专题01 三角形的证明及其应用（期中真题汇编，山东专用）八年级数学下学期

专题01 三角形的证明及其应用 6大高频考点概览 考点01三角形内角和定理 考点02等腰三角形 考点03等边三角形 考点04 直角三角形 考点05 线段垂直平分线 考点06 角平分线 ( 考点01 三角形内角和定理 )一、单选题 1．（25-26八年级上·山东·期中）在中， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 利用三角形内角和等于180度计算即可． 【详解】∵在中，，， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A．80° B．90° C．100° D．120° 【答案】B 【分析】本题考查网格与全等三角形，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 根据网格特点证得即可得出答案． 【详解】解：如图，取网格点E，设交于点F， 在与中， ， ， ， ， ， ， 故选B． 3．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图为无人机模型示意图，，，，，则度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是由三角形的外角性质推出．延长交于K，由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图；延长交于K， 故选：C. 4．（25-26八年级上·山东济宁·期中）下列命题中正确的是（   ） A．一个三角形最多有2个钝角 B．三角形的两边之差可以等于第三边 C．三角形的外角一定大于相邻内角 D．直角三角形的外角不可能是锐角 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角性质．根据三角形的内角和定理、外角性质以及三边关系，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：∵ 三角形内角和为，钝角大于， ∴ 若有2个钝角，則内角和超过，矛盾，故最多一个钝角，A错误； ∵ 三角形两边之差小于第三边，∴ 两边之差不能等于第三边，B错误； ∵ 三角形外角等于不相邻两內角之和，但与相邻內角比较时，   例如钝角三角形中，钝角的相邻外角为减这个钝角，小于，而钝角大于， ∴ 外角不一定大于相邻內角，C错误； ∵ 直角三角形有一个直角和两个锐角，   直角的外角为，是直角；   锐角的外角为减这个锐角，因锐角小于，故外角大于，是钝角； ∴ 直角三角形的所有外角均为直角或钝角，不可能是锐角，D正确． 故选：D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：根据全等三角形的对应角相等，得 ． 故答案为： 6．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，______． 【答案】100 【分析】本题主要考查三角形的外角的定义；根据三角形的外角的定义计算即可． 【详解】解：， 故答案为：100． 三、解答题 7．（25-26八年级上·山东日照·期中）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识． （1）利用平行线的性质得出，证明．由全等三角形的性质得出，即可得出，再由三角形内角和定理即可得出答案． （2）由全等三角形的性质得出 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， （2）解∶∵， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·山东临沂·期中）在中，比大，比小，求各内角的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，设，则，，依题意得，求解即可得出答案，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：设，则，， ∴， 解得：， ∴， ∴，． 9．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，根据翻折变换的性质和平角的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，    ∵四边形纸片沿折叠，点A落在处， ∴， ∵， ∴， 在中，． 答：的度数是． ( 考点0 2 等腰三角形 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边对等角是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由题意得，底角度数为， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，C为轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，则点C的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理、等腰三角形的定义、三线合一，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意，分和两种情况讨论，利用勾股定理和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：若， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， ， 点C的坐标为； 若，如图， 点A的坐标为， ， ，， ， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或． 故选：D． 3．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．3 D．10 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，作图﹣基本作图，等角对等边，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由平行四边形的性质得，故，观察作图过程得，，再由等角对等边，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图可知平分，， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 4．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握格点的特征，构造等腰直角三角形是解题关键．如图，取格点，连接，，根据网格特征可知，根据平行线的性质得出，根据勾股定理及勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，，即可得出，利用平角的定义即可得答案． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格特征可知，， ∴， ∵网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 5．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．根据等边对等角可得：，再由三角形内角和定理求得，求得，然后分三种况讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当为等腰三角形时， ①当时，， ②当时，， ③当时，， 故答案为：或或． 6．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，中，，点E在的延长线上，，若平分，则_____． 【答案】4.5 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知：线段，． 求作：，使，． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了复杂作图，利用已知角和线段，首先作一角等于已知角，进而得出符合题意的答案即可． 【详解】解：如图所示： ①作， ②在射线上截取， ③以A为圆心，a长为半径画弧，交射线于点C， ④连接． 则即为所求． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为等腰三角形，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接、，设运动时间为，请解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设的面积为，求与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，三角形的面积等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键. （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，再列方程即可解答； （2）过点作于， 过点作于， 过点作于， 根据即可解答； （3）分三种情况： ①如图，，过点作于， ②如图，③如图，，过点作于，根据列方程即可解答. 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ， ∴， 如图， 过点作于， 过点作于， 过点作于， ∴， 由题意得： ， ， ， 由（1）同理得： ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ； （3）存在，分三种情况： ①如图，过点作于， ， 在中，， ， ∵， ， ； ②如图， ， ∵， ∴， ∴； ③如图，，过点作于， ∴， ∵，， ， ， ， ， ， ， 综上，的值是或或 ( 考点0 3 等边三角形 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】连接，作于，由等边三角形的性质可判断①；证明，是等边三角形，可得，求解，可得判断③，可得，可判断②⑤，可得，如图，过作于点，则，进一步可判断④不符合题意． 【详解】解：连接，作于， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意， ∵，，， ∴，故②符合题意， 根据全等三角形面积相等，可得故⑤不符合题意， 如图，过A作于点，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④不符合题意； 综上①②③符合题意，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知等边三角形一边上的高为，则其边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，等边，，求出，设等边三角形的边长为，表示出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，等边， ∴ 设等边三角形的边长为， ∴ ∴ ∵等边三角形一边上的高为 ∴ ∴． ∴边长为． 故选：D． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，由等边三角形的性质可得，，，进而可得，，再根据等腰三角形和三角形外角性质可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标，等边三角形的性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解一次函数图象上点的坐标的特征，等边三角形的性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键，根据计算归纳总结出规律，第个等边三角形的边长为是解决问题的难点．先求出，，，则，，根据等边三角形性质得，则，在中，由勾股定理得，则第1个等边三角形的边长为，再分别计算出，，则，在中，得，则第2个等边三角形的边长为，同理第3个等边三角形的边长为，，依次类推，第个等边三角形的边长为，由此可得第2024个等边三角形的边长． 【详解】解：对于，当时，，当时，， 点，点， ，， 在中，由勾股定理得：， ，则， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 即第1个等边三角形的边长为：， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，， 在中，，， ， 即第2个等边三角形的边长为：， 同理：第3个等边三角形的边长为：， ，依次类推，第个等边三角形的边长为：， 第2024个等边三角形的边长等于． 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，已知，点在边上，．过点作于点，以为一边在内作等边三角形，点是围成的区域（包括各边）内的一点，过点作交于点，作交于点．设，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形是平行四边形，得，在中，，可得的长，计算，确定最大和最小值的位置，可得结论． 【详解】解：过P作交于点H， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当P在边上时，H与C重合，此时的最小值， 即的最小值是2； 当在点时，如图2， ∵，，， ∴，，， 同理：， ，， 则的最大值是：，即的最大值是5， 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确定的最值就是确认最值的范围． 6．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点．设，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形，连接，由作图可得，则是等边三角形，得到，进一步得到，再利用含角的直角三角形的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 由作图可得：， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在等边中，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，分别连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)当平分时，求的值； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上；此时，四边形的面积为_______； (3)当_______秒时，为直角三角形． 【答案】(1) (2)当时，点在线段的垂直平分线上； (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）求得，根据距离、速度、时间的关系即可求解； （2）根据，列方程求解即可，进而根据即可求解． （3）分和两种情况讨论，根据含度角的直角三角形的性质，列方程求解即可． 【详解】（1）解：在等边中，平分， 点是的中点， ， ， 的值为； （2）解：根据题意：，，则， 过点作于点，过点作于点 在等边中，，点在线段的垂直平分线上， ，， 根据题意得： ， 解得：， 当时，点在线段的垂直平分线上； ∴，， ∴ 在中， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ 此时四边形的面积为 故答案为：． （3）解：当时，为直角三角形， ，即， 解得：； 当时，为直角三角形， ，即， 解得：； 综上，或时，为直角三角形． 故答案为：或． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，以为一边向上作等边三角形，点在垂直平分线上，且，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：； (3)填空： 若，相交于点，则的度数为_________． 若，则的长度为_________． 在射线上有一动点，若为等腰三角形，则的度数为_________． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析； (2)证明见解析； (3)；；或或． 【分析】（）根据垂直平分线的性质可得，再算出，可判定是等边三角形； （）由等边三角形的性质得，，由（）可知：是等边三角形，则，根据“”可证明，即可得出结论； （）设与交于点，由（）中全等可得，再根据三角形内角和可得的度数； 由所对直角三角形是斜边的一半得出，然后通过勾股定理即可求解； 分当时，当时，当时三种情况分析即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵点在垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； ∵，，， ∴， ∴， 由上可得：是等边三角形，， ∴， ∴， 故答案为：； ∵为等腰三角形，当时，如图， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∴， 综上可得：的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，勾股定理，所对直角三角形是斜边的一半等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． ( 考点0 4 直角三角形 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在处，设，当落在的内部时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，点落在上时，此时，当落在上时，得到解答即可． 本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点E， ∵，，， ∴，， ∴当P与点E时重合时，点落在上时，此时， ∴当落在上时，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段上，且，则，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】由可证明是等边三角形，故可判定①；证明 ，根据全等三角形的性质得到，由多边形内角和定理求出，由直角三角形的性质即可得出，故可判定②； 由面积关系可求出四边形的面积，故可判定③；证明，，可得到，故可判断④． 【详解】解：, 是等边三角形， 故结论①正确； , , ,, , , , 故结论②正确； 是等边三角形，， 垂直平分, , 故结论③错误； 如图，延长到，使，连接， , , , 在和中, , ,, , , 在和中, , , , 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角的直角三角形，三角形的面积等知识点．理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列说法正确的有（   ） ①        ②平分     ③        ④ A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线定义，熟练掌握各定理是解题的关键． 利用平行四边形的性质及等边三角形的判定得出是等边三角形，再由各角之间的关系得出，即可判断①；利用等边三角形三线合一的性质无法得出平分，即可判断②；在由平行四边形的性质及等边三角形的性质可判断③；利用面积之间的关系可判断④． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故①正确，符合题意； 由①得是等边三角形，无法证明， ∴不能得出平分，故②错误，不符合题意； ∵， ∴，故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； 故选：D． 二、解答题 4．（24-25八年级下·山东临沂·期中）今年初，国家发展改革委、财政部发布关于2025年加力扩围实施大规模设备更新和消费品以旧换新政策的通知，下称“国补”，其中包括了数码产品里的笔记本电脑．如图1，小亮把通过“国补”购买的笔记本电脑水平放置在桌子上，显示器与底板所在水平线的夹角是，侧面示意图如图2；使用时为了散热，小亮在底板下垫入散热架，如图3，此时电脑转到位置，侧面示意图如图4．已知，于点，，． (1)求的长； (2)垫入散热架后，显示器顶部比原来升高了多少？（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握利用勾股定理方程和含角的直角三角形的性质是关键． （1）证明，在中，由勾股定理得，即可求出； （2）过点作交的延长线于，求出，得到，则，求出，则，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 解得，或（舍去）， ∴， 答：的长为； （2）过点作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 由（1）知，，， ∴， ∴， ∴显示屏顶部化原来升高了． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点B匀速运动，同时点N从点A出发以的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接．设运动时间为． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)当运动时间t为多少时，四边形是平行四边形，并说明理由． 【答案】(1)， (2)15秒 【分析】（1）根据题意，，，解答即可． （2）根据动点M的速度为，动点N的速度为，设运动时间为，根据平行四边形的判定解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴， ∵动点M的速度为，动点N的速度为， 设运动时间为， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴时，四边形是平行四边形， ∴， 解得． 故运动时，四边形是平行四边形． 6．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，点D、E是两直角边、上的一点，连接，已知点F、G、H分别是、、的中点．若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由． 【答案】且．理由见解析 【分析】利用三角形中位线定理，得出线段、与已知线段、的关系，再结合直角三角形的性质，推导与的数量和位置关系．本题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形的性质，熟练掌握“三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，结合直角三角形两锐角互余推导角的关系”是解题的关键． 【详解】解： 且．理由如下： ∵、、分别是、、的中点， ∴，，，， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴且． ( 考点0 5 线段垂直平分线 ) 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，分别垂直平分，垂足分别为E、G，且，则下列结论不正确的是（） A． B． C．的周长为40 D．的周长为20 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和，垂直平分线的性质，等边对等角，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的内角和，得到，求出，，推导出，得到，则，， 从已知条件无法求出的周长，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，故A正确； ∴， ∵分别垂直平分，垂足分别为E、G， ∴，， ∴， ∴，故B正确； ∴，故D正确， 从已知条件无法求出的周长，故C错误． 故选C． 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线，分别交边，于点、，连接，若的周长为12，则的周长为（   ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质. 根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可证得结论． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长为， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 故选：C． 3．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，相交于点O，，．以点C为圆心，的长为半径作弧交于点B，再分别以点B，E为圆心，大于的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线交于点F．记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、作图—基本作图、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交的延长线于点，易证，得到、，由勾股定理得到，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 由题意知：， ， ， 记长为x，长为y， ，， ，， ，， ， ， ， 当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：A． 二、填空题 4．（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，交于点，连结．若，则的大小为____________． 【答案】/29度 【分析】本题考查了作图－基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由作图得垂直平分，则，可得，再由三角形内角和定理得，则． 【详解】解：由题意可得，垂直平分， ， ∴， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则四边形的周长是______． 【答案】/ 【分析】设，则根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质得到，再根据勾股定理求出，即可得解． 【详解】13．解答解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则； 由作图可知，即， 在中，， 即：， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，勾股定理，用同一个未知数表示是解题的关键． 三、解答题 6．（25-26八年级上·山东德州·期中）在中，，，的平分线交于点，如图1． (1)求的度数； (2)作线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点（尺规作图，不写作法） (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用直角三角形中角的性质和全等三角形的判定进行推理计算。 （1）利用三角形内角和与角平分线定义求角度； （2）按要求完成尺规作图； （3）由作图知是线段的垂直平分线，求得，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ； （2）如图所示，即为所求； （3）解：如图所示 ，， ． 平分， ． ． 在中，，， ． ． 由作图可知垂直平分， ，， ． 在和中， ， ， ． 7．（25-26八年级上·山东聊城·期中）如图，在等腰中，，． (1)利用尺规完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点，使，标出点位置． (2)在（1）的基础上，只利用直尺，画出点，使点到三个顶点的距离相等． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图：作轴对称图形和作一条线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质． （1）①分别以为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接和即可； ②作的垂直平分线，交的延长线于点，则； （2）连接交的垂直平分线于点，点到三个顶点的距离相等． 【详解】（1）解：①，如图所示． ； ②点的位置如图所示； （2）解：点的位置如图所示． 8．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 9．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点， (1)求证：； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行的性质证，即可证明，可得，易证，即可解题； （2）连接交于点，易，，根据，可求得，即可证明，可得，，即可求得，即可解题． 【详解】（1）， ， ，， ， 在和中， ， ， 点是的中点， ， ； （2）连接交于点， ,点是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 垂直平分． 10．（24-25八年级下·山东青岛·期中）（1）如图在平面直角坐标系中的三个顶点分别是、、 ①将平移，使得点的对应点的坐标为，在如图的坐标系中画出平移后的； ②将绕点逆时针旋转，画出旋转后的并直接写出的坐标； （2）尺规作图 如图，线段在的内部，在的内部求作点，使点到两边的距离相等且到线段两端点的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①见解析②见解析，的坐标为的坐标为（2）见解析 【分析】本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，线段垂直平分线和角平分线的性质． （1）①由点A及其对应点的位置得出平移方向和距离，再将点B和点C分别按此方式平移得出其对应点，继而首尾顺次连接即可得； ②由旋转的性质作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）作出线段的垂直平分线，的平分线，两线的交点，即可解答． 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求． ②如图所示，即为所求，其中的坐标为的坐标为； （2）∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴用尺规作图先作线段的垂直平分线， ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴再作的角平分线，则两线的交点P即为所求； 11．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，已知：，点是上一点． 求作：，使，且点到边、的距离均相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图——角平分线和过直线外一点的垂线，熟练掌握作法是解题的关键 作的角平分线，过点作角平分线的垂线，交于点，即为所求 【详解】解：如图所示：即为所求. ( 考点0 6 角平分线 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，平分，过点作交于点若，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，角的平分线定义，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算等解答判定即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴是等腰三角形； 故①正确； 过点D作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 无法证明， 故②错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，角的平分线，直角三角形的面积公式，角的平分线性质定理，熟练掌握勾股定理，角平分线性质定理，平行线的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点．若，，则线段的长为（   ） A．1.5 B．2 C．1.8 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定，过点作，垂足为，先在中，利用勾股定理求出，从而利用面积法求出的长，再利用角平分线的性质可得，从而利用面积法求出，然后利用角平分线的定义可得，再利用等角的余角相等可得，最后结合对顶角相等可得，从而可得，进而利用线段的和差关系，进行计算即可解答，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ，，， ， 的面积， ， ， ， 平分，，， ， 的面积的面积的面积， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定定理等知识点，证即可判断①；证推出是等边三角形，根据，，可推出，即可判断③；根据，可得，设边上的高为，边上的高为，可推出，即可判断④；根据，即可判断②；假设平分，则可求出，即可判断⑤． 【详解】解：由题意得：， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设边上的高为，边上的高为， 则， ∴， ∴平分，故④正确； ∴， 又即， ∴， ∴， 又， ∴，故②错误； 若平分， 则， 又， ∴， 又， ∴， 而题干没有这一条件，则平分不成立，故⑤错误； 故选∶B 二、填空题 4．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，是的平分线，于E，，，则的长是_________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，再根据，即可解答． 【详解】解：过点D作于点F， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，点P是内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线判定定理可得平分，平分，则，，根据角之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 点P到三边的距离， ∴平分，平分， ∴， ∴ ∴； 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点P，使点P到，的距离相等； (2)若，，，求点P到的距离． 【答案】(1) 作图见详解； (2)3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，三角形的面积公式，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作的角平分线与交点P即可； （2）过点P作，交于D，根据角平分线的性质得到，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解∶ 作的角平分线与交点P， 点P到，的距离相等，如图，点P即为所求 （2）解：过点P作，交于D， ． ，由（1）知平分， ． ， ，解得． 即P到的距离为3． 7．（24-25八年级下·山东青岛·期中）某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置． 【答案】作图见详解 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，尺规作线段垂直平分线，掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质是关键． 根据题意，运用尺规作角平分线，尺规作线段垂直平分线，两线的交点即可所求点，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 尺规作角的角平分线，连接，尺规作线段的垂直平分线，交于点， 根据角平分线上点到角两边距离相等，线段垂直平分线到线段两端点距离相等得到点即为所求点的位置． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期中）作图题：请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 如图，已知在四边形中，找到一点M，使点M到，的距离相等，并且到点C的距离最短． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 结合角平分线的性质以及垂线段最短，分别延长相交于点，作的平分线，再过点作射线的垂线，交射线于点，则点即为所求． 【详解】解：如图，分别延长相交于点，作的平分线，再过点作射线的垂线，交射线于点，则点即为所求． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的证明及其应用 6大高频考点概览 考点01三角形内角和定理 考点02等腰三角形 考点03等边三角形 考点04 直角三角形 考点05 线段垂直平分线 考点06 角平分线 ( 考点01 三角形内角和定理 )一、单选题 1．（25-26八年级上·山东·期中）在中， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A．80° B．90° C．100° D．120° 3．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图为无人机模型示意图，，，，，则度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东济宁·期中）下列命题中正确的是（   ） A．一个三角形最多有2个钝角 B．三角形的两边之差可以等于第三边 C．三角形的外角一定大于相邻内角 D．直角三角形的外角不可能是锐角 二、填空题 5．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是________． 6．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，______． 三、解答题 7．（25-26八年级上·山东日照·期中）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求度数． 8．（25-26八年级上·山东临沂·期中）在中，比大，比小，求各内角的度数． 9．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    ( 考点0 2 等腰三角形 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，C为轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，则点C的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 3．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．3 D．10 二、填空题 4．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则______． 5．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为___________． 6．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，中，，点E在的延长线上，，若平分，则_____． 三、解答题 7．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知：线段，． 求作：，使，． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为等腰三角形，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接、，设运动时间为，请解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设的面积为，求与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． ( 考点0 3 等边三角形 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知等边三角形一边上的高为，则其边长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，已知，点在边上，．过点作于点，以为一边在内作等边三角形，点是围成的区域（包括各边）内的一点，过点作交于点，作交于点．设，，则的取值范围是______． 6．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点．设，则的长是______． 三、解答题 7．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在等边中，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，分别连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)当平分时，求的值； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上；此时，四边形的面积为_______； (3)当_______秒时，为直角三角形． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，以为一边向上作等边三角形，点在垂直平分线上，且，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：； (3)填空： 若，相交于点，则的度数为_________． 若，则的长度为_________． 在射线上有一动点，若为等腰三角形，则的度数为_________． ( 考点0 4 直角三角形 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在处，设，当落在的内部时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段上，且，则，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 3．（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列说法正确的有（   ） ①        ②平分     ③        ④ A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 二、解答题 4．（24-25八年级下·山东临沂·期中）今年初，国家发展改革委、财政部发布关于2025年加力扩围实施大规模设备更新和消费品以旧换新政策的通知，下称“国补”，其中包括了数码产品里的笔记本电脑．如图1，小亮把通过“国补”购买的笔记本电脑水平放置在桌子上，显示器与底板所在水平线的夹角是，侧面示意图如图2；使用时为了散热，小亮在底板下垫入散热架，如图3，此时电脑转到位置，侧面示意图如图4．已知，于点，，． (1)求的长； (2)垫入散热架后，显示器顶部比原来升高了多少？（结果保留根号） 5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点B匀速运动，同时点N从点A出发以的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接．设运动时间为． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)当运动时间t为多少时，四边形是平行四边形，并说明理由． 6．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，点D、E是两直角边、上的一点，连接，已知点F、G、H分别是、、的中点．若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由． ( 考点0 5 线段垂直平分线 ) 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，分别垂直平分，垂足分别为E、G，且，则下列结论不正确的是（） A． B． C．的周长为40 D．的周长为20 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线，分别交边，于点、，连接，若的周长为12，则的周长为（   ） A．12 B．20 C．24 D．28 3．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，相交于点O，，．以点C为圆心，的长为半径作弧交于点B，再分别以点B，E为圆心，大于的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线交于点F．记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，交于点，连结．若，则的大小为____________． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则四边形的周长是______． 三、解答题 6．（25-26八年级上·山东德州·期中）在中，，，的平分线交于点，如图1． (1)求的度数； (2)作线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点（尺规作图，不写作法） (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 7．（25-26八年级上·山东聊城·期中）如图，在等腰中，，． (1)利用尺规完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点，使，标出点位置． (2)在（1）的基础上，只利用直尺，画出点，使点到三个顶点的距离相等． 8．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 9．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点， (1)求证：； (2)连接，求证：垂直平分． 10．（24-25八年级下·山东青岛·期中）（1）如图在平面直角坐标系中的三个顶点分别是、、 ①将平移，使得点的对应点的坐标为，在如图的坐标系中画出平移后的； ②将绕点逆时针旋转，画出旋转后的并直接写出的坐标； （2）尺规作图 如图，线段在的内部，在的内部求作点，使点到两边的距离相等且到线段两端点的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹） 11．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，已知：，点是上一点． 求作：，使，且点到边、的距离均相等． ( 考点0 6 角平分线 ) 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，平分，过点作交于点若，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点．若，，则线段的长为（   ） A．1.5 B．2 C．1.8 D．3 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 4．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，是的平分线，于E，，，则的长是_________． 5．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，点P是内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离，，则的度数为_______． 三、解答题 6．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点P，使点P到，的距离相等； (2)若，，，求点P到的距离． 7．（24-25八年级下·山东青岛·期中）某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期中）作图题：请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 如图，已知在四边形中，找到一点M，使点M到，的距离相等，并且到点C的距离最短． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $