第七章提分练习（练习24～练习40）-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级下册数学同步练习课时基础强化版（苏科版）

∠PDA=∠PD'A',.△PAD△PA'D'.根据相似 三角形对应高的比等于相似比，可得品一X,即 30=x-30,解得x=180,经检验，x=180是原分式 3 方程的解.答：灯泡离地面的高度为180cm.(2)设 横向影子A'B、D'C的长度和为ycm,同理可得 ,18郎得y=12,经检验y-12是原分式方 程的解.答：横向影子A'B、D'C的长度和为12cm. (3)记灯泡为点P,如图.，AD∥ A'D',.∠PAD=∠PA'D', ∠PDA=∠PDA',.△PAD △PA'D'.根据相似三角形对应 高的比等于相似比，可得品 D D 惢设灯泡离地面的距离为， 则PN=x-a.由题意得，AD=a,A'D'=na十b, 、、na_t—一a=1一a,解得x=b.答：灯泡 na+b x 离地面的距离为na2十ab b 练习24正切(1) 1.C解析：如图，过点P作 B PQ⊥x轴于点Q,则∠AQP= 90°.OP∥AB,.△OCP∽ △BCA,∴.CP:AC=OC:BC=A 1:2.∠AOC=90°，.CO∥PQ,.OQ：AO= CP:AC=1:2.点P的坐标为(1,1)，∴.PQ= 0=1A0=2an/0Ap-8-21=号 2.(1)如图，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于 点D.在Rt△ADC中，AC=4,∠ACD=180° ∠ACB=180°-150°=30，∴AD=2AC=号×4= 2,CD=AC·cos30°=4X5=25.在Rt△ABD 2 中，mB-品日BD-8AD-8X2=16,BC BD-CD=16-2√3.(2)如图，在边BC上取一点 M,使得CM=AC,连接AM..∠ACB=150°， 54>》 ∴.∠AMC=∠MAC=15°，∴.tan15°=tan∠AMD= AD=2一=2-3. MD4+2√3 A B M 3.(1)证明：：四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠ADC+ ∠ABC=180°.，∠ABC+∠ABE=180°，∴.∠CDA= ∠ABE.BF=AD,∴.∠DCA=∠BAE,∴.△ADCC △EBA.(2):A是BDC的中点，.AB=AC, .AB=AC=8.,△ADC∽△EBA,.∠CAD= ∠ABC,贺即号-是解得AE-:AEL AC,'.∠CAE=90°，∴.tan∠CAD=tan∠AEC= AC=8=5. AE64-8 5 练习25正切(2) 1.2或号解析：四边形ABCD是正方形，且边长 为2，∴.BC=CD=2,∠C=90°.分两种情况.①如图 1,点P在线段CD上，，DP=1,.PC=CD-DP= 2-1=1an∠BPC=C=名=2：②如图2，点P 在线段CD的延长线上，：DP=1,.PC=CD十 DP=2+1=3,tam∠BPC=瓷=号综上所述， Ian∠BPC的值是2或号， 图1 图2 2.(1)证明：如图，连接OC.,OA=OC,∴∠OAC ∠OCA..CE是⊙O的切线，.∠OCE=90°.AE⊥ CE,∴.∠AEC=90°，∴.∠AEC+∠OCE=180°，∴.OC∥ AE,∴.∠OCA=∠CAD,.∠CAD=∠OAC,.DC= BC,DC=BC.(2):AB是⊙0的直径， ∴.∠ACB=90°.在Rt△ACB中，由勾股定理得BC= √JAB2-AC=√52-4=3.由(1)得，∠CAE= ∠BAC.又，∠AEC=∠ACB=90°，∴.△ACE∽ △Ac能-治即9=号，解得cE=长由 (I)知，DC=BC,∴.DC=3.在Rt△DEC中，由勾股 定理得DE=DC-CE=√3-（得）=号， 9 tan∠DCE=PE=三=3 CE-124 3.(1)令y=0,则-x2+3x+4=0,解得x1=-1, x2=4,.A(-1,0),B(4,0).当x=0时，y=4, ∴.C(0,4),∴.OB=OC,∴.∠OBC=45°.当x=3时， y=-32+3×3十4=4，.D(3,4).如图，连接CD,过 点D作DE⊥BC于点E.,C(0,4),.CD∥AB, .∠BCD=∠ABC=45°..∠DEC=90°，∴.∠EDC= 45°，∴.EC=ED.在Rt△OBC中，OC=OB=4, BC=4反.在R△CDE中，CD=3,CE=ED=3y2, 2 ÷BE=BC-CE=4V2-3y-5y2,tan∠DBC= 2 2 32 DE-2 3 BE5√2 5 ，(2)如图，过点P作PF⊥x轴于 2 点F.,∠CBF=∠DBP=45°，∴.∠CBF-∠CBP= ∠DBP-∠CBP,即∠PBF=∠DBC,∴.tan∠PBF= am∠DBC=号.设P(x,-2+3z十4)，则 二士十4-号，解得=-号=4（合去 4一x 点P的坐标为(-号) 练习26正弦、余弦(1) 1.9 解析：如图，过点A作AD⊥BC于点D.设 CD=x,则BD=BC-CD=5-x.在Rt△ABD中， 由勾股定理得AD=AB2一BD;在Rt△ACD中，由 勾股定理得AD2=AC2-CD,∴.AB2-BD2= AC2-CD2,即72-(5-x)2=82-x2,解得x=4, CD=4,CD=2AC,∠CAD=30,.∠C- 90°-∠CAD=90°-30°=60，sinC=sin60°=￥5. 21 B D 2.(1)证明：如图，连接BO.[方法一]，AB=AD, ∠D=∠ABD.AB=AO,.∠ABO=∠AOB. 在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD= 180°，∴.∠OBD=90°，即BD⊥BO,.BD是⊙O的 切线.[方法二]AB=AO,BO=AO,.AB=AO= BO,∴.△ABO为等边三角形，∴∠BAO=∠ABO=60°. ,AB=AD,∴∠D=∠ABD.又∠D+∠ABD= ∠BAO=60°，∴.∠ABD=30°，∠OBD=∠ABD+ ∠ABO=90°，即BD⊥BO,.BD是⊙O的切线.[方 法三]，AB=AD=AO,.O、B、D三点在以OD为 直径的⊙A上，.∠OBD=90°，即BD⊥BO,.BD 是⊙O的切线.(2)：∠C=∠E,∠CAF=∠EBF, .△ACF∽△BEF.AC是⊙O的直径，.∠ABC= 灯.在△BA中，s∠BFA-聚-号二 (第2题) (第3题) 3.(1),四边形ABCD是矩形，∴.∠B=90°.点A 的坐标为(1,2)，点E的坐标为(2，m),,,BE=2一1= 《55 1,AB=m-2.在Rt△ABE中，tan∠BAE=BE AB 合，即元2合解得m=4点E的坐标为2,4) .二次函数y=一x2十bx十c的图像经过点E(2,4), -4+2b+c=4, A(1,2), 解得 -1+b+c=2, =5,二次函 c=-2, 数的表达式为y=一x2+5x一2.(2)如图，过点E 作EH⊥AF于点H.当y=4时，-x2十5.x-2=4,解 得x=2,x2=3,.点F的坐标为(3,4)，.EF=1, BF=3一1=2.在Rt△ABF中，由勾股定理得AF= VAB+BF-V2+2=2E.:Sar=号EF· AB-吉AF·BH,BH-FAB-是-9在 2√2 Rt△ABE中，由勾股定理得AE=√AB+BE= √2 √22+=5，∴sin∠EAF=E= 2 w√10 AE 5 10 练习27正弦、余弦(2) 1..∠ACB=90°，M是斜边AB的中点，.MB= MC=AM.MD=CM,.AM=MC=MD=MB, MD=2AB.:MD∥BC,·∠DME=∠CBA. 又.∠ACB=∠MED=90°，∴.△MEDp△BCA, .SM4 :SAACB =4S1.CM (BA 1 △ACB的中线，…S△CB=2 SAACB-=2S1,S△BD= 8如s6器 5 帶帶-号设ME=5,则EB=2,MB=7a, AB=2MB=14x,:△MED∽△BCA,:.BC MD-,BC=10z,在Rt△ABC中，coS∠ABC BA BC=10x=5 AB14x 7· 2.(1)证明：如图，连接OE.OA= OE,∴.∠A=∠AEO.CD⊥AB,∴.∠AHP=90° FE=FP,∴.∠FPE=∠FEP.,∠A+∠APH= 56>》 ∠A+∠FPE=∠FEP+∠AEO=∠FEO=90°，∴.OE⊥ FE,∴.FE是⊙O的切线.(2)，∠FHG= ∠OEG=90°，∴.∠G+∠EOG=90°=∠G+∠F, ∴∠F=-∠B0G,nF=sin∠E0G-8e-.设 EG=3x,则OG=5x,∴.OE=√OG-EG= √25x2-9x2=4x.OE=8,.4x=8,解得x=2, ∴.OG=10,∴.BG=OG-OB=10-8=2. G 3.(1)证明：：AD=DC,.AD=DC,.∠ABD= ∠DBC.,BC是⊙O的直径，.∠BAC=∠BDC= 90°，∴.△ABEp△DBC.(2).△ABE△DBC, :∠AEB=∠DCB.:∠BDC=90,BC=2,CD= 5 BD=Bc-D=(3)-()=6, ∴sin∠AEB=sin∠DCB=BD-5=25 BC 5 5· 2 练习28三角函数有关的阅读理解题 1.①0 5 解析：如图，在△ABC中，∠ACB=90°， sinA-S-是在AB上取点D,使AD=AC,过 点D作DH⊥AC,垂足为H.设BC=3k,则AB= 5k,AD=AC=√AB2-BC=√(5k)2-(3k)7=4k. 又：在Rt△ADH中，∠AHD=90°，sinA=亏， 3 ∴DH=AD·sinA=号，AH=VAD-DF= V4)P-(号)-9&.CH=AC-AH=4- 9&=号，cD=DF+CF=√(g'+()'- 4V0k.在等腰三角形ACD中，由顶角的正对定义 5 4i06 可得，sdA-8- 4k 51 (第1题) (第2题) 2.(1)1111(2)如图，过点B作BH⊥AC于 点H,则BH2+AH=AB,sinA=B巴 AB,cos A= A日，六simA+csA=B+A=Br十AH= ABAB AB AB2 AB2 =1.(3)0°<∠A<90°，.sinA>0,cosA> 0,.'.sin A+cos A0.'.'(sin A+cos A)2=sin2A+ cosA+2sinA:e0sA=1+2×号-号sinA+ 49_7 c0sA=V25-5' 练习29网格中的锐角三角函数值问题 1.B解析：如图，过点B作BC⊥OA于点C.BO= √22+22=2√2，A0=√22+4=25..S△A0s= 3×2X2=27A0:BC=2BC=24-2g5 2√55， 25 .sin∠AOB= BC 5 .10 BO 22 10 B (第1题) (第2题) 2.C解析：如图，取格点K,连接AK、BK.由图形 可知BK∥CD,AB=√42+7=√65，AK= √22+3=√13，BK=√42+62=2√13，∴.AK2+ BK2=AB2,.AK⊥BK,BK=2AK,∠AED= ∠ABK,a∠ABD=an∠ABK-合欲- 3.3解析：取格点M,由勾股定理得AC=AB= √/22+42=25，CM=BM=√2+12=√2，.AM⊥ BC,又由勾股定理得AM=√32+37=3√2，.在 Rt△AMC中，tan∠ACB=AM-3E=3. CM√2 7 D (第3题) (第4题) 4.3解析：如图，连接AC.CB∥AD,∴.△CBPC △DAP器品-方器-方即 PC =3.由 勾股定理得AC=CD=√12+1？=√2.又，AD=2, ∴.AC十CD2=AD2,∴.△ACD为直角三角形且 ∠ACD=90,在Rt△ACP中，tan∠APC=C= PC 咒=3.5.解：1)如图1，∠ABC即为所求（点C的 取法不唯一).(2)如图2，∠ABD即为所求(，点D的 取法不唯一).(3)如图，∠ABE即为所求。 图1 图2 图3 练习30解直角三角形(1) 1.B解析：如图，在AD的下方作Rt△ADT,使得 ∠ADT=90,DT-1,连接C,则AT=5.“识 0-2∴8-C.:∠ADT=∠ABC=90, AB BC △ADT△ABC,∠DAT=∠BAC,品-A0. 《57 ∠DAB=∠TAC,0-AC△DABO△TAC 限岩闻壳后解得c-26.:G0≤Dr+ CT-1+25,∴.CD长的最大值为1+2√5. (第1题) (第2题) 2.52 2 解析：如图，过点B作BE⊥AD于点E,连 接BD.设BC=CD=x,则AB=2x.”simA=号 需5E-专AB-智2，AE=VAB-BE 2xr-(4g2刘=8g.Bc=cD,∠c= 90°，BD=√2BC=√2x,∴.BD=AB.BE⊥AD, 六AE=DE=名AD=号×6=33gx=8,解得 x=52,即BC的长为52.3.(1)解方程x2- 2 21 7x十12=0，得x1=3,x2=4.OA>OB,∴.OA=4, OB=3.在Rt△AOB中，由勾股定理得AB= VOA+OB=√4+3=5，sin∠ABC=0A= AB 告(2)Sm=920A·0E=90E= 号点E的坐标为(-号0)或（管0小△A0E与 △DA0相似.理由如下：“8=号，胎=号， 2 ÷8號0∠A0E=∠DA0=90,△A0B☑ △DAO. 练习31解直角三角形(2) 1.C解析：如图，延长AD、BC交于点O.,在 R△An0中，∠AC=90,AB=3,mA=号-器， .OB=4.又.BC=2,.OC=OB-BC=4-2=2.在 Rt△ABO中，由勾股定理得AO=√AB2十OB= √/32+4=5..∠ADC=90°，∴.∠ODC=180° 58>》 ∠ADC=180°-90°=90°=∠B.,∠0=∠O, △0DC△0BA,器-8，即号=号，解得 CD=5 6 2.6-35 2 解析：如图，过点C作CE⊥AB交AB的 延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F.,AB∥ CD,∠BCD=60°，∴.∠EBC=∠BCD=60°， ∠DCA=∠CAB.:n∠BAD=是∴R5=是，可 设AD=5k,DF=CE=3k,∴.AF=4k.又，∠CBE= 60sin 60CCC 3 .EF=CD=CB=2√3k,∴.tan∠ACD=tan∠CAE= CECE 3k6-3√3 AE AF+EF 4k+23k 2 D A B- 3.(1)由折叠的性质可知，MN为AE的垂直平分线， ∴.AN=EN,∴.∠EAN=∠AEN,.tan∠AEN= m∠EAN-能-子：设BE=a,则AB=BC=CD 3a,..CE=BC-BE=3a-a=2a..DC+CE=10, ∴.3a+2a=10,解得a=2,∴.BE=2,AB=6,CE=4. 由正方形的性质得∠B=90°.在Rt△ABE中，由勾 股定理得AE=√AB十BE2=√4十36=2√10， “AG=EG=合AE=号×2而=0.又：在 R△AGN中，a∠EaN-治=子NG=, 31 ∴.由勾股定理得AN=√AG+GN平= )+(-SE=AN·BE 2×9×2- 3 (2)在Rt△ENB中，EB=2, NE=AN-9∠ENB=是-员-号 3 练习32坡度和坡角问题 1.8解析：如图，过点A、D分别作AF⊥BC,DG⊥ BC,垂足分别为F、G.在Rt△ABF中，AB= 2m,∠B=60,sinB二A5,AF=AB·sinB白 12×5=63(m,DG=65m又：CD=123m, ∴.在Rt△DGC中，由勾股定理得GC=√CD一DG= √(12√3)2-(6√3)2=18(m).在Rt△DEG中， amE=39,即=35，GE=6X13- 3√3 26(m),∴.CE=GE-CG=26-18=8(m). B 2.设BC=xm.在Rt△ABC中，∠CAB=180°- ∠EAC=180-130=50,AB=S0≈2 名m.在R△EBD中，：i=DB:EB=1:1, BD=BE,CD+BC=AE+AB,即2+2=4+吾 解得x=12,即BC=12m.答：水坝原来的高度约为 12m.3.（1)设货物水平移动了xm.由题意，得 0,5=号，解得x=1.5答：货物水平移动的距离为 1.5m.(2)能达到目的.理由如下：当重心G落在直 线CD上时，过点E作货厢底部的垂线，垂足为H,交 BF于点I,过点G作GT⊥BF于点T,如图所示，此时 点E到货厢底部的距离最大，GT=FT-合EF=1m 货厢底部与地面平行，.∠IBH=∠BAD. ∠BIH=∠EIF,∠IHB=∠EFI=90°，.∠FEI= ∠IBH=∠BAD.:tan∠BAD=号E是=吉 FI 1 六FI=专EF=号m,EI=VEF+FT 2+()-2D(m.:∠ABD=∠GBT, 3 ∠BDA=∠GTB=90,∴∠BGT=∠BAD,87 含BT=吉GT=专m,BF=FT+BT=1+ 3-号m)Bl=BF-I=手-号=号(m》. 器-，H+(9H-Br,10= (号)IH=窖m,EH=EI+IH=2+ 3 0=110(m.10<2.5,∴货物的点E 15 -15 15 碰不到货厢顶部，∴.工人师傅能达到目的 D 练习33与圆有关的三角函数问题 1.(1)如图，过点A作AF⊥BC于点F,则∠AFB= 90°，∴.∠AFC=∠FCD=∠ADC=90°，∴.四边形 ADCF是矩形，∴.FC=AD,∴.BF=BC-CF=BC BF AD=0.64-0.24=0.4(m)AB=sin18≈0.4÷ 0.31≈1.29(m).答：AB的长约为1.29m M B D (2),∠NEM=90°+18°=108°，.MN的长为 108X0.8r=0.48π(m).答：小明头顶由点V运动到 180 点M的路径MN的长度为0.48πm.2.(1)如图1， 连接0A.由题意得，筒车每秒旋转360×名÷60= 在△ac0中，m∠A0C-8紧-2-错 ·∠A0C=43°，∴到达最高点所需时间为180一43 5 27.4(s). 水正 图1 《59 (2)如图2，过点P作PDOC,垂足为D.盛水筒P 浮出水面3.4s后，∠AOP=3.4×5°=17°， ∴.∠POC=∠AOC+∠AOP=43°+17°=60°.在 Rt△P0D中，0D=0P·cos60°=3X号=1.5(m), ..CD=O℃-OD=2.2一1.5=0.7(m).答：浮出水面 3.4s后，盛水筒P距离水面0.7m. N 水面 M 图2 (3)如图3，设切点为P,连接OP,延长CO与⊙O交 于点H,在R△0PM中，cos∠POM-8C-号， .∠POM=68°.在Rt△COM中，cos∠COM= OM=8=40,∠C0M=74°，∠P0H=180° OC_2.2_11, ∠POM-∠C0M=180°-68°-74°=38°，.需要的 时间至少为=-1.6(s. 水面 B 图3 练习34仰角、俯角问题 1.如图，过点O作OD⊥BC,交 BC的延长线于点D,过点O作 OE⊥AB,垂足为E.由题意得， E三 759 A0=7×5=35(m),OC=4× 5=20(m),OE=BD,OE//BD, .∠EOC=∠OCD=45°..∠AOC=75°，∴.∠AOE= ∠AOC-∠EOC=75°-45°=30°.在Rt△OCD中， CD=0C·os45°=20×2=102(m.在R△A0E 2 中，0E=A0·cos30=35×5=35)5(m),BD= 2 2 OE=35,5(m),.BC=BD-CD=35,3-102≈ 2 16(m).答：小李到古塔的水平距离BC的长约为16m 2.(1)7560解析：由题意得，∠MPA=60°， ∠NPD=45°，∴.∠APD=180°-∠MPA-∠NPD= 60》 180°-60°-45°=75°.如图1，过点A作AE⊥CD于 点E,则∠AED=90°，∠DAE=30°，.∠ADC= 180°-∠AED-∠DAE=180°-90°-30°=60°. M N 60y45° 530° 图1 (2)由题意可得，AE=BC=90m,EC=AB=10m. 在R△AED中，∠DAE=30,iam30-RE-PB6- 停，解得DE=30,5m,∴CD=DE+BC=(305+ 10)m.答：楼CD的高度为(30√3+10)m(3)如图2， 过点P作PG⊥BC于点G,交AE于点F,则∠PFA= ∠AED=90°，FG=AB=10m.,MN∥AE, .∠PAF=∠MPA=60°..∠ADE=60°，∴.∠PAF= ∠ADE.,∠DAE=∠30°，.∠PAD=∠PAF ∠DAE=60°-30°=30°.∠APD=75°，∴.∠ADP= 180°-∠PAD-∠APD=180°-30°-75°=75， ∠ADP=∠APD,.AP=AD,.△APF≌ △DAE(AAS),∴.PF=AE=90m,∴.PG=PF+ FG=90+10=100(m).答：此时无人机距离地面BC 的高度为100m. M 60y45 1309 图2 练习35方向角问题 1.(1)如图1，过点P作PD⊥AB于点D.设PD= xkm.在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD= 90°-45°=45°，.BD=PD=xkm.在Rt△PAD中， ∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，.AD= √5PD=√3xkm.BD+AD=AB,.x十3x=2, 解得x=√3一1.答：小船到海岸线1的距离为 (√3-1)km. 459 604 图1 图2 (2)W2解析：如图2，过点B作BF⊥AC于点F.根 据题意得，∠ABC=90°+15°=105°.在Rt△ABF 中，∠AFB=90,∠BAF=30,BF=2AB= 1km.在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC= 180°-30°-105°=45°.在Rt△BCF中，∠BFC= 90°，∠C=45°，∴.BC=√2BF=√2km,即点C与点B 之间的距离为W2km.2.(1)由题意可知，∠ACD= 15°+45°=60°，∠ADC=180°-45°-45°=90°.在 Rt△ADC中，AD=DC·tan∠ACD=100W3Xtan60°= 100√3×√3=300(m).答：点D与点A的距离为 300m.(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E. AB是东西走向，.∠ADE=45°，∠BDE=60°.在 Rt△ADE中，DE=AE=AD·sin∠ADE=300X sin45°=300×9=1502(m),在Rt△BDE中， 2 BE=DE·tan∠BDE=150√2×tan60°=150W2× √3=150√6(m),.AB=AE+BE=(150V2+ 150√6)(m).答：隧道AB的长度为(150√2+150W6)m 60°459 D 45f15 练习36与圆有关的锐角三角函数问题 1.(1)证明：AB是⊙O的直径，∠ADB=90°. ,∠B=∠E,∠CAD=∠E,.∠CAD=∠B, ∴.∠BAC=∠CAD+∠BAD=∠B+∠BAD= 180°-∠ADB=180°-90°=90°，即CA⊥OA.OA 是⊙O的半径，AC是⊙O的切线.(2)∠B= ∠EmE-nB-裙-号设AD=3m,则AB 5m,∴.BD=√JAB2-AD=√(5m)2-(3m)3=4m. BD=4,.4m=4,解得m=1,AD=3,AB=5. 8-品-amB=子AC=是AB=是X5= 4 只线段AC的长是空2.1证明：∠ABD 4 ∠CBE,.∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC,即 ∠ABC=∠DBE.AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, .∠DBE=∠ACB.又，·∠ADB=∠ACB, ∴∠DBE=∠ADB,.BE∥AD.(2)如图，连接 MC,设线段BE与⊙O的另一个交点为M,过点M 作MN⊥CE于点N.'∠ABC=∠DBE,∠BDE= ∠BAC,∴.∠E=∠ACB.,∠DBE=∠ACB, ∠E=∠DBE.四边形DBMC内接于⊙O, .∠DBE+∠DCM=180°.，∠MCE+∠DCM= 180°，∴.∠MCE=∠DBE,∴.∠MCE=∠E,.ME= MC..MN⊥CE,.CE=2NE.∠ABD=∠CBE, :AD=icME=MC=AD=6又cosE-器- 3即=3NE=2∴CE=2NE=2X2=4 练习37与二次函数有关的锐角三角函数问题 1.(1)-1解析：由题意得，2×(-2)2-2b-4= 0,解得=-1.(2)：an∠A0D=号，设D(2, 5),心号×(2)2-2-4=5，解得=-号=4 (含去)…D(-1,-8)“y=7-x-4=2(x 12-号，设新抛物线的函数表达式为y=(x m)-号-多-合×(m+10r-号，解得m 一3，m2=1(舍去)，∴.新抛物线的函数表达式为y= 合（x十3)一号.：在1的左侧，平移前后的两条抛物 线都下降，∴k≤-3.(3)如图，过点P作PV⊥CQ 于点V,设P(,2-一4.平移后抛物线的函数 表达式为y=司x-0+(合-4-4当x=1时， y=-2-2,Q(1,-2-)由题意易得 ∠cPQ=9o.:Qv=(e-2-2)-(2-t-4) 2-计，cv=(2-t-4)-(-8)= 《61 t+1 .QV-CV,.PV-CV-QV,-1=- 什分解得4=3,6=-1,6=4=1（合去.当1=3 时=号×32-3-4=-号点P的坐标为 (3,-)或(-1.-) 2.（1)将二次函数y=ax2(a>0)的图像向右平移 1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛 物线的函数表达式为y=a(x-1)2-2.OA=1, 点A的坐标为（一1,0），代人抛物线的表达式，得 4a-2=0,解得a=弓，∴抛物线的函数表达式为y一 合(x-1)2-2,即y=合d-x-多令y=0,即 号x-x一昌-0，解得五=一1，a=3,点B的坐标 为(3,0)，.AB=OA+OB=1+3=4.△ABD的面 积为5，Sm=号AB·加=5,0=多令号 合女-一号解得石=一2，=4点D的坐标为 (4,号)将点A、D的坐标代入y=z+b,得 一k十b=0, = 2 经+6多.部得 .直线AD的函数表达式 =2 为y=+ (2)如图，过点E作EM∥y轴 交AD于点M.设E(m,号m-m-是)，则 Mm,2m+2)M-a+号（合-m2)于 -SAAME-SACx EMx1=2(-2m+号m+2）×1=-(m2 3m-4)=-(a-）+瓷当m-是时，△ACE 62》 的面积取得最大值，此时点E的坐标为（多，一8） 练习38相似中的三角函数问题 1.(1)∠ACB=90°，D是边AB的中点，.CD=DB. DE平分∠CDB..CE-=BE=号BC=号X4=2. (2)①当△CEF△ABC时，则∠ECF=∠BAC, ∴.∠ECF+∠ABC=∠BAC+∠ABC=90°， ∴.∠CDB=90°.DE平分∠CDB,∴.∠CDE=45°， '.tan∠CDE=l;当△CEF△BAC时，则∠ECF= ∠B,.CD=DB.DE平分∠CDB,DE⊥BC, ∴.DE∥AC,∴.∠BDE=∠A,.tan∠CDE= 【an∠BDE=tanA=BC=62=4元二5.综上所 述，tan∠CDE的值为1或25.②如图，过点E作 51 EH⊥DB,垂足为H,则EF=EH,DF=DH. ,△BDE的面积是△DEF面积的2倍，∴.DH HB,∴.DE=EB,∴.∠EBH=∠EDB=∠CDE, △CDE∽△CBD.:os∠CBA=s=号 cos∠HBE-8跟-e0s∠CBA8-号B 邵是：△cDE△cBD,∴B5-恶 BD 4' 4.CB=4,.CD=3,CE=9 4 2.(1)E是边BC的中点，.BC=2BE=2√2. 四边形ABCD是矩形，.AD=BC=2√2，∠B 90°，AD∥BC,.∠AEB=∠DAF.:DF⊥AE, ∠AFD=90=∠B,△ABEn△DFA 8器AE·AF=AD:BE=2EXE=4.(2②)如 图1，延长DF交CB的延长线于点H,连接DE、 AH.四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,AD= BC,∠BCD=90,△ADG∽△CHG,9 器-号∴8器-台，即C4m=号BH 号BC.:E是边BC的中点，BE=CE=BH, ∴.EH=BC=AD,∴.四边形ADEH是平行四边形 ,DF⊥AE,.四边形ADEH是菱形，∴DF=HF, ∠AEH=∠AED,DE=AD=EH=BC,∴.CE= 2DE,∠CDE=30°，∠CED=90-∠CDE= 90°-30°=60，∠AEH=∠AED=号(180°- ∠CED)=号×(180°-60)=60.：DF LAE, ∴.∠FDE=90°-∠AED=90°-60°=30°=∠CDE, ∴FE=CE,∴∠FCE=∠CPE=号∠AEH=号X 60°=30，.cos∠FCE=3 2 图1 图2 解析：如图2，过点F作PQ⊥AB于点P,交 CD于点Q,过点K作KN⊥AD于点N,则PQ= AD,AP=DQ,PQ∥BC∥AD.G是边AB的中 点，E是边BC的中点，∴AB=2AG,BC=2BE.,四 边形ABCD是矩形，∴.AD=BC,AB=CD,∠B= ∠DAG=90°.，DF⊥AE,.∠ADF+∠DAF= ∠BAE+∠DAF=90°，.∠BAE=∠ADF, △ABB∽△DAG,祭-器AB·AG AD·BE,即号AB=名AD,AB=AD,四边形 ABCD是正方形，.AB=BC=CD=AD=PQ.设 AB=BC=CD=AD=PQ=4a,BE=AG=2a, :tan∠ADG=an∠BAE=器-合AE=DG= √/(2a)2+(4a)7=25a.,DF⊥AE,∴.AF= AGAD-gX=g。PQ/BC,△APFn DG 2v5a 4v5 M品-器告-器2 得AP-号，PF-青a,CQ=PB=AB-AP da-a-a.FQ-PQ-PF-4a-ta-15a. 5a=5a. :KNLAD..tr∠ADG-S-安：设KN-x,则 DN=2x.,PQ∥AD,AK∥FC,∴.∠DAF= ∠QFE,∠KAF=∠CFE,∴.∠DAK=∠QFC.又 :∠ANK=∠FQC=90°，.△ANK∽△FQC, 船-8即鸢=这郎得AN=音x :AN+DN=AD,告+2z=4a,解得z=号a, 4 KN=号a:△ADK的面积为S,=AD·KN, △cDF的面积为S,=合CD·FQ多-0 S2 6 3 16 81 练习39动点中的相似问题 1.(1),∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,.AB= AC+BC=10cm,当△BPQ∽△BAC时，月 器即酷-8g,解得=1，当△BPQ△BCA时， 108 既-器即智-8。解得1一器综上所述，当 8 △BPQ与△ABC相似时，：的值为1或器 (2)如 图，过点P作PE⊥BC于点E,则△BPE∽△BAC, 部-器即治-愕，解得PE=y=名× (8-4t)×3t=-6t2+12t. (3)y=-6t2+12t=-6(t-1)2+6,.当t=1时， y有最大值，最大值为6.2.(1)1.25解析：由题 《63提分练习 练习24正切(1) 【方法提示】计算角的正切值的关键是计算对边与邻边之比，如果没有直角三角形，需作垂 直构造直角三角形。 1.(2022·荆州)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴 负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC=1:2,连接AC,过 点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若点P的坐标为(1,1)，则 tan∠OAP的值是 ( ) A.③ c D.3 3 2.如图，在△ABC中，∠C=150,AC=4,anB=君 (1)求BC的长 (2)利用此图形求tan15°的值. 3.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,A是BDC的中点，AE⊥AC,与⊙O及CB的延长 线分别交于点F、E,且BF=AD (1)求证：△ADC∽△EBA. (2)若AB=8,CD=5,求tan∠CAD的值. 0 24》 九年级下册 练习25正切(2) 【方法提示】计算角的正切值的关键是计算对边与邻边之比，如果没有直角三角形，需作垂 直构造直角三角形。 1.已知正方形ABCD的边长为2，P是直线CD上的一点.若DP=1,则tan∠BPC的值 是 2.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的 延长线于点E,且AE⊥CE,连接CD. (1)求证：DC=BC. (2)若AB=5,AC=4,求tan∠DCE的值. 3.如图，抛物线y=一x2+3x十4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点D在抛物线 上，且横坐标为3，连接BD, (1)求tan∠DBC的值. (2)P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标. 《25 提分练习 练习26正弦、余弦(1) 【方法提示】计算角的正弦、余弦值的关键是正确理解正弦、余弦的定义，计算对边与斜边、 邻边与斜边之比，如果没有直角三角形，需作垂直构造直角三角形。 1.已知在△ABC中，AB=7,AC=8,BC=5,则sinC= 2.如图，D是⊙O的直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO. (1)求证：BD是⊙O的切线. (2)若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F,且△BEF的面积为8，cos∠BFA= 号，求△ACF的面积 B 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AD与x轴平行，且边BC、边AD 与二次函数y=一x2十bx十c的图像分别交于点E、F和点A、G,其中点A的坐标为 1,2,点E的坐标为(2，m,连接AE,tan∠BAE= (1)求m的值及二次函数的表达式. (2)连接AF,求sin∠EAF的值. 26》 九年级下册 练习27正弦、余弦(2) 【方法提示】计算角的正弦、余弦值的关键是正确理解正弦、余弦的定义，计算对边与斜边、 邻边与斜边之比，如果没有直角三角形，需作垂直构造直角三角形. 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是斜边AB的中点，MD∥BC,且MD=CM, DE LAB于点E,连接AD、CD、BD.设△MDE的面积为S,四边形BCMD的面积为S2, 当S:=号S,时，求cos∠ABC的值 2.如图，在⊙O中，AB是直径，弦CDLAB,垂足为H,E为BC上一点，F为弦DC的延 长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G,连接AE交CD于点P,且 FE=FP. (1)求证：FE是⊙O的切线. (2)若⊙0的半径为8，sinF-子，求BG的长. 3.如图，BC是⊙O的直径，AD=DC,弦AC与BD交于点E. (1)求证：△ABE△DBC (2)已知BC-多，CD-5,求sin∠AEB的值 《27 提分练习 练习28三角函数有关的阅读理解题 【方法提示】解答阅读理解题的关键是正确理解相关概念、材料的内涵，将问题转化为锐角 三角函数问题作答， 1.学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互 唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等腰三角形中建立 边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作顶角的正对(sd).如图， 在△ABC中，AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA二底边-，容易知道 一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述顶角的正对定义，若 sinA=号，其中∠A为镜角，试求sadA的值。 2.先完成填空，再按要求答题. (1)计算：sin230°+cos230°= ,sin245°+c0s245°= ,sin260°+c0s260°= ;观察上述等式，猜想：对任意锐角A,都有sinA十cos2A= (2)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的 猜想 (3)已知0<∠A<90且sinA·cosA-号求sinA+cosA的值 28》 九年级下册 练习29网格中的锐角三角函数值问题 【方法提示】根据网格的特征构造直角三角形，再结合锐角三角函数的定义计算， 1.如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在小正方形的 顶点上，则∠AOB的正弦值是 ( ) A.30 B. 10 C.3 10 10 D.2 B B D (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，点A、B、C、D都在8×8的正方形网格的格点上，AB、CD相交于点E,则∠AED 的正切值是 () A.2 B. 3 c D.5 3.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的 正切值是 4.如图，在4×3的正方形网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交 于点P,则tan∠APC的值是 5.图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶 点称为格点，点A、B均在格点上.在给定的网格中，只用无刻度的直尺按下列要求作 图，并保留作图痕迹， (1)在图1中画∠ABC,使tan∠ABC=1. (2)在图2中画∠ABD,使tan∠ABD=】 2 (3)在图3中画∠ABE,使tan∠ABE= 图1 图2 图3 《29 提分练习 练习30解直角三角形(1) 【方法提示】解直角三角形的关键是能够正确运用锐角三角函数的定义，求出三角形中的 未知量，若没有直角三角形，需作垂直构造直角三角形 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90,tan∠BAC=,AD=2,BD=4,连接CD,则CD长 的最大值是 () A25+ B.25+1 C.25+ D.25+2 0 (第1题) (第2题) 2.如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，sinA=号，AD=6,BC=CD,AB=ECD,那么 BC的长为 3.如图，□ABCD在平面直角坐标系xOy中，AD=6.若OA、OB的长是关于x的一元二 次方程x2一7x+12=0的两个根，且OA>OB. (1)求sin∠ABC的值. (2)连接OD,若E为x轴上的点，且SaE=号，求出点E的坐标，再判断△4OE与 △DAO是否相似，并说明理由. 0 30》 九年级下册 《 练习31解直角三角形(2) 1.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90,AB=3,BC=2,tanA=专，则CD的 长为 () A.青 D.2 D C B (第1题) (第2题) 2.如图，在四边形ABCD中，AB/CD,CD=CB,sin∠BAD=号，∠BCD=60°，连接AC, 则tan∠ACD= 3.如图，四边形ABCD为正方形，E为边BC上一点，将正方形ABCD折叠，使点A与 点E重合，折痕为MN.若tan∠AEN=名，DC+CE-I0, (1)求△ANE的面积. (2)求sin∠ENB的值. 《31 提分练习 练习32坡度和坡角问题 【方法提示】在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构造直角三角形，坡角即是一锐角， 坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。 1.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固.如图，加固前 D 拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB=12m, E 背水坡面CD=12√3m,∠B=60°，加固后拦水坝的横断 面为梯形ABFD,amE=,则CE的长为 m. 2.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是： 水坝加高2m(即CD=2m),背水坡DE的坡度i=1：1(即DB:EB=1:1),如图， 已知AE=4m,∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC.（参考数据：sin50°≈0.77， cos50°≈0.64，tan50°≈1.2) D ------ 3.货车长方体货厢的净高BC为2.5m,底部B离地面的高度BD为1.2m.现欲将高为 2m的正方体货物装进货厢，工人师傅搭了坡度为1：3的坡面AB (1)若货物从如图所示的位置升高0.5m,求货物水平移动的距离 (2)由于货物较重但分布均匀，工人师傅试图将货物沿坡面AB推到适当位置后，再轻 松平放进货厢.请问：能否达到目的？为什么？ 货厢 B/货物 577777K1752 o 备用图 32 九年级下册 《 练习33与圆有关的三角函数问题 【方法提示】解答这类问题的关键是根据条件构造直角三角形， 1.图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由 EN位置运动到与地面垂直的EM位置时的示意图.已知BC=0.64m,AD=0.24m, a=18°.（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） (1)求AB的长.（精确到0.01m) (2)若测得EN=O.8m,计算小明头顶由点N运动到点M的路径MN的长度.（结果 保留π) 图 图2 2.筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈延章在《水轮赋》中写道：“水能利 物，轮乃曲成.”如图，半径为3m的筒车⊙0按逆时针方向每分钟转哥圈，简车与水面 分别交于点A、B,筒车的轴心O距离水面的高度OC为2.2m,筒车上均匀分布着若 干个盛水筒.若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间. (1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？ (2)浮出水面3.4s后，盛水筒P距离水面多高？ (3)若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M,MO=8m.求盛水 筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上.参考数据：cos43°= sim47r≈号sin16=c0s74≈0sin2°=c0s68"≈g) 水面 《33