专项4 阅读拓展1 四点共圆&阅读拓展2 托勒密定理-【一战成名新中考】2026云南中考数学·二轮复习·专项分层提升练

一战成名新中考 阅读拓展1四点共圆 模型解读 情形1：对角互补 情形2：定线段同侧有等角 D D 结论：点A,B,C,D在同一个圆上，圆内接四边形的对角互补 考法基础练刀 1.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，则∠BAC的度数为 第1题图 第2题图 2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAC=∠BDC=50°，则∠ADB的度数为 3.如图，AF是⊙0的直径，B,C是⊙O上两点，AB与AC的延长线分别交过点F的切线于点D,E. 求证：B,C,D,E四点共圆。 D 第3题图 专项分层提升练·云南数学 45 阅读拓展2托勒密定理 内容：圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和 已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O. 结论：AB·DC+AD·BC=AC·BD. EO 图1 图2 证明：如图2，作∠BAE∠C40交BD于点E,“AD=AD B乙ABF=∠ACD.△ABE△ACDG4AB:DG1G:BE面 ,∠BAE=∠CAD,∴.∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC,∴.∠BAC=∠EAD. AB=AB,∠ACB=∠ADE,.△ABC∽△AED, 小G-0-=Cmg ①+②，得AB·DC+AD·BC=AC·BE+AC·ED=AC·(BE+ED)=AC·BD, .AB·DC+AD·BC=AC·BD. 【应用】1.当△ABC是等边三角形时： (1)如图3，当点D在AC上时，DB·AC=AD·BC+AB·CD.又，AB=AC=BC,.DB=DA+DC 0 D 图3 图4 (2)如图4，当点D在BC上时，AD·BC=DB·AC+AB·DC.又：AB=AC=BC,.DA=DB+DC 2.当△ABC是等腰直角三角形时： (1)如图5，当点D在BC上时，AD·BC=AB·CD+AC·BD.又：AB:AC:BC=1:1:W2,.2AD= BD+CD. (2)如图6，当点D在AC上时，AC·BD=AB·CD+AD·BC,又AB:AC:BC=1:1:2,BD= 2AD+CD. 图5 图6 图7 3.当△ABC是三股三角形时，如图7，若记BC:AC:AB=a:b:c,根据托勒密定理可得：a·AD=b·BD+ e·CD 46 专项分层提升练·云南数学 一战成名新中考 考法基础练 1.(1)如图①，四边形ABCD内接于⊙0，BD平分2.(1)如图①，四边形ABCD内接于⊙O,BC是 ∠ABC,∠COD=120°，求证：BD=AB+BC: ⊙0的直径，若AB=AC=√5，CD=1,则 (2)多解法如图②，四边形ABCD内接于⊙O, AD的长为 AB=3,AD=5,∠BAD=60°，C为BD的中 (2)如图②，已知Rt△4BC内接于⊙0，∠ACB= 点，则AC的长为 90°，AC=6,BC=8,CD平分∠ACB交⊙O 于点D,连接AD,BD,则CD的长为 0 (3)在(1)的条件下，如图③，设对边BA,CD C 的延长线的交点为P,求PA,PD的长 图① 图② B 0 C D 备用图 图① 图② 图③ 第1题图 第2题图 专项分层提升练·云南数学 47∴点T与点E重合，∴.C,E,B三点共线 由已知得点E在点C,B之间，.CE+EB=CB D 例题解图① 例题解图② 解法二：角度和等于180° 如解图②，过点E作EP⊥AC于点P,连接BD并延长交 AC的延长线于点I,连接AD .:CA=CD,∠CAD+∠DAB=90°，∠DAB+∠DBA=90°， ∠I+∠ABD=90°，∠CDI+∠CDA=90° .∴.∠CAD=∠CDA=∠DBA. ∴.∠I=∠CDI,∴.CD=CI=CA, .∠BAM=∠AHD=90°， .∴AIHD..△HBD∽△ABI B-那=职即B职 BA IA 2AC AC'BA AC BH HE 六BA-BAC-HE 又.EP⊥AC,OA⊥MC .四边形APEH为矩形 .·AP=HE,AH=PE,∠PEH=90° BH HE .A-BHAC-AP,即G PE PC 又.∠BHE=∠EPC, ·.△PCE∽△HEB. ·.∠PCE=∠HIEB .∠PCE+∠PEC=90°， .∴.∠PEC+∠HEB=90°. .∴.∠PEC+∠HEB+∠PEH=180° ∴B,C,E三点共线 由已知得点E在点C,B之间， ∴.CE+EB=CB. 解法三：同角的三角函数值相等 如解图③，连接OC,OD,DB 在△AOC和△D0C中. (CA=CD, 0C=0C. OA=OD. .△A0C≌△D0C(SSS), ∴.∠AOC=∠D0C= 2A0D. 例题解图③ 又·OB=OD ∴.∠OBD=∠ODB, ,∠AOD=2∠OBD」 60 参考答案与重天 .∠AOC=∠OBD i.m 1 HD 在Rt△HBE中，tan LHBE=那B=2· 2tan∠HBD= 1 an∠Aoc. 1 ACAC 1 在Rt△ABC中，tan∠ABC AB2A02tan∠A0C, ·.tan∠HBE=tan∠ABC. .∠HBE=∠ABC, A,H,B三点共线， B,C,E三点共线 由已知得点E在点C,B之间， .CE+EB=CB. 阅读拓展1四点共圆 考法基础练 1.25°2.70 3.证明：如解图，连接BF, ·AF为⊙O的直径，DE与⊙O相切于点F ∴.AF⊥DE 点B在⊙O上， ∠ABF=90° ∴.∠AFB+∠BAF=∠D+∠BAF=9O°， .∴.∠AFB=∠D, 第3题解图 ·∠AFB=∠ACB,.∠ACB=∠D, .·∠ACB+∠BCE=180°， .∠D+∠BCE=180°. B,C,D,E四点共圆. 阅读拓展2托勒密定理 考法基础练 1.(1)证明：如解图①，连接AC. .·∠C0D=120°. ∴.∠CBD=∠CAD=60°， ·BD平分∠ABC, ∠ABD=∠CBD=60°， 第1题解图① .∠ABD=∠ACD=60°， .△ACD是等边三角形，.AC=AD=CD, ·四边形ABCD是⊙O的内接四边形， AC·BD=AB·CD+BC·AD,(此处省略托勒密定理证 明过程) .∴.AC·BD=AB·AC+BC·AC, .∴.BD=AB+BC: (2)解：8【解法提示】解法一：如解图②，连接BD,过 点C作CE⊥BD于点E,则BD=2DE.,四边形ABCD是 ⊙O的内接四边形，.∠BAD+∠BCD=180°，·∠BAD= 60°，.∠BCD=120°，C为BD的中点，.CD=CB, ∠CDB=30°，在Rt△CDE中，cos30°= D.DE=3 DE CD. ∴.BD=2DE=√3CD,由托勒密定理，得AC·BD=AD·BC 题解析·云南数学 83 +CD·AB,.AC·√3CD=5CD+3CD,.AC= 3 / 图② 图③ 第1题解图 解法二：如解图③，过C作CE⊥AD于点E,CF⊥AB交 AB延长线于点F,则∠BFC=∠DEC=90°，：C为BD的 中点，.C⑦=C,.CD=CB,∠BAC=∠DAC=30°，.CE =CF,AF=AE=AC·cos30°，.Rt△FBC≌Rt△EDC (HL...BF=DE...AD=AE+DE=AF+DE=AB+BF+DE= AB+2BF,.AB=3,AD=5,.5=3+2BF,解得BF=1, AF=4,∠MC=30°，∠AFC=90°AC=AE-85 cos30°3 2.解：(1)2；【解法提示】小BC是⊙0的直径，∠BAC= ∠BDC=90°，.AB=AC=√W5,.△ABC是等腰直角三角 形，.BC=√2AB=√I0,又：CD=1,.在Rt△BDC中， BD=√BC-CD=√（√0）2-12=3，由托勒密定理，得 AB·CD+AD·BC=AC·BD,即V5×1+AD×√I⑩=√5×3， 解得AD=√2. (2)72:【解法提示】∠ACB=90°，AC=6,BC=8, ∠ADB=90°，AB=√AC+BC=10,CD平分∠ACB交 ⊙O于点D,∠BCD=∠ACD,BD=AD,∠ADB= 90°，△ABD是等腰直角三角形，∴BD=AD=号AB 52,四边形ACBD内接于⊙0，.由托勒密定理，得AB ·CD=AC·BD+AD·BC,即10CD=6×5V2+8×52, CD=72. (3)由题意，易得∠PAD=∠PCB,∠P=∠P PA PD AD ÷△PAD△PCB,PC-PB BC 设PA=x,PD=y,则x=y=2 y+15+x√0 条得-5，子A- 、3 2,PD=2 综合训练 1.(1)解：∠PBC与∠PAC是PC所对的圆周角，∠CBP= 25°，..∠PAC=∠CBP=25°： (2)证明：如解图①，连接P0并延长交⊙0于点G,连 接CG, 点P是⊙0上的一点， ·.PG是⊙O的直径. .∴.∠PCG=90°， .∠CGP+∠GPC=90°. .·∠CPD=∠CBP,∠CBP=∠CGP ∴.∠CPD=∠CGP 参考答案与重难题解 一战成名新中考 .∠CPD+∠GPC=90°， .∠GPD=90°，.OP⊥PD 0P是⊙0的半径， .PD是⊙O的切线； F(O) 第1题解图① 第1题解图② (3)证明：如解图②，过点E作EM∥AD,交BC于点M, 连接ED交BC于点Q, PE⊥AB,PF⊥BC,PD⊥AC, .P,E,A,D四点共圆，P,F,C,D四点共圆 .∠EDP=∠EAP,∠FDP=∠FCP, A,B,P,C四点共圆 .∴.∠BCP=∠BAP .∠EDP=∠FDP 点E,F,D在同一条直线上， 点F与点Q重合， ·EM∥AD, .△BEM∽△BAC,△EMF∽△DCF, EM EB ME EF 六ACAB'CDDF1 EM=EB·A AB ,ME=CD·EF DF EB·AC_CD·EF AB DF 4C_CD·EF,即AB_EB·DE ABDF·EB' ACCD·EF (1)证明：·CD⊥BE,.∠DOB=90° D0=0B,.∠0BD=∠0DB=45°， BD平分∠ABE, ∴.∠AB0=2∠0BD=90°， .OB⊥AB. 又.OB为⊙0的半径， AB为⊙0的切线； (2)解：：⊙0的直径为12，BM=3EM 0B=0C=2BE=6.EM=3,BM=9,0M=3, 在Rt△M0C中，MC=√OM+0C=35, :∠MOC=∠DFC=90°，∠MC0=∠DCF ∴.△MOC∽△DFC, FDr=W咖D.0c125 MO MC MC 5 (3)解：②正确，证明如下： B 第2题解图 析·云南数学 61