专项3 拓展类型1 定点、整点问题-【一战成名新中考】2026云南中考数学·二轮复习·专项分层提升练

一战成名新中考 拓展类型1定点、整点问题 1.[2025云师大附中期中]已知抛物线y=(m+1)x22.[2024云师大实验中学二模]已知某抛物线的 -(4m+1)x+c,且c=4m(m≠0) 解析式为y=ax2+bx+c(a,b,c均为不为零的 (1)抛物线y=(m+1)x2-(4m+1)x+c不经过 常教)，且满足++=已，山 第三象限，求m的取值范围； a b'c (2)已知抛物线始终过定点，求定点的坐标 1)求证：202420242024=0： 【教你一招】分离参数法：合并含参数的几项，令 ab be ca 其系数等于0，求解x,y值！ (2)求该抛物线与x轴交点中的定点坐标. 专项分层提升练·云南数学 27 3.[2024昆明官渡区二模节选]在平面直角坐标4.[2025昆明官渡一中期中]在平面直角坐标系 系中，抛物线y=mc2-4mx+4m-3(m>0)与 xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点 x轴的交点为A,B(点A在，点B左侧)： 为“完美点”.抛物线y=ar2-2ax+2a(a为常 (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； 数且a>0)与y轴交于点A. (2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点.若抛 (1)若a=1,求抛物线的顶点坐标； 物线在点A,B之间的部分与线段AB所 (2)若线段OA(含端，点)上的“完美点”个数 围成的区域内（包括边界）恰有10个整 大于3且小于6，求a的取值范围； 点，求m的取值范围. (3)若抛物线与直线y=x交于M,N两点，线 段MN与抛物线围成的区域（含边界）内 恰有4个“完美点”，求a的取值范围， 3 2 012345x 012345x 备用图1 备用图2 第4题图 28 专项分层提升练·云南数学当x=1时，y=6,当x=3时，y=-6 当x>1时，y随x的增大而减小，且当x=m时，y=0, 1<m<3,则}<1<1， 3 m 4 31t2.即"m-6m-2m2 m10+3m 解法二：同前可得m2=2m+1, .m=(m2)2=4m2+4m+1=4(2m+1)+4m+1=12m+5, .m3=m·m=12m2+5m=12(2m+1）+5m=29m+12, ÷m+m-6m-2ml-m(m'+m-6m-2)l m0+3m m3(m3+3m2）m =m3+m'-6m-2,1 m+3m2m _29m+12+12m+5-6m-21 29m+12+3(2m+1)m =1+m 解方程-3m2+6m+3=0,得m=1±√2， m>1,m=1+2,则1=1 =√2-1， m1+√2 1+1=1+w2-1=2, 52x4 、4<2<2,即4<m+m’-6m°-2m1 3 +<2 m0+3m7 m 类型2分离整数法 典例精讲 例解3x-4-3-6+2.3(x-2)+2-3+ x-2x-2 x-2 23-4的值为 x-2’x-2 整数，且x为整数， .x-2为2的约数， .x-2的值为1或-1或2或-2. .x的值为3或1或4或0. 考法基础练 1C【解标小Z表示-个整数且x是整数2+9=上 1或2x+3=±2或2x+3=±3或2x+3=±6.当2x+3=1时， x=-1:当2+3=-1时，x=-2:当2x+3=2时，x2(不 合题意放含去)：当2+3-2时=-（不合题意，故 舍去)：当2x+3=3时，x=0:当2x+3=-3时，x=-3;当24 3=6时，=不合题意.故舍去)：当2x+3=-6,则田 之（不合题意，故舍去）.综上，整数x的取值有-1，-2， 9 0,-3,共4个 2C【解标】原式=一(m-1)m-1 m*10m-Dm1 m中7，且m头 生1，若m为坚数弓的值也为整数，则+1=1，+1 ±2，解得m=0或m=-2或m=-3或m=1(舍去)，∴.m 54 参考答案与重为 为整数且能使m-2m+!的值也为整数的m的值共有 m2-1 3个 3B【解析)6x+12-6(x+2)6 63(+2)3:分式6+2 x2-x-6 的值为整数，x-3=±1或±2或±3或±6，且x+2≠0，x-3 ≠0，.正整数x=4或2或5或1或6或9，共6个. 4-6【解析】6x+12:-6(x-2)=-6 +2-8(+4)(-2x中4其中≠2， x≠-4， 二6r+12的值为负整数，x的值为整数，当x+ ”x2+2x-8 4=1时，原式=-6，解得x=-3:当x+4=2时，原式=-3， 解得x=-2:当x+4=3时，原式=-2，解得x=-1:当x+4= 6时，原式=-1，解得x=2(舍去)，.符合题意的整数x 的值的和为-3+(-2)+(-1)=-6. 5.0或2【解析】：105=1×105=3×35=5×21=7×15， 105 若a+1=1,即a=0,a+1a+521是整数：若a+1 105 =3,即a=2,(a+1)a+55是整数，.a的值是0或2 综合训练 1.解：(1)当m=1时，y=-x2-2x+3, h -2 .x= 202x-1） =-1, ∴.抛物线y=-x2-2x+3的对称轴是直线x=-1: (2)当y=0时，(m-2)x2-2mx+m+2=0, 解得x=1,=m+2 4 m-21+m-2 ·抛物线与x轴两交点的横坐标都为正整数. “高与为正整数，且m-20, m-2=1或2或4，解得m=3或4或6， 综上，当该抛物线与x轴两交点的横坐标都为正整数时， 整数m的值为3或4或6. 2.解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+2, .·抛物线过点(2,11)， ·.把点(2,11)代入，得11=9a+2,解得a=1, .抛物线的解析式为y=(x+1)2+2; (2):点A(m,n)在抛物线y=(x+1)2+2上， .n=(m+1)2+2,即n-2=(m+1)2, (n-2)2=(m+1), K-n-4n+5-n-2)+1=m+1)+1=（m+1)+ m+1 m+1 m+1 m+1 .·m与K均为整数，且m≠-1， .m+1=±1， 当m+1=1时，m=0,…∴.n=3: 当m+1=-1时，m=-2,∴.n=3。 综上所述，点A的坐标为(0,3)或(-2,3). 拓展类型1定点、整点问题 1.解：(1)当c=4m时，y=(m+1)x2-(4m+1)x+4m, ·抛物线不经过第三象限， ·.抛物线开口向上， 题解析·云南数学 .m+1>0,即m>-1. 分两种情况讨论如下： 若抛物线与x轴有一个公共点或没有公共点， △=[-(4m+1)]2-4(m+1)×4m≤0， 1 解得m≥8 若抛物线顶点在第四象限，与y轴的交点在y轴的正半 轴上， .△=[-(4m+1)]2-4(m+1)×4m>0且4m>0. 解得0<m<8’ 综上所述，m的取值范围为m>0: (2)y=(m+1)x2-(4m+1)x+4m=(x-2)2m+x2-x,且抛 物线始终过定点， ∴.定点的坐标与m的取值无关，即x-2=0,解得x=2, 将x=2代入y=(x-2)2m+x2-x,得y=2, .定点的坐标为(2,2) 111Γ.111 2(1)证明√后+。， etnbbeutab) a bc2 abc a'be .'b2c2+a'c2+a b2=b2c2+a'c2+a2b2+2abc2+2acb2+2bca2. ∴.2abc(a+b+c)=0. 又a,b,c均为不为零的常数， ∴.abc≠0， .∴.a+b+c=0 202420242024_2024(a+6+c）-0: ab be ca abc (2)解：由(1)知，a+b+c=0, ∴.对于抛物线y=x2+bx+c,当x=1时，y=a+b+c=0. .抛物线y=ax2+bx+c经过定点(1,0)， 该抛物线与x轴交点中的定点坐标为(1,0) 3.解：(1)y=mx2-4mx+4m-3=m(x-2)2-3, .抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，-3)： (2):抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的 区域内（包括边界）恰有10个整点，如解图①②所示. .点A在(1,0)与(0,0)之间. 当抛物线经过点(1，-2)时，m(1-2)2-3=-2,解得m=1; 当抛物线经过点(0,0)时，m(0-2)2-3=0,解得m=, 3 3 :m的取值范围为4<m≤1， B 图① 图② 第3题解图 参考答案与重难题 一战成名新中考 4.解：(1)当a=1时，抛物线y=x2-2x+2=(x-1)2+1 .抛物线的顶点坐标为(1,1)； (2)当x=0时，y=2a,即点A的坐标为(0,2a), :线段0A(含端点)上的“完美点”个数大于3且小于6， .“完美点”的个数为4或5 又a>0. 当“完美点”的个数为4时，这4个“完美点”的坐标分 别为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3) 当“完美点”个数为5时.这5个“完美点”的坐标分别为 (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4), :362ac5a的取值范周是子≤a<子 5 (3)易知抛物线的顶点坐标为(1，a),且抛物线过点P (2,2a),Q(3,5a),R(4,10a). 显然，“完美点”(1,1)，(2,2)，(3,3)符合题意 下面讨论抛物线经过(2,1)，(3,2)的两种情况： ①当抛物线经过(2,1)时，2a=1,解得a=2 此时，P(21),0(3,),4,5),如解图①所示， 则“完美点”有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,3)，共4个 y 4 N(R) 3 2 2 P P 012345x 012345x 图① 图② 第4题解图 ②当抛物线经过(3,2)时，5=2.解得a=子此时，P (2,专)，03,2)，(4,4)，如解图2所示， 则“完美点"有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(4， 4),共6个， a的取值意围是子a气宁 1 拓展类型2与增减性有关的分类讨论 典例精讲 例1步骤11；不确定 步骤2如解图②，当x=-1时，函数有最小值2，则m+ 243=2,解得网=号 -1012x 例1题解图② 步骤31或 1 解析·云南数学 55