专项3 拓展类型2 与增减性有关的分类讨论-【一战成名新中考】2026云南中考数学·二轮复习·专项分层提升练

一战成名新中考 拓展类型2与增减性有关的分类讨论 解题技巧 解决含参二次函数问题应注重分类讨论及数形结合（画草图）. 1.分类讨论：分两种情况如下： @函数解析式合参分类讨论 开口方向 对应例1 思考方向 对称轴与自变量取值范围相对位置 对应例2 ②自变量取值范围或点坐标含参 分类讨论 对称轴与自变量取值范围相对位置 对应例3 思考方向 强调分类讨论前应先确定抛物线的二次项系数及对称轴是否为定值； 2.数形结合：根据分类讨论的每种情况画出对应的草图，有助于快速准确得出结论， 典例精讲 >考法1定轴定区间 例1已知二次函数y=mx2-2mx+3(m为常数，且m≠0)，当-1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的 值是 () 1 A.1 B. 3 C.1或 01或号 章思路点拔函数解析式中念有参款四，但抛物线的对称轴通过计算为直线=-1，自变是 2m 取值范围确定，∴.抛物线的开口方向会影响最值的选取，即分m>0和m<0两种情况数形结合进 行讨论 步骤1确定二次函数图象的对称轴、开口方向 二次函数y=mx2-2mx+3: ①抛物线对称轴为直线x= :②抛物线开口方向 (填“确定”或“不确定”) 步骤2分类讨论&数形结合 分情况讨论如下：①当>0时，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值2，如解图①，将x=1,y= 2代入，得m-2m+3=2,解得m=1; 画图区 -102x -102x 例1题解图① 例1题解图② ②当m<0时，抛物线开口向下， (在解图②的坐标系中画出草图，补全剩余步骤)· 步骤3得出结论综上，m的值为 专项分层提升练·云南数学 29 >考法2动轴定区间 例2已知抛物线y=-x2+2bx+b-1(b>0),当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9，则b的取值范 围为 童思路点拨函数解析式中二次项系数已知，“抛物线开口向下，但对称轴不确定，应针对 对称轴与自变量取值范围的相对位置进行分类讨论，通常分为如下4种情况： (1)对称轴在自变量取值范围右侧（含右端点）： (2)对称轴在自变量取值范围内且在该区间中，点右侧； (3)对称轴在自变量取值范围内且在该区间中点处或其左侧； (4)对称轴在自变量取值范围左侧（含左端点）. 此题分情况讨论如下： ①当对称轴在自变量取值范围右侧（含右端点）(b≥6)时，如解图①： 2 1=b 046 046 046 046 例2题解图① 例2题解图② 例2题解图③ 例2题解图④ ②当对称轴在自变量取值范围内(4<b<6)且在该区间中点右侧(b>5)时，如解图②： ③当对称轴在自变量取值范围内(4<b<6)且在该区间中点处或其左侧(b≤5)时，如解图③： ④当对称轴在自变量取值范围左侧（含左端点）(b≤4)时，如解图④ >考法3定轴动区间 例3已知抛物线y=, 经过点E(m,,F(m+22,当m≤x≤m+2时，y的最大 的差为1，则m的值为 思路点拔当函数自变量取值范围含参（或函数图象上点的横坐标含参）时，需讨 论对称轴与自变量取值范围的相对位置 此题分情况讨论如下： ①当点F在y轴（抛物线对称轴）左侧(m+2<0)时，如解图①； ↑y E E 0 -101 -101 例3题解图① 例3题解图② 例3题解图③ 例3题解图④ ②当点F在y轴上或y轴右侧(m+2≥0)，点E在y轴左侧(m<0),且点F到y轴的距离小于点E到 y轴的距离(m+2<-m)时，如解图②； ③当点F在y轴右侧(m+2>0),点E在y轴左侧或y轴上(m≤0)，且点F到y轴的距离大于等于点 E到y轴的距离(m+2≥-m)时，如解图③； ④当点E在y轴右侧(m>0)时，如解图④， 30 专项分层提升练·云南数学 一战成名新中考 综合训练 1.[2025昆明盘龙区一模]在平面直角坐标系2.[2025昆明石林县二模]已知函数y=(a-1)x2 xOy中，已知抛物线y=-2mx2-6x+3(m≠0). -2ax+a+1(a为常数) (1)试说明点P(-3,3)在该抛物线上： (1)求证：函数图象与x轴总有交点： (2)已知A(2m+1,a),B(t,b)是抛物线上的 (2)当≤1时，不等式a-1)-2a+a+l≥0 任意两点，若对于2≤t≤4，都有a-b<0, x2+1 求m的取值范围， 恒成立，求a的取值范围. 专项分层提升练·云南数学 31 3.[2025大理二模]已知二次函数y=ax2-4x+4.[2025云大附中星耀校区二模]在平面直角坐 a2-1(a是常数，且a>0). 标系xOy中，M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线 (1)若a=2,求出该函数图象的顶点坐标； y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的 (2)若该函数图象经过原点，当-1≤x≤t时，y 对称轴为直线x=t. 的最大值恰好是4t,求t的值. (1)若对于x,=1,y1=y2,请用含t的代数式表 示x2; (2)若对于-t<x,<1-t,2t-2<x2<2t-1,都有 y>y2,求t的取值范围. 32 专项分层提升练·云南数学.m+1>0,即m>-1. 分两种情况讨论如下： 若抛物线与x轴有一个公共点或没有公共点， △=[-(4m+1)]2-4(m+1)×4m≤0， 1 解得m≥8 若抛物线顶点在第四象限，与y轴的交点在y轴的正半 轴上， .△=[-(4m+1)]2-4(m+1)×4m>0且4m>0. 解得0<m<8’ 综上所述，m的取值范围为m>0: (2)y=(m+1)x2-(4m+1)x+4m=(x-2)2m+x2-x,且抛 物线始终过定点， ∴.定点的坐标与m的取值无关，即x-2=0,解得x=2, 将x=2代入y=(x-2)2m+x2-x,得y=2, .定点的坐标为(2,2) 111Γ.111 2(1)证明√后+。， etnbbeutab) a bc2 abc a'be .'b2c2+a'c2+a b2=b2c2+a'c2+a2b2+2abc2+2acb2+2bca2. ∴.2abc(a+b+c)=0. 又a,b,c均为不为零的常数， ∴.abc≠0， .∴.a+b+c=0 202420242024_2024(a+6+c）-0: ab be ca abc (2)解：由(1)知，a+b+c=0, ∴.对于抛物线y=x2+bx+c,当x=1时，y=a+b+c=0. .抛物线y=ax2+bx+c经过定点(1,0)， 该抛物线与x轴交点中的定点坐标为(1,0) 3.解：(1)y=mx2-4mx+4m-3=m(x-2)2-3, .抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，-3)： (2):抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的 区域内（包括边界）恰有10个整点，如解图①②所示. .点A在(1,0)与(0,0)之间. 当抛物线经过点(1，-2)时，m(1-2)2-3=-2,解得m=1; 当抛物线经过点(0,0)时，m(0-2)2-3=0,解得m=, 3 3 :m的取值范围为4<m≤1， B 图① 图② 第3题解图 参考答案与重难题 一战成名新中考 4.解：(1)当a=1时，抛物线y=x2-2x+2=(x-1)2+1 .抛物线的顶点坐标为(1,1)； (2)当x=0时，y=2a,即点A的坐标为(0,2a), :线段0A(含端点)上的“完美点”个数大于3且小于6， .“完美点”的个数为4或5 又a>0. 当“完美点”的个数为4时，这4个“完美点”的坐标分 别为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3) 当“完美点”个数为5时.这5个“完美点”的坐标分别为 (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4), :362ac5a的取值范周是子≤a<子 5 (3)易知抛物线的顶点坐标为(1，a),且抛物线过点P (2,2a),Q(3,5a),R(4,10a). 显然，“完美点”(1,1)，(2,2)，(3,3)符合题意 下面讨论抛物线经过(2,1)，(3,2)的两种情况： ①当抛物线经过(2,1)时，2a=1,解得a=2 此时，P(21),0(3,),4,5),如解图①所示， 则“完美点”有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,3)，共4个 y 4 N(R) 3 2 2 P P 012345x 012345x 图① 图② 第4题解图 ②当抛物线经过(3,2)时，5=2.解得a=子此时，P (2,专)，03,2)，(4,4)，如解图2所示， 则“完美点"有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(4， 4),共6个， a的取值意围是子a气宁 1 拓展类型2与增减性有关的分类讨论 典例精讲 例1步骤11；不确定 步骤2如解图②，当x=-1时，函数有最小值2，则m+ 243=2,解得网=号 -1012x 例1题解图② 步骤31或 1 解析·云南数学 55 例26≥治 【解析】小抛物线y=-x2+2bx+b-1=-(x-b)2 +b+b-1,抛物线的开口向下，对称轴为直线x=b. 分情况讨论如下：①如解图①，当对称轴在自变量取值 范围右侧（含右端点），即b≥6时，易得当x=4时，y有 26 最小值，-4+8b+b-1≥9，解得6≥9心b≥6： ②如解图②，当对称轴在自变量取值范围内(4<b<6)且 在该区间中点右侧(b>5),即5<b<6时，易得当x=4时， y有最小值，-4+86+b-1≥9，解得6≥2 5<h<6: ③如解图③，当对称轴在自变量取值范围内(4<b<6)且 在该区间中点处或其左侧(b≤5)，即4<b≤5时，易得当 x=6时，y有最小值-6+12b+6-1≥9，解得6≥46. Γ13… 4<b≤5： ④如解图④，当对称轴在自变量取值范围左侧（含左端 点)，即0<b≤4时，易得当x=6时，y有最小值，-6+ 1246-1≥0，解得6≥治行≤6≤4综上.6的取值 用为5≥治 例3-9或7【解析】小：抛物线经过点E(m,y1),F(m+2, )1-32m+2,=32m+2)°+2. 当m≤x≤m+2时，设y的最大值与最小值的差为t,即 =1,分情况讨论如下： ①当点F在y轴（抛物线对称轴）左侧(m+2<0)时，如解 图①，此时m<-2,y的值随x的值的增大而减小，.t=y 为1，即m 。1 32m+2-[2（m+2)+2]=1,解得m=-9: ②当点F在y轴上或y轴右侧(m+2≥0)，点E在y轴左 侧(m<O),且点F到y轴的距离小于点E到y轴的距离 (m+2<-m)时，如解图②，此时-2≤m<-1,∴t=y1-y点 即32m+2-2=1,解得m=±42（舍去）； =1,即1 ③当点F在y轴右侧(m+2>0),点E在y轴左侧或y轴 上(m≤0)，且点F到y轴的距离大于等于点E到y轴的 距离(m+2≥-m)时，如解图③，此时-1≤m≤0，∴t=y2- 少预点1， 32（m+2)+2-2=1,解得m=-2±42（舍 去)； ④当点E在y轴右侧(m>0)时，如解图④，此时m>0,t =y,=12(m+2)2+2-(2m2+2)=1,解得m=7. 综上，m的值为-9或7. 综合训练 1.解：(1)当x=-3时，y=-18m+18m+3=3, 3=3, .点P(-3,3)在该抛物线上： (2)由题知，抛物线的对称轴是直线=子，点B关于直 3 线x=之的对称点为B'(1,b),其中-7≤t'≤-5，要使a 56 参考答案与重难 -b<0,即a<b,分情况讨论如下： ①当-2m>0,即m<0时，如解图①，-5<2m+1<2,即-3< 1 m<2' .m<0,∴.-3<m<0: R B 024 第1题解图① ②当-2m<0.即m>0时.如解图②，2m+1>4或2m+1< -7, 第1题解图② 2或m<-4, ∴.m> 3 m>0,m>2, 综上所述，m的取值范围是-3<m<0或m> 2 (1)证明：当a=1时，函数为y=-2x+2. 函数图象与x轴交于点(1,0)； 当a≠1时，4=(-2a)2-4(a-1)(a+1)=4m2-4a2+4=4 >0. .函数图象y=(a-1)x2-2ax+a+1与x轴有两个交点。 综上所述，函数图象与x轴总有交点： (2)解当≤1时，不等式a-1)x-2ar+a+≥0恒成 x2+1 立，x2+1>0. .当x≤1时，(a-1)x2-2ax+a+1≥0恒成立. ①当a=1时，函数为y=-2x+2, 可知当x≤1时，y≥0恒成立， .a=1满足条件； ②当a>1时，函数y=(a-1)x2-2ax+a+1的图象开口向 上，对称轴为直线x 1 a1+a1, .当x≤1时，y随x的增大而减小， ∴.当x=1时，y取得最小值为(a-1)-2a+a+1=0, .当x≤1时，y≥0恒成立， .a>1满足条件； ③当a<1时，函数y=(a-1)x2-2ax+a+1的图象开口向 下，对称轴为直线x= 11 1 71, 可知当x≤1时，y≥0不恒成立，.a≤1不满足条件. 综上所述，a的取值范围是a≥1. 题解析·云南数学 一战成名新中考 3.解：(1)当a=2时，y=2x2-4x+2-1=2x2-4x+3, 4.解：(1)x1=1,y1=y2, 将二次函数的解析式化成顶点式为y=2(x-1)2+1, M(x1,y1),N(x2,y2)关于直线x=t对称， 该函数图象的顶点坐标为(1,1)； 1+x2 (2).函数y=ax2-4x+a2-1的图象经过点(0,0)， .2 =t,∴.x2=2t-1; ∴.a2-1=0,∴.a=1或a=-1<0(不符合题意，舍去)， (2)M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0) .y=x2-4x=(x-2)2-4,其图象的对称轴为直线x=2, 上任意两点， x=-1时的y值与x=5时的y值相等，为(-1-2)2-4=5， ..y=axj+bx+c,y2=ax+bxz+c, 如解图，由二次函数的性质可知，当x<2时，y随x的增 对于-t<x1<1-t,2t-2<x2<2t-1,都有y1>y2, 大而减小：当x>2时，y随x的增大而增大 ∴y1-y2>0,即aax+bx1tc-(ax+bx2+c)>0, 则分以下两种情况： ax-aax+bx1-bx2>0,即[a(x1+x2）+b](x1-x2)>0, ①若-1≤t≤5，则在-1≤x≤t内，当x=-1时，y的值 ·:抛物线的对称轴为直线x=t, 最大， b .2 =t,.b=-2at, [a(x1+x2）-2at](x1-x2)=a(x1+x2-2t)(x1-x2)>0, a>0, .(x1+x2-2)(x1-x2)>0. ①当x1-x2>0,且x1+x2-2>0时， x1>x2,且x1+x2>2t, -t<x1<1-t,2t-2<x2<2t-1, 第3题解图 .∴.-t≥2t-1,且-t+2t-2≥2t, 4t=5, ∴.t≤-2； 解得1=子行合题意： ②当x1-x2<0,且x1+x2-2<0时， x1<x2,且x1+x2<2t, ②若>5，则在-1≤x≤t内，当x=t时，y的值最大， :-t<x1<1-t,2t-2<x2<2t-1, .t-4t=4t .∴.1-t≤2t-2,且1-t+2t-1≤2t 解得t=8或t=0<5(不符合题意，舍去). .∴.t≥1. 综上4的值为子或8 综上，t的取值范围为t≤-2或t≥1. 专项4 压轴题—圆 辅助线大题小练 -1000的半径=m=5 3 针对训练 1.43【解析】如解图，连接AB,·AC⊥BC,.∠ACB= 90°，.AB为⊙0的直径，：⊙0的半径为4，.AB=8,: ∠ADC=30°，.∠ABC=∠ADC=30°，.在Rt△ABC中， BC=AB·cos30°=8x c 2 =4W5. 第3题解图 第4题解图 4.63°【解析】如解图，连接OA,,OA=OC,∴.∠OAC= D ∠C=15°，.：∠BAC=48°，.∴.∠0AB=48°+15°=63°， 0A=0B,.∠B=∠OAB=63°. 5.8【解析】如解图，过点O作OC⊥AB于点C,连接OA, 0B,则∠0C4=90,M0=6,∠0M=30°0C=7M0= 第1题解图 第2题解图 3,在Rt△0CA中，由勾股定理得AC=√OA-OC= 2.36°【解析】如解图，连接BD,CD是⊙0的直径， √S-3=4,0A=0B=5,0C⊥AB,.BC=AC..AB= ∴.∠CBD=90°，.∠BCD=54°，∴.∠D=90°-∠BCD= 2AC=2×4=8. 36°，∴.∠A=∠D=36 3.5【解析】如解图，连接B0并延长交⊙O于点D,连接 CD,则BD是⊙0的直径，∠BCD=90°，∠D=∠A, ”在R△BCD中，BC=6BD=BC 3 .'sinD=sinA=- sinD 第5题解图 参考答案与重难题解析·云南数学 57