18.1 第2课时 勾股定理的应用 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

第十八章 勾股定理 18.1 勾股定理的应用 第2课时 2025-2026学年 数学 沪科版 八年级下册 学习目标 01 知识与技能 掌握勾股定理的三大应用：判断直角三角形、 求边长、解决实际问题 02 过程与方法 通过实际问题建立直角三角形模型， 培养数学建模能力 03 情感态度 体会勾股定理在生活中的广泛应用， 感受数学的实用价值 复习导入 回顾：勾股定理 在直角三角形中，两条直角边 a、b 与斜边 c 满足： a² + b² = c² 填一填： ① 已知 a=3，b=4，则 c = ______ 5 ② 已知 a=5，c=13，则 b = ______ 12 ③ 已知 a=6，b=8，则 c = ______ 10 新知建构一：判断直角三角形 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 a、b、c 满足 a² + b² = c² 那么这个三角形是直角三角形（c 为斜边） 判断步骤： 第一步 找出三边中最长的边，设为 c 第二步 计算较短两边的平方和：a² + b² 第三步 比较 a² + b² 与 c² 的大小 第四步 若 a² + b² = c²，则是直角三角形；否则不是 例题讲解 例1 判断以下三组数能否构成直角三角形的三边： ① 3、4、5 3²+4²=9+16=25=5² ✓ 是直角三角形 ② 5、12、13 5²+12²=25+144=169=13² ✓ 是直角三角形 ③ 3、4、6 3²+4²=9+16=25 ≠ 36=6² ✗ 不是直角三角形 记住常用勾股数：3-4-5，5-12-13，8-15-17，7-24-25 新知建构二：求直角三角形的边长 情况一 已知两条直角边 a、b 求斜边 c c = √(a² + b²) 例：a=6，b=8 c² = 36+64 = 100 c = 10 → 斜边 c = 10 情况二 已知斜边 c 和一条直角边 a 求另一条直角边 b b = √(c² - a²) 例：c=13，a=5 b² = 169-25 = 144 b = 12 → 直角边 b = 12 VS 例题讲解 例2 在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，已知 a=9，b=12，求斜边 c。 解题过程： 由勾股定理： c² = a² + b² 代入数值： c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 开平方： c = √225 = 15 答：斜边 c = 15 验证：9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15² ✓ ⚠ 注意：斜边一定是最长的边，开平方后要检验结果是否合理 新知建构三：实际问题的建模 生活中的勾股定理 🏗 建筑工程 检验墙角是否为直角 测量斜坡长度 🚢 航海导航 计算两地之间的直线距离 确定船舶位置 📐 测量勘察 测量不可直接到达的距离 确定地形高度 建模六步法： 第1步 读题 → 第2步 画图 → 第3步 标注 → 第4步 列式 → 第5步 求解 → 第6步 作答 例题讲解 例3 一架梯子长 5 m，梯子底端距墙根 3 m，求梯子顶端距地面的高度。 【示意图】 B（梯顶） |\ | \ h | \ 5m（梯子） | \ |________\ A 3m C 解题过程： 设梯子顶端距地面高度为 h m 由题意，△ABC 中 ∠A = 90° BC = 5（斜边），AC = 3（直角边） 由勾股定理： h² + 3² = 5² h² + 9 = 25 h² = 16 h = 4 答：梯子顶端距地面高度为 4 m 例题讲解 例4 在平面直角坐标系中，A(0,0)，B(3,4)，求线段 AB 的长度。 【坐标系示意图】 y ↑ 4 | B(3,4) | | | | ← 直角边 BC=4 | | 0 +----C(3,0)→ x A(0,0) ←AC=3→ 解题过程： 作 C(3, 0)，则 △ACB 为直角三角形 AC = 3（水平距离） BC = 4（竖直距离） 由勾股定理： AB² = AC² + BC² AB² = 3² + 4² AB² = 9 + 16 = 25 AB = 5 答：线段 AB 的长度为 5 例题讲解 例5 一根旗杆折断后，顶端落地处距杆底 8 m，折断处距地面 6 m，求旗杆原来的高度。 【示意图】 A（原顶端） | | 折断的部分（斜边） B |___________C（落地点） （折断处） 8m | | 6m（直角边） | D（杆底） 解题过程： 设折断部分长度（BC）为 x m △BDC 中，∠D = 90° BD = 6（直角边），DC = 8（直角边） 由勾股定理： BC² = BD² + DC² x² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 x = 10 旗杆原高 = BD + BC = 6 + 10 = 16 m 答：旗杆原来的高度为 16 m 例题讲解 例6 一块矩形地板，长 12 m，宽 5 m，求对角线的长度。 【矩形示意图】 A_________B | | | d | 5m | （对角线）| |__________| D 12m C 解题过程： 矩形的对角线将矩形分成两个直角三角形 直角边分别为 12 m 和 5 m 对角线为斜边，设长度为 d 由勾股定理： d² = 12² + 5² d² = 144 + 25 = 169 d = 13 答：对角线长度为 13 m 拓展：矩形对角线公式 d = √(长² + 宽²) 随堂练习 基础巩固 1 判断三边长为 8、15、17 的三角形是否为直角三角形。 解：8²+15²=64+225=289=17²，是直角三角形 2 直角三角形两直角边为 7 和 24，求斜边。 解：c²=49+576=625，c=25 3 直角三角形斜边为 26，一条直角边为 10，求另一条直角边。 解：b²=676-100=576，b=24 4 一个矩形的长为 15 cm，宽为 8 cm，求对角线长度。 解：d²=225+64=289，d=17 cm 随堂练习 能力提升 5. 一根电线杆折断后，顶端落地处距杆底 6 m，折断处距地面 4 m， 求电线杆原来的高度。 解：设折断部分长为 x，则 x² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52 x = 2√13，原高 = 4 + 2√13 m 6. 在平面直角坐标系中，已知 P(2, 1)，Q(5, 5)，求 PQ 的长度。 解：水平距离 = 5-2 = 3，竖直距离 = 5-1 = 4 PQ² = 3² + 4² = 25，PQ = 5 7. 一个直角三角形的斜边为 10，两直角边之差为 2，求两直角边的长度。 解：设两直角边为 a 和 a+2，则 a²+(a+2)²=100 2a²+4a+4=100，a²+2a-48=0，(a+8)(a-6)=0，a=6 两直角边为 6 和 8 课堂小结 应用一 判断直角三角形 验证 a²+b²=c² 记住常用勾股数 3-4-5，5-12-13… 应用二 求直角三角形边长 已知两边求第三边 c=√(a²+b²) b=√(c²-a²) 应用三 解决实际问题 建立直角三角形模型 六步法：读→画→标 →列→解→答 【重点提示】 ① 判断直角三角形时，最长边才是斜边 ② 实际问题中，要先画图建立直角三角形模型，再列方程求解 课后作业 必做题（基础巩固） 1. 判断三边长为 6、8、10 的三角形是否为直角三角形。 2. 直角三角形两直角边为 9 和 40，求斜边。 3. 一架梯子长 13 m，梯子底端距墙根 5 m，求梯子顶端距地面的高度。 选做题（能力提升） 4. 在平面直角坐标系中，A(1,2)，B(4,6)，求 AB 的长度。 5. 一个直角三角形的周长为 60，斜边为 25，求两直角边的长度。 $