第六章提分练习（练习13～练习23）-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级下册数学同步练习课时基础强化版（苏科版）

九年级下册 练习13黄金分割 【方法提示】在根据黄金比计算时，要注意如果要计算近似值，一般用0.618直接计算；如 果没有要求近似值，黄金比需用5计算，还要看清是哪两条线段的比是黄金比， 1.如图1，线段AB长为2，C是线段AB上一动点（不与端点重合），设BC长为x,如 图2，在同一平面直角坐标系0y中，甲表示-C的值随x的变化情况，乙表示 BC 为-S的值随z的变化情况，则点P所对应的x值为 () A.5-1 B.1 C.√5-1 D.5+1 2 2 甲 图1 图2 B (第1题) (第2题) 2.如图，△ABC是顶角是36°的等腰三角形，若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形 (底与展的比为5的三角彩是赏金三角形)者AB=8,侧则DB 3我们如道：如图1，点B把线段AC分成两部分，如果%是那么称B为线段AC的 黄金分割点，两组线段的比值为5.1 2 (1)在图1中，若AC=20cm,则AB的长为 cm. (2)如图2，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕 EF,连接CE,将CB折叠到CE上，得折痕CG,点B的对应点为点H.求证：G是线 段AB的黄金分割点. B 图1 图2 《13 提分练习 练习14平行线分线段成比例 【方法提示】解答三角形相似问题时常需利用平行线构造相似三角形解决问题 1.如图，在△ABC中，M为边AC的中点，E为边AB上一点，且AE-AB,连接EM并 延长交BC的延长线于点D,求证：BC=2CD.(请用四种方法解决) 2.如图，已知在△ABC中，AB=AC=2√5，BC=4,线段AB的垂直平分线DF分别交边 AB、AC、BC所在直线于点D、E、F. (1)求线段BF的长 (2)求AE:EC的值. 14》 九年级下册 练习15一线三等角证相似 【方法提示】一线三等角模型常用于构造全等或相似，其目的是转化线段位置，根据全等三 角形的性质（对应线段相等）或相似三角形的性质（对应线段成比例）计算未知线段的长度 1.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE,且∠B=∠ADE= ∠C. (1)证明：△BDA∽△CED (2)若∠B=45°，BC=2,当点D在BC上运动时（点D不与点B、C重合），且△ADE 是等腰三角形，求此时BD的长. 2.【感知】 如图1，在四边形ABCD中，点P在边AB上（不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC= 90°，则有△DAP∽△PBC(不要求证明). 【探究】 如图2，在四边形ABCD中，点P在边AB上（不与，点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC (1)求证：△DAP∽△PBC. (2)若PD=5,PC=10,BC=9,则AP的长为 【应用】 如图3，在△ABC中，AC=BC=8,AB=12.点P在边AB上（不与点A、B重合），连接 CP,作∠CPE=∠A,PE与边BC交于点E. (3)当CE=3BE时，求AP的长. (4)当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长. 图1 图2 图3 《15 提分练习 练习16手拉手模型证相似 【方法提示】手拉手模型： 1.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE,连接BD、CE. 若AC:BC=3：4,则BD:CE为 () A.5:3 B.4:3 C.5:2 D.2:3 (第1题) (第2题) 2.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到 矩形GBEF,点G落在矩形ABCD的边CD上，连接CE,则CE的长是 3.如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE十∠CBE=90°， 连接BF, (1)求证：△CAE∽△CBF. (2)若BE=1,AE=2,求CE的长 16》 九年级下册 练习17相似三角形分类讨论 【方法提示】在遇到一个三角形与另外一个三角形相似，而对应关系没有明确的情况下需 分类讨论 1.如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=3,BC=4,动点D从点A 出发沿射线AC方向以2个单位长度/s的速度运动，E是边BC的中 点，连接DE.设点D的运动时间为ts.当t的值为 时，△ABC 与△CDE相似. A 2.如图，四边形ABCD是正方形，P为射线DC上的一个动点，Q是边AB的中点，连接 PQ、DQ,过点P作PE⊥DQ于点E. (1)请找出图中的一对相似三角形，并证明， (2)若AB=4,以点P、E、Q为顶点的三角形与△ADQ相似，求DP的长. 3.如图，已知二次函数y=一x2十bx+c的图像与x轴交于点A(一3,0)和点B,与y轴交 于点C(0,3),点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A,点C). (1)求该二次函数的表达式。 (2)如图1，连接PA、PC,求△PAC的面积的最大值. (3)如图2，过点P作PD⊥x轴于点D,与AC交于点Q.探究是否存在点P,使得以点 P、C、Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存 在，请说明理由， 图1 图2 《17 提分练习 练习18三角形重心问题 【方法提示】三角形重心是三条中线的交点，将三角形中线分成1：2两部分 1.如图，G是△ABC的重心，过点G作MN∥BC分别交AB、AC于点M、N,过点N作 ND∥AB交BC于点D,则四边形BDNM与△ABC的面积之比是 () A.1:2 B.2:3 C.4:9 D.7:9 (第1题) (第2题) 2.如图，D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点E,易得AD:DE=2:1,过 点D作DF∥AB,DG∥BC分别交BC、AC于点F、G,则△DEF与△ADG面积的比 值为 3.在图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE,垂足为P.设BC=a,AC= b,AB=c. (1)①如图1，当∠ABE=45°，c=2√2时，a= ,b= ②如图2，当∠ABE=30°，c=8时，a= ,b= (2)观察(1)中的计算结果，猜想a2、b、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用 图3证明. 45 302 图1 图2 图3 18 九年级下册 练习19相似三角形的面积比 【方法提示】计算三角形面积之比的两种常用方法：(1)高相同，面积之比等于底之比；(2)相 似三角形面积比等于相似比的平方. 1.如图，O为△ABC内任意一点，连接OA、OB、OC,D、E、F分别为AC、BC、OC的中点， 连接DE、EF、FD (1)求证：△DEF∽△ABO. (2)当∠AOB=90°，AO=8,BO=6时，求△DEF的面积 2.如图，在□ABCD中，AC、BD交于点O,M是边AD的中点，连接MC交BD于点N, ON=1. (1)求证：△DMN∽△BCN. (2)求BD的长， (3)若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积. 《19 提分练习 练习20相似三角形的对应高之比 【方法提示】相似三角形对应高之比等于相似比. 1.如图，正方形OPQR内接于△ABC.已知△AOR、△BOP和 △CRQ的面积分别是S1=1,S2=3和S3=1,那么正方形OPQR 的边长是 ( A.1 B.√2 C.3 D.2 2.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC=200mm,高AD=150mm,要把它加工成 一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上. (1)设PN=xmm,矩形PQMN的面积为Smm,求S关于x的函数表达式，并指出 x的取值范围 (2)当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？ 3.如图，已知△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,点P在边AC上（与，点A、C不 重合)，点Q在边BC上. (1)当△PQC的周长是△ABC周长的一半时，求CP的长. (2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长， (3)试问：在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要 说明理由；若存在，请求出PQ的长， 20 九年级下册 练习21图形的位似以 【方法提示】位似图形的位似比等于相似比，利用位似可以将图形根据要求放大或缩小. 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A在第二象限，点B的坐标为（一2， 0),点C的坐标为（一1,0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形 △A'BC.若点A的对应点A'的坐标为(2，一3)，点B的对应点B'的坐标为(1,0)，则 点A的坐标为 () A.(-3,-2) B.（-2,2 D.(2) (第1题) (第2题) 2.《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正 方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'.若 A'B′：AB=2:1,则四边形AB'CD'的外接圆的周长为 3.如果两个一次函数y=k1x十b1和y=k2x十b2满足k1=k2,b1≠b2,那么称这两个一次 函数为“平行一次函数”.如图，函数y=一2x十4的图像与x轴、y轴分别交于A、B两 点，一次函数y=k.x十b与y=一2x十4是“平行一次函数” (1)若一次函数y=x+b的图像过点(3,1)，求b的值 (2)若一次函数y=x十b的图像与坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位 似中心为原点，相似比为1：2，求这个一次函数的表达式 3 1013456 《21 提分练习 练习22平行投影问题 【方法提示】在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例，本质上就是 两个三角形的对应边成比例. 1.体育馆前面有一个半圆形公益广告牌，如图所示，小明和小 丽两位同学认为要测得广告牌的半径，按以下方案获取数据 后即可求得：他们先测得广告牌的影长为12m,然后小明让 小丽站立，测得小丽的影长为2.4m,已知小丽同学的身高为1.6m.那么广告牌的半 径是 () A.6m B.1213 m C.(9√/13-27)m D.83-16 m 13 3 2.图1是一张折叠桌，桌板DEIJ固定在墙上，支架AD、HE绕点D、E旋转时，AD∥HE, 桌板边缘AH∥BG∥CF∥DE,桌脚AN⊥AH,桌子放平得图2.图3是打开过程中的 侧视图，当点N在直线CF上时，点N到墙OE的距离为 cm.视图中以C、K为顶 点的长方形表示一个圆柱体花瓶，桌子打开至点M、C、F在同一直线时，桌板边缘GL 恰好卡在点K,为不影响桌板BG收放，则至少将花瓶沿CF方向平移 cm. 150cm C(G BH 72 cm M N12 cm 7777777777770 图1 图2 图3 3.如图，平台AB上有一棵直立的大树CD,平台的边缘B处有一棵直立的小树BE,平台 边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高 度.一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶 端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的点F处，经测量，CB=5√3m, BF=2m,小树BE高为1.8m,斜坡BG与平台AB所成的∠ABG=150°.请你帮小明 求出大树CD的高度. D 22值为智，此时，点P的坐标为（受，） B 图1 图2 (3)存在.如图2，连接PP交CO于点E.若四边形 POPC是菱形，则OP=PC,∴.PE⊥OC,OE=CE= 多设点P的坐标为，2+2x十3)则-+2z十 3=号，解得2+四，-2①（不符合题意， 2 2 合去)点P的坐标为(2+，》，2(1)令 x=0,则y=2,.C(0,2),∴.OC=2;OB=4, B(4,0),将B(4,0)代入y=ax2+5x+2,解得 a=一抛物线的函数表达式为y=一圣2十 8x+2。(2)令y=0,即-是2+号 ?x+2=0,解得 2=4或x=-号A(一号0）将原抛物线的函数 表达式改为顶点式为y=一 (-)+铝：向 左移动m个单位长度，使抛物线与△ABC的边有且 只有一个交点，∴.平移后的抛物线经过点A, -引-号-号+m+铝=0，解得m=0合去)或 m兰∴m= 31 ,(3)设直线BC的函数表达式为 y=x+b,将B(4,0).C0,2)代入，得+6=0， 解得 b=2, 1 n一2'：直线C的函数表达式为y=一x十2 b=2, 如图，过点M作MN⊥x轴，交直线BC于点N,设 M,-+号4+2则Ne,-+2)MN= -是+84+2+24-2=-+3，S6- 2MN.0B=号×(-是+3×4=-g4-2)+ 6.满足S△McB=(k为常数)的点M有且只有一 个，t=2,∴点M的坐标为(2,4). 练习13黄金分割 1C解折图俊与图像交于点户小瓷器， .BC心=AC·AB,∴.对图1来讲，C刚好是黄金分割 点，∴BC=52AB.:AB=2,∴BC=5X2= 2 5-1,.x=√5-1，.点P所对应的x值为√5-1. 2.12-4√5解析：，△ABC是黄金三角形，AB= 8,BC=5,1AB=5,1×8=45-4. 2 2 :△BDC是黄金三角形，DC=5BC=-52× 2 (4√5-4)=12一4√5.，△DEC是黄金三角形， .DE=DC=12-4√5.3.(1)(105-10)解析： A8-5,-1,AC=20cm,AB=(10W5-10)cm. AC 2 (2)证明：如图，延长CG交DA的延长线于点J.由 折叠可知，∠BCG=∠ECG.:AD∥BC,.∠J= ∠BCG=∠ECG,.JE=CE.由折叠可知，E、F分别 为边AD、BC的中点，∴.DE=AE=10cm.由正方形 的性质得，∠D=90°.在Rt△EDC中，由勾股定理得 CE=√DE+CD=√102+20=105(cm),∴.JE= 105 cm,.'.AJ=JE-AE=(105-10)cm..'AJ// BC△AGI△BGCe=0=105.10- 20 器6搬器6送 线段AB的黄金分割点. D 《47 练习14平行线分线段成比例 1.证法一：如图1，过点C作CF∥DE,交AB于 点F.ME/CP,∴器-又：M为边AC的 中点，AM=MC,AE=EE.:AE=AB, EF=AB,BF=号AB,BF=2ER.:CF∥ DE8S-邵-2BC=2cD, E 图1 图2 证法二：如图2，过点E作EN∥AC,交BD于点N. EN∥AC,六--器AE-AB, BE=AB器-g器=是BC=4NCM 为边AC的中点，即AC=2MC器=号MC/ ENDc-2NC..Bc-2cD. 证法三：如图3，过点C作CP∥AB,交DE于点P. CP∥AE,∴器-：M为边AC的中点，即 AM-CM,:CP-AE.AE-AB,:CP- 青AB,CP=}BECP/BE,器-品-3 ∴.BD=3CD,.BC=2CD. 图3 图4 证法四：如图4，过点E作EQ∥BD,交AC于点Q. Q∥BC器-怨-福-子BC=4BQ AC=4AQ..M为边AC的中点，即AM=CM, 0M-2Mam/cD.8器-8别-2cD 2EQ,∴.BC=2CD.2.如图，过点A作AH⊥BC于 48> 点H,过点C作CG∥AB,交DF于点G.(1).AB= AC=25,BC=4,BH=CH=号BC=2.在 Rt△AHB中，由勾股定理得AH=√JAB2一BH= √(2V5)2-22=4.,DF垂直平分AB,.BD=√5， ∠BDF=90°.，∠ABH=∠FBD,∴.Rt△FBD∽ △ABH器-器-鼎即2E-停aE- 2√5 5.(2).BF=5,BC=4,∴.CF=BF-BC=5-4= 1.,CG∥AB,.△CGFp△BDF,△CGE∽△ADE, 品-器-日祭-器-梁-5AEC的 值为5. 练习15一线三等角证相似 1.(1)证明：，∠B=∠ADE=∠C,∠BAD=180°- ∠ADB-∠B,∠CDE=180°-∠ADB-∠ADE, ∴.∠BAD=∠CDE,∴.△BDAD△CED.(2)若 AD=AE,则∠1=∠AED.:∠B=45°，∴.∠1= ∠AED=45°，∴∠DAE=90°，点D与点B重合， 点E与点C重合，不符合题意，舍去；若EA=ED,如 图1，则∠EAD=∠1.∠B=45°，∴.∠EAD=∠1= 45°.∠BAC=90°，∴∠BAD=∠EAD=45,.AD平 分∠BAC,∴.AD垂直平分BC,∴.BD=1;若DA=DE, 如图2，，'∠1=∠C,∠DAE=∠CAD,∴.△ADED △ACD,∴.AD:AC=DE:CD.,△ABC是等腰直 角三角形，BC=2,∴AB=AC-号BC=E,∴DC CA=√2，.BD=BC-DC=2一√2.综上所述，当 △ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2一√2. 图1 图2 2.(1)证明：由三角形外角的性质可得，∠DPB ∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.,∠A=∠DPC, .∠BPC=∠ADP.又∠A=∠B,.△DAP∽ △PBC. (②)号解析：设AP=x由(1得，△P8C △DAP器-S,即9-是，解得x=号AP 的长为号。(3)设AP=,则BP=12-云.BC= AC=8,CE=3BE,.∠A=∠B,BE=2,CE=6. ,∠CPE=∠A,∠CPB=∠CPE+∠EPB= ∠PCA+∠A,∴.∠EPB=∠PCA,.△PBE∽ △CAP,器即。-子，整理得d-12x+ 8 x 16=0,解得x=6十2√5或x=6-2√5，AP的长为 6+2W5或6-2V5.(4)由(3)可得，∠CPE=∠A= ∠B,∴.∠CEP=∠B+∠EPB>∠CPE,则△CPE为 等腰三角形，有两种情况：CP=PE或CE=PE.当 CP=PE时，由(3)可知，∠A=∠B,∠EPB= ∠PCA,∴.△PBE≌△CAP(AAS),∴.BP=AC=8, ∴.AP=AB-BP=12-8=4;当CE=PE时，∠EPC= ∠PCE,则∠EPC=∠PCE=∠A=∠B,∴.△EPC∽ △cAg瓷-器设CE=P=,则E=8 营-器cp=号 x.由△PBED△CAP可得， eAC,即-P PE BP 零，解得BP=9AP=AB 22 BP=12一9-9综上所述，AP的长为4或号 练习16手拉手模型证相似 1.A解析：∠ACB=∠AED=90°，∠ABC= ∠ADE,∴.△ABCD△ADE,∴.∠BAC=∠DAE, AS-AS∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE, 即∠CAE=∠BAD,△MCE△ABD,82 AB:AC:BC=3:4,∠ACB=∠AED=90, AC' .AB:AC:BC=5:3:4,.BD:CE=5:3. 2.30解析：如图，连接AG,由旋转变换的性质 可知，∠CBE=∠ABG,BG=BA=5,BE=BC=3. 由矩形性质得CD=AB=5,∠BCD=∠ADG=90°. 在Rt△BCG中，由勾股定理得CG=√BG-一BC √52-32=4，∴.DG=CD-CG=5-4=1.在 Rt△ADG中，由勾股定理得AG=√AD+DG V3+T=.“-e∠ABG=∠CBE, △AIACBE小恶-器-合CE-号AG 昌×-3 5 3.(1)证明：，△ABC和△CEF均为等腰直角三角 形，能-8票-E,∠ACB-∠ECF=45, ∴.∠ACB-∠ECB=∠ECF-ECB,即∠ACE= ∠BCF,∴.△CAEn△CBF.(2).△CAE∽ △CBF,∠CAE=∠CBF,-A瓷-E.又 :AE=2,∴品=E,BF=E.义：∠CAE+ ∠CBE=90°，∴.∠CBF+∠CBE=90°，∴.∠EBF= 90°，∴.EF2=BE2+BF2=12+(√2)2=3，∴.CE2= 2EF2=2X3=6,∴.CE=√6. 练习17相似三角形分类讨论 1.或或或 解析：“E是边BC的中点， “CE=号BC=7×4=2.①当点D在线段AC上 时，若△CAB△CDE,则0-是，即32专解 得：=：若△CAB∽△CED,则0-部，即号 32解得1=合②当点D在线段AC的延长线上 时，若△CAB△CDE,则器-是，即22g告解 得：=是：若△CABO△CED,则2-器，即号 产g解得4-吕综上所述，当：的值为或日或 4 号或号时，△ABC与△CDE相似.2.I)△ADQ △EPD.证明如下：，四边形ABCD是正方形， .∠A=∠ADC=90°，.∠ADQ+∠EDP=90°.又 《49 PE⊥DQ,∴.∠DEP=∠A=90°，∠EDP+ ∠DPE=90°，.∠ADQ=∠EPD,∴.△ADQD △EPD.(2),AB=4,Q是边AB的中点，∴AQ=2, .DQ=√AD2+AQ=√42+2=25..∠PEQ= ∠A=90°，.以P、E、Q为顶点的三角形与△ADQ 相似有两种情况.①当△ADQ△EPQ时，沿 船=2，设EQ=z,则EP=2z,DB=25-,由(1 知，△AD0△EPD,器-胎即经-2兰。 4 2 解得x=√5，∴.EQ=√5，EP=2W5,DE=√5，∴.DP= √DE+EP=√(W5)2+(25)2=5;②当△ADQ0 △mP时，8=部=2，设EP=a,则EQ=2a, DB=25-2a,同理可得只=25,2a,解得a= 2 5BP-5,B085,DE=5,Dp EP+DE=)+()-2,综上所述， DP的长为2或5.3.(1)把A(-3,0)、C(0,3)代入 (c=3, b=一2， y=-x2+bx+c,得 解得 -9-36+c=0,c=3, .该二次函数的表达式为y=一x2一2x十3.(2)设 直线AC的函数表达式为y=kx十m,把A(一3,0)、 C0,3)代人，得厂36+m=0, 解得1：直线 m=3, m=3, AC的函数表达式为y=x十3.过点P作PN∥y轴 交直线AC于点N,如图1，设P(t,-t-2t+3),则 N(t,t+3),∴.PN=-t-2t+3-(t+3)=-t 3t:.Soncr-SeAN+SAGN-X3XPN-PN- +30)=一+}+当4=-8时， 56有录大值，最大值为号 图1 50》 (3)当△CPQ∽△ADQ时，如图2，.∠CPQ= ∠ADQ=90°，.CP∥x轴，.点P的纵坐标为3， ∴.3=-x2-2x十3，解得x1=0(舍去)，x2=-2, P(-2,3);当△PCQn△ADQ时，如图3，过点C 作CM⊥PD于点M,.∠PCQ=∠ADQ=90°， C(0,3),A(-3,0),PD⊥x轴，.OC=OA=3, ∠OAC=45°，.∠CQP=∠CPQ=45°，∴.PC=QC, ∴.PQ=2CM,由(2)得PQ=-x2-3x,CM=-x, .-x2-3x=-2x,解得x1=0(舍去)，x2=-1, ∴.P(一1,4).综上所述，点P的坐标为（-2,3)或 (-1,4). 图2 图3 练习18三角形重心问题 1.C解析：如图，连接AG并延长AG交BC于点 H.G是△ABC的重心，.AG:AH=2:3, GH:AH=1:3.,MN∥BC,∴.AM:AB=AG: AH=2:3,BM:AB=GH:AH=1:3..'△AMN∽ 4 S△ABC 号S.:ND∥AB,MN∥BC,四边形MNDB 是平行四边形，.DN=MB,DN:AB=1:3. :△cDN△cBA,∴=（器'=（专）° S△CBA Sn=S=合Sae四 .1 边形BDNM与△ABC的面积之比是4：9. 2.专解析：D是△ABC的重心，AD:AE= 2:3,DE:AE=1:3,E是边BC的中点.DF∥ AB,DG∥BC,∴.△DEF∽△AEB,△ADGC∽ △AEC,.SADEF= 5-@-司 AD)2= ”S△AEB A g@,7BB=CESe=Sm2器=子 3.(1)①252√5解析：如图1，连接EF,则EF 是△ABC的中位线，∴EF=号AB=V反.：∠ABE= 45°，AF⊥BE,∴.△ABP是等腰直角三角形.，EF∥ AB,∴.△EFP也是等腰直角三角形，∴.AP=BP= 2,EP=FP=1,∴.AE=BF=√5，∴.a=BC=2BF= 2√5，b=AC=2AE=2√5.②4√134√7解析： 如图2，连接EF,则EF是△ABC的中位线. ∠ABE=30°，AF⊥BE,AB=8,∴AP=4,BP 3AP=4F.EF∥AB,EF=号AB=4,∴PF= 合EF=2,PE=5PF=2E,AE=2万，BF= 2√/13，∴.BC=a=2BF=4√13，b=AC=2AE=4W7. (2)a2十b2=5c2.理由如下：如图3，连接EF,设 AP=m,BP=n,则c2=AB2=m2+n2.,EF∥AB, EF-TAB,+.PE-2BP-En,PF-TAP-m .AE-AP:+PE-m+i,BF-PF+BP- 子m2+2,∴8=ACe=4AE=4m2+,a2=BC= 4BF2=4n2+m2,∴.a2+b2=5(m2+n2)=5c2. 459 30 图 图2 图3 练习19相似三角形的面积比 1.(1)证明：D、E、F分别为AC、BC、OC的中点， 器-6-需-器-器-器 .△DEFの△ABO.(2).∠AOB=90°，AO=8, B0=6,Sm=合A0·B0=合×8X6=24.又 :△DEF0△AB0,月8=S- 4 “Sag=Sam=×24=6.2.(1)证明：四 边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,∴.∠DMN= ∠BCN,∠MDN=∠CBN,∴.△DMNp△BCN. (2),四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC, 0B=0D=专Bn.:△DN△CN.-2= N:M为边AD的中点，AD=2DM,BC= 2DM,∴.BN=2DN.设OB=OD=x,.BD=2x, ..BN=OB+ON=x+1,DN=OD-ON=x-1, ∴.x+1=2(x-1),解得x=3,∴.BD=2x=2X3= 6.(3).△MND∽△CNB,∴.DM:BC=MN: CN=DN:BN=1:2.:△DCN的面积为2， .SANSX2-1.SAm-290010- 2X2=4,∴.S△ABD=SARCD=SABCN+S△cND=4+2= 6,.S网边形ABNM=S△ABD一S△MND=6-1=5. 练习20相似三角形的对应高之比 1.D解析：设正方形OPQR的边长为x,则OR= OP=RQ=PQ=x.由题意知，SAABC=S△AOR十S△oP十 SE方形0PQR十S△aG=1十3十x2+1=5十x2.:SAA0R= 1 ·x·hao=1,…△AOR的边OR上的高hAoR= 名，：△ABC的边BC上的高hAc=2+x Saw-3Op·BP=3,Saae=2CQ·RQ-1, BP=及，0Q=是Bc-2+2+x=8+x x x :OR/BC,△A0 RAAIC,-会=，即 2 ,x.整理，得x=16,解得x=士2.“正方 形的边长为正数，.x=2.2.(1)PN∥BC, △APNO△AC5设MN-ED=ym 《51 则AE=(150-y)mm,QM=PN=xmm,∴200 =1500,g=150-,S=zy= 3 150 x2+ 150x;由题意得，150-是x>0,解得x<20,∴z的 取值范围是0<x<20.(2)S=-子x2+150x= 至(z-10)+750,当z=100时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为7500mm2.3.(1),PQ ∥AB,∴.△CPQ∽△CAB,.CP:CA=C△PQ: C△cAB.:'△PQC的周长是△ABC周长的一半，∴.CP :4=1:2,.CP=2.(2),△PQC的周长与四边 形PABQ的周长相等，∴.CQ+CP=AP+BQ+AB ①.，AB=5,BC=3,AC=4,∴.AP+PC=4,CQ+ BQ=3②，∴.把②变形代入①得，PC+CQ=6. .PQ∥AB,∴.△CPQ∽△CAB,∴.PC:AC= CQ:BC.AC-4.BC-3.:.CQ-PC.PC+ PC=6,∴PC=头(3)存在.理由如下：()如 图1，过点P作PM⊥PQ交AB于点M,过点C作 CE⊥AB于点E,交PQ于点D..PQ∥AB,∴.CE⊥ PQ,∴.PM=DE.若PQ=PM,则△PQM为等腰直 角三角形.，AB=5,BC=3,AC=4,∴.CA⊥CB.设 PQ=PM=:CE·AB=AC·BC,CE=号 CD:CE=PQ:AB(侣-：号-x:5,解 得z一89即PQ-89:(G如图2，取PQ的中点N, 过点N作NM⊥AB于点M,过点C作CF⊥AB于 点F,交PQ于点E,则EF=MN,则PM=QM.当 MN=P时，△PQM为等腰直角三角形.由△CPQ) 2 △cAB知，票=8即CF MN=器. CF AB5x (侣)-号×PQ,解得PQ-0综上所述，当 PQ的长为鳄或器时，在AB上存在一点M,使得 49 △PQM为等腰直角三角形， 图 图2 52》 练习21图形的位似 1.C解析：如图，过点A作AE⊥x轴于点E,过 点A'作A'F⊥x轴于点F,则∠AEC=∠A'FC 90°.B(-2,0),C(-1,0),B(1,0),A(2,-3), .OB=2,OC=OB=1,OF=2,A'F=3,.BC=1, BC=2.CF=&,△ABC∽△ABC,器=器= 合AE=g.∠ACE=∠ACP,∠APC=∠ArC 90 AAEC△MrC瓷-器-BC=是， 0E=EC+0C=号点A的坐标为(-号，)】 EB B (第1题) (第2题) 2.4√2π解析：如图，连接BD',则B'D'为四边形 A'B'C'D'的外接圆的直径.，正方形ABCD∽正方 形A'B'C'D',相似比为1：2，且正方形ABCD的面 积为4，.正方形A'B'CD'的面积为16，∴.A'B= A'D'=4.∠B'A'D'=90°，.B'D'=√2A'B'= 4√2，.正方形A'B'CD'的外接圆的周长为4√2π. 3.(1)由题意得，k=-2.把点(3,1)、k=-2代入 y=x十b,得1=一2×3十b,解得b=7.(2)根据相 似比为1：2可得，函数y=x十b的图像有两种情 况：①过点(1,0)和点(0,2)，这时一次函数的表达式 为y=-2x十2；②过点(-1,0)和点(0，-2)，这时一 次函数的表达式为y=一2x一2.综上所述，这个一次 函数的表达式为y=一2x十2或y=-2x一2. 练习22平行投影问题 1.D解析：如图，设半圆形广告牌的圆心为O,OB 为半径，F是光线DF与半圆的切点，延长BO交DF 于点A,过点B作BE⊥AB交DF的延长线于点E, 设OF=OB=xm.由题意得，CD=AB=12m. 需-BE-8mEF,BE为切线EF BE=8m.在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= √AB2+BE=√122+82=4√13(m).,∠OAF= ∠EAB,∠AFO=∠ABE=90°，∴.△OAFD△EAB, 5-能即音-18解得-8-16， 12 3 即广告牌的半径是813-16m. 3 E D 2.6915解析：如图1，当点N在直线CF上时， 连接CN,延长AN、ED交于点Q,由题图2可得， AB+BC+CD+DE-=150 cm,.'AB=BC=CD= DE=150=37.5(cm),:'.AC=AB+BC=75 cm. 4 AN⊥CN,AN=72cm,∴.CN=√AC-ANz= √75-72=21(cm).由题意可得，NC∥QD, ∴.∠ANC=∠Q,∠ACN=∠ADQ,.△ANC∽ △AQD,S=AS-=号，即品=号，QD 31.5cm,∴.QE=QD+DE=31.5+37.5=69(cm), .点N到墙OE的距离为69cm.如图2，连接CM, 此时点K与点G重合，AM=AN-MN=72-12= 60(cm).,AM⊥MC,∴.MC=√AC2-AM= √J752-602=45(cm).,AM∥KP,∴.∠AMC= ∠KPF=90°.AC∥KF,.∠ACM=∠KFP, △AMC△KPF,∴S=号=2，即原=2，解 得PF=22.5cm,.CP=CF-PF=37.5-22.5= 15(cm),∴.至少将花瓶沿CF方向平移15cm. H G G(K M. 0 777777777O 图1 图2 3.如图，延长CB交EF于点H,过点F作FM⊥EB 交EB的延长线于点M.,BE⊥CB,∴.∠CBE= ∠CBM=90°，又.∠ABG=150°，∴.∠MBF= ∠ABG-∠CBM=150°-90°=60°，∴.∠MFB=90°- ∠MBF=90°-60°=30°.BF=2m,.BM=1m, MF=√3m.,BE⊥CB,MF⊥BE,∴.BH∥MF, △EBHAEMF,8™-器BH=BM- EM 1.8x5=95(m).:BE∥CD,·△HBEn 1.8+1 14 △HCD,. 器-器·cD-CHE- BH 5V3+93 ×1.8 14 =15.8(m),即大树CD的高度 9√3 14 为15.8m. D H B- G 练习23中心投影问题 1.(1)如图1，，PM∥BD,.△APM∽△ABD, 能-器即铝-8AP=若ARAP QB,BQ-AB.AP+PQ+BQ-ABAB+ 12+若AB=AB,AB=18,即两个路灯之间的距离 为18m.(2)如图2，他在路灯A下的影子为BN. BM∥AC△NBM△NAC,∴R=0,即 B8-解得BN-8.6m,脚他在路灯A下 的影长是3.6m. C SD D 图1 图2 2.(1)180cm解析：记灯泡为点P.设灯泡离地面的 高度为xcm.:AD∥A'D',∴.∠PAD=∠PA'D', 《53 ∠PDA=∠PD'A',.△PAD△PA'D'.根据相似 三角形对应高的比等于相似比，可得品一X,即 30=x-30,解得x=180,经检验，x=180是原分式 3 方程的解.答：灯泡离地面的高度为180cm.(2)设 横向影子A'B、D'C的长度和为ycm,同理可得 ,18郎得y=12,经检验y-12是原分式方 程的解.答：横向影子A'B、D'C的长度和为12cm. (3)记灯泡为点P,如图.，AD∥ A'D',.∠PAD=∠PA'D', ∠PDA=∠PDA',.△PAD △PA'D'.根据相似三角形对应 高的比等于相似比，可得品 D D 惢设灯泡离地面的距离为， 则PN=x-a.由题意得，AD=a,A'D'=na十b, 、、na_t—一a=1一a,解得x=b.答：灯泡 na+b x 离地面的距离为na2十ab b 练习24正切(1) 1.C解析：如图，过点P作 B PQ⊥x轴于点Q,则∠AQP= 90°.OP∥AB,.△OCP∽ △BCA,∴.CP:AC=OC:BC=A 1:2.∠AOC=90°，.CO∥PQ,.OQ：AO= CP:AC=1:2.点P的坐标为(1,1)，∴.PQ= 0=1A0=2an/0Ap-8-21=号 2.(1)如图，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于 点D.在Rt△ADC中，AC=4,∠ACD=180° ∠ACB=180°-150°=30，∴AD=2AC=号×4= 2,CD=AC·cos30°=4X5=25.在Rt△ABD 2 中，mB-品日BD-8AD-8X2=16,BC BD-CD=16-2√3.(2)如图，在边BC上取一点 M,使得CM=AC,连接AM..∠ACB=150°， 54>》 ∴.∠AMC=∠MAC=15°，∴.tan15°=tan∠AMD= AD=2一=2-3. MD4+2√3 A B M 3.(1)证明：：四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠ADC+ ∠ABC=180°.，∠ABC+∠ABE=180°，∴.∠CDA= ∠ABE.BF=AD,∴.∠DCA=∠BAE,∴.△ADCC △EBA.(2):A是BDC的中点，.AB=AC, .AB=AC=8.,△ADC∽△EBA,.∠CAD= ∠ABC,贺即号-是解得AE-:AEL AC,'.∠CAE=90°，∴.tan∠CAD=tan∠AEC= AC=8=5. AE64-8 5 练习25正切(2) 1.2或号解析：四边形ABCD是正方形，且边长 为2，∴.BC=CD=2,∠C=90°.分两种情况.①如图 1,点P在线段CD上，，DP=1,.PC=CD-DP= 2-1=1an∠BPC=C=名=2：②如图2，点P 在线段CD的延长线上，：DP=1,.PC=CD十 DP=2+1=3,tam∠BPC=瓷=号综上所述， Ian∠BPC的值是2或号， 图1 图2 2.(1)证明：如图，连接OC.,OA=OC,∴∠OAC ∠OCA..CE是⊙O的切线，.∠OCE=90°.AE⊥ CE,∴.∠AEC=90°，∴.∠AEC+∠OCE=180°，∴.OC∥ AE,∴.∠OCA=∠CAD,.∠CAD=∠OAC,.DC= BC,DC=BC.(2):AB是⊙0的直径， ∴.∠ACB=90°.在Rt△ACB中，由勾股定理得BC=