第9章 二次根式章末复习及测试 2025-2026学年青岛版数学八年级下册

2025-2026年青岛版八年级下数学第9章 二次根式章末复习及测试 【考点梳理】 考点一：二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 其中：①“”称为二次根号； ②a是被开方数，a≥0，是一个非负数； 考点二：二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0。即中，a≥0。 考点三：二次根式的性质 二次根式的基本性质： ①二次根式的双重非负性。即≥0； a≥0． ②（）2＝a（a≥0）（一个数的算术平方根的平方等于它本身）． ③（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）。 考点四：最简二次根式 最简二次根式满足的三个条件： ①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ②被开方数不含分母； ③分母中不含根号。 注意：最简二次根式必须同时满足这三个条件。 考点五：二次根式的乘除法与化简 二次根式的乘除法运算法则： ①乘法运算法则： 乘法运算法则推广：① ② 积的算术平方根： ②除法运算法则： 除法运算法则推广： 商的算术平方根： 注意：在计算过程中二次根式有意义的条件一定不能忽略。 二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质化简。 ②利用积的算术平方根与商的算术平方根化简。 ③分母有理化。 I：；II： 有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘时，若积不含二次根式，则这样的两个代数式互为有理化因式。 考点六：同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 描述同类二次根式的方法： ①与是同类二次根式； ②最简二次根式与的被开方数相同； ③与可以合并； ④与可以进行加减运算。 合并同类二次根式的方法： 类似于合并同类型，把二次根式外的因式看作为系数，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 考点七：二次根式的加减法 运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变。 实质：合并同类二次根式，直到式子中没有同类二次根式为止。 考点八：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。 ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“。 ③能够使用乘法公式计算的用乘法公式计算。 ④二次根式的运算结果要化为最简二次根式。 【题型训练】 考点一：二次根式的定义 【考试题型1】根据二次根式的形式准确判断二次根式 例题讲解：1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 考点二：二次根式有意义的条件 【考试题型1】根据二次根式有意义的条件求取值范围 例题讲解：2．若有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1且x≠3 B．x≥﹣1且x≠3 C．x≥1且x≠3 D．x≠﹣1且x≠3 【考试题型2】利用二次根式有意义求式子 例题讲解：3．已知，则的值为（　　） A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5 考点三：二次根式的性质 【考试题型1】二次根式的非负性：几个非负数的和等于0，这个几个非负数分别等于0。 例题讲解：4．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，则这个三角形的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【考试题型2】利用性质简单化简 例题讲解：5．若7＜m＜9，则化简的结果是（　　） A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5 【考试题型3】根据化简结果求字母的取值范围 例题讲解：6．若，则a与1的关系是（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 【考试题型4】还原型化简 例题讲解：7．化简：的结果为（　　） A． B． C． D． 考点四：最简二次根式 【考试题型1】判断二次根式是否为最简二次根式 例题讲解：8．下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点五：二次根式的乘除法与化简 【考试题型1】二次根式的乘除计算. 例题讲解：9．计算：． 【考试题型2】利用积的算术平方根与商的算术平方根求范围 例题讲解：10．若成立，则x的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 11．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则＝（　　） A．2b﹣2a B．﹣2a C．﹣2b﹣2a D．2a 【考试题型3】分母有理化因式的判定 例题讲解：12．分母有理化：＝　 　． 13．下列代数式中，的一个有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【考试题型3】化简 例题讲解：14．化成最简二次根式：＝　 　． 15．把进行化简，得到的最简结果是 　　（结果保留根号）． 16．已知 ，，则a与b的关系是（　　） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 考点六：同类二次根式 【考试题型1】判断几个二次根式是否为同类二次根式 例题讲解：17．下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【考试题型2】利用同类二次根式的定义求值 例题讲解：18．最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　 　． 考点七：二次根式的加减法 【考试题型1】二次根式的加减运算 例题讲解：19．计算3+2﹣的结果是（　　） A． B． C． D．+ 考点八：二次根式的混合运算 【考试题型1】二次根式的混合运算 例题讲解：20．计算：（1）； （2）． 【考试题型2】二次根式的化简求值 例题讲解：21．已知a＝，b＝． （1）求a+b的值； （2）求a2﹣3ab+b2． 【考试题型3】二次根式的应用 例题讲解：22．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B． C．4 D．6 23．海伦—秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，记，那么三角形的面积为：，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，若a＝5、b＝8、c＝7，则△ABC的面积S为（　　） A． B．30 C． D．45 【过关测试】 一．二次根式的定义 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．若和，都是二次根式，则（　　） A．x＞0、y＞0 B．x＜0、y＜0 C．x＞0、y＜0 D．x＜0，y＞0 3．当x＝﹣1时，二次根式的值为（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D． 4．给出下列各式：；②6；；④（m≤0）；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．二次根式有意义的条件 5．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 6．使有意义的x的取值范围是（　　） A．x且x≠2 B．x C．x且x≠2 D．x≥2 7．已知，则的值为（　　） A． B． C．12 D．18 8．若a满足，则a﹣20232的值为（　　） A．0 B．1 C．2023 D．2024 9．设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（　　） A．1 B．9 C．4 D．5 三．最简二次根式 10．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 11．下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 四．二次根式的性质与化简 12．若，则a与1的关系是（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 13．若7＜m＜9，则化简的结果是（　　） A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5 14．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6 15．已知﹣1＜a＜0，化简的结果为（　　） A．2a B．﹣2a C． D． 16．若＝3﹣x成立，则x满足得条件（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3 17．若，则a的值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣2 18．化简：的结果为（　　） A． B． C． D． 19．化简二次根式得（　　） A． B． C． D． 五．二次根式的乘除法 20．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 21．当x＝，y＝时，代数式xy的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D． 22．若则（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 23．若成立，则x的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 24．计算：． 25．计算：． 26．已知：，．求下列各式的值． （1）xy； （2）x2﹣xy+y2． 六．分母有理化 27．的一个有理化因式是（　　） A． B． C． D． 28．分母有理化：＝　　． 29．已知 ，，则a与b的关系是（　　） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 30．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ＝＝＝﹣1 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简：＝　 ． 七．同类二次根式 31．下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 32．如果二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（　　） A．3 B． C．1 D．0 33．最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　 　． 八．二次根式的加减法 34．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 35．计算： （1）； （2）． 九．二次根式的混合运算 36．计算： （1）； （2）． 37．计算： （1）； （2）． 38．阅读下列解题过程： ，， 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出＝　10﹣3　； （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的解法，请化简：． 一十．二次根式的化简求值 39．已知，，则a﹣b＝（　　） A． B． C． D． 40．已知，，则a2+ab+b2＝　 　． 41．已知，，．求值： （1）m2+n2； （2）． 42．已知，，分别求下列代数式的值： （1）ab； （2）a2﹣3ab+b2． 43．已知：，． （1）求x+y的值． （2）求的值． 44．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而2＜＜3，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差﹣2就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题： （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2）如果3+的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a+的值． 一十一．二次根式的应用 45．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B． C．4 D．6 46．矩形相邻两边长分别为，，则它的周长和面积分别是（　　） A．，4 B．2，4 C．4，3 D．6，4 47．秦九韶（1208年～1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦﹣秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，S为三角形的面积，那么s＝． （1）在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝7，请用上面的公式计算△ABC的面积； （2）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝8，BC＝7，BD⊥AC，垂足为D，求CD的长； （3）一个三角形的三边长分别为a，b，c，s＝p＝15，a＝10，求bc的值． 考点一：二次根式的定义 【考试题型1】根据二次根式的形式准确判断二次根式 例题讲解：1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义分别判断即可． 【解答】解：A、的被开方数﹣1.2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是二次根式，故此选项符合题意； C、是三次根式，故此选项不符合题意； D、三次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【解题方法】判断形式，确定被开方数大于等于0。 考点二：二次根式有意义的条件 【考试题型1】根据二次根式有意义的条件求取值范围 例题讲解：2．若有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1且x≠3 B．x≥﹣1且x≠3 C．x≥1且x≠3 D．x≠﹣1且x≠3 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案． 【解答】解：由题意得：x+1≥0且x﹣3≠0， 解得：x≥﹣1且x≠3， 故选：B． 【解题方法】利用式子中所有二次根式的被开方数都大于等于0建立不等式（组）求解集，同时若式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。 【考试题型2】利用二次根式有意义求式子 例题讲解：3．已知，则的值为（　　） A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5 【分析】首先根据二次根式有意义的条件，即可求得x的值，进而得到y的值，然后代入代数式即可求解． 【解答】解：根据题意得：， 解得：x＝1． 则y＝﹣1． 则＝＝3． 故选：B． 【解题方法】利用二次根式有意义的条件求出相应字母的值，再带入需要求的式子。 考点三：二次根式的性质 【考试题型1】二次根式的非负性：几个非负数的和等于0，这个几个非负数分别等于0。 例题讲解：4．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，则这个三角形的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【分析】先根据非负数的性质求出a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∵32+42＝52＝25， ∴这个三角形是直角三角形． 故选：B． 【解题方法】结合绝对值，偶次方，让被开方数，绝对值符号内的式子以及底数分别为0建立方程解方程即可。 【考试题型2】利用性质简单化简 例题讲解：5．若7＜m＜9，则化简的结果是（　　） A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5 【分析】根据7＜m＜9判断出5﹣m＜0，m﹣10＜0，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵7＜m＜9， ∴5﹣m＜0，m﹣10＜0， ∴ ＝m﹣5+10﹣m ＝5， 故选：C． 【解题方法】根据一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，在判断其与0的大小关系去绝对值符号。 【考试题型3】根据化简结果求字母的取值范围 例题讲解：6．若，则a与1的关系是（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【解答】解：∵， ∴1﹣a≥0， 解得：a≤1． 故选：B． 【解题方法】若化简结果与被开方数的底数相同则被开方数底数大于等于0，若化简结果是被开方数底数的相反数，解被开方数的底数小于等于0，由此建立不等式组求解集。 【考试题型4】还原型化简 例题讲解：7．化简：的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x＜0，变形得出原式＝﹣x，再根据二次根式的性质进行计算，最后求出答案即可． 【解答】解：∵要式分式用意义，必须﹣≥0， 即x＜0， ∴﹣x ＝﹣x ＝﹣x ＝﹣． 故选：D． 【解题方法】判断根号前的式子与0的大小关系，若大于0，则直接平方后与根号里面的式子相乘化简。若小于0，则平方根之后与根号里面的式子相乘化简，在根号前面添加符号。 考点四：最简二次根式 【考试题型1】判断二次根式是否为最简二次根式 例题讲解：8．下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【解答】解：，，﹣2，中是最简二次根式的有，，共2个． 故选：B． 【解题方法】①若被开方数是数，则判断它的因数里面是否平方数。即4、9、16...，若含有则不为最简二次根式。 ②若被开方数为单项式，则判断其中的因式的次数是否大于等于2，是则不为最简二次根式。 ③若被开方数是多项式，现将其进行因式分解，若不能分解，则为最简二次根式；若分解结果的因式次数小于2，则为最简二次根式，否则不是最简二次根式。 ④若被开方数是分式或分母中含有根号则直接判断不是最简二次根式。 考点五：二次根式的乘除法与化简 【考试题型1】二次根式的乘除计算. 例题讲解：9．计算：． 【分析】先计算括号内二次根式的乘法，再计算二次根式的除法，进行化简，最后合并即可得到答案． 【解答】解： ＝ ＝ ＝ ＝． 【解题方法】利用二次根式乘除运算的运算法则计算。 【考试题型2】利用积的算术平方根与商的算术平方根求范围 例题讲解：10．若成立，则x的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【分析】直接利用二次根式的性质得出x的取值范围进而得出答案． 【解答】解：∵若成立， ∴， 解得：﹣1≤x＜2， 故x的值可以是0． 故选：B． 【解题方法】根据被开方数均大于等于0建立不等式，结合分母不等于0求解。 11．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则＝（　　） A．2b﹣2a B．﹣2a C．﹣2b﹣2a D．2a 【分析】观察数轴可知：a＜0，b＞0，|b|＞|a|，先判断a+b，a﹣b的正负，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：观察数轴可知：a＜0，b＞0，|b|＞|a|， ∴a+b＞0，a﹣b＜0， ∴ ＝a+b﹣（b﹣a） ＝a+b﹣b+a ＝2a， 故选：D． 【考试题型3】分母有理化因式的判定 例题讲解：12．分母有理化：＝　﹣1　． 【分析】根据分母有理化的方法进行解题即可． 【解答】解：＝＝＝﹣1． 故答案为：﹣1． 13．下列代数式中，的一个有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据有理化因式的定义：两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式．据此进行解题即可． 【解答】解：要使﹣1有理化， 则可知，（﹣1）（+1）＝m﹣1， 故选：C． 【解题方法】若只含一个根号，则其本身就是分母有理化因式。若是含有根号的式子，则与它构成平方差公式的式子即为它的分母有理化因式。 【考试题型3】化简 例题讲解：14．化成最简二次根式：＝　　． 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：， 故答案为：． 15．把进行化简，得到的最简结果是 　2　（结果保留根号）． 【分析】先分母有理化，然后合并即可． 【解答】解：原式＝+ ＝+ ＝2． 故答案为：2． 16．已知 ，，则a与b的关系是（　　） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 【分析】把a的值分母有理化即可． 【解答】解：∵a＝＝＝＝﹣（+3）， ∴a与b互为相反数． 故选：A． 【解题方法】①若被开方数是数或整式，现将其因式分解，在利用积的算术平方根与基本性质化简； ②若被开方数是分式或分母中含有根号，则利用商的算术平方根、分母有理化及其基本性质化简。 考点六：同类二次根式 【考试题型1】判断几个二次根式是否为同类二次根式 例题讲解：17．下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【解题方法】将二次根式化简，观察被开方数是否相同，相同则是。 【考试题型2】利用同类二次根式的定义求值 例题讲解：18．最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　7　． 【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：2m﹣1＝34﹣3m， 解得：m＝7， 故答案为：7． 【解题方法】利用被开方数相等建立方程求解。 考点七：二次根式的加减法 【考试题型1】二次根式的加减运算 例题讲解：19．计算3+2﹣的结果是（　　） A． B． C． D．+ 【分析】分别化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：演示＝3×+2×﹣×2 ＝+﹣ ＝． 故选：B． 【解题方法】式子中若有括号则先去括号，再把能化简的二次根式进行化简，然后找出同类二次根式进行合并。 考点八：二次根式的混合运算 【考试题型1】二次根式的混合运算 例题讲解：20．计算：（1）； （2）． 【分析】（1）先化简再合并同类项即可得出答案； （2）先化简再合并同类项即可得出答案． 【解答】解：（1）原式＝6﹣3+ ＝； （2）原式＝﹣+2 ＝． 【解题方法】按照混合运算法则进行计算即可。 【考试题型2】二次根式的化简求值 例题讲解：21．已知a＝，b＝． （1）求a+b的值； （2）求a2﹣3ab+b2． 【分析】先根据分母有理化求出a＝+，b＝，即可求出a+b＝2，ab＝1，即可得出答案． 【解答】解：a＝＝＝+，b＝＝＝， （1）a+b＝++＝2； （2）∵ab＝（+）（﹣）＝3﹣2＝1， ∴a2﹣3ab+b2 ＝（a+b）2﹣5ab ＝（2）2﹣5 ＝12﹣5 ＝7． 【解题方法】一定先化简，在求值。结合分式混合运算化简求值，结合乘法公式化简求值。 【考试题型3】二次根式的应用 例题讲解：22．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B． C．4 D．6 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2， 故选：A． 23．海伦—秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，记，那么三角形的面积为：，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，若a＝5、b＝8、c＝7，则△ABC的面积S为（　　） A． B．30 C． D．45 【分析】根据公式算出p的值，代入公式即可求出解 【解答】解：∵， ∴p＝＝＝10， S＝＝10， 故选：A． 【解题方法】解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法。 【过关测试】 一．二次根式的定义 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义分别判断即可． 【解答】解：A、的被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是三次根式，故此选项不符合题意； C、的被开方数a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数a﹣1有可能小于0，即当a＜1时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．若和，都是二次根式，则（　　） A．x＞0、y＞0 B．x＜0、y＜0 C．x＞0、y＜0 D．x＜0，y＞0 【分析】根据二次根式有意义的条件可得：﹣xy＞0，x﹣y≥0，然后分析x、y的取值范围即可． 【解答】解：由题意得：﹣xy＞0， ∴xy＜0， ∴x、y为异号， ∵x﹣y≥0， ∴x≥y， ∴y＜0，x＞0， 故选：C． 3．当x＝﹣1时，二次根式的值为（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D． 【分析】将x＝﹣1代入二次根式中计算即可． 【解答】解：当x＝﹣1时， 原式＝＝2， 故选：B． 4．给出下列各式：；②6；；④（m≤0）；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断． 【解答】解：①∵32＞0，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ②∵﹣12＜0，∴不是二次根式； ④∵m≤0，∴﹣m≥0，∴是二次根式； ⑤∵a2+1＞0，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 故选：B． 二．二次根式有意义的条件 5．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 【分析】二次根式的被开方数x﹣3≥0． 【解答】解：根据题意，得 x﹣3≥0， 解得x≥3； 故选：B． 6．使有意义的x的取值范围是（　　） A．x且x≠2 B．x C．x且x≠2 D．x≥2 【分析】先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出2x+3≥0且x﹣2≠0，再求出答案即可． 【解答】解：∵要使有意义，必须2x+3≥0且x﹣2≠0， ∴x≥﹣且x≠2， 即使有意义的x的取值范围是x≥﹣且x≠2． 故选：A． 7．已知，则的值为（　　） A． B． C．12 D．18 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，由非负数的性质列式求出x的值；然后将x的值代入求出y的值，最后代入待求式，进行计算即可． 【解答】解：由题意得：， 解得x＝3， 把x＝3代入，可得y＝3， 所以＝＝． 故选：B． 8．若a满足，则a﹣20232的值为（　　） A．0 B．1 C．2023 D．2024 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断出a的取值范围，再进行计算即可． 【解答】解：∵有意义， ∴a﹣2024≥0， ∴a≥2024， ∴|2023﹣a|＝a﹣2023， ∵， ∴a﹣2023+＝a， ∴＝2023， ∴a﹣2024＝20232， ∴a﹣20232＝2024． 故选：D． 9．设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（　　） A．1 B．9 C．4 D．5 【分析】根据二次根式有题意的条件可求解x，y值，进而可求解|y﹣x|的值． 【解答】解：∵， ∴5﹣x≥0，5﹣x≤0， ∴5﹣x＝0， 解得x＝5， ∴y＝4， ∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1． 故选：A． 三．二次根式的性质与化简 10．若＝3﹣x成立，则x满足得条件（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3 【分析】利用二次根式的性质得到＝|3﹣x|＝3﹣x，利用绝对值的意义得到3﹣x≥0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵＝|3﹣x|＝3﹣x， ∴3﹣x≥0，解得x≤3． 故选：B． 11．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则＝（　　） A．2b﹣2a B．﹣2a C．﹣2b﹣2a D．2a 【分析】观察数轴可知：a＜0，b＞0，|b|＞|a|，先判断a+b，a﹣b的正负，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：观察数轴可知：a＜0，b＞0，|b|＞|a|， ∴a+b＞0，a﹣b＜0， ∴ ＝a+b﹣（b﹣a） ＝a+b﹣b+a ＝2a， 故选：D． 12．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6 【分析】根据数轴先确定a﹣2、a﹣4的正负，然后再去绝对值、根号，合并同类项即可解决问题． 【解答】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4， 即：a﹣2＞0，a﹣4＜0， 故原式＝a﹣2+4﹣a＝2． 故选：A． 13．若，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 【分析】根据题意可知x﹣3≥0，直接解答即可． 【解答】解：∵， 即x﹣3≥0， 解得x≥3， 故选：B． 14．若，则a的值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣2 【分析】根据二次根式的性质判断出a+1的符号，求出a的取值范围，进而可得出结论． 【解答】解：∵， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1， ∴a的值可以是﹣2． 故选：D． 15．已知﹣1＜a＜0，化简的结果为（　　） A．2a B．﹣2a C． D． 【分析】根据﹣1＜a＜0，判断出，，再把原式化简为，根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵﹣1＜a＜0， ∴，， ∴ ＝ ＝ ＝， 故选：C． 16．化简二次根式得（　　） A． B． C． D． 【分析】先判断出3﹣x＞0，再由二次根式的性质即可得出结论． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴3﹣x＞0， ＝ ＝ ＝ ＝ 故选：C． 17．化简﹣a的结果是（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：∵≥0， ∴a＞0， ∴﹣a＜0， ∴﹣a＝﹣， 故选：B． 四．最简二次根式 18．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．因为的被开方数含有分母，所以它不是最简二次根式，所以A选项不符合题意 B．因为含有可以开方的因数4，所以它不是最简二次根式，所以B不符合题意； C．因为含有可以开方的因数4，所以它不是最简二次根式，所以C不符合题意； D．因为不含有可以开方的因数，也不含有分母，所以D选项符合题意； 故选：D． 19．在二次根式，，，中，最简二次根式的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：在二次根式，，，中， ∵＝2，＝＝，＝|x|， ∴最简二次根式的有：， 故选：A． 五．二次根式的乘除法 20．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解答】解： ＝ ＝． 故选：D． 21．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的乘除法法则计算即可． 【解答】解：＝＝． 故选：B． 22．若则（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 【分析】利用二次根式的乘法法则和二次根式有意义的条件得到x≥0且x﹣6≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得x≥0且x﹣6≥0， 所以x≥6． 故选：A． 23．若成立，则x的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【分析】直接利用二次根式的性质得出x的取值范围进而得出答案． 【解答】解：∵若成立， ∴， 解得：﹣1≤x＜2， 故x的值可以是0． 故选：B． 24．当x＝，y＝时，代数式xy的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D． 【分析】根据二次根式的乘法进行计算即可． 【解答】解：∵x＝，y＝， ∴xy＝（1+）（1﹣）＝1﹣2＝﹣1． 故选：A． 25．计算：． 【分析】首先利用二次根式除法以及乘法法则转化成一个二次根式，然后对二次根式进行化简即可． 【解答】解：原式＝＝＝×2a＝． 26．已知：，．求下列各式的值． （1）xy； （2）x2﹣xy+y2． 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的加法法则求出x+y的值，先根据完全平方公式进行变形，再代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）∵x＝+，y＝﹣， ∴xy＝（+）×（﹣） ＝（）2﹣（）2 ＝7﹣5 ＝2； （2）∵x＝+，y＝﹣， ∴x+y＝（+）+（﹣）＝2， ∵xy＝2， ∴x2﹣xy+y2 ＝（x+y）2﹣3xy ＝（2）2﹣3×2 ＝28﹣6 ＝22． 六．分母有理化 27．的有理化因式是 　（答案不唯一）　． 【分析】找出已知二次根式的有理化因式即可． 【解答】解：的有理化因式是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 28．的一个有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【分析】有理化因式是指两个含有根式的代数式，当它们相乘时，它们的积不含有根式，这样的两个代数式互称为有理化因式，由此判断即可． 【解答】解： ＝ ＝4a﹣1， 所以的一个有理化因式是， 故选：C． 29．已知 ，，则a与b的关系是（　　） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 【分析】把a的值分母有理化即可． 【解答】解：∵a＝＝＝＝﹣（+3）， ∴a与b互为相反数． 故选：A． 30．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ＝＝＝﹣1 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简：＝　﹣　． 【分析】分子、分母同时乘以（﹣）即可． 【解答】解：＝＝＝﹣． 故答案为：﹣． 七．同类二次根式 31．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】先化简成最简二次根式，比较被开方数，相同即可． 【解答】解：A． 与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； B． 与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； C． 与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； D． 与，被开方数相同，是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 32．最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（　　） A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝2 D．a＝﹣2 【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：a+1＝2a， 解得：a＝1， 故选：A． 33．如果二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（　　） A．3 B． C．1 D．0 【分析】根据同类二次根式的概念列出方程，解方程求出x． 【解答】解：∵二次根式与是同类二次根式， ∴1﹣2x＝x， 解得：x＝， 故选：B． 八．二次根式的加减法 34．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别计算得出答案． 【解答】解：A.是最简结果，不能合并，故此选项不合题意； B.是最简结果，不能合并，故此选项不合题意； C.，故此选项符合题意； D.，故此选项不合题意． 故选：C． 35．计算： （1）（）； （2）． 【分析】（1）先算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可； （2）先根据绝对值的意义和二次根式的性质化简，再算二次根式的加减即可． 【解答】解：（1）﹣+（﹣+2） ＝﹣﹣+ ＝+； （2）|﹣2|+|﹣3|+ ＝﹣2﹣+3+2 ＝3． 九．二次根式的混合运算 36．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据平方差公式和二次根式的除法法则运算即可． 【解答】解：（1）原式＝3﹣6+4 ＝； （2）原式＝3﹣2+ ＝1+2． 37．计算：（1）； （2）． 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算减法，即可解答； （2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1） ＝﹣ ＝20﹣ ＝20﹣3 ＝17； （2） ＝1﹣4+12﹣（4﹣3） ＝1﹣4+12﹣1 ＝12﹣4． 38． 阅读下列解题过程： ，， 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出＝　10﹣3　； （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的解法，请化简：． 【分析】观察所给例子得出（1）（2）答案；运用（2）的答案先对（3）的每项化简去掉分母，再把中间相邻的两项两两相消得到（3）的答案． 【解答】解：（1）＝ ＝﹣ ＝； 故答案为：． （2）观察前面例子的过程和结果得：； （3）反复运用得： ＝ ＝ ＝ ＝﹣1+10 ＝9． 一十．二次根式的化简求值 39．已知，，则a2+ab+b2＝　　． 【分析】求出a+b．ab，将原式变形，可得结论． 【解答】解：∵，， ∴a+b＝，ab＝， ∴a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝3﹣＝． 故答案为：． 40．已知，，则a﹣b＝（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据已知条件，求出a2，b2，ab的值，再根据完全平方公式求出a﹣b即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab ＝ ＝ ＝2， ∴a﹣b＝， ∵， ∴， ∴a＞b， ∴a﹣b＞0， ∴a﹣b＝， 故选：A． 41．已知，，分别求下列代数式的值： （1）ab； （2）a2﹣3ab+b2． 【分析】（1）把已知条件中的a，b代入ab，利用平方差公式和二次根式的性质进行计算即可； （3）先求出a﹣b的值，再把a2﹣3ab+b2写成（a﹣b）2﹣ab的形式，把a﹣b与ab的值代入计算即可． 【解答】解：， ∴ ＝ ＝9﹣5 ＝4； （2）由（1）可知ab＝4， ∵， ∴a2﹣3ab+b2 ＝（a﹣b）2﹣ab， ＝ ＝20﹣4 ＝16． 42．已知：，． （1）求x+y的值． （2）求的值． 【分析】（1）先分母有理化得到x＝2﹣，y＝2+，然后计算它们的和即可； （2）先计算出xy＝1，再通分得到原式＝，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）∵x＝＝＝2﹣，y＝＝＝2+， ∴x+y＝2﹣+2+＝4； （2）∵x+y＝4，xy＝（2+）（2﹣）＝1， ∴原式＝＝＝＝16． 43．已知，，．求值： （1）m2+n2； （2）． 【分析】（1）先代入，再根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，最后根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （2）先根据二次根式的乘法法则求出mn的值，再通分，最后代入求出答案即可． 【解答】解：（1）∵m＝+1，n＝﹣1， ∴m2+n2＝（+1）2+（﹣1）2 ＝5+2+1+5﹣2+1 ＝12； （2）∵m＝+1，n＝﹣1， ∴mn＝（+1）×（﹣1）＝5﹣1＝4， ∴+ ＝ ＝ ＝3． 44．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而2＜＜3，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差﹣2就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题： （1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　﹣4　； （2）如果3+的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a+的值． 【分析】（1）根据4＜＜5求出的整数部分和小数部分； （2）先求出a、b，再根据算术平方根计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵4＜＜5， ∴的整数部分是4，小数部分是﹣4， 故答案为：4，﹣4； （2）∵2＜＜3， ∴2+3＜3+＜3+3，即5＜3+＜6， ∴3+的整数部分是5，小数部分a＝﹣2， ∵1＜＜2， ∴﹣2＜﹣＜﹣1， ∴5﹣2＜5﹣＜5﹣1，即3＜5﹣＜4， ∴5﹣的整数部分b＝3， ∴a+＝﹣2+＝+1． 一十一．二次根式的应用 45．矩形相邻两边长分别为，，则它的周长和面积分别是（　　） A．，4 B．2，4 C．4，3 D．6，4 【分析】根据矩形的周长和面积公式计算即可． 【解答】解：因为矩形相邻两边长分别为，， 所以它的周长是： 面积分别是：， 故选：D． 46．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为8cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A．4cm2 B．（8﹣12）cm2 C．（4﹣8）cm2 D．（4+12）cm2 【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为12cm2和8cm2， ∴它们的边长分别为cm，cm， ∴AB＝2cm，BC＝2cm， ∴空白部分的面积＝﹣12﹣8， ＝（4﹣8）cm2． 故选：C． 47．秦九韶（1208年～1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦﹣秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，S为三角形的面积，那么s＝． （1）在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝7，请用上面的公式计算△ABC的面积； （2）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝8，BC＝7，BD⊥AC，垂足为D，求CD的长； （3）一个三角形的三边长分别为a，b，c，s＝p＝15，a＝10，求bc的值． 【分析】（1）依据题意，了解海伦﹣秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可； （2）依据题意，由海伦﹣秦九韶公式求得△ABC的面积，再由△ABC的面积＝BD•AC求出BD，然后在Rt△BDC中，利用勾股定理即可求出CD； （3）依据题意，由海伦﹣秦九韶公式建立关于b，c的方程组进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，p＝＝＝9， ∴S＝＝＝6． （2）由题意，p＝＝＝12， ∴S△ABC＝＝＝12． 又S△ABC＝BD•AC，AC＝8， ∴BD＝＝＝3． ∴在Rt△BDC中，CD＝＝＝2． （3）由题意，p＝＝＝15，s＝p＝， ∴b+c＝20，（15﹣b）（15﹣c）＝3． ∴bc＝78． 学科网（北京）股份有限公司 $