2025--2026学年沪科版八年级数学下册暑期巩固 专题 5勾股定理

**基本信息** 初中数学暑假专项训练，以勾股定理为核心，构建“原理证明-关系推导-实际应用”三阶体系，强化模型意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明线段平方关系|6题（含新定义“双勾股三角形”）|代数变形、面积法|从勾股定理直接应用到拓展定义推理| |勾股定理证明|5题（含“勾股树”“无字证明”）|图形割补、面积等量关系|原理推导到多证法迁移| |解三角形及应用|22题（梯子滑落/旗杆高度/航海问题等）|建模思想、动态问题方程法|从静态计算到实际场景转化，培养空间观念|

沪科版（2024）八年级下册暑期巩固 专题5勾股定理 目录 利用勾股定理证明线段平方关系 1 勾股定理的证明方法 2 利用勾股定理解三角形 4 求梯子滑落高度 5 求电杆或旗杆高度 7 求台阶上地毯长度 10 解决航海问题 11 利用勾股定理证明线段平方关系 1、在中，斜边，则的值为（    ） A. B. C. D.无法计算 2、设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则下列关系正确的是(    ) A. B. C. D. 3、如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（    ）． A.大于 B.等于 C.小于 D.大小关系不确定 4、如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝25，S3＝144，则AB＝     ． 5、如图，在四边形中，，，．求证：． 6、我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做双勾股三角形． (1) 根据“双勾股三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是双勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由； (2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，若Rt△ABC是双勾股三角形，求a：b：c； (3) 如图，△ABC、△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，DA=DB，若在△ABD内存在点E，使AE=AD，CB=CE．试说明△ACE是双勾股三角形． 勾股定理的证明方法 1、如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别是9、25、1、9，则最大正方形的边长是（    ）    A.12 B.44 C. D.无法确定 2、下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A.4 B.3 C.2 D.1 3、利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为           ，该定理的结论其数学表达式是          ． 4、我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形． （1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容； （2）已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图1、图2的面积相等，请你根据此图证明（1）中的定理． 5、（）测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表： 根据已经得到的数据，请猜想三边的长度之间的关系． 利用勾股定理解三角形 1、如图，在中，，若，，则的长是（    ） A.1 B. C.2 D. 2、如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A. B. C. D. 3、已知在中，，，，则的长为（    ） A. B.3 C.5或 D.5 4、一直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2=9，b2=16，那么c2的值是             5、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为           ． 6、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，这辆小汽车超速了吗？ 求梯子滑落高度 1、如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端（点A）距墙角（点C）为．若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端（点B）向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动x米，则根据题意可列方程为（    ）    A. B. C. D. 2、如图，一根长为5m的竹竿AB斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离3m，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（　　） A.2m B.3m C.4m D.m 3、如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（    ） A. B. C. D. 4、使用13米长的梯子登建筑物，如果梯子的底部离建筑物的底部的距离不能小于5米，问该梯子最多可登上      米高的建筑物． 5、某班将本校的办学理念“学会生活，学会学习，学会做人”做成宣传牌AB，放置在教室的黑板上方（如图所示），在一次活动中，小明搬来一架2.5米长的梯子AE，靠在宣传牌AB的顶部A处，底端落在地板E处，然后移动梯子使顶端落在宣传牌AB的底部B处，而底端E向外移了0.5米到C处（即CE=0.5米）．已知黑板的上边距地板高度BM=2米．求宣传牌的顶部A距地板的高度AM为多少米（结果保留根号）． 6、如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 求电杆或旗杆高度 1、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（    ） A.13m B.12m C.10m D.8m 2、如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了，拉直绳子，使绳子底端恰好碰到地面，此时绳子底端离旗杆底端，则旗杆的高度是（    )．    A. B. C. D. 3、数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（    ）    A.5米 B.12米 C.13米 D.17米 4、某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． 则风筝的垂直高度          米． 5、荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为         m． 6、如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地面某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，已知旗杆原长，你能求出旗杆在离底部什么位置折断吗？请说明理由 7、小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 求台阶上地毯长度 1、如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ） A. B. C. D. 2、如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A.65 B.85 C.90 D.150 3、如图，在高3m，楼梯倾角∠ABC为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为         m． 4、某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要     元．    5、如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 解决航海问题 1、两只蜗牛从同一地点同时出发，一只以的速度向北直行，一只以的速度向东直行，后两只蜗牛相距（    ） A. B. C. D. 2、如图，小岛A在港口B北偏东方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（     ） A. B. C.30 D. 3、一座桥横跨一江，桥长，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头，则小船实际行驶      ． 4、如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两岛相距102海里，问乙船的航速是多少？    沪科版（2024）八年级下册暑期巩固 专题5勾股定理（参考答案） 利用勾股定理证明线段平方关系 1、在中，斜边，则的值为（    ） A. B. C. D.无法计算 【答案】C 【解析】∵在中，斜边为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选． 2、设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则下列关系正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设斜边为c，根据勾股定理即可得出， ， ，即a2b2=a2h2+b2h2， ， 即， 故选A. 3、如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（    ）． A.大于 B.等于 C.小于 D.大小关系不确定 【答案】C 【解析】∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2， ∴AB2−AC2＝BH2−HC2， 又∵MH⊥BC，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2， ∴AB2−AC2＝MB2−MC2， 即（AB＋AC）（AB−AC）＝（MB＋MC）（MB−MC）， 又∵M点在△ABC内，∵AB＋AC＞MB＋MC， 则AB−AC＜MB−MC． 故选C． 4、如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝25，S3＝144，则AB＝     ． 【答案】13 【解析】由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， ∴AB2＝25+144＝169， 解得，AB＝13， 故答案为13． 5、如图，在四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：在△ABC中，∠ABC=90°， ∴． 在△ACD中，CD⊥AD， ∴， ∴． 又AD2=2AB2－CD2， ∴， 即， ∴． 6、我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做双勾股三角形． (1) 根据“双勾股三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是双勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由； (2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，若Rt△ABC是双勾股三角形，求a：b：c； (3) 如图，△ABC、△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，DA=DB，若在△ABD内存在点E，使AE=AD，CB=CE．试说明△ACE是双勾股三角形． 【答案】解：（1）真命题，理由如下： 设等边三角形的三边为a、b、c，则a=b=c ∴a2＋b2＝2c2 ∴等边三角形一定是双勾股三角形． （2）在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2＋b2＝c2, 当c＞b＞a＞0时， ∴2c2＞a2＋b2，2a2＜b2＋c2, ∴若△ABC是双勾股三角形，一定有2b2=a2＋c2, ∴2b2=a2＋（a2＋b2 ）， ∴b2=2a2， ∴b=a, ∵c2=b2＋a2=3a2， ∴c=a ∴a: b: c＝1:  : ； 当c＞a＞b＞0时， 同理若△ABC是双勾股三角形，一定有2a2=b2＋c2， ∴2a2=b2＋（a2＋b2 ）， ∴a2=2b2， ∴a=b, ∵c2=b2＋a2=3b2， ∴c=b ∴a: b: c＝ :1:  综上：a：b：c=1： ：：或a：b：c=： 1：；． （3）在Rt△ACB中，AC2＋BC2=AB2  在Rt△ADB中，AD2＋BD2=AB2, ∴AC2＋BC2 =AD2＋BD2 ∵DA=DB，AE=AD，CB=CE ∴AC2＋CE2 =2AD2 ∴AC2＋CE2=2AE2 ∴△ACE是双勾股三角形 勾股定理的证明方法 1、如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别是9、25、1、9，则最大正方形的边长是（    ）    A.12 B.44 C. D.无法确定 【答案】C 【解析】解：∵正方形的面积分别是9、25、1、9，由勾股定理得， 正方形H的面积为：9+1=10， 正方形G的面积为：9+25=34， 则正方形E的面积为：34+10=44， 所以正方形E的边长为： 故选：C    2、下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】第一个图形：两个小正方形的面积分别为4和9，大正方形的面积为13，可得，可得，可以验证勾股定理． 第二个图形：梯形的面积，化简得；可以证明勾股定理． 第三个图形：中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理． 第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积两个直角三角形的面积的和，即，化简得；可以证明勾股定理， 能够验证勾股定理的有4个． 故选：A． 3、利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为           ，该定理的结论其数学表达式是          ． 【答案】 勾股定理 c2=a2+b2 【解析】解：如图2，正方形的面积=（a+b）2， 用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2， 即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2． 这个定理称为：勾股定理． 故答案为：勾股定理，a2+b2=c2 4、我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形． （1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容； （2）已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图1、图2的面积相等，请你根据此图证明（1）中的定理． 【答案】解：（1）勾股定理： 直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，那么； （2）图1的面积为：， 图2的面积为， 图1、图2的面积相等， ， ． 5、（）测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表： 根据已经得到的数据，请猜想三边的长度之间的关系． 【答案】解：测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表： 根据已经得到的数据，猜想三边的长度之间的关系． 利用勾股定理解三角形 1、如图，在中，，若，，则的长是（    ） A.1 B. C.2 D. 【答案】B 【解析】由题意得：． 故选；B． 2、如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设，则， 又∵， ∴ 在中，， 得： 解得： 故选B． 3、已知在中，，，，则的长为（    ） A. B.3 C.5或 D.5 【答案】D 【解析】根据题意，作出图形，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：D． 4、一直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2=9，b2=16，那么c2的值是             【答案】25或7 【解析】当c为斜边时，c2=16+9=25， 当c为直角边时，c2=16-9=7， 故答案是：25或7. 5、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为           ． 【答案】6，8，10 【解析】解：设中间的偶数是x，则另外两个是，根据勾股定理，得 ， 解得或0（0不符合题意，应舍去）， 所以它的三边是6，8，10． 故答案为：6，8，10 6、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】解：根据题意可得，，即，，， ∴在中，， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴小汽车超速了． 求梯子滑落高度 1、如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端（点A）距墙角（点C）为．若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端（点B）向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动x米，则根据题意可列方程为（    ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】则题意得，， ∴， 梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端向下滑动x米， 则，， 由勾股定理得，    故选：C． 2、如图，一根长为5m的竹竿AB斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离3m，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（　　） A.2m B.3m C.4m D.m 【答案】C 【解析】由题意得：，，， 则， 即该竹竿的顶端离地竖直高度为， 故选：C． 3、如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设梯子的长度为，则墙高为， 由勾股定理可得：， 解得：， 梯子的长度为， 故选：A． 4、使用13米长的梯子登建筑物，如果梯子的底部离建筑物的底部的距离不能小于5米，问该梯子最多可登上      米高的建筑物． 【答案】12 【解析】如图，梯子AB=13米， 若梯子的底部离建筑物的底部的距离BC不能小于5米， 则AC≤=12米， 故答案为：12．    5、某班将本校的办学理念“学会生活，学会学习，学会做人”做成宣传牌AB，放置在教室的黑板上方（如图所示），在一次活动中，小明搬来一架2.5米长的梯子AE，靠在宣传牌AB的顶部A处，底端落在地板E处，然后移动梯子使顶端落在宣传牌AB的底部B处，而底端E向外移了0.5米到C处（即CE=0.5米）．已知黑板的上边距地板高度BM=2米．求宣传牌的顶部A距地板的高度AM为多少米（结果保留根号）． 【答案】解：由题意可得：AE=BC=2.5米，BM=2米，EC=0.5米， 在Rt△MBC中，MC=（米）， 则EM=1.5-0.5=1（米）， 在Rt△AEM中，AM=（米）， 答：宣传牌的顶部A距地板的高度AM为米 6、如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 【答案】（1）解：设墙高x米，则米，米， 在中，， 在中，， 由题意可知， ∴， 解得：， 答：墙的高度为4米； （2）解：米． 答：竹竿的长度为米． 求电杆或旗杆高度 1、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（    ） A.13m B.12m C.10m D.8m 【答案】B 【解析】根据题意，画出图形，m，如下图： 设旗杆的高为：x m ，则绳子的长为m ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 解得： ， 即旗杆的高为m． 故选：B 2、如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了，拉直绳子，使绳子底端恰好碰到地面，此时绳子底端离旗杆底端，则旗杆的高度是（    )．    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，设旗杆的长度为，则绳子的长度为：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为． 故选：B．    3、数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（    ）    A.5米 B.12米 C.13米 D.17米 【答案】B 【解析】设旗杆的长为． 根据题意，得，，． 在中， ． ∴． 解方程，得． 答：旗杆的长为12米． 故选：B． 4、某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． 则风筝的垂直高度          米． 【答案】21.7 【解析】解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，米， 故答案为21.7 5、荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为         m． 【答案】10 【解析】由题意可知：，，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：10． 6、如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地面某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，已知旗杆原长，你能求出旗杆在离底部什么位置折断吗？请说明理由 【答案】解：设旗杆在离底部米处的位置折断， 由图可知：， 解得： 即：旗杆在离底部米处的位置折断． 7、小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 【答案】（1）解：由题意，得，． ∴在中，， ∴． 答：此时风筝的铅直高度为． （2）解：∵风筝沿方向下降，     ∴． 在中，∵， ， ∴． 答：他应该收线． 求台阶上地毯长度 1、如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由勾股定理得： 楼梯的水平宽度==12， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是12+5=17（米）． 故选：A． 2、如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A.65 B.85 C.90 D.150 【答案】B 【解析】 由图可知：， ∵米，米， ∴米， 由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米）， ∴至少需防滑毯的长为：（米）， ∵防滑毯宽为5米 ∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）． 故选：． 3、如图，在高3m，楼梯倾角∠ABC为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为         m． 【答案】3+3 【解析】解：如图，由题意得，地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于， 即地毯的总长度为， 在中 ∴（m） ∴（m）． 故答案为：． 4、某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要     元．    【答案】1020 【解析】如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形， 则长为：（米），宽为5米， 地毯的长度为（米），地毯的面积为（平方米）， 购买这种地毯至少需要（元）． 故答案为：1020．    5、如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 【答案】展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90， 由勾股定理得：AB＝＝＝150cm， 答：最短路程是150cm． 解决航海问题 1、两只蜗牛从同一地点同时出发，一只以的速度向北直行，一只以的速度向东直行，后两只蜗牛相距（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，， ∵一只以的速度向北直行，一只以的速度向东直行， ∴夹角为直角， ∵， ∴后两只蜗牛相距， 故选：A． 2、如图，小岛A在港口B北偏东方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（     ） A. B. C.30 D. 【答案】B 【解析】连接，      由已知得：，，， ∴， 在中，， ∴（）， 故选：B 3、一座桥横跨一江，桥长，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头，则小船实际行驶      ． 【答案】/13米 【解析】解：由题意可知，桥长、船的航行距离及船到南岸时偏离桥南头的距离构成一直角三角形，如下图所示： 结合图形，可知桥长，船到南岸后，偏离桥南头的距离， 小船实际行驶的距离， 故答案为： 4、如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两岛相距102海里，问乙船的航速是多少？    【答案】通过两船的航线角度可知，∠CAB=90°，则三角形ABC为直角三角形 又AC为甲船航行的路程，则AC=16×3=48 由可知： AB= 所以乙船的航速为90÷3=30（海里/时） 故答案为30（海里/时） 学科网（北京）股份有限公司 $