第十九章 二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 考点目录 二次根式的混合计算 以二次根式为背景的阅读理解类问题 考点一 二次根式的混合计算 1 1 例1.25-26八年级上-四川成都-月考)已知a=2+5b=2-5· (1)求a2b+ab2的值； (2)求a2-ab+b2的值. 【答案】(1)4 (2)13 【详11)锅：条避感，242-，025=2+5， 则a+b=2-V5+2+V5=4,b=(2-5x2+⑤=4-3=1. ∴a2b+ab2=ab(a+b=1×4=4. (2)解：由(1)得a+b=4,ab=1, a2-ab+b2=(a+b2-3ab=42-3×1=16-3=13. 例2.(24-25八年级下·浙江宁波期中)计算： 0-5+6x ②(6-3(6+)+1+2. 【答案】(1)6√5 (2)6+2√2 【详解11)解：压-5+6号 =45-5+35 =65; (2)解：(6-5)6+)+1+2) =6-3+1+2√2+2 =6+2√2 二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 例3.(24-25八年级下·浙江杭州期中)计算： (1)2+√⑧-√32； (25-1+25÷5. 【答案】(1)-√2 (2)6 【详解】(1)解：原式=√2+2√2-4√2 =-V2; (2)解：原式=5-2√5+1+215÷3 =6-25+2W5 =6. 例4.(24-25八年级下·福建厦门期中)计算： ()2°+6x5o÷5: ②2D-66+. 【答案】(1)11 (25V5 【详解】(1)解：（2°+V6×50÷5, =1+6×50÷V5, =1+√300÷3， =1+√100， =1+10, =11; ②2-6, =45-25+35, =55. 变式1.(25-26八年级上山西太原·期末)计算： @i-i*5xs: 二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 ②4-v3°+24-6 6 【答案】（①）√5+2 2)20-8V5 【详解】1)解：厅-反+× =35-25+√4 =√5+2 2)解：(4-5+24-6 6 =16+3-8V5+2-1 =20-8√5 变式2.(25-26八年级上广东深圳期末)计算： i-g e6+-回+晋 【答案】5 4 (2)10 【群10：s-+-万-25+5正。 4 @06+-回9-25-713-10. 变式3.(24-25八年级下·河南濮阳开学考试)计算： a+ ②2x3w5, (3)(25+v6)(25-6): (④248-327)÷6： 二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 (522+33: o图 【答案】06-子万 e05 (3)6 9 (5)35+12√6 o555 2 【详解】(1)解： a周a周 595] =26-25-36-45 =6-5: (2)解：2i×55万=45x怎2： 41010 (3)解：(23+6(25-6)=25-(6=12-6=6： 4解Bs-可列6-65-5j-35。 6 (5)解：(22+3V5=(22+2×22x35+35=8+126+27=35+126: (6)解： 得--2周-gss 4 2 变式4.(25-26八年级上宁夏银川月考)计算： (1)8+√32-√2； a目-314-°--： s+5-得x厄 二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 (④)(3W2+25)(32-25)-6 【答案】(I)52 (2)9-√2 3)4-32 (4)2 【详解】(1)解：⑧+√32-√2 =22+42-N2 =52; (2)解： -(3.14-元°-h-2 =9-1-(2- =9-1-√2+1 =9-V2: 6)解s5-得应 =48÷3- =√6-8 =4-3√2； (4)解：(32+25)32-2W-6 =(32)°-(23-4 =18-12-4 =2. 二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 考点二 以二次根式为背景的阅读理解类问题 例1.(25-26八年级上宁夏银川月考)先阅读再求值. 在计算√7-2√0的过程中，小明和小莉的计算结果不一样. 小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下： √7-210 V7-210 =V2-2√2×5+5 =V2-2√2x5+5 =VW22-2W2xV5+(5￥V(W2)2-22x5+(W =V2-√5 =V(W2-5 =√2-√5 =√5-√2 (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：V3+2√2； (3)计算：(N3-2√5+V5-2√6+√7-2√12+…+V4045-2√2022×2023)×(2023+1)： 【答案】(1) 小莉的计算结果正确，见解析 (2) √2+1 (3) 2022 【详解】(1)解：小莉的化简结果正确，理由如下： V7-210 =V2-22x5+5 =VW2)2-22×5+(W52 =V2-√5 =V2-5 6 二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 =5-2 (2)解：V3+22=V2+2W2+1=2+°=2+1 (3)解：（N3-2W2+5-26+V7-212++V4045-2W2022x2023×V2023+1 2-+5-2+4-++22-202 ×(V2023+ =(2-1+5-√2+V4-5+…+V2023-V2022)×V2023+1 =(2023-(√2023+1 =(2023-1 =2023-1 =2022. 例2.(25-26八年级下·河南开封月考)阅读下列材料，然后回答问题： 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫作有理化因式. 例如：√2的一个有理化因式是√2；2+√m的一个有理化因式是2-√m 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果.二次根式中分母有根号， 通常在分子、分母上同乘一个二次根式，达到化去分母中根号的目的 例如： 1=1x5-52 22-1 5=3x5=32+1(2+12-1 =2-√2. (1)填空：25的有理化因式是（写出一个即可）；a+√5的有理化因式是 (2)把下列式子分母有理化： √6+√2 √2-V6 (3)化简： 1 2++5+5+4+5+…+2025+V2024) √2025+1）： 【答案】(1)5，a-V5 (2)-2-V5 (3)2024 【详解】(1)解：2√5x5=10, :2√5的有理化因式是√5， r(a+5)xa-5=a2-3, 二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 “a+5的有理化因式是a-5; (2)解： V6+√2 √2-√6 （6+2)2+6) (V2-6)2+6 6+212+2 2-6 8+45 -4 =-2-5: 1 √k+1-√R k+-压=中i-灰 （3)解：“+i+派Wk+1+V顶(Wk+1-k+)- 原式=(V2-1+5-V2+√4-V5+…+V2025-√2024xV2025+1 =(√2025-1x(√2025+1 =2025-1 =2024. 例3.(25-26九年级上山西晋城期末)阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务. 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当a>0,b>0时，有 (a-√b)2=a-2Vab+b≥0，a+b≥2√ab,当且仅当a=b时，取等号. 【问题解决】 例如：当a>0时，求a+4的最小值。 a 解：>0,a+420，又：20-4，a+4. av a a a 当且仅当a=4,即a=2附，取等号，∴a+4的最小值为4. a 任务： (①当m>0时，m+上的最小值为 m ②当6>0时，求+26+6的最小值. b 【答案】(1)2 二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 (2)2+2V6 1 【详解】(1)解：当m>0时，m+二≥2，m.二=2 ÷m+1的最小值为2： m (2)解： b2+2b+6 6 2=b+2+9 b :b>0, 60 b 6 6 b+0≥2，b.°=2√6， 当且仅当b-。,即6=6时，取等号， b :b+的最小值为2W6, b :b+5+2的最小值为2+26， b b+2b+6的最小值为2+26 b 例4.(25-26九年级上·山西临汾月考)阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如√a±2√万，如果你能找到两 个数m、n,使m2+n2=a,且mn=√b,则Va±2b可变形为 vm2+n2±2mn=Vm±n2=m±川 从而达到化去一层根号的目的. 例如化简V5-2√6,5=3+2且6=3×2， 5-26=5-2-5-2 ()填上适当的数：V8+25=▲)了=▲（在▲处填空） (2)化简：√7-2V10+V14+65 【答案】)5+5,5+5 (2)2V5-2+3 【详解】(1)解：√8+2√5 9 二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 =5+(+2x5x =5+5可 =小5+ =5+5, 故答案为：√5+√5，√5+5，√5+3； (2)解：V7-210+14+65 =V7-210+V14+2√45 =5-2x5x2+('+5+2x5x+ =5-+5+列 =5-√2+5+5 =2V5-√2+3. 变式1.(24-25八年级下·四川泸州期中)按要求进行二次根式的有关计算： (1)阅读：（2-1=(2-2×V2x1+1P=2-22+1=3-22,反之，3-22=(V2-1: 5+7=(5+2×5×7+7=5+235+7=12+235,反之，12+235=(5+7. 应用：√5-2√6=· (2)阅读：6=6x0-60302 2(3+2) 23+2)6+2W2 i0-i0×i0105’3-23-23+232-(2列 7； 应用：方程2(x-2)=V5(x-5)的解是 (3)阅读：已知x=√2+√万，y=万+V6,试比较x,y的大小；不好直接比较，可用如下方法： x2=(N2+=9+24,y2=（5+6=9+2W8,因x2<y2,且x,y都是正数，故x<y. 应用：比较大小：5+6√+10,2+万3+2. 【答案】(1)5-√2；(2)2+5；(3)<，> 【详解】解：1)由题可得：5-26=3-26+2=-26+=5-2列=5-2， 故答案为：√5-√2； 10二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 二次根式的混合计算、以二次根式为背景的阅读理解类问题专项训练 考点目录 二次根式的混合计算 以二次根式为背景的阅读理解类问题 考点一 二次根式的混合计算 例1．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 例2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 例3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 例4．（24-25八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 变式1．（25-26八年级上·山西太原·期末）计算： (1)； (2)． 变式2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 变式3．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 变式4．（25-26八年级上·宁夏银川·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二 以二次根式为背景的阅读理解类问题 例1．（25-26八年级上·宁夏银川·月考）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下： (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：； (3)计算：． 例2．（25-26八年级下·河南开封·月考）阅读下列材料，然后回答问题： 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫作有理化因式． 例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果．二次根式中分母有根号，通常在分子、分母上同乘一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． (1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． (2)把下列式子分母有理化： (3)化简：． 例3．（25-26九年级上·山西晋城·期末）阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当时，有，，当且仅当时，取等号． 【问题解决】 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，． 当且仅当，即时，取等号，的最小值为4． 任务： (1)当时，的最小值为________． (2)当时，求的最小值． 例4．（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为 从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且， (1)填上适当的数： ▲ （在▲处填空） (2)化简： 变式1．（24-25八年级下·四川泸州·期中）按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：，反之，； ，反之，． 应用： ______． （2）阅读：，； 应用：方程的解是______． （3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且x，y都是正数，故． 应用：比较大小：______，______． 变式2．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 下面是小军的阅读笔记．请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 认识二次根式的两个概念（ⅰ）有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：，．我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”．例如：；． 请完成以下任务： (1)①写出的一个有理化因式：______； ②将分母有理化的结果是______． (2)化简：． (3)计算． 变式3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读与思考：下面是小府同学的阅读笔记，请认真阅读并完成相应任务． 关于二次根式的化简概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”． 例如：；． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)化简______． (2)直接写出计算结果． ______． (3)结合典例1和典例2归纳猜想． ______（n为正整数）． (4)计算： ． 变式4．（25-26八年级上·山西太原·月考）阅读与思考：下面是小美的阅读笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 关于二次根式的化简 概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：． 我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 概念3：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母” 例如：． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)写出的一个有理化因式：______；将分母有理化的结果是_______． (2)猜想：_______（n为正整数）． (3)计算：______． (4)计算：_______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $