6.2.2导数与函数的极值、最值（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第三册

第六章 导数及其运用 6.2利用导数研究函数的性质 6.2.2导数与函数的极值、最值 学 习 目 标 1 2 经历问题探究，认识与理解函数极值点与极大值点的概念，（数学抽象、几何直观•重点）. 经历问题探究，理解与掌握利用导数求函数极值（极值点）与最值的方法与步骤，并能灵活运用其求解相关的实际问题（数学抽象、直观想象、数学运算•难点）. 一、函数的导数与极值 如图所示,在群山之中,各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最高点. 同样,各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处,但它却是其附近的最低点. （一）情境 观察图中函数的图像,指出其中是否有类似以山峰、山谷的地方,如果有,尝试用数学语言描述. （二）问题 （三）探究 从图中可以看出,函数在,,,这三点对应的函数值,都是其附近的函数值中的最大者; 而在 ,这两点对应的函数值,都是其附近的函数值中的最小者. 一、函数的导数与极值 一般地,设函数的定义域为,设,如果对于附近的任意不同于的,都有 (1),则称为函数的一个极大值点,且在处取极大值; (2),则称为函数的一个极小值点,且在处取极小值. 极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值. 显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小. 一、函数的导数与极值 （四）函数的极值点与极值的概念 一、函数的导数与极值 （五）问题探究 从图所示函数的图像中可以看出,对应的横坐标,都是函数的极值点. 已知曲线在处都存在切线. (1)处的切线具有什么特征?这说明在 ,处的导数具有什么特点? (2)曲线在附近的点处的切线具有什么特征? 探究：可以看出,曲线在处的切线都是水平的,这等价于 0. 在点与点左侧的附近,曲线的切线的斜率都大于0;在右侧的附近,曲线的切线的斜率都小于0. 在点与点左侧的附近,曲线的切线的斜率都小于0;在右侧的附近,曲线的切线的斜率都大于0. 因此,在,两侧附近的符号不一样. 一、函数的导数与极值 （六）函数导数与极值的关系 1.函数极值点的判断条件 一般地,如果是的极值点,且在处可导,则必有 . 一、函数的导数与极值 （六）函数导数与极值的关系 2.函数极大值点与极小值点的判断条件 一般地,设函数在处可导, 且. (1)如果对于左侧附近的任意,都有,对于右侧附近的任意,都有,那么此时是的极大值点 (2)如果对于左侧附近的任意,都有,对于右侧附近的任意,都有,那么此时是的极小值点 (3)如果在的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号),则一定不是的极值点. 【温馨提示】事实上,这些结论成立的依据都是①"时,在附近单调递增" ②"时, 附近单调递减". 一、函数的导数与极值 （七）实例运用 例1．已知，求所有使得的，并判断所求得的数是否是函数的极值点．   【知识点】函数极值点的辨析 【分析】根据导数或者函数图像求得正确答案. 【详解】因为， 所以令，可知，由此可解得． 由于，在上单调递增， 所以不是的极值点， 这也可以从图中函数的图像看出来（如下图所示）．   一、函数的导数与极值 （七）实例运用 例2．已知函数，求函数的极值，并作出函数图像的示意图．   【详解一】由题意可得： ． 解方程，可得或， 解不等式，可得或，此时递增． 解不等式，可得，此时递减． 因此，在上递增，在上递减，在上递增，而且． 从而可知是函数的极大值点，极大值为； 是函数的极小值点，极小值为． 函数图像的示意图如图所示． 一、函数的导数与极值 （七）实例运用 例2．已知函数，求函数的极值，并作出函数图像的示意图．   【详解二】由题意可得： ． 解方程，可得或， 解不等式，可得或． 解不等式，可得． 因此，可做下表 从而可知是函数的极大值点，极大值为； 是函数的极小值点，极小值为． 函数图像的示意图如图所示． 【温馨提示】为了方便起见,表示单调递增,表示单调递减,然后再作示意图. （一）问题探究 二、函数最值的求法 观察图所示函数的图像,回忆函数最值的定义,回答下列问题. (1)图中所示函数的最值点与最值分别是多少? (2)图中所示函数的极值点与极值分别是多少? (3)一般地,函数的最值与函数的极值有什么关系?怎样求可导函数的最值? 探究： 我们知道,函数的最大(小)值是函数定义域内最大(小)的函数值.因此,图所示函数的最大值点为,最大值为 . 最小值点为,最小值为 . 函数的极大值点为,极大值为;极小值点为,极小值为. 由此可以看出,最值与极值是有区别的,最值点与极值点也有区别. （二）利用导数求函数的最值 二、函数最值的求法 一般地,如果函数在定义域内的每一点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个极值点; 如果函数的定义域为且存在最值,函数在内可导,那么函数的最值点要么是区间端点或,要么是极值点. （三）实例运用 二、函数最值的求法 例3．已知，求的极值点以及极值，最值点以及最值.   【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】对函数求导，令求出方程的根，然后求出函数单调区间，从而可求出函数的极值点以及极值，最值点以及最值. 【详解】当时， 解方程，可得或 解不等式，可得或，此时递增， 解不等式，可得此时递减. 因此，在上递增，在上递减，在上递增. 由于，从而可知是函数的极大值点，极大值为 ； 是函数的极小值点，极小值为， 又因为 ，所以函数的最大值点为1，最大值为,注意到 对任意实数都是成立的，因此可知函数的最小值点为0，而且最小值是.   三、提升演练 练习1 求下列函数的单调区间和极值． (1)； (2)．   【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数的极值. 【详解】（1）因为， 所以恒为正，在上单调递增， 因此没有极值． （2）． 令，得或． 1和2将区间分为三个区间，列表如下： 故在和上单调递减，在上单调递增， 因而极大值为1，极小值为0． 三、提升演练 练习2 求函数在区间上的最大值和最小值．   【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数求得在区间上的最大值和最小值. 【详解】求导得．令，则，． 由于和都在区间内，所以可列表如下： 又，，将它们与极值比较可得， 该函数在上的最大值为，最小值为．   三、提升演练 练习3 已知函数，，且．求： (1)a的值及曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上的最大值．   【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由题意，求出的值，然后根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数在区间上的单调性，从而即可求解. 【详解】（1）由题意，， 因为，所以，解得， 所以，， 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，且， 所以在上单调递增， 所以，即函数在区间上的最大值为.   今天我们都学习了什么知识？ 1.经历问题探究，认识与理解了函数极值点与极大值点的概念，（数学抽象、几何直观•重点）. 2.经历问题探究，理解与掌握了利用导数求函数极值（极值点）与最值的方法与步骤，并能灵活运用其求解相关的实际问题（数学抽象、直观想象、数学运算•难点）. 四、课堂小结 感谢聆听! $