精品解析：陕西省延安市校联考2026年普通高中模拟预测（二）数学试题

绝密★启用前 延安市校联考2026年普通高中模拟预测（二） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 5．命题：孙飞张碧荷孙仲伯许军强陈晓东 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到集合，然后求交集. 【详解】，，所以. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标公式和充分条件及必要条件求解. 【详解】充分性分析：，，， ，，故充分性成立； 必要性分析：，， ，， ，，，故必要性不成立. 故“”是“”充分不必要条件 3. 已知函数，若，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意令，即，得， 又，即，得或， 令，则， 可化为， 则是函数的图像与直线的交点横坐标，如图所示， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的大小关系不可能是， 4. 延安国营风力发电厂的风力发电机的三片风叶之间两两所成的角度为，当其中一片风叶与塔杆叠合时，一位身高1.8米的技术人员站在另一片风叶端头的正下方，测得塔杆顶部仰角为（如左图所示）；若该技术人员站在离塔杆60米处，则测得塔杆顶部仰角为（如图所示）．那么风叶转动时叶片顶端最高离地面（ ） A. 81.8米 B. 89.8米 C. 95.8米 D. 101.8米 【答案】D 【解析】 【分析】设扇叶长度为，在左图根据角度关系表示出，结合右图可分析出，求得的取值，得出到底面距离，风叶转动时最高点到底面距离为到底面距离加上一个扇叶长. 【详解】由左图，中，，则， 又扇叶之间的夹角为，则，则， 又，设叶片的长度为，则，， 根据右图，在中，由于，则， 左右图中人的高度不变，则，即，得， 则到底面的距离为， 当扇叶转动到最高点，最高点到底面的距离为. 5. 图1是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示．已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由体积关系可知正四棱柱和正四棱锥的高相等，结合图形可得，即可求解． 【详解】因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为， 所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，设为，如图， 则， 则其外接球的半径为, 解得，所以， 6. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式 A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：， 情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：， 所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）. 7. 已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称求解圆的圆心，进而根据对称，结合三点共线即可求解. 【详解】如图，作圆关于直线对称的圆， 设，则，解得，则 连接与圆相交于点,连接与圆相交于点,关于直线对称的点记为， 则（当M，，共线时取等号）， （当M，，共线时取等号）， 由于，则， 因此，当M，，共线时取等号，所以所求最小值为3. 8. 某小区内有一块直角扇形的草坪如图所示，两条互相垂直的小路与分别长4米和3米．物业公司准备在四边形围成的区域种植丁香花．如果小路面积忽略不计，则丁香花种植面积为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】A 【解析】 【详解】如图，将扇形补全为半圆，为圆的直径，连接、， 在中，,所以 由，从而垂直平分，则， 由，所以过点，则, 所以， 则丁香花种植面积为平方米. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 赓续绵延秦川情，携手共谱新篇章．2026年“十五五”筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游一新陕西”主题宣传文案，共收到300篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（ ） A. 随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6 B. 已知优秀率为10%，则 C. 越大，的值越大 D. 越小，评分在概率越大 【答案】AD 【解析】 【详解】由题意知，，则， 故A正确； 因为，且优秀率为10%， 故，故B错误； 因为是正态分布图象的对称轴，所以，故C错误； 越小，正态分布图象越瘦高，因此在区间对应图象的面积变大， 则评分在的概率越大，故D正确. 10. 设复数满足，则（ ） A. B. 存在复数，使得为纯虚数 C. 存在，关于的方程有解 D. 若复数满足，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【详解】设，则，即， 即在复平面内点到点与点的距离之和为， 故点的轨迹为椭圆，，，故，则椭圆方程为；， 对A，，故A正确， 对B，，要使得为纯虚数，则且， 则，解得，有解，故存在复数，使得为纯虚数，故B正确； 对C：，则，即有，解得， 则存在，使得关于的方程有解，故C正确； 对D：由复数满足，则复数在复平面内的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 则椭圆上的点到该圆圆心的距离为：， 则的最小值为，故D错误. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用导函数判断单调性；B根据二阶导函数的零点求对称中心；C根据对称性和单调性以及韦达定理求出；D根据对称性和单调性以及基本不等式求解. 【详解】因，所以， 则在定义域内单调递增，故A正确； ，得，故的对称中心为即，故B正确； 因为，为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以，则， 故，得，故C错误； 因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时，故D正确. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为______分钟． 【答案】64 【解析】 【分析】已知剩余细沙量的函数模型为（为常数），我们可以通过“经过16 分钟时剩余一半细沙”这一条件求出常数，再代入“剩余量为初始量”的条件，求解对应的时间即可. 【详解】当分钟时，剩余细沙量，代入函数表达式得： 两边同时除以得： 再对等式两边取自然对数得：，所以 又当上方细沙量为开始时的 时，即 ，代入函数表达式得：， 两边同时除以后，再对等式两边取自然对数得： 化简得：（分钟）.. 13. 如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有7段圆弧时，“蚊香”的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分析每段圆弧的圆心角都是相同的特殊角，再找出半径的规律（每次增加一个单位长度），然后利用数列的求和方法求和. 【详解】由题意可得每段圆弧所对的圆心角均为， 题中依次所得的圆弧其所在圆的半径成公差为1的等差数列，且第一段圆弧所在圆的半径为1， 设该等差数列为，则，等差数列通项公式为， 所以第n段圆弧所在圆的半径为， 所以恰好有7段圆弧所制作“蚊香”的长度为. 14. 杜甫在《绝句》中写道：“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天．”从这十四个字中任取两个字，则声母相同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】找出声母相同的字，根据排列组合结合古典概型求解即可. 【详解】总共有14个字，任取2个的总组合数为. 逐个列出14个字的声母，可得： 声母为的字：两、鹂、柳、鹭，共4个，组合数为； 声母为的字：黄、行，共2个，组合数为； 其余声母均仅对应1个字，无符合条件的组合. 根据古典概型计算概率. 四、解答题：（本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 已知数列是等比数列，，，数列满足：． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），；，． （2） 【解析】 【分析】（1）运用等比数列的定义求得，在求解通项公式，注意递推时，需要检验的情形； （2）整理可得，利用裂项相消法，注意加减后保留项即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则，所以，， 因为， 当时，， 两式相减得， 则时，； 当时，由得，解得符合该式； 所以，． 【小问2详解】 由于， 所以 16. 中，角，，所对的边分别为，，且． （1）若，求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对题设进行边化角处理，接着转化角A代入即可求出的值； （2）根据面积公式可求答案. 【小问1详解】 因为，则，即， 又，所以，即， 所以，即； 【小问2详解】 因为，， 所以. 17. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的最小值； （3）若函数存在极小值点，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）根据导数与最值的关系求解即可. （3）根据导数与单调性、极值的关系求解即可. 小问1详解】 当时，，所以，即切点为， 又因为，所以切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，定义域为，则， 因为在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递增， 又，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是的极小值点，也是最小值点， 即最小值为． 【小问3详解】 已知，所以， 因为是极小值点，所以，即，化简得：． 又因为，代入得：，将代入得：，即， 设，则，令，解得， 且当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以在处取得最小值， 又当时，时，， 故有唯一解为，代入得． 18. 在四棱锥中，四边形为矩形，为锐角三角形，，，，为棱的中点，平面与平面的交线为，直线与相交于点． （1）求线段长度的最小值； （2）若异面直线与所成角为． （ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）求三棱锥的外接球的表面积． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）可证，平面，建系并标点，，根据题意结合向量共线可得，进而分析线段BQ长度的最小值； （2）利用空间向量结合向量夹角可得.（ⅰ）分别求平面PCD与平面QCD的法向量，利用空间向量求面面夹角；（ⅱ）设三棱锥的外接球的球心为，根据外接球的定义结合空间中两点间距离可得球心坐标，进而可得半径和表面积. 【小问1详解】 因为，平面，平面，则平面， 且平面，平面平面，所以， 又因为，，，平面，可得平面， 以为坐标原点，分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，， 可得，则， 可得，，， 则，， 由题意可知：直线的一个方向向量为，且， 设，则， 因为，则，可得， 则，即， 则， 令，则， 当且仅当时，等号成立， 所以线段BQ长度的最小值为. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 由题意可得：， 解得，即，则，，，，. （ⅰ）因为，，， 设平面的法向量为，则， 设，则，可得； 设平面的法向量为，则， 设，则，可得； 则， 所以平面PCD与平面QCD夹角的余弦值为； （ⅱ）设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则， 即，解得， 可得，所以三棱锥的外接球的表面积为. 19. 已知直线与抛物线相切，抛物线与抛物线关于对称，点为上一动点，若过点可以作的两条切线分别交于两点． （1）求； （2）若点的纵坐标为，求； （3）求证：直线与抛物线相切． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）联立方程组求解；（2）设切线方程，联立方程组求出坐标的关系，代入求解；（3）求出直线的方程，联立方程组判断. 【小问1详解】 已知直线与抛物线相切， 联立方程组，得 ，解得或（舍去）. 【小问2详解】 ， 抛物线与抛物线关于对称，所以， 设，， 切线的方程为，即， 联立方程组，得， 即， ，即， 同理， 所以是方程的两个根， ，， 若点的纵坐标为，则，，， ， 代入可得. 【小问3详解】 直线的方程为，即， 代入可得，即 联立方程组，得， ， 直线与抛物线相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 延安市校联考2026年普通高中模拟预测（二） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 5．命题：孙飞张碧荷孙仲伯许军强陈晓东 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，若，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 延安国营风力发电厂的风力发电机的三片风叶之间两两所成的角度为，当其中一片风叶与塔杆叠合时，一位身高1.8米的技术人员站在另一片风叶端头的正下方，测得塔杆顶部仰角为（如左图所示）；若该技术人员站在离塔杆60米处，则测得塔杆顶部仰角为（如图所示）．那么风叶转动时叶片顶端最高离地面（ ） A. 81.8米 B. 89.8米 C. 95.8米 D. 101.8米 5. 图1是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示．已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式 A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 7. 已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 8. 某小区内有一块直角扇形的草坪如图所示，两条互相垂直的小路与分别长4米和3米．物业公司准备在四边形围成的区域种植丁香花．如果小路面积忽略不计，则丁香花种植面积为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 赓续绵延秦川情，携手共谱新篇章．2026年“十五五”筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游一新陕西”主题宣传文案，共收到300篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（ ） A. 随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6 B. 已知优秀率为10%，则 C. 越大，的值越大 D. 越小，评分在的概率越大 10. 设复数满足，则（ ） A. B. 存在复数，使得为纯虚数 C. 存在，关于的方程有解 D. 若复数满足，则最小值为 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 对称中心为 C. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D. 若，则最小值为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为______分钟． 13. 如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有7段圆弧时，“蚊香”的长度为______． 14. 杜甫在《绝句》中写道：“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天．”从这十四个字中任取两个字，则声母相同的概率是______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 已知数列是等比数列，，，数列满足：． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 中，角，，所对边分别为，，且． （1）若，求的值； （2）若，求面积． 17. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的最小值； （3）若函数存在极小值点，且，求的值． 18. 在四棱锥中，四边形为矩形，为锐角三角形，，，，为棱的中点，平面与平面的交线为，直线与相交于点． （1）求线段长度的最小值； （2）若异面直线与所成角为． （ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）求三棱锥的外接球的表面积． 19. 已知直线与抛物线相切，抛物线与抛物线关于对称，点为上一动点，若过点可以作的两条切线分别交于两点． （1）求； （2）若点的纵坐标为，求； （3）求证：直线与抛物线相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $