专题07 统计与概率（专题专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题07 统计与概率 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 跨学科 新设问 新考法 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型01 统计图表信息提取 题型02 统计量的计算与分析 题型03 用样本估计总体 题型04 统计结论辨析与说理 题型05 简单事件概率计算 题型06 两步 / 多步概率计算 题型07 概率与统计综合 题型08 游戏公平性与概率应用 题型09 概率中的 “放回” 与 “不放回” 问题 题型10 情境化概率建模 题型11 统计与概率的阅读理解 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【跨学科问题】（考查简单随机事件的概率计算，识别化学方程式特征及概率公式的直接应用） 1．（广东省深圳市育才教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次质量监测数学试题）化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式．若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略） ①② ③④ 小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定所有等可能结果总数，再找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵一共有4张卡片，随机抽取时每个结果是等可能的， ∴所有等可能的结果总数为4． ∵四个卡片中，只有卡片④的生成物带有沉淀， ∴符合条件的结果数为1． ∴抽到生成物带有沉淀的实验的概率为． 【新设问问题】（考查几何背景下的概率计算，利用总数与剩余数量的关系求简单随机事件概率） 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为________． 【答案】 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式，用地雷的颗数除以小方格总数即可 【详解】解：∵在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． ∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是； 故答案为：． 【新考法问题】（考查一次、一元二次方程的解的判定，根的判别式应用及列举法求复杂随机事件概率） 3（2025·浙江宁波·模拟预测）已知a和b由抛骰子得到（等概率抛到1，2，3，4，5，6），则方程有实数解的概率为_______． 【答案】 【分析】先确定数对的所有可能情况，再分和两种情况，根据方程类型及根的判别式判断方程有实数解的情况数，最后计算概率．本题主要考查了一元二次方程根的判别式及简单事件概率的计算，熟练掌握根的判别式的应用和概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：数对共有种可能， 当时，方程为，是一元一次方程， ∴当时，方程有实数解，即共种情况方程有解； 当时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数解， ∴， ∴， 当时，得，解得或， ∴，共种情况方程有解； 当时，，解得或， ∴，共种情况方程有解； 当时，，解得或， ∴，共种情况方程有解； 当时，，解得或， ∴，共种情况方程有解． 当时，，解得或， ∴无满足条件的． 综上，方程有实数解的情况数为种． ∴方程有实数解的概率为． 故答案为：． 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 统计图表信息提取 1．（2025·云南玉溪·三模）在过去的一年中，中国人见证了很多让人印象深刻的时刻，为调查对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对九年级学生进行了问卷调查：2024年的哪一个高频词汇最触动你的内心？如图是根据调查结果制作的两个不完整的统计图，由图中信息可知，下列结论中不正确的是（   ） A．本次调查的样本容量是600 B．选“责任”的占 C．选“感恩”的人数为150人 D．“奉献”所对应的扇形圆心角的度数为 【答案】D 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、样本容量，根据条形统计图和扇形统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：A、本次调查的样本容量为：，故该选项正确，不符合题意； B、选“责任”占，故该选项正确，不符合题意； C、选“感恩”的人数为：（人），故该选项正确，不符合题意； D、“奉献”所对应的扇形圆心角的度数，该选项错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025·湖南长沙·一模）某数学课外活动小组调查学校附近一家超市的销售情况，发现本学期前五周的销售总额一共是186万元，图1，图2分别是其销售总额统计图和零食类销售额占当周销售总额的百分比统计图．根据图中信息，下列判断中正确的是（   ） ①超市第四周销售总额为20万元；②对比上一周，第四周零食类销售额下降幅度最大；③第二周和第五周零食类销售总额相同；④第四周零食类销售额比第三周的零食类销售额增加了；⑤第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了． A．①④⑤ B．①②③ C．①④ D．①⑤ 【答案】D 【分析】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．①用销售总额减去其它四个周销售额判断即可；②③④⑤根据折线统计图和条形统计图数据判断即可． 【详解】解：超市第四周销售总额为（万元），故①结论正确； 由题意可知，第四周零食类销售额为（万元），第三周零食类销售额为（万元），第四周零食类销售额比第三周增加了，故②结论错误； 由题意可知，第二周零食类销售额为（万元），第五周零食类销售额为（万元），第二周和第五周零食类销售总额不同，故③结论错误； 由题意可知，第四周零食类销售额为（万元），第三周零食类销售额为：（万元），所以第四周零食类销售额比第三周的零食类销售额增加了，故④结论错误； 由题意可知，第四周零食类销售额为（万元），第五周零食类销售额为：（万元），所以第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了，故⑤结论正确； 所以判断中正确的是①⑤． 故选：D． 3．（2025·云南·模拟预测）昆明享有“春城”之美誉，是国家历史文化名城，是中国重要的旅游、商贸城市，是西南地区重要的中心城市之一，“元旦”期间相关部门对到昆明观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，下列四个选项中，错误的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量是5000 B．扇形统计图中的为20 C．“自驾”所占扇形圆心角的度数为 D．若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有50万人，估计选择飞机出行的有12.5万人 【答案】B 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，求扇形统计图圆心角，用样本估计总体， 根据坐火车的人数与所占比例求出样本容量，即可判断A；用了坐飞机的人数除以样本容量即可求出坐飞机的百分比，即可判断B；用自驾的百分比乘以360度即可求出圆心角，即可判断C；用50万人乘以乘飞机的百分比即可求出选择飞机出行的人数，即可判断D． 【详解】解：A、样本容量为，正确，不符合题意； B、，则m的值为25，原说法错误，符合题意； C、“自驾”所占扇形圆心角的度数为，正确，不符合题意； D、若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有50万人，选择飞机出行的约有（万人），正确，不符合题意； 故选：B． 4．（2025·甘肃天水·一模）2025年1月20日在甘肃省政府工作报告中指出：规模以上工业增加值增长，现代农业扩量提质，金融服务实体经济质效提升．全年经济运行逆势而进、向上向好、质量齐升．下面的统计图反映了年某市“三产”产值增长率的情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（    ） A．年，工业产值增长率先降低后提高 B．2024年，“三产”中服务业的产值增长率最高 C．年，农业的产值增长率每年持续增加 D．年，“三产”中年产值增长率最小的是 【答案】C 【分析】本题考查折线统计图，根据折线统计图中数据的特点和反映的趋势，逐项进行判断和计算，得出答案即可． 【详解】解：由统计图可知： 年，工业产值增长率先降低后提高，说法正确，故选项A不符合题意； 2024年，“三产”中服务业的产值增长率最高，说法正确，故选项B不符合题意； 年，农业的产值增长率先降低后提高再降低，原说法错误，故选项C符合题意； 年，“三产”中年产值增长率最小的是，说法正确，故选项D不符合题意； 故选：C． 5．（2025·河南南阳·二模）从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示，整理所收集样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 下列结论一定正确的是（    ） ①两园样本数据的中位数均在第3组； ②两园样本数据的众数均在第3组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、中位数、众数、极差，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 分别根据中位数、众数和极差的定义解答即可． 【详解】解：由统计图可知，两园样本数据的中位数均在第3组，故①正确； 甲园的众数在第2组，乙园的众数在第3组，故②结论错误； 两园样本数据的最大数与最小数都是在一个范围内，不能确定具体数值，因此差不一定相等，故③结论错误； 故选：A． 题型02 统计量的计算与分析 6．（2026·河南周口·模拟预测）某文具店推出三种笔记本：“车缝本”（5元）、“胶套本”（6元）和“活页本”（7元）．根据某月销售统计，三种笔记本的销量占比分别为：车缝本占、胶套本占、活页本占．则该月笔记本的平均售价为（    ） A．5.6元 B．5.7元 C．5.8元 D．5.9元 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的计算，利用加权平均公式，将每种笔记本的单价乘对应销量占比后求和，即可得到平均售价. 【详解】解：∵平均售价为各单价乘对应销量占比的和， ∴平均售价 （元）． 7．（2026·辽宁阜新·一模）一组数据1，3，，3，4，下列说法错误的是（　　） A．众数是3 B．平均数是2 C．极差是5 D．中位数是 【答案】D 【分析】本题考查了众数、平均数、极差和中位数．通过计算数据的众数、平均数、极差和中位数，发现中位数应为3，而非选项D所述的，因此D错误，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、3出现2次，出现次数最多，即众数是3，故该选项不符合题意； B、，即平均数是2，故该选项不符合题意； C、最大的数是，最小的数是，则，即极差是5，故该选项不符合题意； D、把数据从小到大排序为，排在中间位置的数为，即中位数是3，故该选项符合题意；, 故选：D． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图是甲、乙两名同学的5次篮球训练中练习投篮成绩的折线统计图，下列判断正确的是（    ） A．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 B．甲的成绩的众数是9个 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩比乙的成绩稳定 【答案】D 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，折线统计图，根据折线统计图以及中位数，平均数和众数的定义来判断A、B、C，根据方差与稳定性之间的关系可判断D． 【详解】解：A、由统计图可知，甲的中位数为8个，乙的中位数为8个，故甲的中位数与乙的中位数相同，原说法错误，不符合题意； B、由统计图可知，甲的众数是8个，原说法错误，不符合题意； C、甲的平均数为个，乙的平均数为个，故甲的平均数与乙的平均数相同，原说法错误，不符合题意； D、由统计图可知甲成绩的波动比乙成绩的波动小，故甲的成绩比乙的成绩稳定，原说法正确，符合题意； 故选：D． 9．（2025·上海闵行·二模）为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取名学生的中长跑成绩（满分分）绘制成表： 成绩分 人数人 关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（ ） A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 【答案】A 【分析】此题主要考查了中位数、众数的运用，正确的理解题目意思是解题关键． 由题目已知可得，据此可以判断一定不随的变化而变化的是众数，中位数． 【详解】解：由题目已知，随机抽取的是名学生的中长跑成绩，根据图表可知： ， ， 一定不随的变化而变化的是众数，中位数， 故选A． 10．（2025·江苏南京·三模）有一组数据：（a为常数），这组数据的方差为__________． 【答案】 【分析】本题考查了方差，掌握方差的计算公式是解题关键．先计算平均数，再计算方差即可． 【详解】解：这组数据的平均数为， 这组数据的方差为， 故答案为：． 题型03 用样本估计总体 11．（2026·广西贵港·一模）果园有果树200棵，从中抽取5棵，每棵果树的产量如下（单位：千克）：98，102，97，103，105，于是可以估计这200棵果树的总产量约为（   ）千克． A．20200 B．20000 C．19800 D．23000 【答案】A 【分析】本题考查用样本平均数估计总体，关键是先求出抽取的5棵果树的平均产量，再用平均产量乘以果树总棵数得到总产量的估计值． 【详解】解：5棵果树的产量分别为，，，，， 平均产量为(千克)； 则棵果树的总产量约为(千克)． 故选：A． 12．（24-25九年级上·四川成都·期末）为了估计池塘里有多少条鱼，渔民先从池塘里捞出40条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回池塘，第二天再从池塘打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有标记的频率稳定在左右，则估计池塘中鱼的条数大约是（   ） A．800 B．1200 C．2000 D．3000 【答案】C 【分析】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．由题意已知池塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以池塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：， 故选：C． 13．（2025·上海·二模）为了解同学们对数学考卷难度的看法，桃李中学数学教研组进行了调研活动．学校随机对若干名学生进行了调查，绘制出了下表，部分内容不慎被墨水涂黑．已知认为二次函数较难的同学占，如果全校共有1500个学生，那么估计认为动点问题较难的学生有_____个． 类别 动点问题 二次函数 相似三角形 翻折旋转问题 认为较难人数 【答案】660 【分析】本题主要考查统计图表，用样本估计总体的思想．设抽取学生调查中认为二次函数较难的有人，根据认为二次函数较难的同学占，求出，再得到认为动点问题较难的同学得占比，最后进行估算即可． 【详解】解：设抽取学生调查中认为二次函数较难的有人， 则，解得， 经检验，是该分式方程的解， 所以认为动点问题较难的同学占， （个）． 故答案为：660． 14．（2025·北京石景山·模拟预测）某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对3000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度（单位：），则估计此时该基地培育的3000棵“无絮杨”树苗中长势良好（树苗中高度不低于）的有________棵． 【答案】1410 【分析】本题考查由样本估计总体，熟练掌握由样本估计总体的计算方法是解决问题的关键．先计算出随机抽测的100棵树苗中高度不低于的占比，再乘3000棵，即可得出答案． 【详解】解：∵随机抽测的100棵树苗中高度不低于的占比为：， ∴估计此时该基地培育的3000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有：（棵）， 故答案为：1410． 15．（2025·北京·中考真题）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人， 故答案为：． 题型04 统计结论辨析与说理 16．（2026·安徽阜阳·一模）青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为提高学生对时事热点的关注度，特举办了一场“中国事，我知道”的问卷测试．从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（满分10分，6分及以上为合格，9分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七、八年级学生测试成绩频数分布表 5 6 7 8 9 10 七年级 3 1 7 3 4 2 八年级 2 4 4 5 2 3 分析数据，得到以下统计量 年级 平均数 中位数 众数 不合格率 七年级 a 7 7 八年级 7.5 7.5 b c 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中　　　　，　　　　，　　　　． (2)若该校七、八年级各有500名学生参加此次测试，请估算两个年级学生测试成绩达到优秀（9分及以上）的人数． (3)结合上表中的统计量，判断哪个年级的学生成绩较好，并说明理由．（至少从两个角度说明推断的合理性） 【答案】(1)；8； (2)七、八年级学生测试成绩达到优秀的约有275人 (3)八年级学生的成绩较好，详见解析 【分析】对于(1)，计算需利用加权平均数公式结合七年级成绩频数分布表求解；求需确定八年级成绩中出现次数最多的分数（众数）；求需先确定八年级不合格人数（5分及以下），再计算不合格率．对于(2)，先分别计算七、八年级样本中优秀（9分及以上）的比例，再乘以各自年级总人数估算优秀人数．对于(3)，通过对比平均数、中位数、众数、不合格率等统计量，从至少两个角度分析哪个年级成绩更优． 【详解】（1）解： 七年级成绩频数分布：5分3人，6分1人，7分7人，8分3人，9分4人，10分2人．则 解得． 八年级成绩频数分布：5分2人，6分4人，7分4人，8分5人，9分2人，10分3人． 其中8分对应的频数为5，是所有分数中出现次数最多的，因此． 八年级5分的频数为2，总人数为20． 不合格率， 因此． （2）解：由表格可知七、八年级学生测试成绩达到优秀的分别有6人、5人， (人)， ∴七、八年级学生测试成绩达到优秀的约有275人． （3）解：八年级学生的成绩较好． ∵七、八年级学生测试成绩的平均数相等，八年级学生测试成绩的中位数大于七年级学生测试成绩的中位数，八年级学生测试成绩的众数大于七年级学生测试成绩的众数，八年级学生测试成绩的不合格率小于七年级学生测试成绩的不合格率， ∴八年级学生测试成绩较好． 17．（2026·广东深圳·一模）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 (1)小明共调查了_________辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； (2)在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_________； (3)【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） 由上表填空：_________，_________； (4)【判断决策】 结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】(1)，补图见解析 (2) (3)， (4)选择型号的纯电动汽车 【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可； （2）用乘续航里程为的占比即可； （3）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【详解】（1）解： 辆， （辆）， 补全条形统计图为： （2）解： （3）解：由题意得，． （4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求； B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适． 18．（2026·河南·一模）为了解学生对等智能软件的使用情况，某校举办了智能软件使用技能竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于 60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．； B．；C．；D．）， 下面给出了部分信息∶ 八年级抽取20名学生的竞赛成绩为： 65， 66， 70， 75， 77， 81， 82， 82， 82， 83，84， 87， 88， 89， 92， 95， 96， 98， 98， 100 九年级抽取 20名学生的竞赛成绩在 B组的数据是：81， 88， 85， 87， 86， 82． 八九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 b 众数 a 79 方差 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，_______，_______； (2)请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)82，，30； (2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析． 【分析】（1）根据众数的定义可直接求出，求出B组的百分比，进而得出，然后根据中位数的定义可求出； （2）根据平均分、中位数分析即可得出结果． 【详解】（1）解：根据八年级学生竞赛成绩可知：82出现次数最多，则众数为82，即， 九年级竞赛成绩中A组：（人）， B组：6人，所占百分比为， D组：所占百分比为， C组：人，所占百分比为，则， ∴九年级的中位数为从大到小排列的第个同学竞赛成绩的平均数， 由于，中位数为组从大到小第、个同学竞赛成绩的平均数，； （2）解：八年级学生竞赛成绩较好，理由： 八、九年级的平均分均为分，八年级的中位数高于九年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好． 19．（2026·河南郑州·一模）校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度x作为样本数据，并将数据分为以下组别： 组别 A B C D E x（单位：cm）                          整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为________． (2)下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． Ⅰ两区样本数据的中位数均在C组； Ⅱ两区样本数据的平均数一定分别大于其中位数． (3)结合植物生理学标准，将C、D两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．B组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由． 【答案】(1)见解析，4.65 (2)Ⅰ (3)②区叶片发育品质更优，见解析 【分析】（1）根据题意及①区样本数据频数分布直方图提供的数据求出C组对应的样本数据，再画图即可；找到②区样本数据频数分布直方图提供的数据及对应组内每片叶片的长度x的中间值，代入平均数计算公式计算平均数即可； （2）根据①、②区样本数据频数分布直方图提供的数据逐一分析即可； （3）根据题意分别求出①、②区“优质发育叶片”所占比例，然后，再进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意知，C组对应样本数据为，故补全的频数分布直方图如图所示； ②区样本数据的平均数为； （2）解：分别从①、②区样本数据频数分布图中看出第90片和第91片样本数据均落在C组，故①、②区样本数据的中位数在C组，Ⅰ正确； 根据图表提供的信息不能确定两区样本数据的中位数的具体数值，故Ⅱ不一定正确； 综上，故选：Ⅰ； （3）解：②区叶片发育品质更优． 理由：①区“优质发育叶片”所占比例为；②区“优质发育叶片”所占比例为，②区比例高于①区，故②区叶片发育品质更优． 题型05 简单事件概率计算 20．（2026·浙江温州·一模）在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率公式，事件A的概率等于事件A发生的可能结果数与所有可能结果数的比值，代入计算即可． 【详解】解：∵袋子中共有3个红球，5个白球，所有球除颜色外都相同， ∴球的总个数为 (个)，摸出红球的可能结果数为3， ∴摸出红球的概率为 ． 21．（2026·四川泸州·一模）从这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率公式和无理数的判断，需准确识别无理数个数，解题的关键是熟练掌握无理数的概念即无限不循环小数． 先找出无理数，再用概率公式求解即可． 【详解】解：这5个数中无理数有和， ∴抽到无理数的概率是， 故选：B． 22．（2026·广西南宁·一模）小球从入口下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从②号出口落下的概率是______． 【答案】/ 【分析】根据题意，小球在每个交叉口有向左或向右两种可能且可能性相等，可以通过列举法列出所有可能的路径，找出从②号出口落下的路径数，利用概率公式求解． 【详解】解：由图可知，小球从入口落下，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．所有可能的路径共有4种，分别为： 第一层向左，第二层向左，从①号出口落下； 第一层向左，第二层向右，从②号出口落下； 第一层向右，第二层向左，从②号出口落下； 第一层向右，第二层向右，从③号出口落下． 其中从②号出口落下的情况有2种． 根据概率公式，小球从②号出口落下的概率． 23．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，三角形中位线定理以及中点四边形的性质．根据中点四边形的性质以及三角形中位线定理得出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 同理， ∴， 同理， ∴， ∴， 同理，， ∴飞镖命中阴影区域的概率为． 故答案为：． 题型06 两步 / 多步概率计算 24．（2026·江苏徐州·一模）2026年冬奥会在意大利举行，这是冬奥会诞生100周年后的第一届赛事．吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，核心口号是敢于梦想．除了蒂娜和米罗，还有六朵名为弗洛的雪花伙伴，作为重生与成长的象征．下面是本届冬奥会一些贴画：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取贴画作为奖品． (1)在抢答环节中，若答对一题，可从4张贴画中任意抽取1张作为奖品，则恰好抽到贴画“④”的概率是_______； (2)在抢答环节中，若答对两题，则可从4张贴画中任意抽取2张贴作为奖品，求恰好抽到贴画“②”和“③”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：从4张贴画任取一张共有4种情况，其中贴画“④”只有1种情况， ∴恰好抽到贴画“④”的概率是； （2）解：可画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到贴画“②”和“③”的结果数有2种， ∴恰好抽到贴画“②”和“③”的概率是． 25．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，为记忆化学元素，乐乐制作了四张化学元素卡片，卡片的形状、大小、质地以及背面均相同，将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． 小贴士：汽车污染已成为世界性公害，汽车的尾气中一般含有一氧化碳（CO）、一氧化氮（NO）等有害气体． (1)乐乐从这四张卡片中随机抽取一张，则乐乐抽到的卡片上元素为非金属元素的概率为_______； (2)乐乐先从这四张卡片中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片里随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求乐乐取出的两张卡片上的元素恰好组成（不考虑顺序）汽车尾气中的有害气体“一氧化碳”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用简单的概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，从而可得随机抽取两次卡片的所有可能结果，再找出两次抽取的卡片上的元素恰好组成“一氧化碳”的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：随机抽取一张卡片共有4种结果，它们每一种出现的可能性都相等， 其中，卡片上非金属元素有“氢”、“碳”、“氧”3种， 则所求的概率为，； （2）解：用A、B、C、D分别代表“氢”、“锂”、“碳”、“氧”， 画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中，恰好组成“一氧化碳”的结果有2种， 则所求的概率为，， 答：乐乐取出的两张卡片上的元素恰好组成（不考虑顺序）汽车尾气中的有害气体“一氧化碳”的概率是． 26．（2026·陕西铜川·一模）一个不透明的袋子中装有4个小球，这4个小球上各标有一个数字，分别为1，2，3，4，这些小球除所标数字外完全相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下数字后放回，记作随机摸球1次． (1)随机摸球1次，摸到的小球上的数字为奇数的概率为___________； (2)随机摸球2次，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的小球上的数字之和大于5的概率． 【答案】(1) (2)列表或画图见解析，概率为 【分析】（1）根据题意，得到奇数是1，3，共2个，由概率公式代值求解即可得到答案； （2）列表或画树状图，得到所有两个数字之和的结果数，再得到两次摸到的小球上的数字之和大于5的结果数，代入概率公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：这4个小球上各标有一个数字，分别为1，2，3，4，其中奇数是1，3，共2个， 随机摸球1次，摸到的小球上的数字为奇数的概率为． （2）解：方法一：列表如下： 第2次第1次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸到的小球上的数字之和大于5的结果有6种， （两次摸到的小球上的数字之和大于5）． 方法二：画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸到的小球上的数字之和大于5的结果有6种， （两次摸到的小球上的数字之和大于5）． 题型07 概率与统计综合 27．（2026·河北张家口·一模）为增强学生交通安全意识，某中学举办了交通安全知识竞赛，现随机抽取了部分学生成绩（大于60分）进行分析，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩/分 人数/人 A 18 B m C 68 D 30 (1)本次调查共抽取了 名学生； (2)求表中m的值和扇形统计图中x的值； (3)若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，92，93，94，94，95，95，96，97，97，97，97，98，98，99，99，100，求这组成绩的众数和中位数；若随机从该组数据中抽取一个成绩，求该成绩大于中位数的概率； (4)已知该校共有学生2000人，学校准备对本次测验安全意识薄弱的学生（D：）进行安全教育，请估计该校需要参加安全教育活动的学生人数． 【答案】(1)200 (2)，， (3)众数为97，中位数为，概率为 (4)300名 【分析】（1）用C等级人数除以所占百分比即可； （2）用总人数乘以B等级所占百分比可得m，用D等级人数除以总人数可求所占百分比； （3）根据众数、中位数的定义及概率公式求解； （4）利用样本估计总体思想求解． 【详解】（1）解：抽取学生总数为：（名）； （2）解：， ； （3）解：A组数据中97出现了4次，出现的次数最多，因此众数为97； A组数据共18个，按从小到大顺序排列后，第9位、第10位分别为96，97， 因此中位数为：； 随机从该组数据中抽取一个成绩，该成绩大于中位数的概率为； （4）解：（名） 答：估计该校需要参加安全教育活动的学生人数为300名． 28．（2026·湖南衡阳·一模）湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题． 一分钟跳绳成绩的频数统计表 组别 跳绳次数分段 频数 70 76 34 一分钟跳绳成绩的扇形统计图 (1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 人；统计表中的的值是 ；扇形统计图中B组所对的圆心角是 ． (2)求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别； (3)现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？ 【答案】(1)200；20； (2)C组 (3) 【分析】（1）将C组的频数除以扇形所占的百分比即可求出学生总数，再将总数减去A、C、D的频数即可求出n，扇形统计图中B组的频率计算即可； （2）由（1）可知学生总数为200人，按顺序排列后，中位数应该是100和101两个数的平均数，A组是20人，B组为70人，C组为76人即可得答案； （3）通过列表得出出现所有等可能情况，从中找出满足条件的情况有8种，即可得出一男一女的概率． 【详解】（1）解：由统计表知C组的频数为76，由扇形统计图知C组所占的频率为， 本次接受随机抽样调查的学生人数为：（人）， ， 扇形统计图中B组的圆心角度数为：； 即本次接受随机抽样调查的学生人数为200人，统计表中的的值是20，扇形统计图中B组所对的圆心角是． （2）解：∵A、B、C、D组已经按顺序排列，学生总数为200人，A组是20人，B组为70人，，而C组是76人，， ∴中位数应该是第100个数和第101个数的平均数， ∴中位数在C组， 即抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别C组； （3）根据题意列表 男1 男2 女1 女2 男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2 女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 由上表可知，共有12种情况，并且它们出现的机会均等，其中都是一男一女的有8种， 所以，恰好分组是一男一女的概率． 29．（2025·贵州铜仁·三模）2024年是澳门回归25周年．8月1日，我国首颗高精度地磁场探测卫星------澳门科学一号卫星科学数据正式面向全球开放，为国际科学界提供了宝贵的地球物理空间数据资源，展示了中国在航天科技领域的实力．某校为了解七年级500名学生对航天知识的掌握情况，在七年级进行了航天知识测试（满分100）后从七（1）、七（2）两个班级分别随机抽取了12名学生的成绩，进行整理，得到了如下信息： 七（1）班12名学生测试成绩统计如下：82，85，94，94，93，89，87，95，96，97，98，99． 七（2）班12名学生测试成绩统计如下：79，99，88，92，77，97，83，94，91，98，94，100． 根据以上信息，解答下列问题： (1)七（1）班12名学生成绩的中位数为____________，七（2）班12名学生成绩的众数为___________； (2)若本次抽到的24份成绩分别属于14名男生和10名女生，那么从这24名学生中随机抽取1名学生代表七年级参加全区的航天宣传演讲，恰好抽到女生的概率是_____________； (3)已知这24名同学中成绩在98分及以上的5位分别是2名女生和3名男生，若从中选择两名学生代表七年级参加学校航天知识宣讲比赛，请用树状图或列表的方式求出正好选中“一男一女”的概率． 【答案】(1)94，94 (2) (3) 【分析】本题考查求中位数和众数，列表法求概率，熟练掌握中位数和众数的确定方法，列表法求概率，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （2）直接利用概率公式进行计算即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：将七（1）班抽取的12名学生的成绩按照从小到大的顺序排列： 82，85，87，89，93，94，94，95，96，97，98，99， 排在第6名和第7名的成绩均为94分． ∴七（1）班12名学生成绩的中位数为 ∵七（2）班12名学生成绩94分出现次数最多， 故众数为94， 故答案为94，94； （2）； 故答案为：； （3）列表如下： 女 女 男 男 男 女 （女，女） （女，男） （女，男） （女，男） 女 （女，女） （女，男） （女，男） （女，男） 男 （男，女） （男，女） （男，男） （男，男） 男 （男，女） （男，女） （男，男） （男，男） 男 （男，女） （男，女） （男，男） （男，男） 共有20种等可能的结果，其中正好选中“一男一女”的结果有12种， ∴正好选中“一男一女”的概率为． 30．（2025·河北邯郸·三模）为了提高同学们的文学鉴赏能力，某读书社全体成员在一段时间内开展阅读经典名著活动，活动结束后，把结果进行统计并制成如图1和图2所示的条形统计图和不完整的扇形统计图． (1)该读书社一共有_____名成员，“2本”所在扇形的圆心角度数是_____； (2)若阅读1本经典名著的成员中，有两名是女同学，一名是男同学，从中任意抽取两名同学，求恰好抽到的同学均为女同学的概率； (3)若在同一时间段内，读书社之外某同学阅读经典名著本，把与读书社全体成员阅读经典名著本数的数据组成一组新的数据，发现平均数增大了，则的值至少为多少？ 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图综合，理解题意，根据两个统计图获取相关信息是解题关键． （1）根据条形统计图得出总人数，再由条形统计图和扇形统计图求角度即可； （2）利用表格或树状图得出所有可能结果，然后求概率即可； （3）先求出原先的平均数，然后根据题意即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得：成员总数为：， ， 故答案为：，； （2）将两名女同学分别记为女1、女2，列表如下： 男 女1 女2 男 − （男，女1） （男，女2） 女1 （女1，男） − （女1，女2） 女2 （女2，男） （女2，女1） − 一共有6种等可能的结果，其中均为女同学的结果有2种， ． （3）读书社全体成员阅读经典名著本数的平均数为 添加一个后，平均数增大了， ． 又是正整数， 的值至少为4． 题型08 游戏公平性与概率应用 31．（2025·吉林白山·模拟预测）如图是一副扑克牌中的3张牌，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．爸爸先从中抽出一张，榕榕从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．如果两个人的获胜概率相同，我们说游戏是公平的．请借助树状图或列表法来判断这个游戏是否公平． 【答案】公平 【分析】本题考查树状图法求概率，利用概率解决游戏公平性，根据题意，画出树状图，求出两人获胜的概率，进行判断即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 共6种等可能的结果，其中榕榕获胜的情况有3种，爸爸获胜的情况有3种； ∴（榕榕获胜）（爸爸获胜）． ∴这个游戏是公平的． 32．（2025·陕西咸阳·模拟预测）小明和小红一起做游戏，他们把形状和大小完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1，2，3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张．若抽取的两张卡片数字之和为奇数，则小明胜；若抽取的两张卡片数字之和为偶数，则小颖胜．请用列表或画树状图的方法分析这个游戏是否公平，若不公平，谁获胜的可能性较大． 【答案】不公平，小红获胜的概率高 【分析】本题考查借助树状图或列表法求概率和游戏的公平性．依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出两人获胜的概率，即可得出答案． 【详解】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有4种，两张卡片数字之和为偶数的结果有5种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∵， ∴该游戏不公平， ∵， ∴小红获胜的概率高，此游戏不公平． 33．（24-25七年级下·陕西西安·月考）五一期间，某商场举办了一个“幸运抽奖”活动，抽奖箱里共有16个小球，其中有8个黄球、6个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，小明和小红参与了这个活动： (1)从中任意摸出一球，若摸到黄球小明获得奖励，若摸到黑球小红获得奖励，这个活动对双方公平吗？请说明你的理由； (2)现在要从箱中取出若干个黄球，再放入相同数量的黑球，使得这个活动对双方公平，则要取出多少个黄球？ 【答案】(1)不公平，理由见解析 (2)取出个黄球 【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）利用概率公式分别求出小明和小红获胜的概率，进而得出答案； （2）直接利用当黑球与黄球个数相等时，游戏公平，求出答案． 【详解】（1）解：不公平． ∵抽奖箱里共有16个小球，其中有8个黄球、6个黑球和2个红球，摸到黄球小明获得奖励，摸到黑球小红获得奖励， ∴小明获胜的概率为：，小红获胜的概率为：； ， ∴活动对双方不公平； （2）由题意可得：设取出了x个黄球，则 ， 解得：. 答：取出个黄球． 34．（2025·陕西榆林·二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 【答案】(1)0.35（或） (2)这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大 【分析】此题考查了频率的计算，游戏的公平性、用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）用摸到白球的个数除以摸球的总数即可； （2）画出树状图，分别求出李海执黑棋和李海执黑棋的概率即可求解． 【详解】（1）； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果有12种，颜色相同的结果有13种， （赵婷执黑棋），P（李海执黑棋）， （赵婷执黑棋）（李海执黑棋）， 这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大． 题型09 概率中的 “放回” 与 “不放回” 问题 35．（2025·陕西西安·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有个红色小球和个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里， (1)请问第一次摸到白球的概率是_____： (2)从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里；摇匀后，再摸出个小球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率． 【答案】(1)； (2)两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）直接利用概率公式即可求解； （）利用列表法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵箱子里装有个红色小球和个白色小球， ∴第一次摸到白球的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 红 红 白 白 红 红红 红红 红红 白红 白红 红 红红 红红 红红 白红 白红 红 红红 红红 红红 白红 白红 白 红白 红白 红白 白白 白白 白 红白 红白 红白 白白 白白 一共有种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有种， ∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 36．（2025·四川成都·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有4个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据∶ 摸球的次数 摸到白球的次数m 摸到白球的频率 (1)估计口袋中黑球有_____个，白球有____个； (2)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，列表法与树状图法，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，摸到白球的频率逐渐接近，则摸到白球的概率可看作，根据概率乘以总数即可求得白球个数，用球的总数减去白球个数即求得黑球个数； （2）根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同的事件数，利用概率公式计算即可解题． 【详解】（1）解：随着n的增大，摸到白球的频率逐渐接近，则摸到白球的概率可看作，而小球总数为4， ∴口袋中白球的个数：个， 所以口袋中黑球的个数：个． 故答案为：1，3； （2）解：画树状图，得： 共有种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有种情况， 两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 37．（2025·陕西·一模）一个不透明的袋子中装有5个小球，这5个小球上各标有1个数字，分别是1，2，2，3，3，这些小球除标有的数字外其他都相同． (1)小明从袋子中随机摸出1个小球，则摸到的小球上标有的数字是3的概率为_____． (2)小亮从袋子中随机摸出1个小球，不放回，再随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的两个小球上标有的数字是连续整数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 【详解】（1）解：共有5个小球，分别是1，2，2，3，3，则摸到的小球上标有的数字是3的概率为； 故答案为：． （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，一共有20种等可能的结果，其中摸出的两个小球上标有的数字是连续整数的结果有12种， （两个小球上标有的数字是连续整数）． 38．（2025·福建泉州·二模）一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1，2，3的3个小球，这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球充分搅匀． (1)随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是 ； (2)随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点Q的横坐标x，再从剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点Q的纵坐标y，求点在一次函数的图象上的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了树状图法求概率以及一次函数图象上点的坐标特征，树状图法可以不重不漏地列举出所有可能发生的情况，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）法一：画树状图，求出点的坐标，可知点所有坐标为共有6种等可能的结果，其中点在函数图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可． 法二：列表，求出点的坐标，可知点所有坐标为共有6种等可能的结果，其中点在函数图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）∵三个小球中有一个小球编号为1， ∴随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是． 故答案为：； （2）法一：记“点在一次函数的图象上”为事件A，画树状图如下： 总共出现6种等可能结果， 其中摸出两个球的数字组成的点坐标符合事件A的等可能结果有2种，所以． 法二：记“点在一次函数的图象上”为事件A，列表如下： 横坐标 纵坐标 1 2 3 1 2 3 总共出现6种等可能结果，其中摸出两个球的数字组成的点坐标符合事件A的等可能结果有2种，所以． 题型10 情境化概率建模 39．（2026·陕西西安·一模）26年春晚的吉祥物是一组名为：“骐骐”、“骥骥”、“驰驰”和“骋骋”（分别记作A，B，C，D）的四匹骏马，小明在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．现将这四张卡片背面朝上洗匀后，玩如下游戏： (1)小明从中随机抽取一张卡片，恰好抽到“骐骐”的概率为 ； (2)小明从中一次随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片正好是“骐骐”和“骥骥”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“骐骐”的结果有种，利用概率公式可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片正好是“骐骐”和“骥骥”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“骐骐”的结果有1种， ∴恰好抽到“骐骐”的概率为； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正好是“骐骐”和“骥骥”的结果有：，，共2种， ∴抽取的两张卡片正好是“骐骐”和“骥骥”的概率为． 40．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，一个不透明的袋子中装有三个小球，这三个小球上各标有一个数字，分别是，1，，这些小球除标有的数字不同外其他都相同． (1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是负数的概率为______； (2)先从袋中随机摸出一个小球，将小球上面的数字记作a的值，放回搅匀后再从中随机摸出一个小球，将小球上面的数字记作b的值，请通过列表或画树状图的方法，求出点在第三象限的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求概率，即可． （2）先列表，得出点在第三象限的结果数，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出的这个小球上标有的数字是负数的结果有2种， 摸出的这个小球上标有的数字是负数的概率为 故答案为： （2）列表如下：      1                          1                                    共有9种等可能的结果，其中点在第三象限的结果有：，，，，共4种， 点在第三象限的概率为 41．（2026·湖南长沙·一模）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是________； (2)图1中的度数是________，并把图2条形统计图补充完整； (3)该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为________． (4)测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 【答案】(1)40 (2)54°，图见解析 (3)700人 (4) 【分析】（1）根据B级的人数和所占抽样总人数的百分率，即可求出抽样总人数； （2）由A级6人，可求得A级占的百分比，继而求得∠α的度数；结合（1）计算C级的人数，继而补全统计图； （3）首先求得本次抽样测试的学生中不及格人数的百分比，再乘以九年级总人数即可估算出不及格的人数； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：本次抽样测试的学生人数是（人）， 故答案为：40； （2）解：图1中的度数是； C级的人数是：（人）， 如图： （3）解：估计不及格的人数为（人） 故答案为：700； （4）解：根据题意画树形图如下： 共有12种等可能结果，选中小明的有6种， 则（选中小明） 42．（2026·福建厦门·一模）圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表示为3.141592653……．古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1．利用“布丰投针试验”估算 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上．针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值________附近（结果精确到0.001）；根据上述数据请你估计的近似值为________（精确到0.01）． 2．利用“莱布尼茨无穷级数”逼近 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算的另一种表达式 （n为非负整数） 记，则； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ……随着n增大，逐渐逼近，的值越接近的值． 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值． 【答案】问题1：0.318；；问题2： 【分析】本题考查根据频率估计概率，解不等式，代数式求值； 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值0.318附近，即，再代入计算即可； 问题2：根据题意，解得，再逐个取的值，一直到满足条件即可． 【详解】解：问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值0.318附近，即， ∵，， ∴， 解得， ∴估计的近似值为， 故答案为：0.318；； 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，即， 解得， ∵当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，满足； ∴n的最小值． 题型11 统计与概率的阅读理解 43．（2026·四川成都·一模）【阅读理解】 有这样一个化学知识：紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性溶液变成蓝色，遇中性溶液不变色． 请根据该知识完成下列各题． 【问题解决】 现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）． (1)从四个瓶子中随机选取一瓶，选中紫色石蕊溶液的概率是______； (2)从四个瓶子中随机选取两瓶，并分别从选取的两瓶中取适量的溶液进行混合，请利用画树状图或列表的方法，求混合后溶液变成红色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液），列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四个瓶子中随机选取一瓶，紫色石蕊溶液只有A， ∴紫色石蕊溶液的概率是：； （2）解：∵分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由表可知，共有12种等可能出现的结果， ∵只有，混合时，紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红， ∴混合后变红的概率为. 44．（2025·山西忻州·三模）项目式学习 项目主题：探究不同介质对光折射的影响 项目背景：光的折射是自然界中常见的现象，当光从一种介质斜射入另一种介质时，其传播方向会发生偏折．不同的介质对光的折射能力不同，这可以通过折射率（α为入射角，β为折射角）来定量描述． 驱动任务：如何通过实验和数据分析，比较两种未知透明介质（A和B）的折射特性，并利用结论判断一束光的折射数据属于哪种介质？ 实践操作：某小组在实验室获取了以下数据：使用激光笔以不同入射角α照射介质A和介质B，测量对应的折射角β和γ，计算和，并对数据进行记录，从中选取10组数据绘制了如下折线统计图． 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 1.36 b 1.36 m a 1.53 c n 问题解决： 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)甲同学说：“从这10次实验中，与的方差大小关系为．”乙同学说：“根据实验数据可知，的估计值在1.54附近．”上面两位同学的说法中，合理的是________（填“甲”或“乙”） (3)该小组在后续研究中意外发现一组未标记介质类型的折射数据：当入射角为时，折射角为．请根据已有数据判断这组数据是通过介质A还是介质B得到的，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)1.55，1.36，1.53； (2)乙； (3)这组数据是通过介质A得到的，见解析． 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义，即可获得答案； （2）分别计算两种数据的方差并比较，即可判断甲同学的说法；结合实验数据，可知的估计值在1.54附近，即可判断乙同学的说法； （3）计算该组数据的折射率可得，由表格数据可知，与介质A的数据比较接近，且与介质B的数据相差较大，即可获得结论． 【详解】（1）解：根据题意，可得， 介质A的折射率实验数据按照从大到小的顺序排列， 可得1.31，1.33，1.34，1.36，1.36，1.36，1.37，1.37，1.38，1.42， 其中排在第5位和第6位的是1.36，1.36， ∴这组数据的中位数， 介质B的折射率的10个实验数据中，出现次数最多的是1.53，出现了3次， ∴这组数据的众数； （2）的方差， 的方差， ∴，故甲同学说法错误； 根据实验数据可知，的估计值在1.54附近，该说法正确， 故合理的是乙； （3）这组数据是通过介质A得到的． 理由如下：计算该组数据的折射率得，由表格数据可知，与介质A的数据比较接近，且与介质B的数据相差较大，所以这组数据是通过介质A得到的． 45．（2025·江苏连云港·二模）小明和他所在的数学社团利用周末时间开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的综合实践活动． 【随机抽样】该社团从社区里收集了一些杨树叶和桃树叶，并从中分别随机选取了两种树叶各10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比． 【整理数据】该社团将获得的长宽比用折线统计图整理如下： 【数据分析】该社团数据分析如表： 平均数 中位数 众数 极差 杨树叶长宽比 2.3 2.3 a 桃树叶长宽比 b 1.8 1.8 0.4 【问题解决】请解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)小丽收集到一片树叶长为，宽为，请你通过计算判断它最可能是杨树叶还是桃树叶； (3)该社团本次活动收集到的杨树叶和桃树叶共100片，其中杨树叶和桃树叶数量相等．请估计其中长宽比在之间的有多少片． 【答案】(1)0.3，1.74 (2)杨树叶 (3)65片 【分析】（1）根据极差和平均数的定义解答即可； （2）根据树叶的长宽比判断即可； （3）利用样本估计总体即可． 本题考查了众数，中位数，平均数，极差和方差，掌握相关定义是关键． 【详解】（1）解：杨树叶长宽比的极差， 桃树叶长宽比重新排列为， 所以桃树叶的平均数， 故答案为：0.3，1.74； （2）解：， 所以这片树叶可能是杨树叶； （3）解：由统计图可知： （片）， 答：估计其中长宽比在之间的有65片． 46．（2025·上海杨浦·模拟预测）数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 【答案】(1)①；②有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关 (2)错误，理由见解析 【分析】本题考查了求某事件的频率，由频率估计概率，用频率估计概率的综合应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）①根据表2，列出关于b，c，d的方程组求解，再估算样本中患有慢性支气管炎的频率； ②先求出卡方，再通过比较后得出结论； （2）根据卡方检验是判断关联性的重要工具，但应用时需谨慎区分“相关”与“因果”，并结合实际背景分析可能存在的偏差，由此作答即可． 【详解】（1）①解：由表2可知，， 解得：， 所以患病人数为56，总人数为339， 因此频率为：； ②， 所以， 所以有的把握认为吸烟与慢性气管炎有关； （2）解：小浦的错误在于： 卡方检验仅表明“玩游戏”与“数学考试年级第一”在统计上有关联，但无法证明因果关系． 可能存在的第三变量（如个人学习能力、时间管理、学习动机等）同时影响玩游戏频率与数学成绩，导致虚假相关． 即使有关联，也可能是“数学成绩好的人更爱玩游戏”（反向因果）或纯属巧合． 计算卡方值时需注意的要点：卡方检验需注意样本代表性、变量定义清晰、避免混淆因果． 二阶·素养进阶练 1．（2026·山西吕梁·一模）第十九届届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心、首都国际会展中心举办，车展时间为2026年4月24日至5月3．本次车展的一大特点是新能源汽车成为主流．小唯同学利用周末时间对自己家所在小区内不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况做了问卷调查，以下是他的调查报告（不完整）： 调查主题 不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况 调查对象及年龄段划分 1．调查对象：小唯家所在小区内不同年龄段的人群 2．年龄段划分：少年（岁）、青年（岁）、中年（岁）、老年（60岁及以上） 调查方式 抽样调查 调查地点 小唯家所在小区 调查数据的收集、整理与描述 对新能源汽车了解情况的调查问卷 您对新能源汽车的了解程度是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．不知道什么是新能源汽车（    ） B．知道什么是新能源汽车，但没有体验过（    ） C．知道什么是新能源汽车，有一些体验经历（    ） D．非常了解，我是新能源汽车车主（    ） 对新能源汽车了解情况统计表 了解程度 A B C D 少年 20 40 140 0 青年 10 a 50 200 中年 10 60 160 b 老年 60 60 70 10 调查结论 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)统计表中______，______，本次抽样调查的总人数是______人； (2)若该小区有1500名青年人，请估计该小区青年人中有多少人是新能源汽车车主； (3)随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，小唯在两个月后对本次调查中的青年和中年群体再次进行了调查，发现青年和中年群体的新能源汽车车主分别为220人和80人，请问经过两个月后，这两个群体中哪个群体的新能源汽车车主增长率更高（结果精确到）？ (4)请写出一条关于你对新能源汽车的了解 【答案】(1)，， (2)估计该小区青年人中有人是新能源汽车车主 (3)中年群体的新能源汽车车主增长率更高 (4)见解析 【分析】 （1）用B组总共的人数减去少年、中年、老年的人数即可得出，用D组总共的人数减去少年、青年、老年的人数即可得出，将各组的人数相加即可得出总人数； （2）用乘以青年人中新能源汽车车主所占的比例即可得出结果； （3）分别计算得出两个群体的新能源汽车车主增长率，比较即可得出结果； （4）结合环保、节能、技术发展等写出一条合理的建议即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 本次抽样调查的总人数是（人）； （2）解：（人）， 估计该小区青年人中有人是新能源汽车车主； （3）解：青年群体的新能源汽车车主增长率为， 中年群体的新能源汽车车主增长率为， ∵， ∴中年群体的新能源汽车车主增长率更高； （4）解：新能源汽车主要依靠电力驱动，减少了对传统燃油的依赖，有助于降低空气污染． 2．（2026·陕西榆林·二模）从高端装备制造到前沿能源探索，我国的科技发展日新月异．某校的科技社团准备了四个探究题（如图①）．如图②，一个可以自由转动的转盘被分成了大小相同的四个扇形，并在每个扇形区域分别标上A．人形机器人、B．低空飞行器、C．人造太阳、D．航空母舰，该社团的每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域此同学就探究该课题．（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止） (1)该社团的梅梅转动转盘一次，则她探究C．人造太阳的概率是______； (2)该社团的社长与副社长各由一名同学担任，请用画树状图或列表的方法，求社长和副社长中仅有一人探究A．人形机器人的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为转盘被分成了大小相同的四个扇形，指针落在每个区域的可能性相同，梅梅转动转盘一次，则指针停止在探究C．人造太阳的概率是； （2）画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的结果，社长和副社长中仅有一人探究A．人形机器人的结果有种，社长和副社长中仅有一人选择探究A．人形机器人的概率为． 【详解】（1）解：转盘被分成了大小相同的四个扇形，指针落每个区域的可能性相同， 梅梅转动转盘一次，则指针停止在探究C．人造太阳的概率是； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，社长和副社长中仅有一人探究A．人形机器人的结果有种， （社长和副社长中仅有一人探究A．人形机器人）． 3．（2026·广西南宁·一模）随着人工智能技术的飞速发展，其在科技、经济、社会等领域的应用日益广泛，已成为推动时代变革的核心驱动力之一．某中学为评估本校学生对人工智能基础知识的掌握程度，从八、九年级中各随机抽取10名学生进行“人工智能素养”测试，满分100分，对抽取的学生成绩进行整理、描述和分析，数据如下： 八年级10名学生的比赛成绩：85  86  88  89  90  92  95  95  98  100 九年级10名学生的比赛成绩：80  85  86  88  92  94  95  98  100  100 八、九年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 91.8 91 b 九年级 91.8 a 100 根据以上信息，解答下列问题． (1)______，______． (2)在这次测试中，小悦得了92分，她的成绩比所在年级一半以上的学生都要好．请问小悦是哪个年级的学生？请说明理由． (3)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对人工智能的知识掌握得更好？请说明理由． 【答案】(1)93；95 (2)小悦是八年级的学生，理由见解析； (3)九年级学生对人工智能的知识掌握得更好，理由见解析 【分析】（1）中位数，众数的意义和计算方法进行求解即可； （2）根据中位数的意义进行判断即可； （3）从中位数，众数和平均数的角度说明即可． 【详解】（1）解：九年级的比赛成绩最中间的两个数据为：92和94，故中位数， 八年级的比赛成绩出现最多的是95分，出现2次，故． （2）解：∵八年级成绩的中位数为91分，九年级成绩的中位数为93分， 小悦得了92分，她的成绩比所在年级一半以上的学生都要好， ∴小悦同学是八年级的学生． （3）解：九年级学生对“人工智能”的知识掌握得更好，理由如下： 两个年级成绩的平均数相等，而九年级的中位数和众数均高于八年级的中位数和众数， 所以，九年级学生对“人工智能”的知识掌握得更好些． 4．（2026·安徽·二模）为了宣传“绿色生活，环保先行”，学校组织了知识普及活动，并从八、九年级学生中各随机抽取名学生的测评成绩（成绩用表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 八年级名学生的测评成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生测评成绩在B组的是：，，，，，． 八、九年级抽取的学生测评成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八 九 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若成绩不低于分为优秀，且该校八年级有名、九年级有名学生参加了此次知识普及活动，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数． 【答案】(1)，， (2)八年级学生的测评成绩更好，理由见解析 (3)该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数分别为人、人 【分析】（1）根据众数的定义求出的值，利用扇形统计图求出A、C、D组的人数，根据中位数的定义求出的值，求出A组所占百分比，即可求出的值； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可得答案． 【详解】（1）解：∵八年级名学生的测评成绩中，出现次，出现的次数最多， ∴八年级名学生的测评成绩的众数是，即， ∵九年级名学生的测评成绩C组的人数为，D组的人数为，B组的人数为人，成绩为：，，，，，， ∴九年级名学生的测评成绩的中位数为，即， ∵九年级A组的人数为（人）， ∴， ∴． （2）解：∵平均值相同，八年级的中位数大于九年级的中位数， ∴八年级学生的测评成绩更好． （3）解：∵八年级名学生的测评成绩中，A组的人数为人， ∴， ∴（人）， ∵， ∴（人）， ∴（人）， 答：估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数为人． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，转盘A被等分为三个扇形，每部分标注的数字分别为0，，；转盘B被分成三个扇形，其中数字0，4所在扇形的圆心角度数为，数字2所在扇形的圆心角度数为．姐姐和弟弟用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘A与B； ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）； ③如果和为1，则姐姐获胜；如果和为，则弟弟获胜． (1)转动转盘A，则指针指向0的概率为_________； (2)这个游戏对双方公平吗？请用列表或者画树状图的方法说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）画出树状图，再分别求出姐姐和弟弟获胜的概率，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：∵转盘A被等分为三个扇形，每部分标注的数字分别为0，，， ∴转动转盘A，则指针指向0的概率为； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： 画树状图可得： 和  0    1  2  0  3  4  2  1  2  0 共有12种等可能的结果，和为1的结果有2种， 所以姐姐获胜的概率为 和为的结果有1种， 所以弟弟获胜的概率为． ∵ ∴游戏对双方不公平． 6．（25-26九年级下·安徽安庆·月考）【项目背景】为切实关心青少年身心健康，安师中学积极开展“我运动，我快乐，我健康”的阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理．A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 60~100 101~130 131~160 161~190 人数 5 8 23 a 【数据分析与应用】 任务一  掷实心球的女生有______人；其中成绩合格的有______人； 任务二  掷实心球的女生成绩的中位数落在哪一组？请说明理由； 任务三  将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 【答案】任务一：50，45；任务二：成绩的中位数落在C组，见解析；任务三： 【分析】任务一、根据掷实心球的女生的人数和占比可求掷实心球的女生总人数； 任务二、根据中位数的定义求解即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽取到选手的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：任务一、由题意知A组占，有5人， 所以掷实心球的女生的人数为：（人）． 因为只有A组的女生成绩不合格，所以合格人数为：（人）； 任务二、将这50个女生的成绩由低到高分组排列，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，所以成绩的中位数落在C组； 任务三  由成绩统计表得跳绳个数在161～190的选手共有4人，依次记为，画树状图如下： 共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手的有两种， ∴恰好抽到选手的概率为． 真●题●验●证 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（   ） A．3000 B．4000 C．6000 D．60000 【答案】A 【分析】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本数量除以所求量占样本的比例即可估计总量． 由题意已知池塘中有记号的鱼所占的比例，用标记的鱼数除以样本中标记鱼的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：（条）； 故选：A． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】D 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解众数的含义是解题的关键． 根据题意，结合众数的意义，即可求解． 【详解】解：“最畅销”涉及的统计量是众数， 故选：D． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15 【答案】A 【分析】本题考查平均数和众数，根据平均数和众数的定义进行计算即可． 【详解】解：平均数为：， 5个数据中，14出现了2次，出现的次数最多，因此众数为：14， 故选：A． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球， ∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球， A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；     B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意； D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 5．（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是选择合适的统计图，根据条形图，折线图，扇形图的特点进行选择即可． 【详解】解：∵扇形统计图可以清楚地表示各部分数量和总量之间的关系；条形统计图可以清楚地看出数量的多少；折线统计图，不仅可以清楚地看出数量的多少，而且还能清楚地看出数量的增减变化趋势； ∴最适合描述气温变化趋势的是折线统计图； 故选：C． 6．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7．（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示． 根据以上信息，下列选项错误的是（   ） A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册 C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比 【答案】D 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育类的数量除以所占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可． 【详解】解：总销售量为：（册）， ∴科技类图书销售了（册）， ∴文艺类图书销售了（册）， ∴文艺类图书销售占比为：， ∴其他类图书销售占比：； 综上：只有选项D错误，符合题意； 故选D． 8．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有 24 种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的可能性有 12 种， ∴这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为， 故答案为：． 9．（2025·北京·中考真题）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人， 故答案为：． 10．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）． 第1次测试 第2次测试 第3次测试 甲 × × × 乙 × 注：×表示犯规． 将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． (1)补全条形统计图； (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 【答案】(1)见详解 (2)乙参加跳远比赛较为合适，理由见详解 【分析】本题考查了补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据共进行了3次测试，每次各跳远3次，共次测试，用总次数减去犯规次数以及优秀成绩的次数，即可得出甲的一般成绩有次，再补全条形统计图，即可作答． （2）分析表格，得出乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 即甲的一般成绩有次， 补全条形统计图，如图所示： （2）解：乙参加跳远比赛较为合适， 理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少， ∴乙参加跳远比赛较为合适． 11．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． 12．（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）． (1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果． ①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”） ②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势． (2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图． ①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号） ②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视． 【答案】(1)①抽样调查；②见解析 (2)①B；②见解析 【分析】本题主要考查折线统计图，条形统计图，调查的方式，熟练掌握折线统计图，条形统计图的特征是解题的关键． （1） ①利用抽样调查的定义解答即可；②通过观察折线图的走势回答即可； （2） ①观察条形统计图，通过比较各选项对应的人数解答即可；②观察条形统计图，依据依据影响视力的主要因素提出合理建议即可． 【详解】（1）解：①∵图1中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果， ∴疾控中心收集数据，采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； ②根据统计图可以看到，从七年级到高二年级，近视率随年级升高呈整体上升趋势，高二年级到高三年级有所下降； （2）解：①观察条形统计图可以看到，B选项长时间连续用眼的有887人，人数最多， ∴从图2中可知，影响视力的最主要因素是B选项长时间连续用眼． 故答案为：B； ②观察条形统计图可以看到，影响视力的主要因素有：不认真做眼保健操，长时间连续用眼，课间只在教室休息，饮食不均衡，睡眠时间不足，所以预防近视从以下入手：认真做眼保健操，避免长时间连续用眼，用眼一段时间要适当休息，课间到室外活动或者作适当远眺，保持饮食均衡，保证充足的睡眠时间． 13．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年  月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(   )(单选) A．玩偶        B．冰箱贴        C．创意摆件        D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶ (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 【答案】(1)120；(2)；(3)600人；(4)． 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合利用，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键； （1）用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可； （2）用360度乘以喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：(1)； 故答案为：120； (2)喜爱玩偶的人数为， ； 故答案为：； (3)(人) 答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人． (4)根据题意，可以画出如下树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即． 所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 统计与概率 中 目 录 第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿 跨学科 新设问 新考法 第二部分 分层突破 固本培优，精准提分 一阶·题型靶向练 题型01 统计图表信息提取 题型02 统计量的计算与分析 题型03 用样本估计总体 题型04 统计结论辨析与说理 题型05 简单事件概率计算 题型06 两步 / 多步概率计算 题型07 概率与统计综合 题型08 游戏公平性与概率应用 题型09 概率中的 “放回” 与 “不放回” 问题 题型10 情境化概率建模 题型11 统计与概率的阅读理解 二阶·素养进阶练 第三部分 真题验证 对标中考，感悟考法 风●向●速●递 【跨学科问题】（考查简单随机事件的概率计算，识别化学方程式特征及概率公式的直接应用） 1．（广东省深圳市育才教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次质量监测数学试题）化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式．若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略） ①② ③④ 小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（） A． B． C． D． 【新设问问题】（考查几何背景下的概率计算，利用总数与剩余数量的关系求简单随机事件概率） 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为________． 【新考法问题】（考查一次、一元二次方程的解的判定，根的判别式应用及列举法求复杂随机事件概率） 3（2025·浙江宁波·模拟预测）已知a和b由抛骰子得到（等概率抛到1，2，3，4，5，6），则方程有实数解的概率为_______． 分●层●突●破 一阶·题型靶向练 题型01 统计图表信息提取 1．（2025·云南玉溪·三模）在过去的一年中，中国人见证了很多让人印象深刻的时刻，为调查对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对九年级学生进行了问卷调查：2024年的哪一个高频词汇最触动你的内心？如图是根据调查结果制作的两个不完整的统计图，由图中信息可知，下列结论中不正确的是（   ） A．本次调查的样本容量是600 B．选“责任”的占 C．选“感恩”的人数为150人 D．“奉献”所对应的扇形圆心角的度数为 2．（2025·湖南长沙·一模）某数学课外活动小组调查学校附近一家超市的销售情况，发现本学期前五周的销售总额一共是186万元，图1，图2分别是其销售总额统计图和零食类销售额占当周销售总额的百分比统计图．根据图中信息，下列判断中正确的是（   ） ①超市第四周销售总额为20万元；②对比上一周，第四周零食类销售额下降幅度最大；③第二周和第五周零食类销售总额相同；④第四周零食类销售额比第三周的零食类销售额增加了；⑤第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了． A．①④⑤ B．①②③ C．①④ D．①⑤ 3．（2025·云南·模拟预测）昆明享有“春城”之美誉，是国家历史文化名城，是中国重要的旅游、商贸城市，是西南地区重要的中心城市之一，“元旦”期间相关部门对到昆明观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，下列四个选项中，错误的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量是5000 B．扇形统计图中的为20 C．“自驾”所占扇形圆心角的度数为 D．若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有50万人，估计选择飞机出行的有12.5万人 4．（2025·甘肃天水·一模）2025年1月20日在甘肃省政府工作报告中指出：规模以上工业增加值增长，现代农业扩量提质，金融服务实体经济质效提升．全年经济运行逆势而进、向上向好、质量齐升．下面的统计图反映了年某市“三产”产值增长率的情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（    ） A．年，工业产值增长率先降低后提高 B．2024年，“三产”中服务业的产值增长率最高 C．年，农业的产值增长率每年持续增加 D．年，“三产”中年产值增长率最小的是 5．（2025·河南南阳·二模）从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示，整理所收集样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 下列结论一定正确的是（    ） ①两园样本数据的中位数均在第3组； ②两园样本数据的众数均在第3组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． A．① B．①② C．①③ D．①②③ 题型02 统计量的计算与分析 6．（2026·河南周口·模拟预测）某文具店推出三种笔记本：“车缝本”（5元）、“胶套本”（6元）和“活页本”（7元）．根据某月销售统计，三种笔记本的销量占比分别为：车缝本占、胶套本占、活页本占．则该月笔记本的平均售价为（    ） A．5.6元 B．5.7元 C．5.8元 D．5.9元 7．（2026·辽宁阜新·一模）一组数据1，3，，3，4，下列说法错误的是（　　） A．众数是3 B．平均数是2 C．极差是5 D．中位数是 8．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图是甲、乙两名同学的5次篮球训练中练习投篮成绩的折线统计图，下列判断正确的是（    ） A．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 B．甲的成绩的众数是9个 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩比乙的成绩稳定 9．（2025·上海闵行·二模）为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取名学生的中长跑成绩（满分分）绘制成表： 成绩分 人数人 关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（ ） A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 10．（2025·江苏南京·三模）有一组数据：（a为常数），这组数据的方差为__________． 题型03 用样本估计总体 11．（2026·广西贵港·一模）果园有果树200棵，从中抽取5棵，每棵果树的产量如下（单位：千克）：98，102，97，103，105，于是可以估计这200棵果树的总产量约为（   ）千克． A．20200 B．20000 C．19800 D．23000 12．（24-25九年级上·四川成都·期末）为了估计池塘里有多少条鱼，渔民先从池塘里捞出40条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回池塘，第二天再从池塘打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有标记的频率稳定在左右，则估计池塘中鱼的条数大约是（   ） A．800 B．1200 C．2000 D．3000 13．（2025·上海·二模）为了解同学们对数学考卷难度的看法，桃李中学数学教研组进行了调研活动．学校随机对若干名学生进行了调查，绘制出了下表，部分内容不慎被墨水涂黑．已知认为二次函数较难的同学占，如果全校共有1500个学生，那么估计认为动点问题较难的学生有_____个． 类别 动点问题 二次函数 相似三角形 翻折旋转问题 认为较难人数 14．（2025·北京石景山·模拟预测）某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对3000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度（单位：），则估计此时该基地培育的3000棵“无絮杨”树苗中长势良好（树苗中高度不低于）的有________棵． 15．（2025·北京·中考真题）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 题型04 统计结论辨析与说理 16．（2026·安徽阜阳·一模）青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为提高学生对时事热点的关注度，特举办了一场“中国事，我知道”的问卷测试．从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（满分10分，6分及以上为合格，9分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七、八年级学生测试成绩频数分布表 5 6 7 8 9 10 七年级 3 1 7 3 4 2 八年级 2 4 4 5 2 3 分析数据，得到以下统计量 年级 平均数 中位数 众数 不合格率 七年级 a 7 7 八年级 7.5 7.5 b c 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中　　　　，　　　　，　　　　． (2)若该校七、八年级各有500名学生参加此次测试，请估算两个年级学生测试成绩达到优秀（9分及以上）的人数． (3)结合上表中的统计量，判断哪个年级的学生成绩较好，并说明理由．（至少从两个角度说明推断的合理性） 17．（2026·广东深圳·一模）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 (1)小明共调查了_________辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； (2)在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_________； (3)【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） 由上表填空：_________，_________； (4)【判断决策】 结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 18．（2026·河南·一模）为了解学生对等智能软件的使用情况，某校举办了智能软件使用技能竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于 60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．； B．；C．；D．）， 下面给出了部分信息∶ 八年级抽取20名学生的竞赛成绩为： 65， 66， 70， 75， 77， 81， 82， 82， 82， 83，84， 87， 88， 89， 92， 95， 96， 98， 98， 100 九年级抽取 20名学生的竞赛成绩在 B组的数据是：81， 88， 85， 87， 86， 82． 八九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 b 众数 a 79 方差 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，_______，_______； (2)请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 19．（2026·河南郑州·一模）校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度x作为样本数据，并将数据分为以下组别： 组别 A B C D E x（单位：cm）                          整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为________． (2)下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． Ⅰ两区样本数据的中位数均在C组； Ⅱ两区样本数据的平均数一定分别大于其中位数． (3)结合植物生理学标准，将C、D两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．B组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由． 题型05 简单事件概率计算 20．（2026·浙江温州·一模）在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 21．（2026·四川泸州·一模）从这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（   ） A． B． C． D． 22．（2026·广西南宁·一模）小球从入口下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从②号出口落下的概率是______． 23．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 题型06 两步 / 多步概率计算 24．（2026·江苏徐州·一模）2026年冬奥会在意大利举行，这是冬奥会诞生100周年后的第一届赛事．吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，核心口号是敢于梦想．除了蒂娜和米罗，还有六朵名为弗洛的雪花伙伴，作为重生与成长的象征．下面是本届冬奥会一些贴画：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取贴画作为奖品． (1)在抢答环节中，若答对一题，可从4张贴画中任意抽取1张作为奖品，则恰好抽到贴画“④”的概率是_______； (2)在抢答环节中，若答对两题，则可从4张贴画中任意抽取2张贴作为奖品，求恰好抽到贴画“②”和“③”的概率． 25．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，为记忆化学元素，乐乐制作了四张化学元素卡片，卡片的形状、大小、质地以及背面均相同，将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． 小贴士：汽车污染已成为世界性公害，汽车的尾气中一般含有一氧化碳（CO）、一氧化氮（NO）等有害气体． (1)乐乐从这四张卡片中随机抽取一张，则乐乐抽到的卡片上元素为非金属元素的概率为_______； (2)乐乐先从这四张卡片中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片里随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求乐乐取出的两张卡片上的元素恰好组成（不考虑顺序）汽车尾气中的有害气体“一氧化碳”的概率． 26．（2026·陕西铜川·一模）一个不透明的袋子中装有4个小球，这4个小球上各标有一个数字，分别为1，2，3，4，这些小球除所标数字外完全相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下数字后放回，记作随机摸球1次． (1)随机摸球1次，摸到的小球上的数字为奇数的概率为___________； (2)随机摸球2次，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的小球上的数字之和大于5的概率． 题型07 概率与统计综合 27．（2026·河北张家口·一模）为增强学生交通安全意识，某中学举办了交通安全知识竞赛，现随机抽取了部分学生成绩（大于60分）进行分析，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩/分 人数/人 A 18 B m C 68 D 30 (1)本次调查共抽取了 名学生； (2)求表中m的值和扇形统计图中x的值； (3)若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，92，93，94，94，95，95，96，97，97，97，97，98，98，99，99，100，求这组成绩的众数和中位数；若随机从该组数据中抽取一个成绩，求该成绩大于中位数的概率； (4)已知该校共有学生2000人，学校准备对本次测验安全意识薄弱的学生（D：）进行安全教育，请估计该校需要参加安全教育活动的学生人数． 28．（2026·湖南衡阳·一模）湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题． 一分钟跳绳成绩的频数统计表 组别 跳绳次数分段 频数 70 76 34 一分钟跳绳成绩的扇形统计图 (1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 人；统计表中的的值是 ；扇形统计图中B组所对的圆心角是 ． (2)求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别； (3)现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？ 29．（2025·贵州铜仁·三模）2024年是澳门回归25周年．8月1日，我国首颗高精度地磁场探测卫星------澳门科学一号卫星科学数据正式面向全球开放，为国际科学界提供了宝贵的地球物理空间数据资源，展示了中国在航天科技领域的实力．某校为了解七年级500名学生对航天知识的掌握情况，在七年级进行了航天知识测试（满分100）后从七（1）、七（2）两个班级分别随机抽取了12名学生的成绩，进行整理，得到了如下信息： 七（1）班12名学生测试成绩统计如下：82，85，94，94，93，89，87，95，96，97，98，99． 七（2）班12名学生测试成绩统计如下：79，99，88，92，77，97，83，94，91，98，94，100． 根据以上信息，解答下列问题： (1)七（1）班12名学生成绩的中位数为____________，七（2）班12名学生成绩的众数为___________； (2)若本次抽到的24份成绩分别属于14名男生和10名女生，那么从这24名学生中随机抽取1名学生代表七年级参加全区的航天宣传演讲，恰好抽到女生的概率是_____________； (3)已知这24名同学中成绩在98分及以上的5位分别是2名女生和3名男生，若从中选择两名学生代表七年级参加学校航天知识宣讲比赛，请用树状图或列表的方式求出正好选中“一男一女”的概率． 30．（2025·河北邯郸·三模）为了提高同学们的文学鉴赏能力，某读书社全体成员在一段时间内开展阅读经典名著活动，活动结束后，把结果进行统计并制成如图1和图2所示的条形统计图和不完整的扇形统计图． (1)该读书社一共有_____名成员，“2本”所在扇形的圆心角度数是_____； (2)若阅读1本经典名著的成员中，有两名是女同学，一名是男同学，从中任意抽取两名同学，求恰好抽到的同学均为女同学的概率； (3)若在同一时间段内，读书社之外某同学阅读经典名著本，把与读书社全体成员阅读经典名著本数的数据组成一组新的数据，发现平均数增大了，则的值至少为多少？ 题型08 游戏公平性与概率应用 31．（2025·吉林白山·模拟预测）如图是一副扑克牌中的3张牌，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．爸爸先从中抽出一张，榕榕从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．如果两个人的获胜概率相同，我们说游戏是公平的．请借助树状图或列表法来判断这个游戏是否公平． 32．（2025·陕西咸阳·模拟预测）小明和小红一起做游戏，他们把形状和大小完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1，2，3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张．若抽取的两张卡片数字之和为奇数，则小明胜；若抽取的两张卡片数字之和为偶数，则小颖胜．请用列表或画树状图的方法分析这个游戏是否公平，若不公平，谁获胜的可能性较大． 33．（24-25七年级下·陕西西安·月考）五一期间，某商场举办了一个“幸运抽奖”活动，抽奖箱里共有16个小球，其中有8个黄球、6个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，小明和小红参与了这个活动： (1)从中任意摸出一球，若摸到黄球小明获得奖励，若摸到黑球小红获得奖励，这个活动对双方公平吗？请说明你的理由； (2)现在要从箱中取出若干个黄球，再放入相同数量的黑球，使得这个活动对双方公平，则要取出多少个黄球？ 34．（2025·陕西榆林·二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 题型09 概率中的 “放回” 与 “不放回” 问题 35．（2025·陕西西安·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有个红色小球和个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里， (1)请问第一次摸到白球的概率是_____： (2)从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里；摇匀后，再摸出个小球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率． 36．（2025·四川成都·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有4个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据∶ 摸球的次数 摸到白球的次数m 摸到白球的频率 (1)估计口袋中黑球有_____个，白球有____个； (2)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 37．（2025·陕西·一模）一个不透明的袋子中装有5个小球，这5个小球上各标有1个数字，分别是1，2，2，3，3，这些小球除标有的数字外其他都相同． (1)小明从袋子中随机摸出1个小球，则摸到的小球上标有的数字是3的概率为_____． (2)小亮从袋子中随机摸出1个小球，不放回，再随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的两个小球上标有的数字是连续整数的概率． 38．（2025·福建泉州·二模）一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1，2，3的3个小球，这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球充分搅匀． (1)随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是 ； (2)随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点Q的横坐标x，再从剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点Q的纵坐标y，求点在一次函数的图象上的概率． 题型10 情境化概率建模 39．（2026·陕西西安·一模）26年春晚的吉祥物是一组名为：“骐骐”、“骥骥”、“驰驰”和“骋骋”（分别记作A，B，C，D）的四匹骏马，小明在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．现将这四张卡片背面朝上洗匀后，玩如下游戏： (1)小明从中随机抽取一张卡片，恰好抽到“骐骐”的概率为 ； (2)小明从中一次随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片正好是“骐骐”和“骥骥”的概率． 40．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，一个不透明的袋子中装有三个小球，这三个小球上各标有一个数字，分别是，1，，这些小球除标有的数字不同外其他都相同． (1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是负数的概率为______； (2)先从袋中随机摸出一个小球，将小球上面的数字记作a的值，放回搅匀后再从中随机摸出一个小球，将小球上面的数字记作b的值，请通过列表或画树状图的方法，求出点在第三象限的概率． 41．（2026·湖南长沙·一模）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是________； (2)图1中的度数是________，并把图2条形统计图补充完整； (3)该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为________． (4)测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 42．（2026·福建厦门·一模）圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表示为3.141592653……．古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1．利用“布丰投针试验”估算 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上．针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值________附近（结果精确到0.001）；根据上述数据请你估计的近似值为________（精确到0.01）． 2．利用“莱布尼茨无穷级数”逼近 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算的另一种表达式 （n为非负整数） 记，则； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ……随着n增大，逐渐逼近，的值越接近的值． 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值． 题型11 统计与概率的阅读理解 43．（2026·四川成都·一模）【阅读理解】 有这样一个化学知识：紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性溶液变成蓝色，遇中性溶液不变色． 请根据该知识完成下列各题． 【问题解决】 现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）． (1)从四个瓶子中随机选取一瓶，选中紫色石蕊溶液的概率是______； (2)从四个瓶子中随机选取两瓶，并分别从选取的两瓶中取适量的溶液进行混合，请利用画树状图或列表的方法，求混合后溶液变成红色的概率． 44．（2025·山西忻州·三模）项目式学习 项目主题：探究不同介质对光折射的影响 项目背景：光的折射是自然界中常见的现象，当光从一种介质斜射入另一种介质时，其传播方向会发生偏折．不同的介质对光的折射能力不同，这可以通过折射率（α为入射角，β为折射角）来定量描述． 驱动任务：如何通过实验和数据分析，比较两种未知透明介质（A和B）的折射特性，并利用结论判断一束光的折射数据属于哪种介质？ 实践操作：某小组在实验室获取了以下数据：使用激光笔以不同入射角α照射介质A和介质B，测量对应的折射角β和γ，计算和，并对数据进行记录，从中选取10组数据绘制了如下折线统计图． 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 1.36 b 1.36 m a 1.53 c n 问题解决： 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)甲同学说：“从这10次实验中，与的方差大小关系为．”乙同学说：“根据实验数据可知，的估计值在1.54附近．”上面两位同学的说法中，合理的是________（填“甲”或“乙”） (3)该小组在后续研究中意外发现一组未标记介质类型的折射数据：当入射角为时，折射角为．请根据已有数据判断这组数据是通过介质A还是介质B得到的，并说明理由．（参考数据：，） 45．（2025·江苏连云港·二模）小明和他所在的数学社团利用周末时间开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的综合实践活动． 【随机抽样】该社团从社区里收集了一些杨树叶和桃树叶，并从中分别随机选取了两种树叶各10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比． 【整理数据】该社团将获得的长宽比用折线统计图整理如下： 【数据分析】该社团数据分析如表： 平均数 中位数 众数 极差 杨树叶长宽比 2.3 2.3 a 桃树叶长宽比 b 1.8 1.8 0.4 【问题解决】请解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)小丽收集到一片树叶长为，宽为，请你通过计算判断它最可能是杨树叶还是桃树叶； (3)该社团本次活动收集到的杨树叶和桃树叶共100片，其中杨树叶和桃树叶数量相等．请估计其中长宽比在之间的有多少片． 46．（2025·上海杨浦·模拟预测）数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 二阶·素养进阶练 1．（2026·山西吕梁·一模）第十九届届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心、首都国际会展中心举办，车展时间为2026年4月24日至5月3．本次车展的一大特点是新能源汽车成为主流．小唯同学利用周末时间对自己家所在小区内不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况做了问卷调查，以下是他的调查报告（不完整）： 调查主题 不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况 调查对象及年龄段划分 1．调查对象：小唯家所在小区内不同年龄段的人群 2．年龄段划分：少年（岁）、青年（岁）、中年（岁）、老年（60岁及以上） 调查方式 抽样调查 调查地点 小唯家所在小区 调查数据的收集、整理与描述 对新能源汽车了解情况的调查问卷 您对新能源汽车的了解程度是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．不知道什么是新能源汽车（    ） B．知道什么是新能源汽车，但没有体验过（    ） C．知道什么是新能源汽车，有一些体验经历（    ） D．非常了解，我是新能源汽车车主（    ） 对新能源汽车了解情况统计表 了解程度 A B C D 少年 20 40 140 0 青年 10 a 50 200 中年 10 60 160 b 老年 60 60 70 10 调查结论 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)统计表中______，______，本次抽样调查的总人数是______人； (2)若该小区有1500名青年人，请估计该小区青年人中有多少人是新能源汽车车主； (3)随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，小唯在两个月后对本次调查中的青年和中年群体再次进行了调查，发现青年和中年群体的新能源汽车车主分别为220人和80人，请问经过两个月后，这两个群体中哪个群体的新能源汽车车主增长率更高（结果精确到）？ (4)请写出一条关于你对新能源汽车的了解 2．（2026·陕西榆林·二模）从高端装备制造到前沿能源探索，我国的科技发展日新月异．某校的科技社团准备了四个探究题（如图①）．如图②，一个可以自由转动的转盘被分成了大小相同的四个扇形，并在每个扇形区域分别标上A．人形机器人、B．低空飞行器、C．人造太阳、D．航空母舰，该社团的每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域此同学就探究该课题．（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止） (1)该社团的梅梅转动转盘一次，则她探究C．人造太阳的概率是______； (2)该社团的社长与副社长各由一名同学担任，请用画树状图或列表的方法，求社长和副社长中仅有一人探究A．人形机器人的概率． 3．（2026·广西南宁·一模）随着人工智能技术的飞速发展，其在科技、经济、社会等领域的应用日益广泛，已成为推动时代变革的核心驱动力之一．某中学为评估本校学生对人工智能基础知识的掌握程度，从八、九年级中各随机抽取10名学生进行“人工智能素养”测试，满分100分，对抽取的学生成绩进行整理、描述和分析，数据如下： 八年级10名学生的比赛成绩：85  86  88  89  90  92  95  95  98  100 九年级10名学生的比赛成绩：80  85  86  88  92  94  95  98  100  100 八、九年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 91.8 91 b 九年级 91.8 a 100 根据以上信息，解答下列问题． (1)______，______． (2)在这次测试中，小悦得了92分，她的成绩比所在年级一半以上的学生都要好．请问小悦是哪个年级的学生？请说明理由． (3)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对人工智能的知识掌握得更好？请说明理由． 4．（2026·安徽·二模）为了宣传“绿色生活，环保先行”，学校组织了知识普及活动，并从八、九年级学生中各随机抽取名学生的测评成绩（成绩用表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 八年级名学生的测评成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生测评成绩在B组的是：，，，，，． 八、九年级抽取的学生测评成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八 九 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若成绩不低于分为优秀，且该校八年级有名、九年级有名学生参加了此次知识普及活动，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，转盘A被等分为三个扇形，每部分标注的数字分别为0，，；转盘B被分成三个扇形，其中数字0，4所在扇形的圆心角度数为，数字2所在扇形的圆心角度数为．姐姐和弟弟用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘A与B； ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）； ③如果和为1，则姐姐获胜；如果和为，则弟弟获胜． (1)转动转盘A，则指针指向0的概率为_________； (2)这个游戏对双方公平吗？请用列表或者画树状图的方法说明理由． 6．（25-26九年级下·安徽安庆·月考）【项目背景】为切实关心青少年身心健康，安师中学积极开展“我运动，我快乐，我健康”的阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理．A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 60~100 101~130 131~160 161~190 人数 5 8 23 a 【数据分析与应用】 任务一  掷实心球的女生有______人；其中成绩合格的有______人； 任务二  掷实心球的女生成绩的中位数落在哪一组？请说明理由； 任务三  将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 真●题●验●证 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（   ） A．3000 B．4000 C．6000 D．60000 2．（2025·江苏盐城·中考真题）在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 3．（2025·江苏无锡·中考真题）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15 4．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 5．（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 6．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示． 根据以上信息，下列选项错误的是（   ） A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册 C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比 8．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 9．（2025·北京·中考真题）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 10．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）． 第1次测试 第2次测试 第3次测试 甲 × × × 乙 × 注：×表示犯规． 将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． (1)补全条形统计图； (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 11．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 12．（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）． (1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果． ①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”） ②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势． (2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图． ①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号） ②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视． 13．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年  月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(   )(单选) A．玩偶        B．冰箱贴        C．创意摆件        D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶ (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $