勾股定理5种高频考点专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理5种高频考点专项训练 勾股定理5种高频考点专项训练 考点目录 勾股定理解三角形 勾股数与勾股树问题 勾股定理与网格问题 勾股定理与折叠问题 勾股定理与弦图计算问题 考点一 勾股定理解三角形 例1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，为边上的一点，，求面积． 例2．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 例3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D在边上，且，若，，，求的长． 例4．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若、． (1)求证：平分； (2)已知，，，求的长． 变式1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 变式2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 变式3．（24-25八年级下·宁夏固原·月考）如图，在中，，垂足为D，，延长至E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长和面积． 变式4．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）如图，四边形中，，． (1)求的度数; (2)求四边形的面积． 考点二 勾股数与勾股树问题 例1．（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）下列三组数中，是勾股数的是（　　） A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6 例2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级上·山西太原·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．5，13，14 D．3，4，5 变式2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 变式3．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，分别以Rt的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点三 勾股定理与网格问题 例1．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级下·天津·月考）如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 例3．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图是一张正方形方格纸，点A、B、C均在格点上，方格线上有，，，四个点，其中有一点既满足到两边的距离相等，又满足到点A，B的距离相等，该点可能是（　　） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 考点四 勾股定理与折叠问题 例1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 例2．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 例3．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）如图，将矩形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________． 例4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，．现将进行折叠，使顶点A，B重合，折痕为，点D，E分别在，上．则线段的长为__________． 变式1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 变式2．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形时，的长为_____． 变式4．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 考点五 勾股定理与弦图计算问题 例1．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的1个大正方形．若大正方形的面积为23，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边长为a，b，则的值为（   ） A．43 B．45 C．46 D．49 例2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连接并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 变式1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A．36 B．25 C．19 D．4 变式2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）勾股定理在我国有着悠久的历史．古代数学家赵爽在《周髀》中利用“勾股方圆图”直观的证明了勾股定理．后人通常把右图称为“赵爽弦图”．如右图所示，点坐标为，点坐标为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·四川巴中·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了著名的“赵爽弦图”（如图1）．现分别连接大、小正方形的四组顶点，得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为10，较短直角边为6，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $勾股定理5种高频考点专项训练 勾股定理5种高频考点专项训练 考点目录 勾股定理解三角形 勾股数与勾股树问题 勾股定理与网格问题 勾股定理与折叠问题 勾股定理与弦图计算问题 考点一 勾股定理解三角形 例1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，为边上的一点，，求面积． 【答案】84 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 面积：． 例2．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 【答案】2880元 【详解】解：如图，连接，   ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积， （元）， 答：完成补种共需要元． 例3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D在边上，且，若，，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 例4．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若、． (1)求证：平分； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【详解】（1）证明：∵于E，于F， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】(1)与垂直，理由见详解 (2) 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由题意可设，则有， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 变式2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， ∴为直角三角形， ， ； （2）解：， ． 变式3．（24-25八年级下·宁夏固原·月考）如图，在中，，垂足为D，，延长至E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为；面积为． 【详解】（1）证明：，， 垂直平分， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， 在中，， ，， ，， 在中，， 的周长， 面积． 变式4．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）如图，四边形中，，． (1)求的度数; (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)33 【详解】（1）解：连接. ∵在中， ∴. ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． （2） ． 考点二 勾股数与勾股树问题 例1．（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）下列三组数中，是勾股数的是（　　） A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6 【答案】C 【详解】解：对选项A，∵，，， ∴A不是勾股数； 对选项B，∵，，， ∴B不是勾股数； 对选项C，∵，， ∴，且三个数均为正整数， ∴C是勾股数； 对选项D，∵，，， ∴D不是勾股数． 例2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：题中所给表达式是毕达哥拉斯生成勾股数的一种形式 该类勾股数的三边可表示为、和， 其中最大数为， 另外两个数为和， 当为正整数时，， 所以， 因此，较小数的表达式是 故选：C． 例3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵图①中所有正方形的面积和为：； 第一次操作后所有正方形的面积和为：； 第二次操作后所有正方形的面积和为：； …… 第次操作后所有正方形的面积和为：； ∴当时，， 故选：C ． 变式1．（25-26八年级上·山西太原·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．5，13，14 D．3，4，5 【答案】D 【详解】解：A、∵不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意； B、∵0.6，0.8不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意； C、∵，，，∴不满足勾股数条件，故选项不符合题意； D、∵，且三个数均为正整数，∴是勾股数，故选项符合题意． 变式2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 【答案】B 【详解】解：第１代勾股树中所有正方形的面积和为， 第２代勾股树中所有正方形的面积和为， 第３代勾股树中所有正方形的面积和为， 第代勾股树中所有正方形的面积和为， 第2026代勾股树中所有正方形的面积和为， 故选：B． 变式3．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，分别以Rt的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 考点三 勾股定理与网格问题 例1．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 例2．（24-25八年级下·天津·月考）如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：由勾股定理得：，，， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． 例3．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图是一张正方形方格纸，点A、B、C均在格点上，方格线上有，，，四个点，其中有一点既满足到两边的距离相等，又满足到点A，B的距离相等，该点可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，取格点D，E，F，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在的垂直平分线上，即到点A，B的距离相等． ∵， ∴， ∴， ∴在的角平分线上，即到两边的距离相等． 综上可知，点既满足到两边的距离相等，又满足到点A，B的距离相等． 变式1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意． 故选：C． 变式2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：连接CE， 由图可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 变式3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设边上的高为，边上的高为， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：D ． 考点四 勾股定理与折叠问题 例1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 例2．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 例3．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）如图，将矩形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴的面积， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 例4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，．现将进行折叠，使顶点A，B重合，折痕为，点D，E分别在，上．则线段的长为__________． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将进行折叠，使顶点重合， ∴，， 设，在中，， ∴， 解得：， 则， ∴在中，， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：D． 变式2．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵，，然后利用勾股定理求解即可． ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 变式3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形时，的长为_____． 【答案】或 【详解】解：当时， ∵将沿直线折叠，点A的对应点为F． ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在中，． ∴， ∴， 当时，点F与点B重合，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 变式4．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【答案】 【详解】解：∵将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，， ∴，， ∴， ∵再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 考点五 勾股定理与弦图计算问题 例1．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的1个大正方形．若大正方形的面积为23，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边长为a，b，则的值为（   ） A．43 B．45 C．46 D．49 【答案】A 【详解】解：∵大正方形的面积是23，小正方形的面积是3，直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴， ∴四个全等的三角形的面积为， ∴， 解得， ∵， ∴的值是43， 故选：A． 例2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连接并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可得，，，， ∵点为的中点， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：D． 例3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 【答案】B 积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故选：B． 变式1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A．36 B．25 C．19 D．4 【答案】B 【详解】解：∵ 大正方形面积为13， ∴ ①，， ∵ 小正方形面积为， ∴ ②， 将②代入①，得， 解得， ∵ ， ∴ ， 故选：B． 变式2．（25-26八年级上·山西晋中·期末）勾股定理在我国有着悠久的历史．古代数学家赵爽在《周髀》中利用“勾股方圆图”直观的证明了勾股定理．后人通常把右图称为“赵爽弦图”．如右图所示，点坐标为，点坐标为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， 根据“赵爽弦图”，可知大正方形由个全等的直角三角形和个小正方形组成， 点坐标为，点坐标为， ，，， ，， ∴， ， 故点的坐标为． 故选：． 变式3．（25-26八年级上·四川巴中·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了著名的“赵爽弦图”（如图1）．现分别连接大、小正方形的四组顶点，得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为10，较短直角边为6，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，标记字母， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， ∴小正方形外阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为， 故选：D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $