第01讲 几何图形初步（复习讲义，2考点+14题型+2重点）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

四章 三角形 第01讲 几何图形初步 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 立体图形 题型01正方体的展开图的识别 题型02正方体相对两面的字 题型03从不同方向看几何图形 题型04平面图形旋转后所得的立体图形 题型05用七巧板拼图形 命题点二 线段与角 题型01两点确地一条直线 题型02钟面角的相关求解 题型03方向角的相关计算 题型04三角板中角度问题 题型05角平分线的相关计算 命题点三 相交线与平行线 题型01 利用相交线的相关性质求角度 题型02 利用平行线的性质与判定求角度 题型03 平行线中三角板问题 题型04 平行线的性质与判定实际应用 05·重难突破·思维进阶 22 突破一 最短路径问题 突破二 平行线中的实践探究 06·优题精选·练能提分 25 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 立体图形的三视图 天津卷 （第2题） 天津卷 （第2题） 天津卷 （第3题） 能识别并判断简单立体图形（如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球及组合体）的主视图、左视图、俯视图，能根据三视图还原立体图形或判断几何体的形状；能从实际情境中抽象出立体图形，利用三视图分析几何体的结构特征，检验图形还原的合理性。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为基础题，未来仍会以低难度题目为主，分值大概率维持在3 分，固定以选择题形式考查（每年 1 道，位置稳定在第 2~3 题），确保基础分的考查占比，不会出现难度陡增的情况。 应用场景直观具象：一方面会延续 2023-2025 年风格，继续选取小正方体组合体为核心载体，考查主视图、左视图、俯视图的识别，重点关注遮挡关系；另一方面可能融入生活中的立体实物（如积木、建筑模型、机械零件简化体）或古代器物（如《营造法式》中的构件），让题目更贴近直观认知，聚焦 “由物识图、由图辨物” 的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强三视图与其他知识点的融合。比如和立体图形的展开图结合，通过三视图判断展开图形状；或与几何体的表面积、体积计算结合，先由三视图还原几何体，再计算相关量；或融入平面直角坐标系，考查视图中线段的坐标表示，强化知识间的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以选择题为主要独立考查形式，偶尔在填空题中结合立体图形的其他知识点考查。单独考查三视图判断的题目大概率会继续保留，符合天津中考 “几何图形初步” 部分每年 1 道三视图题的常规考向，整体保持 “稳中有变，以稳为主” 的命题节奏。 考点一 立体图形的三视图 一、基本概念 1.三视图：从三个不同方向看同一个立体图形得到的平面图形，分别是： ①主视图：从正面看；②左视图：从左面看；③俯视图：从上面看 2.本质：把立体图形投影到平面上，用平面图形表示立体形状。 二、三视图位置与大小关系 1.摆放位置 ①主视图在左上；②左视图在主视图右边；③俯视图在主视图下边 2.“长对正、高平齐、宽相等” ①主、俯：长对正(左右长度一样)；②主、左：高平齐(上下高度一样) 1．（2023·天津·中考真题）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．（2024·天津·中考真题）下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·中考真题）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   4．某物体如图所示，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 考点二 平行线的性质与判定 一、平行线的基本概念 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.符号：平行用“∥”表示，读作“平行于”，如直线a∥b。 3.前提：必须在同一平面内，空间中不相交的直线不一定平行(异面直线)。 二、平行公理及推论(基础) 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 2.推论(平行线的传递性):如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号语言：若a∥b，b ∥c则a∥c。 三、平行线的判定(由“角的关系”推“线的平行”) 判定的核心是三线八角，即两条直线被第三条直线所截，通过角的关系判断平行。 ①同位角相等，两直线平行 ②内错角相等，两直线平行 ③同旁内角互补，两直线平行 四、平行线的性质(由“线的平行”推“角的关系”) 性质与判定互为逆过程，是中考几何计算与证明的核心工具。 ①两直线平行，同位角相等 ②两直线平行，内错角相等 ③两直线平行，同旁内角互补 五、平行线间的距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。 2.性质：平行线间的距离处处相等。 1．（25-26九年级上·天津南开·期末）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津南开·一模）如图①，在中，D是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点M，交于点N； ②以点D为圆心，以长为半径画弧，交线段于点P，交线段于点R； ③以点P为圆心，以长为半径画弧，交于点Q，点Q与点C在直线同侧； ④作直线，交于点E． 则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·天津河北·一模）如图，在中，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧分别交线段于E点，F点，连接，以点D为圆心，线段长为半径画弧交线段于G点，以点G为圆心线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心线段长为半径所画弧于H点，作射线交于点I，则的大小为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·天津和平·二模）如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 命题点一 立体图形 ►题型01 正方体的展开图的识别 一、正方体对面判断万能口诀（必背） 1.相间必对面：在同一行（或列）中，间隔一个正方形的两个面，一定是对面。 2.Z端是对面：在展开图中，呈“Z”字形两端的两个面，一定是对面（Z的首尾）。 3.拐角必相邻：三个面形成“L”型拐角，这三个面两两相邻，无对面。 4.排除法：一个面的相邻面有4个，剩下的1个就是对面。 二、避坑提醒（绝对不能错） 1.“田”“凹”型不是正方体展开图：出现“田”字格、“凹”字形的展开图，无法围成正方体，无需找对面。 2.相邻面≠对面：有公共边或公共顶点的面，一定是相邻面，不是对面。 3.一个面只有1个对面：正方体6个面，每个面有4个相邻面、1个唯一对面，找完4个相邻面，剩下的就是对面。 【典例】（2025·江西·模拟预测）如图，纸板上有9个小正方形（其中5个有阴影，4个无阴影），从图中4个无阴影的小正方形中选出一个（剩余的剪形一起折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式1】（2025·河南驻马店·三模）伟大的当代大数学家华罗庚曾说过一句话：数学很好玩．爱学习的小华将这几个字写到右侧的方格里（如图所示）．现将这五个方格沿四周实线剪下（注意方格相邻之间不要剪断），后沿实线折叠，则对面没有字的是（   ） A．数 B．学 C．很 D．好 【变式2】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（      ） A． B． C． D． ►题型02 正方体相对两面的字 【典例】（2026·河南商丘·一模）“小桥流水人家”出自《天净沙・秋思》，以温情反衬孤寂．将这六字书写于正方体的表面，展开图如图所示，则折叠成正方体后与“桥”相对的汉字是（    ） A．流 B．水 C．人 D．家 【变式1】（2026·河南周口·模拟预测）2026年1月1日，《河南省法律援助条例》正式施行，细化对未成年人、残疾人等群体的保障措施．将“河南法律援助”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“河”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．法 B．律 C．援 D．助 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）“四书五经”是历代儒家学子研学的核心书经，在中国的传统文化中，占据着相当重要的位置．在与国际好友的交流中，鲲鹏打算制作一个正方体礼盒送给外国朋友，六个面上包含了中国古代儒家典籍五经．如图是她设计礼盒的平面展开图，那么“礼”字对面的字是（    ） A．礼 B．易 C．书 D．诗 ►题型03从不同方向看几何图形 “从不同方向看”(三视图)是中考几何基础题的高频易错点，核心错因集中在空间想象不足、规则理解不清、细节忽略。以下按概念、画图、计算、综合应用四大模块，梳理最易丢分的易错点及避坑策略。 一、核心概念混淆(基础错因) 1.混淆“视图”与“图形本身” 易错点：认为“主视图是立体图形的正面”,忽略视图是平面图形，是投影结果，而非立体图形的某个面。 例：圆柱的主视图是长方形(平面),不是圆柱的侧面(曲面);圆锥的俯视图是“圆+圆心”,不是单纯的圆。 避坑：视图是正投影，只反映长、宽、高中的两个维度，无厚度、无曲面。 2.忽略“三视图的对应规则”(长对正、高平齐、宽相等) 易错点：画图或判断时，长、宽、高对应混乱，导致视图比例/位置错误。 例：主视图的“长”≠俯视图的“长”,左视图的“高”≠主视图的“高”。 避坑：牢记口诀——主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等(主视图和俯视图的长一致，主视图和左视图的高一致，俯视图和左视图的宽一致)。 3.误解“看得见与看不见的枝” 易错点：所有棱都画实线，或看不见的棱漏画、画成实线。 规则：看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线（虚线不能省略，否则视图不完整）。 例：正方体挖去一个小正方体后，内部看不见的楼必须用虚线表示。 避坑：画图前先判断棱的可见性，复杂图形可先想象“透明立体”，再区分虚实线。 【典例】（山东省泰安市高新区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷）某物体如图所示，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025年天津市和平区益中学校中考一模数学试卷）如图所示，几何体的左视图是（   ） A．B． C． D． 【变式2】（2025·天津河东·一模）如图是一个由个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·天津南开·一模）如图是用6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． ►题型04 平面图形旋转后所得的立体图形 【典例】（2025·辽宁鞍山·二模）如图，将直角三角形绕直角边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·二模）如图，将该平面图形绕图中的虚线（轴线）旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川绵阳·二模）如图，在水平桌面上竖直放置一个直角梯形纸板，现绕其上底所在直线旋转一周，则旋转所得几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·陕西西安·一模）下列花瓶，可看作是由如图的平面图形绕虚线旋转一周形成的是（   ） A． B． C． D． ►题型05 用七巧板拼图形 【典例】（2025·河北唐山·二模）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式1】（2025·上海徐汇·模拟预测）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·福建莆田·模拟预测）用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·上海·三模）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形就是由七巧板拼成的．下面四个选项中，不正确的是（    ）    A．用一副七巧板之中的三块板可以拼出一个正方形 B．用一副七巧板之中的四块板可以拼出一个正方形 C．用一副七巧板之中的五块板可以拼出一个正方形 D．用一副七巧板之中的六块板可以拼出一个正方形 命题点二 线段与角 ►题型01 两点确地一条直线 【典例】（2026·广西柳州·一模）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【变式1】（2025·上海宝山·模拟预测）同学用两枚钉子就把校运动会团体总分第一名的奖状挂在墙上，请你用数学知识来解释原理：______． 【变式2】（2024·湖北宜昌·模拟预测）小王同学在面临“固定一根细而短的直木条用多少根钉子”问题时，选择的是准备用根钉子，若你是发货员，从节约和稳固兼顾的角度来讲，可以只发给小王______根钉子． ►题型02 钟面角的相关求解 核心基础(必记) 1.钟面基本参数 钟面为360°圆周，共12大格、60小格。 每大格：360°÷12=30° 每小格：360°÷60=6° 2.时针、分针转速(关键) 分针：每分钟转6°(360°÷60),每小时转360°。 时针：每小时转30°(360°÷12),每分钟转0.5°(30°÷60)。 3.核心公式(万能) 设时间为H时M分(H取0～11,M取0～59),则： 夹角=|30H-5.5M| 【典例】（2025·江苏南通·中考真题）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江绍兴·二模）如图，小丽用卡纸仿制了一个钟表，她用铅笔在卡纸钟面的圆周上确定了三个点，，，其中，两点分别与钟面两个时刻的刻度点重合，连结，，则______． ►题型03方向角的相关计算 【典例】（2025·河北邯郸·二模）如图，一艘渔船由南向北航行，上午8时，发现灯塔在渔船的北偏西方向，上午10时，却发现灯塔在渔船的南偏西方向．已知渔船的速度是28海里/小时，渔船上午8时和10时的位置分别用点表示，则的距离为（    ）    A．28海里 B．42海里 C．56海里 D．70海里 【变式1】（2025·湖南常德·二模）已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东的方向航行，当货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则货轮到达处时与灯塔的距离是（　　） A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．50海里 【变式2】（2025·河南驻马店·三模）如图，新乡市、郑州市连线与新乡市、开封市连线的夹角为，新乡市在郑州市的北偏东方向上，则开封市在新乡市的（   ） A．南偏东方向上 B．南偏东方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 ►题型04 三角板中角度问题 【典例】（2026·安徽安庆·模拟预测）一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·贵州遵义·一模）将量角器和含角的三角板按如图方式摆放，点O、B、C在同一条直线上，是量角器所在圆O的切线，切点为A（点A在量角器上对应的刻度为）．则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）将一副三角板按如图所示放置，其中，，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． ►题型05 角平分线的相关计算 【典例】（2026·河南·一模）如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）如图，线段绕其中点逆时针旋转得到线段（点、的对应点分别为点、），平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西西安·一模）如图，已知直线，相交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 命题点三 相交线与平行线 ►题型01 利用平行线的性质与判定求角度 【典例】（2026·陕西榆林·一模）如图，已知，点在上，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·陕西咸阳·一模）如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·江苏淮安·二模）如图，，平分．若，则的度数为______． ►题型02平行线中三角板问题 【典例】（2026·陕西·模拟预测）小晨将一副三角板和按如图所示的位置放置，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·甘肃·模拟预测）如图，直线，将一块含角的直角三角板（）按如图方式放置，其中顶点和分别落在直线和上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·江苏南通·模拟预测）某同学打算制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，其方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．接着将用细线和铅锤做成的铅锤线顶端固定在量角器中心点处．现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时铅锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（   ） A． B． C． D． ►题型03 平行线的性质与判定实际应用 【典例】（2026·河南信阳·一模）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南郑州·一模）如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北衡水·模拟预测）如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ）． A． B． C． D． 突破一 最短路径问题 【典例】（2025·安徽阜阳·三模）如图，在矩形中，，点为边上的动点，连接并延长至点，使，若是的中点，则的最小值为（   ） A．10 B． C． D． 【变式1】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，菱形的边长为2，，，分别是，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2】（2025·山东临沂·二模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 突破二 平行线中的实践探究 【典例】（2026·福建泉州·模拟预测）清溪中学科技社团选择一水槽进行光的折射实验，下面是具体的操作步骤． 【实验操作】 第一步：将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处射入到底部处，入射光线与水槽边的夹角为． 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，所有点都在同一平面内，测得． 【数据应用】 (1)求折射角的度数； (2)求之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【变式1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． (1)在图2中，_________ (2)靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若乘客水杯竖直放在杯托处（与重合，水杯宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点到靠背的距离不得小于． ①___________°． ②求乘客水杯的最大高度． （参考数据：） 【变式2】（2026·山东威海·模拟预测）课本再现 （1）如图1，是的外角，平分，，则　　　　．（填“”“”或“”） 类比迁移 （2）如图2，在中，是的一条角平分线，过点D作交于点E，求证：． 拓展运用 （3）如图3，在中，，O是角平分线上一点，延长至点M，使，过点M作交于点N，猜想与的数量关系，并进行证明． 1．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北秦皇岛·一模）图1是表面画有不同图案的正方体，其展开图如图2所示，则该正方体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江西·一模）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏徐州·一模）如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两数相等，则的值为_________． 5．（2026·河北沧州·一模）如图，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船从以每小时70海里的速度沿南偏东方向匀速航行，轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与处的距离是____________海里． 6．（2025·云南红河·模拟预测）如图，已知点是线段上一点，，，分别是，的中点，，求线段的长． 7．（2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为____________； （2）小明骑行的最短距离为_________________． 1．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，与互余的角共有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，平分交于点M，，连接，E，F分别是，的中点，若，则的长为（   ） A． B．5 C． D．6 3．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，，点F，G分别是的中点，若，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·宁夏固原·三模）如图，将一长方形纸条和三角板摆放在数轴上，使纸条的一边缘与数轴对齐，且通过三角板的顶点，交边于点，此时点，在数轴上的读数分别为，，若，则线段的长为______． 5．（2025·山东青岛·二模）如图，有一个正方体纸盒，其棱长为．小明沿着同一顶点处的三条棱在三个面上分别剪掉了，和的三个长方形．将正方体纸盒剩余部分沿棱展开，得到的展开图周长最大是______． 6．（2025·江苏宿迁·二模）传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图2所示，三点在圆上，圆的半径是_______． 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 5．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 四章 三角形 第01讲 几何图形初步 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 立体图形 题型01正方体的展开图的识别 题型02正方体相对两面的字 题型03从不同方向看几何图形 题型04平面图形旋转后所得的立体图形 题型05用七巧板拼图形 命题点二 线段与角 题型01两点确地一条直线 题型02钟面角的相关求解 题型03方向角的相关计算 题型04三角板中角度问题 题型05角平分线的相关计算 命题点三 相交线与平行线 题型01 利用相交线的相关性质求角度 题型02 利用平行线的性质与判定求角度 题型03 平行线中三角板问题 题型04 平行线的性质与判定实际应用 05·重难突破·思维进阶 47 突破一 最短路径问题 突破二 平行线中的实践探究 06·优题精选·练能提分 51 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 立体图形的三视图 天津卷 （第2题） 天津卷 （第2题） 天津卷 （第3题） 能识别并判断简单立体图形（如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球及组合体）的主视图、左视图、俯视图，能根据三视图还原立体图形或判断几何体的形状；能从实际情境中抽象出立体图形，利用三视图分析几何体的结构特征，检验图形还原的合理性。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为基础题，未来仍会以低难度题目为主，分值大概率维持在3 分，固定以选择题形式考查（每年 1 道，位置稳定在第 2~3 题），确保基础分的考查占比，不会出现难度陡增的情况。 应用场景直观具象：一方面会延续 2023-2025 年风格，继续选取小正方体组合体为核心载体，考查主视图、左视图、俯视图的识别，重点关注遮挡关系；另一方面可能融入生活中的立体实物（如积木、建筑模型、机械零件简化体）或古代器物（如《营造法式》中的构件），让题目更贴近直观认知，聚焦 “由物识图、由图辨物” 的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强三视图与其他知识点的融合。比如和立体图形的展开图结合，通过三视图判断展开图形状；或与几何体的表面积、体积计算结合，先由三视图还原几何体，再计算相关量；或融入平面直角坐标系，考查视图中线段的坐标表示，强化知识间的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以选择题为主要独立考查形式，偶尔在填空题中结合立体图形的其他知识点考查。单独考查三视图判断的题目大概率会继续保留，符合天津中考 “几何图形初步” 部分每年 1 道三视图题的常规考向，整体保持 “稳中有变，以稳为主” 的命题节奏。 考点一 立体图形的三视图 一、基本概念 1.三视图：从三个不同方向看同一个立体图形得到的平面图形，分别是： ①主视图：从正面看；②左视图：从左面看；③俯视图：从上面看 2.本质：把立体图形投影到平面上，用平面图形表示立体形状。 二、三视图位置与大小关系 1.摆放位置 ①主视图在左上；②左视图在主视图右边；③俯视图在主视图下边 2.“长对正、高平齐、宽相等” ①主、俯：长对正(左右长度一样)；②主、左：高平齐(上下高度一样) 1．（2023·天津·中考真题）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ）    A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据主视图的定义判断． 【详解】根据主视图的定义，从正面（图中箭头方向）看到的图形应为两层，上层有2个，下层有3个小正方形， 故答案为：C． 【点睛】本题考查主视图的定义，注意观察的方向，掌握主视图的定义判断是解题的关键． 2．（2024·天津·中考真题）下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是指从正前方向看到的图形求解即可． 【详解】解：由此从正面看，下面第一层是三个正方形，第二层是一个正方形（且在最右边）， 故选：B． 3．（2025·天津·中考真题）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要查了简单组合体的三视图．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解． 【详解】解：根据题意得：它的主视图是    故选：D 4．某物体如图所示，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三视图，正确理解俯视图是解题的关键．根据俯视图的意义判断即可． 【详解】 解：  的俯视图是 ． 故选B． 考点二 平行线的性质与判定 一、平行线的基本概念 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.符号：平行用“∥”表示，读作“平行于”，如直线a∥b。 3.前提：必须在同一平面内，空间中不相交的直线不一定平行(异面直线)。 二、平行公理及推论(基础) 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 2.推论(平行线的传递性):如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号语言：若a∥b，b ∥c则a∥c。 三、平行线的判定(由“角的关系”推“线的平行”) 判定的核心是三线八角，即两条直线被第三条直线所截，通过角的关系判断平行。 ①同位角相等，两直线平行 ②内错角相等，两直线平行 ③同旁内角互补，两直线平行 四、平行线的性质(由“线的平行”推“角的关系”) 性质与判定互为逆过程，是中考几何计算与证明的核心工具。 ①两直线平行，同位角相等 ②两直线平行，内错角相等 ③两直线平行，同旁内角互补 五、平行线间的距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。 2.性质：平行线间的距离处处相等。 1．（25-26九年级上·天津南开·期末）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和，对顶角的性质，由正多边形的性质及多边形的内角和公式可得，，即得，再根据对顶角的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 2．（2025·天津南开·一模）如图①，在中，D是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点M，交于点N； ②以点D为圆心，以长为半径画弧，交线段于点P，交线段于点R； ③以点P为圆心，以长为半径画弧，交于点Q，点Q与点C在直线同侧； ④作直线，交于点E． 则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线等分线段定、三角形中位线定理等知识点，说明是解题的关键． 由作图过程可得，可判定A正确；再根据平行线的判定定理可得，由平行线的性质可判定B选项；根据平行线等分线段定理可判断C选项；先说明是的中位线可得，而和不一定相等，据此可判定D选项． 【详解】解：由作图可知，故选项A正确， ∴， ∴，故选项B正确， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴，即，故选项C正确； ∵，， ∴是的中位线， ∴ ∵和不一定相等， ∴不一定成立，故选项D错误． 故选：D． 3．（2025·天津河北·一模）如图，在中，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧分别交线段于E点，F点，连接，以点D为圆心，线段长为半径画弧交线段于G点，以点G为圆心线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心线段长为半径所画弧于H点，作射线交于点I，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，三角形内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，得到是解题的关键． 由作图可证明，则可证明，再由平行线得到同位角相等，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：由作图可知， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024·天津和平·二模）如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握相关的知识是解题的关键． 根据旋转的性质证是等边三角形，根据等边三角形的性质，结合平行线的判定求解即可． 【详解】∵将以点为中心顺时针旋转得到，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 命题点一 立体图形 ►题型01 正方体的展开图的识别 一、正方体对面判断万能口诀（必背） 1.相间必对面：在同一行（或列）中，间隔一个正方形的两个面，一定是对面。 2.Z端是对面：在展开图中，呈“Z”字形两端的两个面，一定是对面（Z的首尾）。 3.拐角必相邻：三个面形成“L”型拐角，这三个面两两相邻，无对面。 4.排除法：一个面的相邻面有4个，剩下的1个就是对面。 二、避坑提醒（绝对不能错） 1.“田”“凹”型不是正方体展开图：出现“田”字格、“凹”字形的展开图，无法围成正方体，无需找对面。 2.相邻面≠对面：有公共边或公共顶点的面，一定是相邻面，不是对面。 3.一个面只有1个对面：正方体6个面，每个面有4个相邻面、1个唯一对面，找完4个相邻面，剩下的就是对面。 【典例】（2025·江西·模拟预测）如图，纸板上有9个小正方形（其中5个有阴影，4个无阴影），从图中4个无阴影的小正方形中选出一个（剩余的剪形一起折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的各种情形是解题的关键．利用正方体展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图，选法有1种， 故选：A． 【变式1】（2025·河南驻马店·三模）伟大的当代大数学家华罗庚曾说过一句话：数学很好玩．爱学习的小华将这几个字写到右侧的方格里（如图所示）．现将这五个方格沿四周实线剪下（注意方格相邻之间不要剪断），后沿实线折叠，则对面没有字的是（   ） A．数 B．学 C．很 D．好 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的展开图以及对面，解题的关键是掌握找对面的法则． 利用正方体找对面法则找出对面即可． 【详解】解：根据正方体展开图，“”字的开头和结尾的对面，隔一个是对面法则，“学”字的对面没有字， 故选：B． 【变式2】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体可得，三个图案均是相邻的， A、还原正方体后，符合题意； B、<与＝是相对的两面，不符合题意； C、还原正方体后，不等号的尖尖向右，不符合题意； D、还原正方体后，<在下面，且不等号的尖尖朝前，不符合题意， 故选：A． ►题型02 正方体相对两面的字 【典例】（2026·河南商丘·一模）“小桥流水人家”出自《天净沙・秋思》，以温情反衬孤寂．将这六字书写于正方体的表面，展开图如图所示，则折叠成正方体后与“桥”相对的汉字是（    ） A．流 B．水 C．人 D．家 【答案】C 【详解】解：折叠成正方体后与“桥”相对的汉字是“人”． 【变式1】（2026·河南周口·模拟预测）2026年1月1日，《河南省法律援助条例》正式施行，细化对未成年人、残疾人等群体的保障措施．将“河南法律援助”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“河”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．法 B．律 C．援 D．助 【答案】A 【分析】根据相对的面之间一定相隔一个正方形，“Z”字两端是对面，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“河”与“法”是相对面，“南”与“援”是相对面，“律”与“助”是相对面． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）“四书五经”是历代儒家学子研学的核心书经，在中国的传统文化中，占据着相当重要的位置．在与国际好友的交流中，鲲鹏打算制作一个正方体礼盒送给外国朋友，六个面上包含了中国古代儒家典籍五经．如图是她设计礼盒的平面展开图，那么“礼”字对面的字是（    ） A．礼 B．易 C．书 D．诗 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “礼”字对面的字是“诗” 故选：D． ►题型03从不同方向看几何图形 “从不同方向看”(三视图)是中考几何基础题的高频易错点，核心错因集中在空间想象不足、规则理解不清、细节忽略。以下按概念、画图、计算、综合应用四大模块，梳理最易丢分的易错点及避坑策略。 一、核心概念混淆(基础错因) 1.混淆“视图”与“图形本身” 易错点：认为“主视图是立体图形的正面”,忽略视图是平面图形，是投影结果，而非立体图形的某个面。 例：圆柱的主视图是长方形(平面),不是圆柱的侧面(曲面);圆锥的俯视图是“圆+圆心”,不是单纯的圆。 避坑：视图是正投影，只反映长、宽、高中的两个维度，无厚度、无曲面。 2.忽略“三视图的对应规则”(长对正、高平齐、宽相等) 易错点：画图或判断时，长、宽、高对应混乱，导致视图比例/位置错误。 例：主视图的“长”≠俯视图的“长”,左视图的“高”≠主视图的“高”。 避坑：牢记口诀——主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等(主视图和俯视图的长一致，主视图和左视图的高一致，俯视图和左视图的宽一致)。 3.误解“看得见与看不见的枝” 易错点：所有棱都画实线，或看不见的棱漏画、画成实线。 规则：看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线（虚线不能省略，否则视图不完整）。 例：正方体挖去一个小正方体后，内部看不见的楼必须用虚线表示。 避坑：画图前先判断棱的可见性，复杂图形可先想象“透明立体”，再区分虚实线。 【典例】（山东省泰安市高新区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷）某物体如图所示，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三视图，正确理解俯视图是解题的关键．根据俯视图的意义判断即可． 【详解】 解：  的俯视图是 ． 故选B． 【变式1】（2025年天津市和平区益中学校中考一模数学试卷）如图所示，几何体的左视图是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，几何体的左视图是在几何体的左侧看到平面图形． 【详解】解：A、根据图形中几何体的正面可知，这个平面图形是在几何体的正面看到的，这个平面图形是几何体的主视图，故A选项不符合题意； B、根据图形中几何体的正面可知，这个平面图形是在几何体的左面看到的，这个平面图形是几何体的左视图，故B选项符合题意； C、根据图形中几何体的正面可知，这个平面图形是在几何体的上面看到的，这个平面图形是几何体的俯视图，故C选项不符合题意； D、根据图形中几何体的形状可知，这个平面图形不是这个几何体的视图，故D选项符合题意． 故选： B． 【变式2】（2025·天津河东·一模）如图是一个由个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】 解：该几何体的主视图是， 故选：A． 【变式3】（2025·天津南开·一模）如图是用6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，主视图为： 故选A． ►题型04 平面图形旋转后所得的立体图形 【典例】（2025·辽宁鞍山·二模）如图，将直角三角形绕直角边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥，即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥， 故选：C． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·二模）如图，将该平面图形绕图中的虚线（轴线）旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的旋转，记住常见平面图形旋转得到的几何体是解题的关键． 根据旋转的性质判定即可． 【详解】 解：绕图中的虚线（轴线）旋转一周，得到的立体图形是 故选：B． 【变式2】（2025·四川绵阳·二模）如图，在水平桌面上竖直放置一个直角梯形纸板，现绕其上底所在直线旋转一周，则旋转所得几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了空间想象能力及几何体的三视图，发挥空间想象能力，确定旋转一周所得的几何体形状是关键． 根据题意易得此几何体为圆柱中挖空了一个底面相等的圆锥，主视图是从几何体正面看到的图形，即可得出答案． 【详解】解：∵直角梯形纸板绕其上底所在直线旋转一周所得的几何体是圆柱中挖空了一个底面相等的圆锥， ∴该几何体的主视图是 故选：D． 【变式3】（2025·陕西西安·一模）下列花瓶，可看作是由如图的平面图形绕虚线旋转一周形成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了面动成体，通过面的特征推断体的形状熟练掌握即可解题． 【详解】解：由面动成体．由题目中的图示可知：此图形旋转可成脖子长有口的瓶子． B是可由所给图形旋转而成的瓶型，故B正确； 故选：B． ►题型05 用七巧板拼图形 【典例】（2025·河北唐山·二模）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．根据小三角形的面积是小正方形面积的一半；平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等；大三角形的面积是小正方形面积的2倍，即可求出结果． 【详解】解：两块最大等腰直角三角形的直角边的长为， 两块最大等腰直角三角形的面积为， 平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等，且等于大三角形的面积的一半， 平行四边形、最左侧腰直角三角形、小正方形的面积都为， 小三角形的面积是小正方形面积的一半， 小三角形的面积是， “灵蛇开运”图的面积是， 故选：B． 【变式1】（2025·上海徐汇·模拟预测）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点．设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（2024·福建莆田·模拟预测）用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：设①的面积为， 则一副七巧板的面积为，正方形纸板的边长为， 则矩形区域面积为， ∴若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为． 故选：A． 【变式3】（2024·上海·三模）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形就是由七巧板拼成的．下面四个选项中，不正确的是（    ）    A．用一副七巧板之中的三块板可以拼出一个正方形 B．用一副七巧板之中的四块板可以拼出一个正方形 C．用一副七巧板之中的五块板可以拼出一个正方形 D．用一副七巧板之中的六块板可以拼出一个正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了七巧板拼图，正确理解题意画出示意图是解题的关键． 【详解】解：如图所示，用一副七巧板之中的三块或四块或五块都可以拼成正方形，但是六块不可以拼成正方形    故选：D． 命题点二 线段与角 ►题型01 两点确地一条直线 【典例】（2026·广西柳州·一模）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】A 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是两点确定一条直线． 【变式1】（2025·上海宝山·模拟预测）同学用两枚钉子就把校运动会团体总分第一名的奖状挂在墙上，请你用数学知识来解释原理：______． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查两点确定一条直线的应用，由两点确定一条直线即可得解，正确理解两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：由于两点确定一条直线， 所以同学用两枚钉子就把校运动会团体总分第一名的奖状挂在墙上， 故答案为：两点确定一条直线． 【变式2】（2024·湖北宜昌·模拟预测）小王同学在面临“固定一根细而短的直木条用多少根钉子”问题时，选择的是准备用根钉子，若你是发货员，从节约和稳固兼顾的角度来讲，可以只发给小王______根钉子． 【答案】 【分析】本题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线，即可得到答案，掌握两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：根据两点确定一条直线，可知固定一根细而短的直木条，至少需要根钉子， 故答案为：． ►题型02 钟面角的相关求解 核心基础(必记) 1.钟面基本参数 钟面为360°圆周，共12大格、60小格。 每大格：360°÷12=30° 每小格：360°÷60=6° 2.时针、分针转速(关键) 分针：每分钟转6°(360°÷60),每小时转360°。 时针：每小时转30°(360°÷12),每分钟转0.5°(30°÷60)。 3.核心公式(万能) 设时间为H时M分(H取0～11,M取0～59),则： 夹角=|30H-5.5M| 【典例】（2025·江苏南通·中考真题）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确钟表表盘的特征，即被分成个大格，每个大格对应角度固定，再看上午时整时针和分针的位置，计算间隔大格数，进而求出夹角．本题主要考查钟面角的计算，熟练掌握钟表表盘大格对应的角度（每大格 ）以及特定时刻时针和分针的位置关系是解题的关键． 【详解】解：每一个大格对应的角度是 ．上午时整，时针指向，分针指向，它们之间间隔个大格． 所以时针和分针构成的角的度数为 ． 故选：． 【变式1】（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，用乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是，根据时针与分针相距的份数，可得答案． 【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是， 故选：C． 【变式2】（2025·浙江绍兴·二模）如图，小丽用卡纸仿制了一个钟表，她用铅笔在卡纸钟面的圆周上确定了三个点，，，其中，两点分别与钟面两个时刻的刻度点重合，连结，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一条弧所对的圆周角为圆心角的一半的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据一条弧所对的圆周角为圆心角的一半即可求解． 【详解】解：∵所对的圆心角为， ∴， 故答案为： ►题型03方向角的相关计算 【典例】（2025·河北邯郸·二模）如图，一艘渔船由南向北航行，上午8时，发现灯塔在渔船的北偏西方向，上午10时，却发现灯塔在渔船的南偏西方向．已知渔船的速度是28海里/小时，渔船上午8时和10时的位置分别用点表示，则的距离为（    ）    A．28海里 B．42海里 C．56海里 D．70海里 【答案】C 【分析】本题主要考查了方位角、三角形内角和定理、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由题意可得：，运用三角形内角和定理可得，即，再根据等角对等边以及行程问题即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ， ， （海里）． 故选C． 【变式1】（2025·湖南常德·二模）已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东的方向航行，当货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则货轮到达处时与灯塔的距离是（　　） A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．50海里 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，平行线性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于推出为等边三角形． 根据方向角，平行线性质，推出为等边三角形，再结合等边三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：由题知，，（海里）， 如图，由两直线平行，内错角相等可知，， ， 为等边三角形， 海里， 故选：A． 【变式2】（2025·河南驻马店·三模）如图，新乡市、郑州市连线与新乡市、开封市连线的夹角为，新乡市在郑州市的北偏东方向上，则开封市在新乡市的（   ） A．南偏东方向上 B．南偏东方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【答案】A 【分析】本题考查了方位角，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据方向角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作 已知 ∵ ∴， 即开封市在新乡市的南偏东方向上 故选：A． ►题型04 三角板中角度问题 【典例】（2026·安徽安庆·模拟预测）一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】∵，， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】（2025·贵州遵义·一模）将量角器和含角的三角板按如图方式摆放，点O、B、C在同一条直线上，是量角器所在圆O的切线，切点为A（点A在量角器上对应的刻度为）．则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，四边形内角和定理，熟练掌握切线的性质和四边形内角和定理是解题的关键，由切线的性质可得，结合题意可得，，再根据四边形内角和定理可得的度数． 【详解】解：∵是量角器所在圆O的切线， ∴， ∵，， ∴四边形中，． 故选：C． 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）将一副三角板按如图所示放置，其中，，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角板的知识，是基础题，熟记定理是解题的关键．由题可得，，再根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：，， ． ，， ． ， ． 故选：C． ►题型05 角平分线的相关计算 【典例】（2026·河南·一模）如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，理解对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据邻补角的定义得出，根据角平分线的定义得出，根据对顶角得出，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）如图，线段绕其中点逆时针旋转得到线段（点、的对应点分别为点、），平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平角的性质．先求得，利用角平分线的定义求得，再利用平角的性质即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（2026·陕西西安·一模）如图，已知直线，相交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平分，得，由邻补角互补得，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 命题点三 相交线与平行线 ►题型01 利用平行线的性质与判定求角度 【典例】（2026·陕西榆林·一模）如图，已知，点在上，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角以及平行线的性质进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2026·陕西咸阳·一模）如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据邻补角可得，结合得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据外角的性质计算出，再根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 【变式3】（2025·江苏淮安·二模）如图，，平分．若，则的度数为______． 【答案】/110度 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先求出，然后根据角平分线的定义，得到，最后根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． ►题型02平行线中三角板问题 【典例】（2026·陕西·模拟预测）小晨将一副三角板和按如图所示的位置放置，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再对求差即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 【变式1】（2026·甘肃·模拟预测）如图，直线，将一块含角的直角三角板（）按如图方式放置，其中顶点和分别落在直线和上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作直线，结合，得，得出，得，又因为，得出的度数，即可作答． 【详解】解：依题意， 过点作直线， ∵直线， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两直线平行同位角相等，三角形外角的性质． 根据三角形外角性质和对顶角性质得，根据平行线的性质得． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 根据题意可知， ∴． 故选：C. 【变式3】（2026·江苏南通·模拟预测）某同学打算制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，其方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．接着将用细线和铅锤做成的铅锤线顶端固定在量角器中心点处．现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时铅锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． ►题型03 平行线的性质与判定实际应用 【典例】（2026·河南信阳·一模）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质得到，进而可求得，再结合物理知识求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由反射角等于入射角得， ∴． 【变式1】（2026·河南郑州·一模）如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过P作，利用平行线的性质，求解即可． 【详解】解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（2026·河北衡水·模拟预测）如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，设与的交点为， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴． 突破一 最短路径问题 【典例】（2025·安徽阜阳·三模）如图，在矩形中，，点为边上的动点，连接并延长至点，使，若是的中点，则的最小值为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查几何最值问题，矩形的性质，利用对称法求最短路径，过点作于点，过点作于点，则，根据平行线的性质得，，则是的延长线的定点，点在以点为垂足的的垂线上，作关于直线的对称点，，连接与相交于点，当与重合时，最小，最小值为的长，由勾股定理求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，则， ， ， ∴， 是的延长线的定点，点在以点为垂足的的垂线上，作关于直线的对称点，， ， 连接与相交于点， 当与重合时，最小，最小值为的长， ， 故选：A． 【变式1】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，菱形的边长为2，，，分别是，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，解题的关键是作出关于的对称点，连接，当时，有最小值，最小值为的长，解直角三角形求得即可． 【详解】解：如图，关于的对称点，连接， 菱形关于对称，是边上点， 是边上的点，， 当时，有最小值，最小值为的长． 菱形的边长为2，， ， 的最小值为． 故选：C． 【变式2】（2025·山东临沂·二模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【答案】B 【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：B 突破二 平行线中的实践探究 【典例】（2026·福建泉州·模拟预测）清溪中学科技社团选择一水槽进行光的折射实验，下面是具体的操作步骤． 【实验操作】 第一步：将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处射入到底部处，入射光线与水槽边的夹角为． 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，所有点都在同一平面内，测得． 【数据应用】 (1)求折射角的度数； (2)求之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，则，再根据求解即可． （2）根据是的中点，得出，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． （2）解：是的中点， ， ∵， ， ∵， ∴四边形是矩形， ， 在中，， ， ． 答：之间的距离约为． 【变式1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． (1)在图2中，_________ (2)靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若乘客水杯竖直放在杯托处（与重合，水杯宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点到靠背的距离不得小于． ①___________°． ②求乘客水杯的最大高度． （参考数据：） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数的定义是解题关键． （1）作，由题意可知，则．结合，可以计算出； （2）①根据平行线的性质可得； ②过G点作于H点， 交于M点，过M点作于N点，则，，．在中，利用三角函数的定义可得，则可得，．在中，利用三角函数的定义可得，进而可得杯子的高度为． 【详解】（1）解：如图，作， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：①∵， ∴． 故答案为：． ②如图，过G点作于H点， 交于M点，过M点作于N点，则，，． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴乘客水杯的最大高度约为． 【变式2】（2026·山东威海·模拟预测）课本再现 （1）如图1，是的外角，平分，，则　　　　．（填“”“”或“”） 类比迁移 （2）如图2，在中，是的一条角平分线，过点D作交于点E，求证：． 拓展运用 （3）如图3，在中，，O是角平分线上一点，延长至点M，使，过点M作交于点N，猜想与的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，等量代换得，进而可证； （2）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，等量代换得，进而可证； （3）由角平分线的定义得，根据证明得，，然后证明即可得出． 【详解】解：（1）平分， ． ， ，， ， ． 故答案为：； （2）平分， ． ， ， ， ； （3），证明如下， 连接，，如图， 平分， ． ，， ， ，． ， ， ． ， ， ， ∵， ， ． 1．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直，可得，进而可求，，再根据角平分线，可得，最后根据三角形内角和，计算即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 2．（2026·河北秦皇岛·一模）图1是表面画有不同图案的正方体，其展开图如图2所示，则该正方体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的表面展开图是一四一型，其中，带二点和四点图案的正方形是相对的面，带一点和三角形图案的正方形是相对的面，在还原展开图时，可以让四点图案的正方形固定为底面，把其他各面翻折回来，即可得到结论． 【详解】 解：由正方体的表面展开图情况，让四点图案的正方形固定为底面，三角形为前面，把其他各面翻折回来，可知该正方体的俯视图是． 3．（2025·江西·一模）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：D． 4．（2026·江苏徐州·一模）如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两数相等，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据正方体表面展开图的特征和相对面上所标的两个数相等，可求出的值，再代入计算即可． 【详解】由图可得，的相对面为，的相对面为，的相对面为， ∵相对面上所标的两数相等， ∴，，， ∴． 5．（2026·河北沧州·一模）如图，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船从以每小时70海里的速度沿南偏东方向匀速航行，轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与处的距离是____________海里． 【答案】 【分析】本题考查了方位角的计算，等腰三角形的性质与判定．根据已知条件得出为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，， ∵， ∴， ∵，则 ∴为等腰直角三角形， ∵（海里）， ∴（海里）． 故答案为：． 6．（2025·云南红河·模拟预测）如图，已知点是线段上一点，，，分别是，的中点，，求线段的长． 【答案】线段的长为． 【分析】本题考查了线段的中点性质，线段的和与差，设，因为，分别是，的中点，所以，，从而得，则有，得，然后通过线段的和与差即可求解，掌握线段中点性质并结合图形与已知求出部分线段的长是解题的关键． 【详解】解：设， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． 7．（2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为____________； （2）小明骑行的最短距离为_________________． 【答案】 【分析】本题涉及到距离的计算． （1）直接将路线中各段距离相加即可； （2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】解：（1）根据图示计算的路线距离为； 故答案为：       （2）找出所有可能路线计算： ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故答案为：. 1．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，与互余的角共有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质求出和的度数，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，结合等腰三角形性质和三角形外角性质求出和的度数，最后统计出与互余的角的个数即可求解． 【详解】解： ∵在中，， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∵点是的中点，， ， ， ， ， 是的外角， ， ， 综上所述，与互余的角有、、、，共个 ． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，平分交于点M，，连接，E，F分别是，的中点，若，则的长为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解题的关键． 先利用平行四边形的性质和角平分线的定义可得，进而根据等角对等边得到，结合已知可得，最后根据三角形的中位线性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分交于点M， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A 3．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，，点F，G分别是的中点，若，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作图——基本作图，角平分线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先由作图知平分，然后利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证出，再由中位线的性质和平行四边形的性质可得，进而根据已知得出，进而求得平行四边形的周长． 【详解】解：由题意可知，是的平分线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F，G分别是的中点，， ∴， ∴， ∴的周长（）， 故选：D． 4．（2025·宁夏固原·三模）如图，将一长方形纸条和三角板摆放在数轴上，使纸条的一边缘与数轴对齐，且通过三角板的顶点，交边于点，此时点，在数轴上的读数分别为，，若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，由，得，所以，根据直角三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·山东青岛·二模）如图，有一个正方体纸盒，其棱长为．小明沿着同一顶点处的三条棱在三个面上分别剪掉了，和的三个长方形．将正方体纸盒剩余部分沿棱展开，得到的展开图周长最大是______． 【答案】 【分析】本题考查了正方体侧面展开图，根据小明沿着同一顶点处的三条棱在三个面上分别剪掉了，和的三个长方形，分别画出图形，然后比较即可得到的展开图周长最大是，然后求解即可，掌握正方体侧面展开图是解题的关键． 【详解】解：如图， ∴得到的展开图周长是， 如图， ∴得到的展开图周长是， 如图， ∴得到的展开图周长是， ∵， ∴得到的展开图最大周长是， 故答案为：． 6．（2025·江苏宿迁·二模）传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图2所示，三点在圆上，圆的半径是_______． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，七巧板，正方形的性质，确定圆的条件，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，延长交于，设圆心，连接，先求出七巧板各个图形的边长，进而可求出的长，由小鱼图案外轮廓是轴对称图形，得到垂直平分，得到圆心在上，，再在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交于，设圆心，连接， ∵边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板， ∴大等腰直角三角形的直角边长为，中等腰直角三角形的直角边长为，小等腰直角三角形的直角边长为，小正方形的边长为，平行四边形的边长为和， ∴是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成，即， ∵小鱼图案外轮廓是轴对称图形， ∴垂直平分， ∴圆心在上，， 由题意可得， 设，则， ∵中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆的半径是， 故答案为：． 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 2．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体，面动成体，根据题意作出图形，即可进行判断． 【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥， 故选：A． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选C． 4．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出. 在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值. 【详解】解：在上取点，使， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当在上时，取最小值，为. 故答案为. 5．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $