6.2.2 第2课时 函数最值的求法（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“函数最值的求法”，通过图象观察问题链引导学生自主探究极值与最值的区别，明确求最值需先求极值再比较端点值的步骤，搭建从极值到最值的学习支架。 其亮点是分层设计与素养导向，课前自测辨析概念，课堂通过不含参数（如三次函数闭区间最值）、含参数（分类讨论参数范围）、恒成立问题（分离参数求最值）等题型，结合易错案例对比纠错，培养逻辑推理与数学运算核心素养。学生能系统掌握方法，教师可直接用于分层教学提升效率。

6.2.2　导数与函数的极值、最值 第六章　导数及其应用 第2课时　函数最值的求法 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 极值 最大的 最小的 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 谢谢观看 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 学业标准 素养目标 1．能利用导数求函数的最值．(重点) 2．能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题．(难点) 借助利用导数求函数的最值，提升逻辑推理、数学运算核心素养． 导学　函数的最值 如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． [提示]　存在． 　函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？ [提示]　不一定，也可能是区间端点的函数值． 　观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值． [提示]　f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值． 　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值、最小值？ ◎结论形成 　函数最值的求法 如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)在(a，b)内可导且存在最值，那么求最值的步骤如下： (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的________； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中__________为最大值，__________为最小值． [微点睛]　函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的．函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点处取得；有极值未必有最值，有最值也未必有极值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值．(　　) (2)闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值．(　　) (3)若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值．(　　) (4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值．(　　) 解析　(1)函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值． (2)闭区间上的连续的单调函数只有最值，没有极值． (3)不正确． (4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)＝x3－2x2在区间[－1，5]上(　　) A．有最大值0，无最小值 B．有最大值0，有最小值－ C．有最小值－，无最大值 D．既无最大值也无最小值 解析　f′(x)＝x2－4x＝x(x－4)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4， 所以f(0)＝0，f(4)＝－，f(－1)＝－，f(5)＝－， 所以f(x)max＝f(0)＝0，f(x)min＝f(4)＝－. 答案　B 3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是________． 解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0， 则x＝－1或x＝1(舍去)，f(－1)＝3，f(0)＝1，f(－3)＝－17， 所以f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f(－3)＝－17. 答案　3，－17 4．已知函数f(x)＝sin x－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值为－1，则实数a的值是________． 解析　由f(x)＝sin x－2x－a， 得f′(x)＝cos x－2＜0， 所以函数f(x)在[0，π]上单调递减， 所以f(x)的最大值是f(0)＝－a＝－1，故a＝1. 答案　1 题型一　不含参数的函数最值问题 　[教材例3提升]求下列函数的最值． (1)f(x)＝3x－x3(－≤x≤3)； (2)f(x)＝sin 2x－x. [解析]　(1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x). 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1. ∴x＝1和x＝－1是函数f(x)在[－，3]上的两个极值点， 且f(1)＝2，f(－1)＝－2. 又f(x)在区间端点的取值为f(－)＝0，f(3)＝－18， 比较以上函数值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－18. (2)f′(x)＝2cos 2x－1，令f′(x)＝0，得cos 2x＝.又x∈， ∴2x∈[－π，π]，∴2x＝±. ∴x＝±，∴函数f(x)在上的两个极值分别为f＝－， f＝－＋. 又f(x)在区间端点的取值为f＝－， f＝，比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－. 求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 (1)求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点． (2)计算函数f(x)在区间内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． [触类旁通] 1．(2025·广东佛山高二期末)函数f(x)＝x3－6x2＋16，x∈[0，5]的最小值为(　　) A．－16　　　　　　　 B．－9 C．9 D．16 解析　由f(x)＝x3－6x2＋16可得，f′(x)＝3x2－12x， 由f′(x)＝0，解得x＝0或x＝4， 因为x∈[0，5]，当0＜x＜4时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当4＜x＜5时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 故x＝4时，f(x)min＝f(4)＝64－96＋16＝－16. 答案　A 题型二　含参数的函数最值问题　(一题多变) 　已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在区间[0，＋∞)上的最小值． [解析]　f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)， 令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a. ①当a＞0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(a)＝－a3. ②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0. ③当a＜0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)min＝f＝a3. 综上所述，当a＞0时，f(x)min＝－a3； 当a＝0时，f(x)min＝0；当a＜0时，f(x)min＝a3. [母题变式] 1．(变条件、变结论)本例中，若a＞0，求该函数在区间[0，4]上的最小值． 解析　由解析知，当a＞0时，f(x)在[0，a)上单调递减， 在[a，＋∞)上单调递增， 所以当0＜a＜4时，f(x)min＝f(a)＝－a3. 当a≥4时，f(x)min＝f(4)＝64－16a－4a2. 2．(变条件、变结论)本例中，若a＞0，求函数f(x)在区间[－a，2a]上的最值． 解析　f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a＞0)，令f′(x)＝0，得x1＝－＜x2＝a. 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减， 在[a，2a]上单调递增． 所以f(－a)＝－a3，f＝a3， f(a)＝－a3，f(2a)＝2a3. 所以f(x)max＝f(2a)＝2a3. f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3. [素养聚焦]　本题考查对含参数的函数的最值的求解，培养逻辑推理、数学运算核心素养． (1)含参数的函数最值问题的两类情况 ①能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题； ②对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． (2)已知函数最值求参数值(范围)的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围． [触类旁通] 2. (2025·四川遂宁高二月考)若函数f(x)＝(x－3)·ex＋x2－2x＋1在区间(2m－2，3＋m)上存在最值，则m的取值范围是(　　) A．m＜－1 B．m＞2 C．－1＜m＜2 D．m＜－1或m＞2 解析　f′(x)＝(x－2)ex＋x－2＝(x－2)(ex＋1)， 则当x＞2时，f′(x)>0，当x＜2时，f′(x)＜0， 即f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 即f(x)在x＝2处取得最值， 则有2m－2＜2＜3＋m， 解得－1＜m＜2. 答案　C 题型三　与函数最值有关的恒成立问题 　已知函数f(x)＝(x－1)3＋m. (1)若f(1)＝1，求函数f(x)的单调区间； (2)若关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1，2]上恒成立，求m的取值范围． [解析]　(1)因为f(1)＝1，所以m＝1， 则f(x)＝(x－1)3＋1＝x3－3x2＋3x， 而f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞). (2)不等式f(x)≥x3－1在区间[1，2]上恒成立，即不等式3x2－3x－m≤0在区间[1，2]上恒成立， 即不等式m≥3x2－3x在区间[1，2]上恒成立， 即m不小于3x2－3x在区间[1，2]上的最大值． 因为x∈[1，2]时， 3x2－3x＝3－∈[0，6]， 所以m的取值范围是[6，＋∞). 恒成立问题总是要化为求函数的最值问题来解决，其中方法一是分类讨论(求最值)法，方法二是分离参数法．在不等式或方程中，参数只出现一次，或在几个项中出现的参数只是一次的形式，可以对不等式或方程进行变形，把参数分离到一边去，而另一边则是x的表达式． [触类旁通] 3．(2024·江苏宿迁高二期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝ －1和x＝3处取得极值． (1)求a，b的值及f(x)的单调区间； (2)若对任意x∈[1，5]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围． 解析　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， ∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1和x＝3处取得极值， ∴f′(3)＝27＋6a＋b＝0， f′(－1)＝3－2a＋b＝0， 联立解得a＝－3，b＝－9. ∴f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)， 令f′(x)＝0，解得x＝3或x＝－1， x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； x∈(－1，3)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 故x＝－1和x＝3是f(x)的极值点， 故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)； 函数f(x)的单调递减区间为(－1，3). (2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c在(1，3)上单调递减，在(3，5)单调递增， 要使得对任意x∈[1，5]，不等式f(x)<c2恒成立，则需f(1)<c2且f(5)<c2， 故f(1)＝－11＋c<c2且f(5)＝5＋c<c2， 解得c>，或c<， ∴c的取值范围是∪. [缜密思维提能区]　易错案例 函数的最值 [典例]　已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，在x＝－2和x＝处取得极值． (1)求函数f(x)的解析式． (2)求函数f(x)在[－4，1]上的最值． [错解]　(1)因为f(x)＝x3－ax2＋bx＋5， 所以f′(x)＝3x2－2ax＋b， 因为在x＝－2和x＝处取得极值， 所以解得a＝－2，b＝－4. 经检验，a＝－2，b＝－4满足条件， 所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5. (2)因为f′(x)＝3x2＋4x－4，所以由f′(x)＝0， 解得x＝－2或x＝， 所以f(x)在[－4，－2)上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增． 所以f(x)max＝f(－2)＝13，f(x)min＝f＝. [正解]　(1)因为f(x)＝x3－ax2＋bx＋5， 所以f′(x)＝3x2－2ax＋b， 因为在x＝－2和x＝处取得极值， 所以解得a＝－2，b＝－4. 所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5. (2)因为f′(x)＝3x2＋4x－4，所以由f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝，所以f(x)在[－4，－2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．因为f(－4)＝－11，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4.所以f(x)max＝f(－2)＝13，f(x)min＝f(－4)＝－11. [纠错心得]　 错误原因 防范措施 没有比较端点值和极值的大小，错误地认为极值就是最值 求区间的端点值和极值，并比较大小，取最大的为最大值，最小的为最小值 知识落实 技法强化 (1)最值与极值的区别． (2)导数与函数的最值． (1)可导函数在某区间上求最值的方法． (2)含参数的最值问题，往往要用到分类讨论、转化与化归思想方法． $