精品解析：2026年河南卢氏县木桐中学等校中招学科能力提升第一次调研数学

2026年河南省中招学科能力提升第一次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“负数小于，小于正数，两个负数比较大小，绝对值越大的数越小”的初中比较规则求解即可． 【详解】解：∵正数大于，大于负数， ∴最小的数一定是负数，排除选项， ∵，， ∴ ， ∴， ∴四个数中最小的数是． 2. 如图，花瓣纹彩陶盆出土于河南省陕县庙底沟，属于新石器时代仰韶文化的彩陶．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：由三视图的定义，可知主视图与左视图相同，俯视图与主视图、左视图均不相同． 3. 在2025年8月举办的“书香河南第四届全民阅读大会”中，主办方通过设立线下分展场和线上数字资源平台，为公众提供了多元化的阅读体验．主办方通过线上平台开放了万条免费数字资源，涵盖电子书、有声读物等．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：万. 4. 如图，在野外探险中，有两条东西方向的平行步道，徒步者甲在步道上，徒步者乙在步道上．若某一时刻，甲看乙的方向是北偏东，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】标记 ，根据题意得到，根据平行的性质，得到，即可得到答案． 【详解】解：标记 ，如解图所示；易得， ， , , 故选C． 5. 请从下列选项中选择一个不等式，使其与不等式组成的不等式组无解，则应该选择（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出已知不等式的解集，再根据一元一次不等式组无解的条件，即两个不等式的解集没有公共部分，判断选项即可． 【详解】解：∵， 移项得：， ∴， ∵不等式组无解，即：另一个不等式的解集需要和没有公共部分， A、 与没有公共部分，不等式组无解，符合题意； B、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意； C、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意； D、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意． 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式．根据题意计算 和零的关系，继而得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴， ∴， ∴方程没有实数根， 故选：D． 7. 如图，在边长为1的小正方形网格中，四边形内接于圆，且点在网格线的交点上，是上一点，连接，则 的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理可得，再由正切的定义求解即可． 【详解】解：连接，如解图．由题意，得， ∵， ∴， ∴． 8. 寒假期间，明明和茜茜计划去“只有河南·戏剧幻城”游玩，景区有《李家村剧场》《幻城剧场》《火车站剧场》三个主剧场，明明、茜茜各随机选择一个主剧场观看，则两人恰好选择同一剧场的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：记三个主剧场分别为A，B，C，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一剧场的结果有3种， ∴． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为坐标原点，为 上一点，连接，将菱形沿折叠，点落在点处，交于点．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，根据菱形的性质以及勾股定理求出的长度以及相关角的度数，设，表示出相关线段的长度，证明，根据对应边成比例，列出方程求解即可． 【详解】解：如解图，过点作于点， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴由勾股定理得，， 由折叠的性质，得， 设，则， ∵， ， ∴， 即， 解得， ∴． ∴点的坐标为． 10. 如图1，在 中，，是边的中点，动点从点出发，沿的路径匀速运动，当点运动到点时停止．过点作于点，设点的运动路程为，线段的长为，随变化的函数图象如图2所示，其中是函数图象上两点，且轴，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点、连接，当 和时，长度相同，此时，根据矩形的性质得到，证明是边的中点，求出，，即可得到． 【详解】解：由题意，可知题图2中点对应的是题图1中点与点重合，过点作于点、连接，如解图．由题意，得点的纵坐标相同， 当 和时，长度相同，此时， 因为四边形为矩形， ， 是边的中点， 是边的中点， ， ； ． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 近年来，河南省大力发展农村电商，促进农村经济发展．某农户通过网络销售传统手工艺品汴绣，利润由原来的每件15元提高到每件50元．如果该农户通过网络售出件汴绣，则他获得的总利润可以增加__________元（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每件汴绣增加的利润，再根据总增加利润等于每件增加利润乘以销售量，列出代数式即可. 【详解】解：每件汴绣增加的利润为：元， ∵已知售出件， ∴总增加利润为：元. 12. 某校在中秋节举办了“共做月饼，喜迎中秋”的活动．每个月饼的标准质量为，甲、乙两名同学各做了5个月饼，每个月饼的质量（单位：g）统计如图，则做的月饼质量比较稳定的是__________同学（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】观察统计图，可知甲同学所做月饼的质量数据相对集中、波动较小，即可得出结论． 【详解】解：观察统计图，可知甲组数据相对乙组数据的波动较小，所以甲同学做的月饼质量比较稳定． 13. 观察，…，根据这些式子的规律，可得第个式子为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别分析系数和字母两部分的变化规律，再整合即可得到第n个式子． 【详解】解：观察已知给出的式子， 系数部分：第1项系数为， 第2项系数为， 第3项系数为， 第4项系数为．…． 可得第项的系数为． 字母及指数部分：第1项为，第2项为，第3项为，第4项为…． 可得第项的字母部分为． 整合规律，可得第个式子为． 14. 如图，在 中，，分别以点 为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出，再根据题意得出 为等边三角形，则 ，再根据扇形面积公式求出，再根据求解即可． 【详解】解：连接，连接并延长交于，如图， ∵在 中，， ∴， ∵分别以点 为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点， ∴， ∴ 为等边三角形，垂直平分， ∴ ，，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】解题的关键是根据题意推出，不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算． 15. 如图，在矩形中，，直线将矩形分成周长相等的两部分，过点作直线的垂线，垂足为，连接．当 最大时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，记 的中点为．可得，即点在以 为直径的圆上运动．设圆心为点，当与 相切，且在上方时，最大．连接，此时．过点作 于点，根据勾股定理可解答． 【详解】解：连接 ，记 的中点为．由题意，可知直线过点． ∵， ∴． 点在以 为直径的圆上运动．设圆心为点，当与 相切，且在上方时，最大． 连接，此时．过点作 于点，如图． ， 由勾股定理，得， ∴ ， ∴． 又 ∴ ， ∴． ∴． ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与分式化简 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂，立方根，负整数指数幂，再进行加减计算即可得到答案； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 2025年第十五届全国运动会在粤港澳成功举办．某校为了解学生对体育知识的掌握情况，组织了一场体育知识竞赛，并从参赛的七、八年级学生中各随机抽取了50名学生的成绩（满分10分，9分及以上为优秀），并对数据进行整理和分析，部分信息如下： 成绩统计表 统计量 七年级 八年级 平均数 中位数 8 众数 8 优秀率 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________， ___________，___________． （2）你认为哪个年级的学生对体育知识的掌握情况更好？请结合统计量说明理由． 【答案】（1）8，8， （2） 八年级学生对体育知识的掌握情况更好，理由： 八年级学生成绩的平均数和优秀率均高于七年级学生． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解； （2）根据平均数和优秀率作决策． 【小问1详解】 解：∵七年级数据总数为50， ∴中位数为排序后的第25位和26位数的平均数， ∴ ； ∵八年级出现次数最多的数据是8， ∴众数； 七年级的优秀率为 ； 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得点平移后的坐标为，再代入，求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，顶点与原点重合，点， ∴， ∵点， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当点沿轴正半轴平移个单位长度后，得到的点坐标为， 将代入， 得， 解得． 19. 宝严寺塔位于河南省驻马店市，是研究宋塔建筑风格和佛教文化的实物资料，被誉为中原地区宋塔“活化石”．某校数学实践小组利用所学数学知识测量宝严寺塔的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量宝严寺塔的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角 说明 三点在同一条直线上 三点在同一条直线上 测量 示意图 测量 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 请从上述两种方案中选择一种，根据测量数据，求出宝严寺塔的高度（参考数据：， ， ）． 【答案】 【解析】 【分析】选择“方案一”时，利用相似三角形的性质计算即可；选择“方案二”时，设 ，结合三角函数列式求解即可． 【详解】解：选择“方案一”． 由题意，得． ∴， ∵，，， ∴， 答：宝严寺塔的高度约为． 选择“方案二”． 由题意，知． ∵ ， ∴． 设 ， 则． 在中，，， 即， 解得． ∴． 答：宝严寺塔的高度约为． 20. 如图，在正方形中，是边上一点，连接 ，将 绕点顺时针旋转得到，连接． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规补全图形（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点E作 右侧的垂线，然后在垂线上用圆规取，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，根据旋转和正方形的性质，结合角度的和差，可利用证得，由对应边相等得到，再根据线段的和差得到，由等边对等角可推出的度数，进而求得的度数． 【小问1详解】 解：补全图形如下图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点，如（1）图， 由旋转，得， ∴， ∵在正方形中，，， ∴， ∵， 又∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 随着新能源汽车保有量的快速增长，商场充电桩的市场需求持续增加，某商场为提升服务体验和增加收入，计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需2万元． （1）求该商场新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需要多少万元． （2）若该商场计划新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩的2倍，应如何新建充电桩使得总费用最少？ 【答案】（1）新建1个地上充电桩需要万元，新建1个地下充电桩需要万元 （2）应新建地上充电桩20个，地下充电桩40个，此时总费用最少 【解析】 【分析】（1）设新建1个地上充电桩需要万元，新建1个地下充电桩需要万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需2万元”建立二元方程组求解即可； （2）设新建个地上充电桩，则新建个地下充电桩，总费用为万元，先根据“地下充电桩的数量不少于地上充电桩的2倍”建立不等式求出的取值范围，再建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设新建1个地上充电桩需要万元，新建1个地下充电桩需要万元． 由题意，得 解得 答：新建1个地上充电桩需要万元，新建1个地下充电桩需要万元． 【小问2详解】 解：设新建个地上充电桩，则新建个地下充电桩，总费用为万元． 则，解得． 由题意，得， ∵， ∴随的增大而减小． ∴当 时，取得最小值，此时． 答：应新建地上充电桩20个，地下充电桩40个，此时总费用最少． 22. 在关于的二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 2 2 … （1）求二次函数的表达式． （2）当时，求的取值范围． （3）若，当时，该二次函数的最大值为7，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求出二次解析式即可； （2）先确定抛物线的对称轴和开口方向，再由二次函数的性质可得出结论； （3）先判断当时；对应的点离对称轴的距离较远．再结合二次函数图象与性质解答即可． 【小问1详解】 解：由表格，知当时， ， ∴． 将、分别代入，得 解得． ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：由表格，可知二次函数图象的对称轴为直线 ，开口向上． 当时，取最小值，最小值为 ．， 当时，取最大值，最大值为． 当时，． 【小问3详解】 解：， ∴当时；对应的点离对称轴的距离较远． 又∵函数图象开口向上， ∴二次函数在处取得最大值． ∵， 解得（舍去）或． ∴的值为2． 23. 李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中， ，将沿翻折得到，点的对应点为点． （1）如图1，若，则四边形的形状为___________． （2）当与不平行时，过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①猜想线段与的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）菱形 （2） ① ；理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠，可知， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②或 【解析】 【分析】（1）证明 为等边三角形即可得到结论； （2）①证明四边形为平行四边形，由折叠，可知， ，推出，进而求解； ②过点作于点，过点作交的延长线于点，分类讨论当点在线段的延长线上和当点在线段上时，设，则，结合求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ， ， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 为等边三角形， ∴ ， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：①略 ②如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵ ， ∴， 同理 ， ∴， 则四边形为矩形， ∴ ； 当点在线段的延长线上时，如图3， 由①知， 在 和中， ∴， ∴， 设，则， ∴． 由折叠，得， ∴， 由勾股定理，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当点在线段上时，如图4， 同理可证，， ∴， 设，则，，， ， 同理有， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中招学科能力提升第一次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，花瓣纹彩陶盆出土于河南省陕县庙底沟，属于新石器时代仰韶文化的彩陶．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 在2025年8月举办的“书香河南第四届全民阅读大会”中，主办方通过设立线下分展场和线上数字资源平台，为公众提供了多元化的阅读体验．主办方通过线上平台开放了万条免费数字资源，涵盖电子书、有声读物等．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在野外探险中，有两条东西方向的平行步道，徒步者甲在步道上，徒步者乙在步道上．若某一时刻，甲看乙的方向是北偏东，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 请从下列选项中选择一个不等式，使其与不等式组成的不等式组无解，则应该选择（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，在边长为1的小正方形网格中，四边形 内接于圆，且点在网格线的交点上， 是上一点，连接，则 的正切值是（ ） A. B. C. D. 8. 寒假期间，明明和茜茜计划去“只有河南·戏剧幻城”游玩，景区有《李家村剧场》《幻城剧场》《火车站剧场》三个主剧场，明明、茜茜各随机选择一个主剧场观看，则两人恰好选择同一剧场的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上， 为坐标原点， 为上一点，连接，将菱形沿折叠，点 落在点 处，交 于点 ．若点 的坐标为，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在 中，， 是边的中点，动点从点 出发，沿的路径匀速运动，当点运动到点 时停止．过点作于点 ，设点的运动路程为，线段的长为，随变化的函数图象如图2所示，其中是函数图象上两点，且轴，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 近年来，河南省大力发展农村电商，促进农村经济发展．某农户通过网络销售传统手工艺品汴绣，利润由原来的每件15元提高到每件50元．如果该农户通过网络售出件汴绣，则他获得的总利润可以增加__________元（用含的代数式表示）． 12. 某校在中秋节举办了“共做月饼，喜迎中秋”的活动．每个月饼的标准质量为，甲、乙两名同学各做了5个月饼，每个月饼的质量（单位：g）统计如图，则做的月饼质量比较稳定的是__________同学（填“甲”或“乙”）． 13. 观察，…，根据这些式子的规律，可得第个式子为__________． 14. 如图，在 中，，分别以点 为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点 ，则图中阴影部分的面积为__________． 15. 如图，在矩形 中，，直线将矩形 分成周长相等的两部分，过点作直线的垂线，垂足为，连接．当 最大时，的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与分式化简 （1）． （2）． 17. 2025年第十五届全国运动会在粤港澳成功举办．某校为了解学生对体育知识的掌握情况，组织了一场体育知识竞赛，并从参赛的七、八年级学生中各随机抽取了50名学生的成绩（满分10分，9分及以上为优秀），并对数据进行整理和分析，部分信息如下： 成绩统计表 统计量 七年级 八年级 平均数 中位数 8 众数 8 优秀率 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________． （2）你认为哪个年级的学生对体育知识的掌握情况更好？请结合统计量说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点 重合，已知点，点．点 在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）将沿轴正半轴平移个单位长度后，点 恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 19. 宝严寺塔位于河南省驻马店市，是研究宋塔建筑风格和佛教文化的实物资料，被誉为中原地区宋塔“活化石”．某校数学实践小组利用所学数学知识测量宝严寺塔的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量宝严寺塔的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角 ，仰角 说明 三点在同一条直线上 三点在同一条直线上 测量 示意图 测量 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 请从上述两种方案中选择一种，根据测量数据，求出宝严寺塔 的高度（参考数据：， ， ）． 20. 如图，在正方形 中， 是边上一点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到，连接． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规补全图形（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求的度数． 21. 随着新能源汽车保有量的快速增长，商场充电桩的市场需求持续增加，某商场为提升服务体验和增加收入，计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需2万元． （1）求该商场新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需要多少万元． （2）若该商场计划新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩的2倍，应如何新建充电桩使得总费用最少？ 22. 在关于的二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 2 2 … （1）求二次函数的表达式． （2）当时，求的取值范围． （3）若，当时，该二次函数的最大值为7，求的值． 23. 李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中，，将沿翻折得到，点的对应点为点 ． （1）如图1，若，则四边形 的形状为___________． （2）当与不平行时，过点 作的平行线，交射线于点 ，过点 作 的平行线，交射线于点 ． ①猜想线段 与 的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $