情况讨论： 情况一：若6和8均为直角边长，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为； 情况二：若8为斜边长，6为直角边长，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为． 12．8 【分析】根据勾股定理，计算，再根据旗杆高度为计算即可． 【详解】如图： 由题意得：，，， ∴， ∴（米） 答：这根旗杆被吹断裂前至少有8米． 13．24 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 14．9 【分析】根据图形和题意，可知阴影部分的面积为，然后根据勾股定理可知，进而可以求得图中阴影部分的面积． 【详解】解：由已知可得，阴影部分的面积为， ∵，， ∴， ∴ ． 15． 【分析】过点N作于点F，过点N作于点H，则，证明，得出，求出，得出点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是，作点C关于该直线的对称点E，连接，则，说明当点A，N，E三点共线时，最小，即最小，连接交该直线于G，则，，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，过点N作于点F，过点N作于点H，则，    ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是， 作点C关于该直线的对称点E，连接，则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点A，N，E三点共线时，最小，即最小， 连接交该直线于G，则，， ∴， ∴的最小值为． 16． 【分析】由作图方法可知，垂直平分，则，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴ 17．480元 【分析】连接，根据勾股定理得到，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据割补法计算即可. 【详解】解：连接， 在中，， 又∵，，， ． 根据勾股定理的逆定理，得是直角三角形，且， ∴所需费用为（元）． 答：每生产一个这种零件需要投入480元． 18．(1)； (2)的长为9 【分析】（1）连接，设，由得；设，由得．结合中线平分三角形面积的性质，可推导出，可得，故． （2）由同高和面积比可得底边的比例，结合得．因，在中，由勾股定理得．同理，得，可得的值． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵、是的中线， ∴，， 设， ∵，且与同高， ∴， ∴， 设， ∵，且与同高， ∴， ∴， 同理可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，， ∵与同高， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， 同理可得，，即， ∴， ∴． 19．(1) (2)没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ； 这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ； （2）略 20．(1)①；②如图，过点作于点， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； (2)36 【分析】（）先求出的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可求解；直接根据秦九韶公式即可求解； 如图，过点作于点，设，则，利用勾股定理求出，，然后利用三角形面积公式求解； （）连接，由勾股定理得，证明，最后利用该四边形的面积即可求解． 【详解】（1）解：海伦公式： ∵，，， ∴， ∴ ； 秦九韶公式： ∵，，， ∴ ； 略 （2）解：连接，如图， ∵，，， ∴， ∵ ∴是直角三角形，且， ∴该四边形的面积． 21．(1)猜想：，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (2)9 (3)20 【分析】（1）先说明，再根据“边角边”证明，可得答案； （2）根据等腰直角三角形的性质说明，再根据“边角边”证明，可得，然后根据勾股定理求出，接下来说明是直角三角形，最后根据勾股定理得出答案； （3）连接，可得是等边三角形，再把绕点D顺时针旋转得到，连接，则是等边三角形，然后说明，最后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】（1）略 （2）解：∵等腰和等腰中，， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵ ， ∴． ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， ∵， ∴是等边三角形， 把绕点D顺时针旋转得到，连接， 则是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $