精品解析：四川省广安加德中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

广安加德学校2023-2024学年度下期高2023级第二次月考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考场号及座位号填写在答题题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等式变形得，运用复数的四则运算求出，即得其虚部. 【详解】由可得，则的虚部为1. 故选：B. 2. 已知向量，向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量投影向量定义求解. 【详解】解：因为向量， 所以向量在向量上的投影向量， 故选：C 3. 函数的图像，向右平移个单位长度后得到函数，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象平移“左加右减，上加下减”的原则，整理后即得所求. 【详解】由函数向右平移个单位长度得： 故选：A. 4. 已知平面、平面、平面、直线以及直线，则下列命题说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】A：根据线面平行的性质定理，结合线面垂直的性质、平行线的性质进行判断即可； B：根据面面平行的性质，结合平行线的定义进行判断即可； C：根据平行平面的性质进行判断即可； D：根据面面垂直的性质进行判断即可. 【详解】A：设，因为，所以，由，而， 所以，所以本命题是真命题； B：由，由，而 ，所以直线没有交点，而，所以，故本命题是真命题； C：由，可得，所以本命题是真命题； D：因为当时，可以互相垂直，所以本命题是假命题， 故选：D 5. 已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆锥的底面半径、母线长，再去求圆锥的体积． 【详解】设底面圆半径为，圆锥母线长为， 因为圆锥侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 所以，解得， 因为该圆锥的侧面积为，所以，解得，则， 即底面圆的面积为，则圆锥的高， 故圆锥的体积为， 故选：A． 6. 已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（ ） A. 直角非等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】由题意有：， 所以，由余弦定理得， 所以，又，所以， 又，由， 所以， 所以，所以，可得， 所以是等边三角形. 7. 若，则的值（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用先得到，再利用即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作，交于点，交于，根据线面垂直关系和勾股定理可知；由平面可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得为中点，从而得到最小值为重合，最大值为重合，计算可得结果. 【详解】过作，交于点，交于，则底面 平面，平面， 平面平面，又平面 平面 又平面平面，平面 为中点 为中点，则为中点 即在线段上 ， ， 则线段长度的取值范围为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 对于复数z，则 B. 对于向量，则 C. 若，为复数，则 D. 若，为向量，则 【答案】BC 【解析】 【分析】设复数，分别计算、可判断A；由数量积公式可判断B；设，，分别计算 可判断C；由数量积公式可判断D. 【详解】对于A.，设复数，则，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，设，，则，故C正确； 对于D，若，为向量，设、的夹角为，且，则，故D错误. 故选：BC. 10. 函数（）的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若（）在上有且仅有两个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合给定图象求出，再逐项判断即可. 【详解】依题意，， 由，得，解得，而， 解得，，的最小正周期为，A正确； 偶函数，B错误； ，令， 则， 的图象关于直线对称，C正确； ，，当时，， 依题意，，解得，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 在棱上存在点，使平面 B. 异面直线与所成的角为90° C. 二面角的大小为45° D. 平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明. 【详解】A选项：如图，取的中点，连接， ∵侧面为正三角形，， 又底面是菱形，，是等边三角形， 又为的中点， 又，，在平面内，且相交于点， 平面，故选项A正确； B选项：由选项A知，平面，又平面，， 即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确； C选项：∵平面， ， 平面，，， 又平面平面，是二面角的平面角， 设，则，， 在直角中，，即， 故二面角的大小为，故选项C正确； D选项：因为平面平面，， 所以平面，又平面，所以. 假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点， 所以平面，又平面，所以， 而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量共线的充要条件的坐标表示式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故答案为：2. 13. 在中，，，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用余弦定理可求的值，可得，利用三角形的内角和定理可求，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解的值． 【详解】解：，，， ， ，可得， ， 则． 故答案为：． 14. 已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据三棱锥结构特征，求得三棱锥外接球半径，由球表面积公式即可求得表面积． 详解：由，根据同角三角函数关系式得 ，解得 所以 ，因为，，由余弦定理 代入得 所以△ABC为等腰三角形，且 ，由正弦定理得△ABC外接圆半径R为 ，解得 设△ABC外心为 ， ，过 作 则在 中 在中 解得 所以外接球面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为， （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)首先可以根据正弦定理边角互化以及三角恒等变换将转化为，然后根据即可求出角值； (2)首先可根据解三角形面积公式得出，然后根据余弦定理计算出，即可求出的周长. 【详解】(1)由已知及正弦定理得： ，， 因为是的内角， 所以，， 因为，所以， 因为，所以， (2)因为，所以，， 由已知及余弦定理可知：，， 故， 解得，的周长为. 【点睛】本题考查三角恒等变换以及解三角形的相关公式的使用，考查的公式有、、，考查正弦定理边角互化的应用，考查化归与转化思想，是中档题. 16. 已知. （1）求向量的坐标； （2）设向量的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标线性运算计算即得； （2）利用向量的数量积的定义式和坐标式列出方程求解即得； （3）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得. 【小问1详解】 由可得，， 即向量的坐标为：； 【小问2详解】 因， 则； 【小问3详解】 依题意，，即，解得. 17. 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，转化为平行四边形，证明线线平行； （2）要证明面面垂直，根据线线，线面垂直关系转化，转化为证明平面； （3）根据垂直关系，由二面角的大小转化为线线角，从而确定四棱锥的高，确定体积. 【小问1详解】 因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 由平面，平面，得，连接， 由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； 【小问3详解】 由平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，则 18. 已知函数． （1）求对称轴方程． （2）若，求的单调减区间． （3）在中，若，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换将化简成正弦型函数形式，再根据正弦函数性质求对称轴方程. （2）根据化简后的正弦型函数，利用正弦函数单调递减区间的求解方法求解递减区间. （3）由求出角，再利用三角形内角和定理将转化成关于的三角函数，然后求解最大值. 【小问1详解】 . 由，得. 故对称轴方程； 【小问2详解】 由，． 由，得到，故单减区间为； 【小问3详解】 ，因为，所以． ，得．所以. 当即时，取到最大值，最大值为． 19. 在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点． （Ⅰ）求证：PA//平面BEF； （Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值． 【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）二面角的余弦值为. 【解析】 【详解】 【分析】分析：（Ⅰ）连接AC交BE于O，并连接EC，FO，由题意可证得四边形ABCE为平行四边形，则，//平面. （Ⅱ）由题意可得，且，则，故. （Ⅲ）取中点，连，由题意可知的平面角，由几何关系计算可得二面角的余弦值为． 详解：（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO， ,为中点 AE//BC，且AE=BC 四边形ABCE为平行四边形 O为AC中点 又F为AD中点 ， ， //平面 （Ⅱ）由BCDE为正方形可得 由ABCE为平行四边形可得// 为即 ， 侧面底面侧面底面平面 ， ， . （Ⅲ）取中点，连， ，， 平面， 的平面角， 又， ， 所以二面角的余弦值为． 点睛：(1)求直线与平面所成的角的一般步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． (2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2023-2024学年度下期高2023级第二次月考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考场号及座位号填写在答题题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像，向右平移个单位长度后得到函数，则函数的解析式为（ ） A. B. C D. 4. 已知平面、平面、平面、直线以及直线，则下列命题说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（ ） A. 直角非等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 若，则的值（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 对于复数z，则 B. 对于向量，则 C. 若，为复数，则 D. 若，为向量，则 10. 函数（）的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若（）在上有且仅有两个零点，则 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确是（ ） A. 在棱上存在点，使平面 B. 异面直线与所成的角为90° C. 二面角的大小为45° D. 平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 13. 中，，，，则______ 14. 已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为， （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 已知. （1）求向量的坐标； （2）设向量夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求四棱锥体积． 18. 已知函数． （1）求对称轴方程． （2）若，求的单调减区间． （3）在中，若，求的最大值． 19. 在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点． （Ⅰ）求证：PA//平面BEF； （Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $