专项4 阅读拓展3 弦切角模型&阅读拓展4 切割线模型&阅读拓展5 相交弦模型&综合训练-【一战成名新中考】2026云南中考数学·二轮复习·专项分层提升练

阅读拓展3弦切角模型 条件 如图，直线BC与⊙0相切，线段AB是⊙O的弦 0. 连接B0并延长交⊙O于点E, 01 图示 弦 连接AE C切B C切 B 弦切角∠ABC 结论 弦切角度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数 应用 切线判定若∠ABC=∠ADB,易推BC是⊙O的切线 阅读拓展4切割线模型 在⊙0中，弦AB的延长线交⊙O的切线 弦AB的延长线与弦CD的延长线交于⊙O外 条件 CD于点D 一点E 0。 °0 0. E 0 图示 D D C 0 △AED∽△CEB △ADC∽△CDB 结论 DC=DB·DA EB·EA=ED·EC 应用 证明线段之间数量关系 阅读拓展5相交弦模型 条件 弦AB与CD交于⊙O内一点E R 图示 E E C △AEC∽△DEB 结论 EA·EB=EC·ED 应用 证明线段之间数量关系 48 专项分层提升练·云南数学 一战成名新中考 综合训练 1. 名师原创如图，已知点P是△ABC外接⊙02.[2025曲靖麒麟区一模]如图，CD,BE是⊙0 上一点，过点P分别作PE⊥AB于点E,PF⊥ 的直径，且CD1BE于点O,F为DE上一点， BC于点F,PD⊥AC,交AC的延长线于点D, 连接FC交BE于点M,延长FD到点A,连接 连接PC,PB,PA,且∠CPD=∠CBP AB,使BD恰好平分∠ABE. (1)若∠CBP=25°，求∠PAC的度数； (1)求证：AB为⊙0的切线： (2)求证：PD是⊙0的切线； (2)若⊙0的直径为12，BM=3EM,求DF (3)连接EP,DF,求证：A5_EB·DF 的长； ACCD·EF (3)若EM=5,①20D-AB>5;②20D-AB=5; ③20D-AB<5三个结论，你认为哪个结论 正确？请证明你的结论。 0. 0。 D 第1题图 备用图 B B 第2题图 备用图 专项分层提升练·云南数学 49 3.[2025楚雄元谋县二模]如图，⊙0是△ABC的4.[2025昆明市统测]如图，⊙0是△ACD的外 外接圆，AB为⊙O的直径，D为劣弧BC的中 接圆，AB是⊙0的直径，AB平分∠CAD,点E 点，连接AD,与BC交于点E,并过点D作BC 在AD的延长线上，连接BD,BE,BE=EA· 的平行线分别交AB,AC的延长线于点F,P. ED,点P是劣弧BC上的一个动点（不与，点 (1)求∠P的度数； B,C重合)，连接PC,PD,过点B作BF⊥PD (2)求证：PF是⊙O的切线： 于点F (3)看一看，想一想，证一证：存在一个常数k, (1)若∠CPD=120°，求∠CAD的度数； 使F-,C ,以下三个结 (2)求证：BE是⊙O的切线； AF (3)在点P的运动过程中，试探究Pp的值 DF 论，>1，k=1,k<1,你认为哪个正确？请 说明理由！ 是否改变，若改变，请说明理由：若不变， 请求出该值 0 第3题图 备用图 B B 第4题图 备用图 50 专项分层提升练·云南数学 一战成名新中考 5.[2025玉溪易门县一模]如图，⊙0是△ABC的6.[2025楚雄大姚县二模]如图，四边形ADBC是 外接圆，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线 ⊙O的内接四边形，AB是⊙0的直径，AD= CD交AB于点F,交⊙O于点D,连接AD,过 BD,延长CB至点E,使得CD=AC·CE,连接 点D作DEAB,交CB的延长线于点E. DE,P是直径AB上方的半圆上的任意一点， (1)求证：直线DE是⊙O的切线； 连接PA,PB,PD. (2)求C4+B的值： (1)若∠CAB=60°，BC=√3，求AD的长； CD (2)求证：DE是⊙0的切线： 1 1 1 (3)求证：AC·BC'ADCF·DF (3)多解法若点P在半圆AB上运动，当 △ADP面积最大且PB=1时，求PD的长. B 0 第5题图 备用图 第6题图 备用图 专项分层提升练·云南数学 51 7.[2025昆明官渡区一模]如图，四边形ABCD的8.[2025文山西畴县二模]如图，BC是⊙0的直 外接圆是以AC为直径的⊙0，∠CAB=30° 径，点A是圆上任意一点，过点A作AG⊥OB 点P是劣弧BC上任意一点（不与，点B,C重 于点G,交⊙0于点D,延长CB至点E,连接 合)，连接PA,PB,PC,延长AD至点E,使EC= AE,BD,∠EAB=∠BDA,延长CD与AB的延 ED·EA, 长线交于点F (1)求∠CPB的度数： (1)求证：AE是⊙0的切线： (2)求证：直线EC与⊙0相切； (2)若EB=2,BC=6,求BD的长； (3)多解法点P在运动过程中，CP AP-2BP 的值 (3)tan∠ACB= 1D=1,请计算 2'DC m AF的值（用 是否发生变化，若不变，求出这个值：若发 含m的式子表达) 生变化，请说明理由. B B G 0 D 0 第8题图 备用图 A 第7题图 备用题图 52 专项分层提升练·云南数学 一战成名新中考 9.[2025玉溪红塔区统测]如图，四边形ABCD内10.[2025昆明三中二模]如图①，AB为⊙0的直 接于⊙O,AC=AD,AD>AB,AC⊥BD,垂足为 径，弦CD⊥AB,连接AC,AD,E为AB上一 E,AF是⊙O的直径，点P是AD上异于点A, 点，AC=AE,连接并延长CE交⊙0于点M, D的一点，点Q在FP的延长线上，且AQ= 连接BM,在CM的延长线上取一点N,使 FQ,PQ,AF与BD交于点M,设m=BD BM MN=BM,连接BN (1)若AC=4,求AD的长； AD2-AB2 (2)求证：BW是⊙O的切线； nFBD·BC (3)看一看，想一想，证一证：如图②，连接 (1)若∠CAD=70°，直接写出∠ABC的度数； BD,交CW于点F,若FM=1,以下与线 (2)求证：直线AQ是⊙0的切线： 段CE,EM有关的三个结论：CE+EM> (3)若an∠4CD 2 EP,CE+EM=EMP,CE+EM<EMP,你认 tan∠ACB 4,mn= ,以下三个结论： 为哪个正确？请说明理由. DM<BC,DM=BC,DM>BC,你认为哪个正 确？请说明理由. B B 图① 图② C F 第9题图 备用图 备用图 第10题图 专项分层提升练·云南数学 53 11.[2025昆明西山区二模]如图，AB是⊙0的直12.名师原创如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙0 径，△ABC内接于⊙O,D是CB的中点，连接 的一条弦，OD⊥AC于点E,交⊙O于点D, AD交CB于点E,连接OD交CB于点F,过 DN⊥AB于点F,交AC于点K,交⊙O于点 点B作BG⊥AB交OD延长线于点G,连 N,G是AC上一点，连接GD,过点A的直线 接CG 交GD的延长线于点M,且满足从 (1)求证：AC/0D: (2)求证：CG是⊙0的切线； (1)求证：AM是⊙0的切线： (3)多解法若F是OD的中点，请探究AB, (2者08祭=6，求的k: AC与AD之间的数量关系，并说明理由. (3)连接BG,若BC·EG=CG·DE,试问 BG+GM BM 二的值是否为定值？如果是，请求 出这个定值：如果不是，请说明理由. M C 第11题图 备用图 第12题图 备用图 54 专项分层提升练·云南数学83 +CD·AB,.AC·√3CD=5CD+3CD,.AC= 3 / 图② 图③ 第1题解图 解法二：如解图③，过C作CE⊥AD于点E,CF⊥AB交 AB延长线于点F,则∠BFC=∠DEC=90°，：C为BD的 中点，.C⑦=C,.CD=CB,∠BAC=∠DAC=30°，.CE =CF,AF=AE=AC·cos30°，.Rt△FBC≌Rt△EDC (HL...BF=DE...AD=AE+DE=AF+DE=AB+BF+DE= AB+2BF,.AB=3,AD=5,.5=3+2BF,解得BF=1, AF=4,∠MC=30°，∠AFC=90°AC=AE-85 cos30°3 2.解：(1)2；【解法提示】小BC是⊙0的直径，∠BAC= ∠BDC=90°，.AB=AC=√W5,.△ABC是等腰直角三角 形，.BC=√2AB=√I0,又：CD=1,.在Rt△BDC中， BD=√BC-CD=√（√0）2-12=3，由托勒密定理，得 AB·CD+AD·BC=AC·BD,即V5×1+AD×√I⑩=√5×3， 解得AD=√2. (2)72:【解法提示】∠ACB=90°，AC=6,BC=8, ∠ADB=90°，AB=√AC+BC=10,CD平分∠ACB交 ⊙O于点D,∠BCD=∠ACD,BD=AD,∠ADB= 90°，△ABD是等腰直角三角形，∴BD=AD=号AB 52,四边形ACBD内接于⊙0，.由托勒密定理，得AB ·CD=AC·BD+AD·BC,即10CD=6×5V2+8×52, CD=72. (3)由题意，易得∠PAD=∠PCB,∠P=∠P PA PD AD ÷△PAD△PCB,PC-PB BC 设PA=x,PD=y,则x=y=2 y+15+x√0 条得-5，子A- 、3 2,PD=2 综合训练 1.(1)解：∠PBC与∠PAC是PC所对的圆周角，∠CBP= 25°，..∠PAC=∠CBP=25°： (2)证明：如解图①，连接P0并延长交⊙0于点G,连 接CG, 点P是⊙0上的一点， ·.PG是⊙O的直径. .∴.∠PCG=90°， .∠CGP+∠GPC=90°. .·∠CPD=∠CBP,∠CBP=∠CGP ∴.∠CPD=∠CGP 参考答案与重难题解 一战成名新中考 .∠CPD+∠GPC=90°， .∠GPD=90°，.OP⊥PD 0P是⊙0的半径， .PD是⊙O的切线； F(O) 第1题解图① 第1题解图② (3)证明：如解图②，过点E作EM∥AD,交BC于点M, 连接ED交BC于点Q, PE⊥AB,PF⊥BC,PD⊥AC, .P,E,A,D四点共圆，P,F,C,D四点共圆 .∠EDP=∠EAP,∠FDP=∠FCP, A,B,P,C四点共圆 .∴.∠BCP=∠BAP .∠EDP=∠FDP 点E,F,D在同一条直线上， 点F与点Q重合， ·EM∥AD, .△BEM∽△BAC,△EMF∽△DCF, EM EB ME EF 六ACAB'CDDF1 EM=EB·A AB ,ME=CD·EF DF EB·AC_CD·EF AB DF 4C_CD·EF,即AB_EB·DE ABDF·EB' ACCD·EF (1)证明：·CD⊥BE,.∠DOB=90° D0=0B,.∠0BD=∠0DB=45°， BD平分∠ABE, ∴.∠AB0=2∠0BD=90°， .OB⊥AB. 又.OB为⊙0的半径， AB为⊙0的切线； (2)解：：⊙0的直径为12，BM=3EM 0B=0C=2BE=6.EM=3,BM=9,0M=3, 在Rt△M0C中，MC=√OM+0C=35, :∠MOC=∠DFC=90°，∠MC0=∠DCF ∴.△MOC∽△DFC, FDr=W咖D.0c125 MO MC MC 5 (3)解：②正确，证明如下： B 第2题解图 析·云南数学 61 如解图，连接BC ·DC为⊙O的直径 .∠DBC=90°，由(1)知OB⊥AB. .∴∠ABE=∠DBC=90° ∴.∠ABE-∠DBE=∠DBC-∠DBE .∠ABD=∠CBM. .·四边形BCFD是⊙O的内接四边形 ∴.∠ADB=∠BCM, 又.CD⊥BE,DO=CO ·.DB=CB,.△ADB≌△MCB(ASA). ∴.AB=MB, 又.DC=BE .20D-AB=DC-AB=BE-BM=ME=5. 3.(1)解：AB为⊙0的直径！ .∠ACB=90°， .·BCFP, .∴.∠P=∠ACB=90°： (2)证明：如解图，连接OD交BC于点M, ,·D为劣弧BC的中点， .CD=BD, .OD⊥BC .∴.∠0MC=90°. BC//PF, ∴.∠ODP=∠OMC=90°， 第3题解图 ∴.OD⊥PF .·OD是⊙0的半径. .PF是⊙O的切线： (3)解：k=1正确，理由如下： 如解图，连接BD 由(2)知OD⊥DF, ∴.∠ODF=∠ODB+∠BDF=90° :AB为⊙0的直径， ∴.∠ADB=90°， ∴.∠ODB+∠AD0=90°. .∴∠ADO=∠BDF OD=0A. ∴.∠AD0=∠OAD .·.∠OAD=∠BDF ·∠F=∠F, .△FBD△FDA, DF DB AF-AD .DF·DA=AF·DB CD=CD .∠CAE=∠DBE. 又.∠CEA=∠DEB ∴.△CEA△DEB, AC CE ·BDDE1 ∴.AC·DE=DB·CE, 由DF.DA-k.4C:DE AF CE 62 参考答案与 得k=DF·D4 CE AF AC·DE k=DF·D4.CB AF·DBCE AF AC·DEAF DB·CE=1, 、存在常数k=1,使得DF·DA-k.AC,DE成立 AF CE 4.(1)解：四边形ACPD是⊙0的内接四边形， ∴.∠CAD+∠CPD=180°， .·∠CPD=120°. .∠CAD=180°-120°=60°； (2)证明：BE2=EA·ED, BE ED EABE' .·∠E=∠E ∴.△BED∽△AEB,∴.∠EBD=∠BAE, AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°，.∠BAD+∠ABD=90°， ∴.∠EBD+∠ABD=90°. ∠ABE=90°，.AB⊥BE OB为⊙0的半径∴BE是⊙0的切线； DF DF 1 (3)解：cP+Dp的值不改变，cP+DP2 理由如下： 如解图，在DP上截取DM=CP,连接BC,BM,BP, P B E 第4题解图 AB平分LCAD,.∠CAB=∠DAB :BC=BD,:.BC=BD, B=PB,.∠BCP=∠MDB, 在△PCB和△MDB中， (CP=DM, ∠PCB=∠MDB BC=BD, ..△PCB≌△MDB(SAS),.PB=MB .·BF⊥MP ∴.BF为△PBM的中线，∴.FP=FM, .∴.DP=DM+PM=DM+2FM, .·DF=DM+FM, DF DM+FM 1 CP+DP DM+DM+2FM 2 5.(1)证明：如解图，连接OD. ·AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°. .:CD是∠ACB的平分线 LACD=LBCD=LACB=45* ∴.∠AOD=2∠ACD=90°，.OD⊥AB ·DE∥AB,.OD⊥DE. .·OD为⊙0的半径， 重难题解析·云南数学 ·.直线DE是⊙O的切线： G 第5题解图 (2)解：如解图，延长CA至点G,使得AG=BC,连接 DB,DG, 由(1)知，∠ACD=∠BCD=2∠ACB=45°， :AD=BD ∴.AD=BD :四边形ACBD为⊙O的内接四边形. .∠DAG=∠DBC. 在△DBC和△DAG中 (DB=DA, ∠DBC=∠DAG, BC=AG. ·.△DBC≌△DAG(SAS), ∴.∠ADG=∠BDC,DC=DG ·AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°， .·∠ADC+∠ADG=∠ADC+∠CDB=90°， 即∠CDG=90°. ·△CDG是等腰直角三角形， .CG=√2CD CA+CB CA+AG CG CD CD CD =2 (3)证明：由(I)知，∠ACD=∠BCD=2∠ACB=45, ·∠CBA=∠CDA, .△BCF△DCA CB CF 六CD-ACAC·CB=CD·CE .∠DAB=∠BCD,∠ACD=∠BCD ∴.∠DAB=∠ACD. .·∠ADF=∠CDA, .△DFA△DAC DC即AD=CD·DF, DF AD 1 1 DF+CF AC·BC+AD=CD·CF+CD·DF=CD.CF.DF 1 =cF·DF 6.(1)解：.AB是⊙O的直径，四边形ADBC是⊙O的内接 四边形 ∴.∠ADB=∠ACB=90°， BC .BC=√3，∠CAB=60°，.AB sin∠CAB-2, 叉AD=BD,AD= AB=√Z: 2 参考答案与重难题 一战成名新中考 (2)证明：如解图①，连接OD 第6题解图① ·AB是⊙O的直径，.∠ACB=90° .AD=BD,∴.∠ACD=∠BCD=45°， .∠AOD=2∠ACD=90°， m=4c.c瓷80 又：∠ACD=∠BCD .△ACD∽△DCE,.∠ADC=∠E .·∠ADC=∠ABC, .∠E=∠ABC.AB∥DE .∠ODE=∠AOD=90°，.OD⊥DE, :OD是⊙O的半径，∴.DE是⊙O的切线： (3)解：解法一：如解图②，过点P作PH⊥AD于点H,过 点D作DM⊥AP于点M,DN⊥PB交PB的延长线于 点N, 0 第6题解图② .∠AMD=∠BND=90° ·四边形ADBP是⊙O的内接四边形 .∴.∠PAD=∠NBD. 在△ADM和△BDN中， 「∠AMD=∠BND. ∠MAD=∠NBD. AD=BD. .△ADM≌△BDN(AAS), .'AM=BN, .AP+PB=PM+AM+PB=PM+BN+PB=PM+PN. 由(2)知∠ACD=∠BCD=45°， .∴.∠APD=∠DPN=45°， ÷PM=PN=5pD 2 .AP+PB=PM+PN=√2PD Sao咖=2D·PH,AD长是定值， .当PH最大时，Sa4m最大，即当PH经过点O时，PH最 大，此时PH垂直平分AD. .PA=PD,.PD+PB=√2PD,即PD+1=√2PD ∴.PD=√万+1. 析·云南数学 63 解法二思路：由托勒密定理可得，AD·PB+AP·B ·AB, 由解法一知PA=PD, ,∠BAD=∠ABD=45°，∠BDA=90°， .AB=√EAD=√∑BD .PB=1,.AD+PD·AD=PD·√2AD .1+PD=√2PD.解得PD=√2+1. 7.(1)解：：四边形ABPC是⊙O的内接四边形， ∴.∠CAB+∠CPB=180°， 又.·∠CAB=30°. .∠CPB=180°-∠CAB=150°； (2)证明：EC2=ED·EA, 0 EC ED ∠E=∠E, ∴.△ECD∽△EAC,∴.∠CDE=∠ACE .AC是⊙0的直径，.∠ADC=90°， 又.·∠ADC+∠CDE=180°. .∠CDE=180°-∠ADC=90°， ∴.∠ACE=∠CDE=90°，∴.OC⊥CE, .0C是⊙0的半径. .直线EC与⊙0相切： (3)解.4-2Bp CP的值不改变，P-2B =5 CP 理由如下：解法一：如解图，过点B作BF⊥BP,交 点F,则∠FBP=90°， D 第7题解图 ,·AC是⊙0的直径， ∴.∠ABC=90°，∴.∠ACB+∠CAB=90° .·.∠ACB=90°-∠CAB=90°-30°=60° .'tan LACB= AB CR-3 AB=AB. .∠APB=∠ACB=60°，即∠FPB=60°， ,在Rt△FBP中，∠FPB+∠PFB=90°， .∴.∠PFB=90°-∠FPB=90°-60°=30°. .PF=2BP ∴.AP-2BP=AP-PF=AF, .·∠AFB+∠PFB=180°， .∠AFB=180°-∠PFB=180°-30°=150°， 由(1)知∠CPB=150°， .∠AFB=∠CPB, BP=BP. 64 参考答 D=PD .∴.∠PAB=∠PCB,即∠FAB=∠PCB, △FAB∽△PCB, g-5即4P-2 CP CB =5. CP 解法二思路：利用托勒密定理可得，AP·BC=CP·AB+ BP·AC,① .Rt△ABC中，∠CAB=30°， .AC=2BC,AB=√5BC,代入①可得AP=√3CP+2BP, 即1P2B =3 CP 8.(1)证明：如解图，连接OA. .·BC是⊙O的直径，AG⊥OB ..AG=GD,AB=BD. .∴.∠BDA=∠BAD=∠ACB .·0A=0C .∴.∠OAC=∠ACB ·∠EAB=∠BDA, ∴.∠OAC=∠EAB. :BC是⊙O的直径， .∠BAC=90°，.∠0AC+∠0AB=90°. ∴.∠EAB+∠OAB=90°，∴.∠OAE=90°， .0A⊥AE, 0A是⊙0的半径， .AE是⊙0的切线； AP于 第8题解图 (2)解：.BC=6,BC是⊙0的直径 ∴.0B=0C=0A=3, .∵EB=2, .0E=5, .·OA⊥AE,AG⊥OB, .AE=√0E-0A=4, ySa0E=20A·AE=20E·AG, 0A·AE=0E·4GAG=01·AE_12 OE 5 9 ...0G=VOA2-AG2 = 5 ∴.BG=OB-OG= 6 ·AB=VAG+BG_6, 5 由(1)知：B=mBD=AB=65 (3)解：BC是⊙O的直径， 与重难题解析·云南数学 六∠BAC=90,tanL4ACB=45-1 ΓAC2· .AG⊥OB,∴.CD=AC,BD=AB ∴.设AB=k,则CD=AC=2k,BD=AB=k, 0 m2 m FC=FD+CD-22 .·四边形ABDC为⊙O的内接四边形 .∠FBD=∠ACD.∠FDB=∠BAC,.△FBD∽△FCA. 2k FD DB m k 六FAAC心FA2k ·A=4 m 0号 m 9.(1)解：∠ABC的度数为125°；【解法提示】AC=AD, ∠CD=70,:∠A0c=∠AcD=×(1802-∠CD)= 55°，.∠ABC=180°-∠ADC=180°-55°=125°. (2)证明：如解图①，连接AP, .·AF是⊙0的直径. ∴.∠APF=90°，∴.∠APQ=90° A00m.即号00-∠0， .△QAF∽△QPA,∴.∠QAF=∠APQ=90°，∴.OA⊥AQ, .OA是⊙0的半径， ∴.直线AQ是⊙0的切线： M(N) 图① 图② 第9题解图 (3)解：DM=BC正确.理由如下：如解图②，在BD上截 取点N,使得DN=CB AB=AB,.∠ADN=∠ACB、 在△ADN和△ACB中， DN=CB ∠ADN=∠ACB, AD=AC. .△ADN≌△ACB(SAS),.AN=AB AC⊥BD,∴.NE=BE, AD=AD.∠ACD=LABD 参考答案与重难题 一战成名新中考 .∠ACD=∠ABD,∠ACB=∠ADB tan∠ACD tan.∠ABD 二4， 'tan∠ACB tan∠ADB ·.在Rt△ADE和Rt△ABE中 AE AE BE'DE 4,化筒得-4， E-配器子 ..AD'=DE+AE,AB2=BE+AE AD2-AB"DE+AE-(BE+AE) ·n-BD·BC BD·BC DE-BE (DE+BE)DE-BE) BD·BC BD·BC _BD(DE-NE) BD·BC BD·DN BD·BC DN=CB,∴n=1, 2 :mn=5' BM 2 BN BM 2 六m=BD=5BDBD51 ∴.点N与点M重合，∴.DN=DM=BC 10.(1)解：AB是⊙O的直径，CD⊥AB, AC=AD,..AD=AC=4; (2)证明：.·AC=AE,.∠ACE=∠AEC, :A=, ∴.∠ACE=∠EBM, 又·∠AEC=∠BEM. .∠EBM=∠BEM, .·BM=MN, ∴.∠MBN=∠MNB ·.∠BEM+∠EBM+∠MBN+∠MNB=180° .2∠EBM+2∠MBN=180°， ∴.∠EBM+∠MBN=90°，即∠EBN=90°， .OB⊥BN, ·OB是⊙0的半径 .BN是⊙O的切线； (3)解：CE+EM=EMP正确， 理由如下：如解图，连接DE AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB, 第10题解图 .AB垂直平分CD, .EC=ED,∠AEC=∠AED 由(2)知，∠AEC=∠BEM,∠EBM=∠BEM, 星析·云南数学 65 ∴.BM=EM,∠AED=∠EBM,∴.ED .△EDF∽△MBF EF ED FM BM .·FM=1,.∴.EF=EM-MF=EM-1. ED =EC.BM=EM EM-1 CE 1EM .CE=EM(EM-1)=EM--EM .CE+EM=EM. 11.(1)证明：D是CB的中点， .C⑦=BD,.∠CAD=∠BAD, .OA=OD. ∴.∠BAD=∠ODA. .∴.∠CAD=∠ODA. .∴.AC∥OD (2)证明：如解图，连接OC. BG⊥AB, .∠OBG=90°， C⑦=D,∠B0D=∠C0D, 在△OBG和△OCG中， 0B=0C. ∠BOD=∠COD 0G=0G. .∴.△OBG≌△OCG(SAS), .∠OBG=∠0CG=90°. ∴.OC⊥CG .0C是⊙0的半径， .CG是⊙0的切线： (3)解：AB+AC=√了AD,理由如下 接BD, AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠ADB=90° .AC∥OD .∠OFB=∠ACB=90° .BC⊥OD :F是OD的中点 .BC是OD的垂直平分线， 点B在BC上 .BD=BO. 又：OD=OB,.OD=OB=BD .△OBD是等边三角形 .∴.∠OBD=∠BOD=60° .∵ODAC. .∠OAC=BOD=60 .·0A=0C. .△OCA是等边三角形 ∴.OA=0C=AC, 66 /BM. .OA=OD...AC=BD R△ABD中，sin∠ABD= AB,tan∠ABD=AD BD AD 23 ∴.AB= AD.BD= sin60°3 tan60°-3 AR+BD=2 -AD+- AD=√3AD. 3 3 又，AC=BD, .AB+AC=√3AD 解法二思路：连接CD,BD,构造圆内接四边形ACDB,利 用托勒密定理也可求解。 12.(1)证明：DN⊥AB .∠BFD=90°， GD GK GMGA∠DGK=LMGA, ∴.△DGK∽△MGA. .DK//MA ∴.∠BAM=∠BFD=90°， ∴.OA⊥AM .·OA是⊙0的半径. ∴.AM是⊙O的切线： (2)解：如解图，连接AD, 由(1)知△DGK△MGA, 第11题解图 GD 1 GM2,M=6, DK-GD即DK1 MA GM' 6-2 ∴.DK=3, .DN⊥AB,AB是⊙O的直径， 第12题解图 .AD=AN 0D⊥AC,0D是⊙0的半径， 解法一：如解图，连 D=C⑦」 =⑦. ∴.∠ADN=∠CAD ..AK=DK=3; (3)解.BG+6C的值是定值， G+GM=1. BM BM 如解图，·AB是⊙O的直径，OD⊥AC, ∴.∠C=∠DEG=90°， BC·EG=CG·DE,即BC_CG DE EG ∴.△BCG∽△DEG. ∴.∠BGC=∠DGE. .·G是AC上一点 .∴∠BGC+∠BGA=180°. ∴.∠DGE+∠BGA=180° ∴.点B,G,D在同一条直线上 ∴.BG+GM=BM. BG+GM BM =1. 参考答案与重难题解析·云南数学