专项4 考法总结&辅助线大题小练-【一战成名新中考】2026云南中考数学·二轮复习·专项分层提升练

一战成名新中考 3.解：(1)当a=2时，y=2x2-4x+2-1=2x2-4x+3, 4.解：(1)x1=1,y1=y2, 将二次函数的解析式化成顶点式为y=2(x-1)2+1, M(x1y1),N(x2,y2)关于直线x=t对称， ·该函数图象的顶点坐标为(1,1)： 1+x2 (2).函数y=ax2-4x+a2-1的图象经过点(0,0)， .2 =t,∴x2=2t-1; ∴.a2-1=0,∴.a=1或a=-1<0(不符合题意，舍去)， (2)M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0) y=x2-4x=(x-2)2-4,其图象的对称轴为直线x=2, 上任意两点， x=-1时的y值与x=5时的y值相等，为(-1-2)2-4=5， ..y=axj+bx+c,y2=axz+bxz+c, 如解图，由二次函数的性质可知，当x<2时，y随x的增 对于-t<x1<1-t,2t-2<x2<2t-1,都有y1>y2, 大而减小：当x>2时，y随x的增大而增大 y1-y2>0,即ax+bx1+c-(ax号+bx2+c)>0, 则分以下两种情况： ax-ax+bx1-bx2>0,即[a(x,+x2)+b](x1-x2)>0, ①若-1≤t≤5，则在-1≤x≤t内，当x=-1时，y的值 ·:抛物线的对称轴为直线x=t, 最大， .2a t,∴.b=-2at, [a(x1+x2)-2at](x1-x2)=a(x1+x2-2t)(x1-x2)>0, .a>0. .(x1+x2-2)(x1-x2)>0. ①当1-x2>0,且x1+x2-2>0时， x1>x2,且x1+x2>2t, :-t<x1<1-t,2t-2<x2<2t-1, 第3题解图 .∴.-t≥2t-1,且-t+2t-2≥2t, 4t=5, ∴t≤-2； 解得1=子行合题意： ②当x1-x2<0,且x1+2-2<0时， 1<x2,且x,+x2<2t, ②若>5，则在-1≤x≤t内，当x=t时，y的值最大， :-t<x1<1-t,2t-2<x2<2t-1, .t-4t=4t .1-t≤2t-2,且1-t+2t-1≤2t 解得t=8或t=0<5(不符合题意，舍去). .t≥1. 综上1的值为子或8 综上，t的取值范围为t≤-2或t≥1. 专项4 压轴题—圆 辅助线大题小练 =1000的半径=D=5 3 针对训练 1.43【解析】如解图，连接AB,·AC⊥BC,.∠ACB= 90°，AB为⊙0的直径，：⊙0的半径为4，AB=8,: ∠ADC=30°，.∠ABC=∠ADC=30°，.在Rt△ABC中， BC=AB·cos30°=8x c -=45. 2 第3题解图 第4题解图 4.63°【解析】如解图，连接OA,OA=0C,.∠0AC= D ∠C=15°，.：∠BAC=48°，.∴.∠0AB=48°+15°=63°， 0A=0B,.∠B=∠OAB=63°. 5.8【解析】如解图，过点O作OC⊥AB于点C,连接OA, 0B,则∠0C4=90,M0=6,∠0M=30°0C=7M0= 第1题解图 第2题解图 3,在Rt△0CA中，由勾股定理得AC=√OA-0C= 2.36°【解析】如解图，连接BD,CD是⊙0的直径， √S-3=4,0A=0B=5,0C⊥AB,.BC=AC,.AB= ∴.∠CBD=90°，.∠BCD=54°，∴.∠D=90°-∠BCD= 2AC=2×4=8. 36°，∴.∠A=∠D=36° 3.5【解析】如解图，连接B0并延长交⊙0于点D,连接 CD,则BD是⊙0的直径，∠BCD=90°，∠D=∠A, .'sinD=sinA=- 在R△BCD中，BC=6,BD=BC 3 sinD 第5题解图 参考答案与重难题解析·云南数学 57 6.证明：如解图，连接0D .OA=OB,∴.∠OAB=∠ABC(等边对等角) OD=0B 又.·∠PAC=∠ABC,∠PAC=∠OAB .∠1=∠ODB ∴.∠PAC+∠OAC=90°，即∠OAP=90°，∴.OA⊥AP .∴.∠D0C=∠1+∠0DB=2∠1. 0A为⊙0的半径，.AP是⊙0的切线； 又.∠A=2∠1， .∠D0C=∠A 第6题解图 .·∠ABC=90°， .∴.∠A+∠C=90° .∠D0C+∠C=90°， .∠0DC=90° 例2题解图① 例2题解图② .OD⊥DC, (2)解：如解图②，延长A0交BD于点M, 又：OD是⊙0的半径 .·∠OAP=90°，AP∥BD .AC是⊙0的切线 .∠AMB=∠OAP=90° 7.证明：如解图，过点0作OH上AB于 .OM⊥BD 点H, BD=4, .·∠ACB=90°， :.根据垂径定理，得BM=DM=2BD=2,:A/BD, .OC⊥BC. .·B0为∠ABC的平分线，OH⊥AB. ·△APO∽△MBO(平行型相似)， B .∴.0H=0C, 第7题解图 .0H为⊙0的半径 微品空 .AB为⊙0的切线. ∴.设OA=√5x,0M=x,则0B=0A=√5x 教材母题变式1共角+平行模型 在Rt△MBO中，由勾股定理，得OM+BMP=OB2 典例精讲 即x2+22=(5x)2(勾股定理的重要应用： 例1解：直线DE与⊙0相切，证明如下： 两线段可用同一未知数表示)，解得x,=1,:=-1(舍去)， BD为⊙0的直径，点C在⊙0上， .0B=0A=0C=5x=W5 ·.∠BCD=90°（直径所对圆周角是90°）， ·.0P=√50B=5,.PC=0P-0C=5-√5 .BD=BC·BE, ·8配那（线段乘积关系转化为比例关系）， BD BE 变式解：存在点E,使得0=A0,此时的值 :∠CBD=∠DBE(公共角)， .△BCD∽△BDE(两边对应成比例及夹角相等 假设存在点E,使得AD=AO,则AD=AO=BO=2, 共角型相似)， 如解图，延长A0交BC于点F,:AB=AC,.AB=AC, .∠BDE=∠BCD=90°，∴.OD⊥DE, 又：⊙O是△ABC的外接圆，∴AF垂直平分线段BC, .OD是⊙0的半径， ∠DAE=∠ACB,∴.AD∥BC :直线DE与⊙O相切 .AD⊥AF,∴.∠OAD=90° 变式解：：AB为⊙O的直径，AD⊥BC, A0=AD,D0=√2A0=22,∠D=∠A0D=45 又.·DE⊥AC,∴.∠CED=∠CDA=90°， .∠B0F=∠A0D=45°， :∠C=∠C(公共角)， AF⊥BC,且AF经过点O, ·.△CDE∽△CAD(两角分别相等一共角型相似)， ∴.∠0BF=∠B0F=45°， CD CE CA CD' oF=BF= 2B0=2, B .CD=CA·CE(线段比例关系转化为乘积关系)， .BC=2BF=2√2. 变式题解图 AB=AC,.CD=BD=25(等腰三角形三线合一)， :AD∥BC, 又AE=1 ..△ADE∽△CBE. ·CA·(CA-1)=20,解得AC=5或AC=-4(舍去)， AD DE 00的半径=裙=4c=25 CB BE' 2 DE 例2(1)证明：如解图①，连接OA. 2√2B0+(D0-DE) ·BC为⊙O的直径 2 DE :∠BAC=90°，.∠OAB+∠OAC=90°， 2√22+(2W2-DE) 58 参考答案与重难题解析·云南数学一战成名目 专项4压轴题— 圆 (每年考1道解答题，8~12分) 全国常考几何模型加练 ■考法总结近5年圆的解答题，按设问分析如下： 1切线的判定必考，具体分析如下： 年份+题号 已知条件 判定方法 辅助线 角相等， 连圆心 2025.27(2) 利用等角转换证垂直 直径所对圆周角(90) 与切，点 线段乘积等量关系， 2024.27(2) 利用其他型相似证垂直 直径所对圆周角(90) 线段乘积等量关系， 利用其他型相似+平行证 连圆心 2023.23(1) 直线垂直关系 垂直 与切，点 线段平方、乘积等量关系， 2022.23(1) 利用共角型相似证垂直 直径所对圆周角(90) 连圆心 2021.22(1) 角相等，直线垂直关系 利用等角转换证垂直 与切点 2.其他计算证明类设问具体分析如下： 相似或 年份+题号 已知条件 解题方法+设问 全等模型 2025.27(1) 相等线段，60° 等边三角形的判定，求角度 角平分线，圆内 已知等角、等线，作等角等线构造相似或全等 共角型、对 2025.27(3) 接四边形 来证明线段之间数量关系 角互补型 2024.27(1) 直径 直径所对圆周角是90°，求角度 利用相似、平行、三角函数等实现线段之间关 相等线段，直 平行型、 2024.27(3) 系的推导或结合等角代换得到互补的角，证明 角，线段中点 其他型 三点共线 三角形面积倍 利用面积计算公式转化为线段比值问题，求常 2023.23(1) 平行型 数关系 数m的值 圆内接四边形 利用相似或全等转化得到线段比例关系，判断 对角 2022.23(1) 是正方形 线段比值定值是否成立问题 互补型 线段长，线段 利用相似将已知线段长、线段比值和所求线段 2021.22(1) 平行型 比值 联系起来，求线段长 专项分层提升练·云南数学 33 辅助线大题小练(8年6考) )>类型1遇到直角或直径，咋思考(2024.27,2020.20) 解题通法 图示 B 0 2 辅助线 B 0 B 连接A0并延长交⊙0 连接AB 连接BC 于点C,连接BC 结论 AB是直径 ∠C=90° ∠B=90° 应用 勾股定理、两角互余 @针对训练 1.如图，点A,C,B,D在⊙0上，AC⊥BC,⊙0的半径为4，∠ADC=30°，则BC的长为 D B 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，△ABC内接于⊙0，CD是⊙0的直径，∠BCD=54°，则∠A的度数是 3如图，©0是△ABC的外接圆，1-子BC=-6,则©0的半径等于 >类型2遇到弦，咋思考(2018.22) 解题通法 图示 B 连接OA,OB 连接OB,作OC⊥AB于，点C 辅助线 构造等腰三角形 构造直角三角形 结论 ∠OAB=∠OBA AC=BC.OB2=OC2+BC2 34 专项分层提升练·云南数学 一战成名新中考 @针对训练 4.如图，点A,B,C均在⊙0上，若∠A=48°，∠C=15°，则∠B= B 第4题图 第5题图 5.如图，⊙0的半径为5，M是⊙0外一点，M0=6,∠OMA=30°，则弦AB的长为 >类型3证明切线时，咋思考(2025.27,2023.23,2021.22,2020.20,2018.22) 方法解读：若有公共点，连半径，证垂直；若无公共点，作垂直，证与半径相等 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD,使∠A=2∠1，E是BC上的一点， 以BE为直径的⊙O经过点D. 求证：AC是⊙O的切线 连接 选择证∠C+ 已知∠C+ 寻找∠A与 ∠A=2∠1， 【题意分析】 得证 OD ∠D0C=90° ∠A=90° ∠DOC的关系 ∠D0C=2∠1 第6题图 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，B0为∠ABC的平分线，以点0为圆心，OC长为半径作⊙0与线 段AC交于点D.求证：AB为⊙O的切线 过，点O作AB 已知BO为∠ABC的平分线， 利用角平分线 【题意分析】 得证 的垂线OH ∠ACB=90° 性质证OH=OC B 第7题图 专项分层提升练·云南数学 35