专项4 教材母题变式1 共角+平行模型-【一战成名新中考】2026云南中考数学·二轮复习·专项分层提升练

教材母题变式1共角+平行模型 (2025.27,2024.27,2023.23,2022.23,2021.22) 典例精进 例1[2022云南23题改编·人教九上P80例1]如图，四边形ABCD 共角模型 的外接圆是以BD为直径的⊙O,延长BC至点E,使BD=BC· 【寻找模型】一基础图形 BE.试判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论 【逆向思维引导】要判断直线DE与⊙0的位置关系，题干只给了直 径BD(∠BCD=90),由已知BD2=BC·BE想到转化为比例式 B 肥能生成左边盟△念点支更△，面有计运明 已知：BD=BC·BE △BCD∽△BDE刚好可以得到∠BDE=∠BCD=90 隐含条件：∠B是公共角 A D 【抽离模型】 例1题图 【解决模型】 结论：△BCD△BDE 基本方法：已知线段乘积关系， 转化为比例式，找夹角相等 变式[北师九下PI04第8题改编]如图，△ABC中，AB=AC,以AB 为直径的⊙O交BC于点D,连接AD,作DE⊥AC于点E.若 BD=25,AE=1,求⊙0的半径. 【逆向思维引导】要求⊙O的半径，已知AB=AC,AE,BD的长，易推 解题通法 知CD=BD,则把所求线段转化到△CAD中，且在△CDE和△CAD 【解题关键点】将所求转化到同 中有公共角∠C,有90°，利用相似可得线段比例（乘积）关系，从而 一个或两个三角形中，该三角形 得解. 已知内角度数或线段长或相 关量 【转化方法】乘积式变比例式， 找等角，找等边，同角或等角三 角函数 笔记区 变式题图 36 专项分层提升练·云南数学 一战成名新中考 例2[人教九上P124第13题改编]如图，△ABC内接于⊙0，BC 平行模型 是⊙O的直径，在BC的延长线上取一点P,使得 【寻找模型】一基础图形 ∠PAC=∠ABC. P 已知：BD/∥AP,∠OAP=90° 例2题图 【抽离模型】 (1)求证：AP是⊙0的切线： 【逆向思维引导】要证AP是⊙0的切线，第一步作辅助线：连半 径；第二步：需要证∠OAP=90°.易知∠BAC=90°，∠BAC和∠OAP 存在公共角∠OAC,则只需证明∠PAC=∠OAB;OA=OB结合 ∠PAC=∠ABC即可得证. 【解决模型】 结论：△APO∽△MB0 基本方法：已知平行，即得相似 (2)过点B作BDAP交⊙O于点D,连接AD交BC于点E,若 AP=25,BD=4,求PC的长 【逆向思维引导】要求PC的长，考虑在△APO中求解，给出BD的 【答疑解惑】为什么不考虑证明 长，考虑作辅助线：延长AO交BD于点M,继而可利用BD∥AP得 △APE∽△DBE,因为OE,EC AAPOAMBO得到线段比例送系，再根据OB,OM的关系利用勾 的长无从得知，转化一定要转化 到已知线段长、易求线段长的三 股定理求解. 角形中 专项分层提升练·云南数学 37 变式结合等腰三角形[人教九上P89第3题改编]如图，⊙0是【解题关键点】存在性问题的讨 论，第一步是假设结论成立，看 △ABC的外接圆，⊙0的半径为2，AB=AC,过点A的直线与B0 求解出的结果是否与题于已知 的延长线交于点D,BD交AC于点E,且∠DAE=∠ACB,连接 矛盾。 OA,OC.是否存在点E,使得AD=AO?若存在，求 S△A0E的值； 【逆向思维引导】假设存在点E, 若不存在，请说明理由。 使得40三A0要求的值， S AAOD D 观察得这两个三角形以A0为 公共底边时，各自的高不好求； 以点A到OD的距离为公共高 时，需求OE,OD的长. 类比例2作辅助线：延长A0 变式题图 交BC于点F,AD=A0,A0的长 已知，结合∠DAE=∠ACB(即 AD∥BC),可得等腰R△AOD 及较多线段长度，再类比例2得 到AADE一ACBE,即可求出 0E,0D的长. 题后反思 (1)判定切线时是否掌握做题 方法？该怎样作辅助线？ (2)怎样利用相似、逆向思维及 转化思想架起设问与已知的 桥梁？ 38 专项分层提升练·云南数学6.证明：如解图，连接OD .·OD=OB .∠1=∠ODB ∴.∠D0C=∠1+∠0DB=2∠1， 又.∠A=2∠1， ∴.∠DOC=∠A. 第6题解图 .·∠ABC=90°， ∴.∠A+∠C=90°」 .∴.∠D0C+∠C=90° .∠0DC=90°， ∴.OD⊥DC, 又.OD是⊙0的半径 .AC是⊙0的切线 7.证明：如解图，过点0作OH⊥AB于 点H, .:∠ACB=90° .OC⊥BC. .·BO为∠ABC的平分线，OH⊥AB. .OH=OC, 第7题解图 .0H为⊙0的半径 ∴.AB为⊙0的切线 教材母题变式1共角+平行模型 典例精讲 例1解：直线DE与⊙0相切，证明如下： :BD为⊙0的直径，点C在⊙0上， .∴.∠BCD=90°（直径所对圆周角是90°）， :BD=BC·BE, 六B配而（线段乘积关系转化为比例关系）。 BD BE ∠CBD=∠DBE(公共角)， .△BCD∽△BDE(两边对应成比例及夹角相等- 共角型相似)， ∴.∠BDE=∠BCD=90°，∴.OD⊥DE, 0D是⊙0的半径， .直线DE与⊙O相切 变式解：AB为⊙O的直径，.AD⊥BC, 又.DE⊥AC,∴.∠CED=∠CDA=90°， :∠C=∠C(公共角)， :.△CDE∽△CAD(两角分别相等一共角型相似)， CD CE CA CD' .CD=CA·CE(线段比例关系转化为乘积关系)， AB=AC,∴.CD=BD=25(等腰三角形三线合一)， 又·AE=1 ∴.CA·(CA-1)=20,解得AC=5或AC=-4(舍去)， ⊙0的半径=号4B=4C=25 例2(1)证明：如解图①，连接OA. ·BC为⊙O的直径， .∴.∠BAC=90°，.∠OAB+∠OAC=90°， 58 参考答案与重难 OA=OB,∴.∠OAB=∠ABC(等边对等角)， 又.：∠PAC=∠ABC,.∠PAC=∠OAB .∠PAC+∠0AC=90°，即∠0AP=90°，.OA⊥AP, 0A为⊙0的半径，AP是⊙0的切线； 例2题解图① 例2题解图② (2)解：如解图②，延长A0交BD于点M, .·∠OAP=90°.AP∥BD. .∠AMB=∠OAP=90°， .OM⊥BD. BD=4, 根据垂径定理，得BN=DM=BD=2,A/Bm, ·△APO∽△MBO(平行型相似)， 品5， 设0A=5x,0M=x,则0B=0A=√5x, 在Rt△MB0中，由勾股定理，得OMP+BMP=OB2, 即x2+22=(5x)2(勾股定理的重要应用： 两线段可用同一未知数表示)，解得x,=1,:=-1(舍去)， .0B=0A=0C=√5x=5, .0P=√50B=5,.PC=0P-0C=5-√5 解：存在点E,使得D=A0,此时3 假设存在点E,使得AD=AO,则AD=AO=B0=2, 如解图，延长A0交BC于点F,:AB=AC,.AB=AC, 又：⊙O是△ABC的外接圆，.AF垂直平分线段BC ∠DAE=∠ACB,.ADBC, .AD⊥AF,∴.∠OAD=90°， A0=AD,.D0=√2A0=2W2,∠D=∠A0D=45°， .∠B0F=∠A0D=45°， :AF⊥BC,且AF经过点O, ∴.∠OBF=∠B0F=45°， OF=BF= 2 B0=√2， B .BC=2BF=22. 变式题解图 AD∥BC, .△ADE∽△CBE 2 DE 22B0+(D0-DE)' 2 DE 2√22+(2√2-DE) 题解析·云南数学 ∴.DE=2, .0E=D0-DE=22-2. 0E22-22-2 …0D22 2 设点A到OD的距离为h, 1 1 则Sa0e=20E·h,Sa0m=20D.h, 1 0E2-√2 S△AoD 0D· 1 Γ0D2 存在点E使得40=40，此时二的值为子号 教材母题变式2弧中点、对角互补、旋转模型 典例精讲 例2证明：四边形ACBD是⊙O的内接四边形， .∠CAD+∠CBD=180°， ·∠EBD+∠CBD=180° :∠EBD=LCAD(圆内接四边形的任意一个外角等于 它的内对角)， 0=D .∠ACD=∠ABD(同弧所对的圆周角相等)， .·DE∥AB. ∠BDE=∠ABD,∠ACD=∠BDE .△ACD∽△BDE(两角分别相等—对角互补型相似)， .4=,AD·BD=AC·BE 变式解：解法一：作垂线法如解图①，过点D分别作 DF⊥BC于点F,DG⊥BM交BA的延长线于点G,则 ∠BGD=∠BFD=90°. .:AC是⊙0的直径， G .∠ABC=∠ADC=90°， .四边形BGDF是矩形， .BD平分∠ABC .DG=DF, ·.矩形BGDF是正方形， .BF=BG. 变式题解图① 1 ·∠CBD= 2 -∠ABC=45°， .∴.∠CAD=∠CBD=45° .∠DCA=90°-∠CAD=45°=∠CAD ∴.AD=CD,∴.Rt△ADG≌Rt△CDF(HL),.AG=CF 设AG=CF=x,则BF=3-x,BG=1+x, .BF=BG,.3-x=1+x,解得x=1,.BF=3-x=2. 在Rt△BFD中，BD=√2BF=22 解法二：旋转法：AC是⊙0的直径， .∠ABC=∠ADC=90°， BD平分∠ABC,∠ABD=45°， ∴.∠ACD=∠ABD=45°， .∠CAD=90°-45°=45°=∠ACD 参考答案与重难题 一战成名新中考 ∴.AD=CD 如解图②，将△DAB绕公共顶点D旋转使得DA与DC 重合，得到△DCF ∴.DF=DB,∠CDF=∠ADB, ∠FCD=∠BAD,CF=AB=1, .∠CDF+∠BDC=∠ADB B +∠BDC, 即∠BDF=∠ADC=90°. ·四边形ABCD内接 变式题解图② 于⊙0. ∴.∠BAD+∠BCD=180 ∴.∠FCD+∠BCD=180°， 即B,C,F三点共线 ∴.在Rt△BDF中，(BC+CF)2=BD+DF2,即2BD=42 .BD=22(负值已舍去) 教材母题变式3 三点共线模型 典例精讲 例(1)解：AB是⊙0的直径，点F在⊙0上， .∠AFB=90°； (2)证明：AM·BM=AB·MW, 又.∠AMN=∠ABM ∴.△AMN∽△ABM .∠MAN=∠BAM, 根据已知得∠MAN+∠BAM=180°， .∠BAM=90°， .OA⊥MC. 0A是⊙0的半径， .直线CM与⊙O相切： (3)解：我认为CE+EB=CB正确。 理由如下： 解法一：线段和 如解图①，设BC与DH的交点为T,连接AD,BD,并延长 BD与AC的延长线交于点P. ·AB是⊙O的直径，点D在⊙0上， ∴.∠ADB=90°，∴.∠ADP=90°， .∴.∠APD+∠PAD=∠PDC+∠ADC=90°， .·CA=CD ∠PAD=∠ADC, ∴.∠APD=∠PDC, ∴.CP=CD=CA, 由已知和(2)知，∠AID=∠BAM=90°， .∴.MC∥DH. HT BT .△BHT∽△BAC,ACBC 同理可证B7Dr BC PC HT DT 六ACPC .HT=DT,即T是DH的中点， 解析·云南数学 59