专项3 类型1 降次代换法-【一战成名新中考】2026云南中考数学·二轮复习·专项分层提升练

.AB=BE. .△ABE是等腰直角三角形， AM=EM,即M是AE的中点， ∴.BM⊥AE,AM=BM=ME, .四边形ANBM是正方形： (2)解：如解图，过点M作MQ⊥BC于点Q, 由(1)得，BM LAE,AM=BM=ME, ∴.BM是AE的垂直平分线 .△ABM≌△EBM,.S AABM=S△EaM, 专项3 压轴题 类型1降次代换法 典例精讲 考法1“局部拆分”整体代入法降次 例13【解析】小：x2-2-1=0,.x2=2x+1,.x3=x·x2= x(2x+1)=2x2+x=2(2x+1)+x=5x+2,.x3-x2-3x+2= 5x+2-(2x+1)-3x+2=3. 例2-14【解析】x2-2x-1=0,.x2-2x=1,.3x3- 13x2+11x-7=3x3-6x2-7x2+11x-7=3x(x2-2x)-7x2+ 11x-7=3x-7x2+11x-7=-7x2+14x-7=-7(x2-2x)-7= -7-7=-14. 考法基础练 15【解析】小x2+x=1,.x2=1-x,x3=(x2)2·x=(1- x)2·x=(1-2x+x2)·x=(2-3x)·x=2x-3x2=2x-3(1 )=2x-3+3x=5x-3,:+85x-3+8_5(x+l=5. x+1x+1 x+1 2.-1【解析】a2+4a+1=0,∴.a2=-4a-1,a3=a·a2= a(-4a-1)=-4a2-a=-4(-4a-1)-a=15a+4,a=(a2)2= (-4a-1)2=16a2+8a+1=16(-4a-1)+8a+1=-56a-15. 1 考法2分式代数式巧妙转化 例3(1)3：7：47【解析】.x2-3x+1=0,∴.x≠0且x2+1= 3t-3(*=++2=9+=9 2=7(产r2=04n (2)13【解析】小：x2-3x+1=0,x2=3x-1,x2-3x=-1, -2是2-2是=(1-2(3- 2 =7原式=-1+2x7=-1+14=13 (1)得x+1 ()【辉折1的倒数为兰显给0， x8+1 x1 由(1)得+47…中7 例4解：(1)将x=-4,a=1代人y=(x+4)(x-a2+a-3)+1, 得y=(-4+4)×(-4-12+1-3)+1=1, y的值为1； …3分 参考答案与重难题 一战成名新中考 AD=2,BC=4,AB=AD+BC. .BE=AB=2+4=6,CE=AD=2 M01BC,∠ABC=90°，0=AB=3. 2 △ADM≌△ECM,.SADM=S△CM, ÷Saat5aa=2BE.M0+2CE·M0=2×3x(6+2) =12. .S四边形wD=S△hBm+S△DW=S△EaM+SAECM=12. 含参二次函数 (2)将x=3a+2,y=1代入y=(x+4)(x-a2+a-3)+1, 得(3a+2+4)(3a+2-a2+a-3)+1=1. 整理得-3(a+2)(a2-4a+1)=0, …4分 ①当a+2=0,即a=-2时， T=2)2 49 4(-2)+15<3, …5分 ②当a2-4a+1=0,a≠0时，则有a2=4a-1,a2+1=4a, ..a+ 1=4, 综上可知，当a=-2时，T<3:当a2-4a+1=0时，T>3. …8分 往年真题对比练 (1)解：m2-3m-1=0,m2=3m+1且m≠0， .m=(3m+1)2=9m2+6m+1=9(3m+1)+6m+1 =27m+9+6m+1=33m+10. ∴.m3=m·m=33m2+10m=33(3m+1)+10m=109m+33, M=m-33_109m+33-33 =m. 109 109 m2-3m-1=0, 六m=3达V31x-亚.3下，即M的值为 2×1 2 3+E或3- 2 2 (2)解：解法一：k2+√3k-2=0, 六65是=0且0，即k2-5, 7, (=9指4 16 1 k+k+2k+4h2+16 k+6+2+416 1 1 1 (2 7+41+250 解法二：∵k2+3k-2=0, .k2=2-√5k .=(2-√3k)2=4-45k+3k2=4-43k+3(2-√3k)= 解析·云南数学 51 10-75k 2=0,且a≠b,可以把a,b看作是一元二次方程x2- .k8+k+2k+4h2+16=(10-7√3k)2+(2-√3k)(10- 32=0的丙个实数机a6=3,a山=2。日 75k)+2(10-7W5k)+4(2-√3k)+16 a+b 3 =100-1403k+147k2+20-24W5k+21k2+20-14W5k+8- ab 2 43k+16 练习2-2【解析】a2-2a=1,b2-2b=1,a2-2a-1=0, =164-1823k+168(2-√3k) b-2b-1=0,:a≠b,.可设a,b是x2-2x-1=0的两根， =500-3503k, ∴.a+b= 子-2o=-16ab=w(a-+6j= k4 10-75k=1 六+h0+2K°+4h2+1650(10-73k)50 (-1)×2=-2. 综合训练 考法基础练 1.解：(1)把点(0,1)代入y=x2-4x+c,得c=1, 1【解析71+7. ∴.二次函数的解析式为y=x2-4x+1: x2-x+17 t62-+1 (2)根据题意，得m2-4m+1=0, 8. 1 =x2-1+ .二次函数图象经过点(0,1)，.m≠0 x2 -=61, 1 x21 h4, ∴.m+ x-2+161 （mt12=16心.mm214 248【解析1：a2-a-1=0且a≠0a-1-后=0，即a m (m2=1 .m't I m' a a a't 1 M=19 m2 +m9 7 a m7 mitm') 30或-289 28【解析1：d+3a2+a=a(a2+3a+1)=0a=0 m 2023a2 或2+3a+1=0,当a=0时，。-20230+0-2023x0+1 2023×02 m m(1944194 0 -0:当+31=0时.a日=-3(o+y产=a =194(m2+J 1 1 247(-3)=9+7=9-2=7, a°-2023a2+1 2023a =2716. 1 7 2.(1)解：当x=-1时，该函数有最小值， 2023-1+23=20234ta2-17 2023×7-1 2023-1 b 288 2023a2 289 综上所述 2023a2 六2X3-1,解得6=6， 289a-2023a2+1288 a-2023a2+1 C(0,-3), -0或器 当x=0时，c=-3, 故b=6,c=-3; (2)证明：由(1)得：y=3x2+6x-3, :【解析】由题意可得m+m=1且m≠0， m是抛物线与x轴交点的横坐标， m3+m-2m2-m2-m+2_m+m-m3-(m3+m2-m+2m)+2」 .3m2+6m-3=0. m'-m m(m+1)(m-1) ∴.m2+2m-1=0, m3(m2+m-1)-m(m2+m-1)-2m+2 -2m+2 ∴.m2+2m=1,m2-1=-2m, m(m+1)(m-1) m(m+1)(m-1) m+4m3-1_m+4m3-m2-2m -2(m-1) -2 m-m =-2, 的 4m2 4m m(m+1)(m-1)m2+m m3+m-2m3-m2-m+2 倒数是m+m-2m'-m2-m+2 =m'+4m2-m-2 m'-m 4m m'-m 六m2+m-2m2-m2-m+2 =m(m2+2m)+2m2-m-2 4m 2 m+2m2-m-2 考法3根与系数关系整体代入 4m 练习1 号【解析】a,6分别满足。-3a+2=0,6-36+ 2m2-2 4m 52 参考答案与重难题解析·云南数学 -2(m2-1) 4m =-4m 4m =-1. 3.解：(1)：抛物线y=ax2-4x+c经过A(1,0),B(0,5) 两点， ∫a-4+c=0, {c=5, 得1， (c=5. ∴.该抛物线的解析式为y=-x2-4x+5; (2)解法一：由(1)知，y=-x2-4x+5, 令y=0,则-x2-4x+5=0,解得x1=1,x2=-5. :k是抛物线与x轴交点的横坐标， .k1=1,k2=-5. :M=+k-56+625' -+-56+625-=+k-5625 M 当k=1时，M=1+1-5×1+625622 1 1 当k=-5时，=(-5)+(-5)-5-5)622， :M-62 综上所述，M的值为泣 解法二：.·y=-x2-4x+5,k是抛物线与x轴交点的横 坐标 .k是方程-k2-4h+5=0的一个根，显然k≠0， 方程两边同时除以6，得-4：？0，化简得一名 k -4, 25 6242·2=1610=26. 同题可得袋-（草：-2·空=66， k4 M=+k-5k2+625 _+-5h+625-+625+A M 分 —=24=22、 ∴.M= 622 4.解：(1)：抛物线经过点(1，a), a-2(a+3)+10=a,解得a=2; (②)把M子a-3)代入函数解析式得a(己-2a+3》 3+10=a-3. 整理得a2-7a+9=0, ∴.a=7a-9, .∴.a3=a(7a-9)=7a2-9a=7(7a-9)-9a=40a-63. ∴.a3-5a2-5a+9m+2025=40a-63-5(7a-9)-5a+9m+ 2025=2007+9m. 参考答案与重难题 一战成名新中考 ①若点M(3,a-3)与点N(3+m,a-3)不重合， a 33 +m 则aa 2 -2(a+3）,解得m=2, 2a .2007+9m=2025: ②若点M(2a-3)与点2m,a-3)重合.则m=0, .2007+9m=2007. 综上，a3-5a2-5a+9m+2025的值为2025或2007. 5.解：(1)：抛物线y=2+bx+c的对称轴是直线x=2 六22…6=1 ·抛物线经过点(0，-1)， c=-1, .抛物线的解析式为y=x2+x-1; (2):抛物线与x轴交点的横坐标为t, .t+t-1=0.即t2=1-t.① .t=1-2t+t2,把t2=1-t代入t=1-2t+t2, 可得=1-2t+1-t=2-3t,② .t=4-12+962, 同理可得t3=4-12t+9-9t=13-21t. .结合①②可得t-3t+62=t(t-3r2+1)=f[2-3t-3(1- t)+1]=0, tě-13 13-21-13-21-6. T=7-30+°-210-21-21 .t+t-1=0, 1+5或 ∴.t= -1-5 2 2 当5别 2； 当时7 2 6.(1)解：抛物线y=-3(x-h)2+k, 当x<1时，y随x的增大而增大，当>1时，y随x的增大 而减小， .抛物线y=-3(x-h)2+k的对称轴为直线x=1,即h=1, .抛物线y=-3(x-1)2+k, 抛物线与y轴交于点(0,3). .3=-3(0-1)2+k,即3=-3×1+k,解得k=6, .∴.抛物线的解析式为y=-3(x-1)2+6: (2)证明：解法一：由(1)可得，抛物线的解析式为y= -3x2+6x+3. :抛物线与x轴的交点的横坐标为m, -3m2+6m+3=0,即m2-2m-1=0, .m2=2m+1,则m=(m2)2=(2m+1)2=4m2+4m+1, m'-6m6-2m3=m'(m-6m-2）, m-6m-2=4m2+4m+1-6m-2=4m2-2m-1=4m2-(2m+ 1)=3m2, ∴.m9-6m-2m3=m3·3m2=3m, m“+m-6m-2mm+30t=1+ m0+3m mm+3m'm 解析·云南数学 53 当x=1时，y=6,当x=3时，y=-6 当x>1时，y随x的增大而减小，且当x=m时，y=0, 1<m<3,则}<1<1， 3 m 4 31t2.即"m-6m-2m2 m10+3m 解法二：同前可得m2=2m+1, .m=(m2)2=4m2+4m+1=4(2m+1)+4m+1=12m+5, .m3=m·m=12m2+5m=12(2m+1）+5m=29m+12, ÷m+m-6m-2ml-m(m'+m-6m-2)l m0+3m m3(m3+3m2）m =m3+m'-6m-2,1 m+3m2m _29m+12+12m+5-6m-21 29m+12+3(2m+1)m =1+m 解方程-3m2+6m+3=0,得m=1±√2， m>1,m=1+2,则1=1 =√2-1， m1+√2 1+1=1+w2-1=2, 52x4 、4<2<2,即4<m+m’-6m°-2m1 3 +<2 m0+3m7 m 类型2分离整数法 典例精讲 例解3x-4-3-6+2.3(x-2)+2-3+ x-2x-2 x-2 23-4的值为 x-2’x-2 整数，且x为整数， .x-2为2的约数， .x-2的值为1或-1或2或-2. .x的值为3或1或4或0. 考法基础练 1C【解标小Z表示-个整数且x是整数2+9=上 1或2x+3=±2或2x+3=±3或2x+3=±6.当2x+3=1时， x=-1:当2+3=-1时，x=-2:当2x+3=2时，x2(不 合题意放含去)：当2+3-2时=-（不合题意，故 舍去)：当2x+3=3时，x=0:当2x+3=-3时，x=-3;当24 3=6时，=不合题意.故舍去)：当2x+3=-6,则田 之（不合题意，故舍去）.综上，整数x的取值有-1，-2， 9 0,-3,共4个 2C【解标】原式=一(m-1)m-1 m*10m-Dm1 m中7，且m头 生1，若m为坚数弓的值也为整数，则+1=1，+1 ±2，解得m=0或m=-2或m=-3或m=1(舍去)，∴.m 54 参考答案与重为 为整数且能使m-2m+!的值也为整数的m的值共有 m2-1 3个 3B【解析)6x+12-6(x+2)6 63(+2)3:分式6+2 x2-x-6 的值为整数，x-3=±1或±2或±3或±6，且x+2≠0，x-3 ≠0，.正整数x=4或2或5或1或6或9，共6个. 4-6【解析】6x+12:-6(x-2)=-6 +2-8(+4)(-2x中4其中≠2， x≠-4， 二6r+12的值为负整数，x的值为整数，当x+ ”x2+2x-8 4=1时，原式=-6，解得x=-3:当x+4=2时，原式=-3， 解得x=-2:当x+4=3时，原式=-2，解得x=-1:当x+4= 6时，原式=-1，解得x=2(舍去)，.符合题意的整数x 的值的和为-3+(-2)+(-1)=-6. 5.0或2【解析】：105=1×105=3×35=5×21=7×15， 105 若a+1=1,即a=0,a+1a+521是整数：若a+1 105 =3,即a=2,(a+1)a+55是整数，.a的值是0或2 综合训练 1.解：(1)当m=1时，y=-x2-2x+3, h -2 .x= 202x-1） =-1, ∴.抛物线y=-x2-2x+3的对称轴是直线x=-1: (2)当y=0时，(m-2)x2-2mx+m+2=0, 解得x=1,=m+2 4 m-21+m-2 ·抛物线与x轴两交点的横坐标都为正整数. “高与为正整数，且m-20, m-2=1或2或4，解得m=3或4或6， 综上，当该抛物线与x轴两交点的横坐标都为正整数时， 整数m的值为3或4或6. 2.解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+2, .·抛物线过点(2,11)， ·.把点(2,11)代入，得11=9a+2,解得a=1, .抛物线的解析式为y=(x+1)2+2; (2):点A(m,n)在抛物线y=(x+1)2+2上， .n=(m+1)2+2,即n-2=(m+1)2, (n-2)2=(m+1), K-n-4n+5-n-2)+1=m+1)+1=（m+1)+ m+1 m+1 m+1 m+1 .·m与K均为整数，且m≠-1， .m+1=±1， 当m+1=1时，m=0,…∴.n=3: 当m+1=-1时，m=-2,∴.n=3。 综上所述，点A的坐标为(0,3)或(-2,3). 拓展类型1定点、整点问题 1.解：(1)当c=4m时，y=(m+1)x2-(4m+1)x+4m, ·抛物线不经过第三象限， ·.抛物线开口向上， 题解析·云南数学一战成名目 专项3 压轴题一 含参二次函数 (每年考1道解答题，8分) ■考法总结近5年含参二次函数题按设问分析如下： 年份 题号 分值 分类讨论思想 考查内容 解题关键 若A·B=0,则A=0 (1)代值求y的值； 降次 2025 26 8分 或B=0(A,B为整式) (2)二次代数式与3比较大小 代换 (1)利用对称轴求b的值： 字母的值有两个，则 降次 2024 26 8分 需分别讨论 (2)高次代数式与 二比较大小 代换 函数表达式二次项系 (1)证明函数图象与x轴总有公共，点； 分离 2023 24 8分 数为0或不为0决定 (2)二次函数图象与x轴交点整点问题 整数 函数的类型 满足三角形面积定值 (1)由一，点坐标求c的值； 降次 2022 24 9分 的点：抛物线上对称 (2)求满足面积定值的参数值； 代换 的两点及顶点 (3)求高次代数式的值 (1)对称轴+一点坐标求b,c的值； 降次 2021 23 12分 (2)求证r4-2r2+1=60r2; 代换 (3)高次代数式与1比较大小 类型1 降次代换法(8年4考) 典例精讲 >考法1“局部拆分”整体代入法降次(2025.26,2024.26,2022.24,2021.23) 【基本要点】ar'+hr+c=0局部拆分 (1)以低替高：ax2=-bx-c 降次 (2)以常数项代入：ax2+bx=-c (1)局部提公因式，“以低替高” 例1若实数x满足x2-2x-1=0,则代数式x3-x2-3x+2的值为 点拨：将最高次幂x分解为x·x2,再用含x的代数式替换x2 (2)局部拆分，以常数项代入 例2若x2-2x-1=0,则代数式3x3-13x2+11x-7的值为 点拨：3x3-13x2=3x3-6x2-7x2=3x(x2-2x)-7x2 考法基础练 1若2+x=1,则+8 x+1 2若a2+4a+1=0,则a-a+L的值为 3a3-a2+3a 专项分层提升练·云南数学 19 >考法2分式代数式巧妙转化(2025.26,2022.24,2021.23) 项3+1=r 两边同1 x+b时￥2+2+26意3 1 1 【基本要点】x2+bx+1=0 除以x 项2+ b2-2 例3已知x2-3x+1=0,则： 1 (1)x+= 1 x+ X (2)r2-2+25 (3) x8+1 例4 答题规跑[2025云南26题8分]已知a是常数，函数y=(x+4)(x-a2+n-3)+1,记T= 4 02+1 (1)若x=-4,a=1,求y的值； (2)易错若x=3a+2,y=1,比较T与3的大小 朝往年真题对比练 (1)[2024云南26题改编]已知m2-3m-1=0,M=m3-33, 1O9,求M的值 点拨：m=m·m4,最终转化为m的一次多项式 20 专项分层提升练·云南数学 一战成名新中考 (2)多解法[2022云南24题改编]已知k2+√3k-2=0,求， 的值 8+k6+2k4+42+16 点接=()，P=·,最终转化为长的一次多项式或，日，园 1 考法基础练刀 之+=7，则t 1已知，x 1 x4-x2+1 2若2--1=0，则4+7的值为 a 3.易错若a+32+a=0,则，2023c a4-2023a2+1 4名师原创已知m2+m-1=0,则代数式、，m-m 的值为 m5+m4-2m3-m2-m+2 》。考法3根与系数关系整体代入 练习1若实数a,6分别满足0-3a+2=0,-36+2=0,且a≠6，则。+6 练习2若实数a,b分别满足a2-2a=1,b2-2b=1,且a≠b,则代数式a2b+ab2的值为 专项分层提升练·云南数学 21 综合训练 1.[2025曲靖麒麟区一模]二次函数y=x2-4x+c2.[2025大理祥云县联考]已知抛物线y=3x2+ 的图象经过点(0,1) bx+c与y轴交于点C(0,-3),当x=-1时，该 (1)求二次函数的解析式： 函数有最小值，设m是抛物线与x轴交点的 (2)若m是该二次函数图象与x轴交点的横 横坐标 坐标，记M=195+m,求M的值 (1)求b,c的值； 2)求证.m+4m-1 22 专项分层提升练·云南数学 一战成名新中考 3.[2025楚雄禄丰市二模]已知抛物线y=ax2-4.[2025昆明西山区一模]已知抛物线y=ax2- 4x+c经过A(1,0),B(0,5)两点 2(a+3)x+10(a≠0). (1)求该抛物线的解析式； (1)若抛物线经过点(1，a),求a的值； (2)多解法若k是抛物线与x轴交点的横坐 (2)易结若点以子a-3),(+m,a-3)在 标，M=+-56+625求M的值 此抛物线上，求a3-5a2-5a+9m+2025 的值 点拨：不要漏掉点M,N重合这种情况！ 专项分层提升练·云南数学 23 5.[2025楚雄元谋县二模]已知抛物线y=x2+bx+6.[2025西双版纳一模]在平面直角坐标系中， 6的对称轴是直线x=了，且经过点（0，-1)】 抛物线y=-3(x-h)2+k(h和k均为常数)与y 轴交于点(0,3)，与x轴的交点的横坐标为 设该抛物线与x轴交点的横坐标为t. m.当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1 (1)求抛物线的解析式； 时，y随x的增大而减小 (2)记T=， t8-13 比较T与5-的大小 (1)求抛物线的解析式； t7-3t5+t3-21 2 (2)多解法若m>1,求证：4m"+m-6mn-2m 3 m0+3m7 12 m 24 专项分层提升练·云南数学