专题05 图形的相似（期末复习知识清单，7知识&9题型&3易错&3方法清单）九年级数学上学期苏科版

该初中数学“图形的相似”专题清单系统梳理全章核心内容，涵盖图上距离与实际距离、黄金分割、相似图形、三角形相似的判定与性质、位似及应用等7大知识范畴，搭建从概念理解到判定推理再到实际应用的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型示例+易错警示+方法技巧”四维架构呈现，知识清单分点列项明确比例性质、相似判定等核心要点，9类题型含例题与变式覆盖选择填空解答，易错点聚焦多解、最值等常见问题，方法清单如“动点问题五步走”培养推理意识，“阿氏圆四步法”强化模型观念，助力学生自主梳理，教师可精准设计教学。

专题05 图形的相似（7知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】图上距离与实际距离 1. 线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比AB:CD=m:n，或写成。其中，AB叫做比的前项，CD叫做比的后项。两条线段的比是一个没有单位的正数。 2. 成比例线段：在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。其中a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项。 3. 比例的基本性质：如果，那么ad=bc。反之，如果ad=bc（b、d都不为0），那么。 4. 比例的重要性质 · 合比性质：如果，那么。 · 等比性质：如果（b+d+…+n≠0），那么。 5. 比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。即比例尺=图上距离:实际距离。 【清单02】黄金分割 1. 黄金分割的定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 2. 黄金比的数值：黄金比为。即，则，。 3. 黄金分割的应用：黄金分割在建筑、艺术、自然界等方面有着广泛的应用，如古希腊的帕特农神庙、断臂维纳斯雕像等都蕴含了黄金分割的美。 【清单03】相似图形 1. 相似图形的定义：形状相同的图形叫做相似图形。相似图形的对应角相等，对应边成比例。 2. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 3. 相似多边形的性质 · 相似多边形的对应角相等。 · 相似多边形的对应边成比例。 · 相似多边形周长的比等于相似比。 · 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 【清单04】探索三角形相似的条件 1. 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比。 2. 三角形相似的判定方法 · 判定方法1（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 · 判定方法2（SAS）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 · 判定方法3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 · 直角三角形相似的特殊判定：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3. 常见的相似三角形模型 · A型（或X型）相似：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 · 母子相似（射影定理相关）：直角三角形斜边上的高将原直角三角形分成两个小直角三角形，这两个小直角三角形都与原直角三角形相似。 【清单05】相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 3. 相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5. 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方（类似地，内切圆也有此性质）。 【清单06】图形的位似 1. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比。 2. 位似图形的性质 · 位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质。 · 位似图形对应点的连线相交于位似中心。 · 位似图形对应边平行（或在同一条直线上）。 · 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 3. 位似图形的画法：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形。 4. 位似变换与坐标：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。 【清单07】用相似三角形解决问题 1. 利用相似三角形测量高度：通过构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，可以测量不能直接到达顶部的物体的高度，如测量旗杆、树的高度等。常用方法有：标杆法、镜面反射法等。 2. 利用相似三角形测量距离：对于不能直接测量的两点间的距离，可以通过构造相似三角形，根据相似比计算出实际距离，如测量河宽、山的距离等。 3. 相似三角形在实际生活中的其他应用：如利用相似三角形原理制作视力表、设计图纸等，还可解决一些与几何图形相关的证明和计算问题，如求角度、线段长度、图形面积等。 4. 解决问题的一般步骤：审题，找出已知条件和所求问题；根据题意，构造相似三角形；利用相似三角形的性质列出比例式；解方程求出未知量；检验并作答。 【题型一】相似图形 【例1】下列每个选项的两个图形，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似图形的概念即可作出判断． 本题考查了相似图形的概念：形状相同，大小不同的两个图形是相似图形． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项C中的两个图形相似 故选：C 【变式1-1】下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义， 根据“形状相同，大小不同的图形是相似图形”解答即可． 【详解】解：图A，B，C形状相同，只有大小不同，都是相似图形；图D形状不同，大小也不同，不是相似图形． 故选：D． 【变式1-2】如图，在①矩形、②锐角三角形、③正五边形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有 ．（填写序号） 【答案】②③ 【分析】此题主要考查了相似图形判定，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形、正五边形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件 故答案为：②③． 【题型二】图上距离与实际距离 【例2】在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离，则甲，乙的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的应用，根据在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离，进行列式计算得出，再进行单位换算，即可作答． 【详解】解：∵在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离， ∴ 则， 故选：C． 【变式2-1】在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺为图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约， ∴实际长度约为， 故选：B． 【变式2-2】在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为，则温州与杭州的实际距离约为 ． 【答案】 300 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，解题关键是能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．根据比例尺图上距离实际距离，进行计算即可求解． 【详解】解：∵比例尺图上距离实际距离， ∴温州与杭州的实际距离约为． 故答案为：300． 【题型三】比例线段与性质 【例3】下列四条线段中，不是成比例线段的为（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查的是成比例线段的判定，掌握“若四条线段成比例，则”是解题关键．通过计算每组线段中与的值，对比是否相等来判断是否成比例． 【详解】对于选项， 计算， ，且其他比例均不成立，故中线段是成比例线段； 对于选项， ，， ，故中线段是成比例线段； 对于选项， ，， ，故中线段是成比例线段； 对于选项， ，， ，故中线段是成比例线段． 故选：． 【变式3-1】已知线段，，则a，b的比例中项线段等于（    ） A．36 B．5 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查比例中项的概念，熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积是解题的关键． 根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两外项的乘积，计算即可． 【详解】解：设a，b的比例中项线段为c， 则， ∵， ∴． 故选：D． 【变式3-2】已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，先求出，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 【题型四】黄金分割 【例4】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，解一元二次方程，黄金分割，过点A作于F，由三线合一定理和勾股定理可求出的长，由“黄金分割”点定义可得，即，解方程可求出的长，同理可求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于F， 设，则， ∵， ∴， ∴； ∵点D是边的“黄金分割”点， ∴， ∴， 解得（经检验，符合题意）或（舍去）， 同理可得， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-1】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是利用黄金分割点的比例关系求出较长线段，再计算． 根据黄金分割点的定义（时，），代入求出，再用得到的长度． 【详解】解：黄金分割点的定义是“若点是的黄金分割点（），则． 已知，根据黄金分割的比例关系： 因此，． 故选D． 【变式4-2】手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为）．如图，点E、F、G、H为矩形取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在E、F、G、H任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形取景框的画面约为，则矩形的面积为 ． 【答案】6.69或 【分析】本题主要考查了黄金分割点，矩形的性质等知识，设，，则，，由题意可知，根据黄金分割点的定义可得出，即可进一步求出，，然后根据矩形的面积求解即可． 【详解】解：设，， 则， ∵， ∴，如图， 由题意可知，四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵点E、点F都是的黄金分割点， ∴， ∴， 同理， ∴ 故答案为∶ ． 【题型五】平行线分线段成比例 【例5】如图所示，，两条直线，与这三条平行线分别交于点，，和，，，已知，，则的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，进而求出的长，再根据线段的和差关系即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【变式5-1】如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据比例的性质求出，根据平行线分线段成比例得出，则可求出，最后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-2】如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 【题型六】相似三角形的性质 【例6】如图，在中，、分别是边、上的点，连接，，若，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题关键是识别平行线对应的线段比例关系． 由，得，结合的比例计算，进而得． 【详解】， ． ， ． 故选：C． 【变式6-1】如图，在四边形中（），，，是边上一点，交于点．当的最大值为时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质及判定、二次函数的最值，关键是建立二次函数模型解决问题； 由题意可得，进而利用比例关系列出二次函数关系式，最后通过最值计算出结果． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∵的最大值是， ∴即：（舍）， ∴的长为， 故选：B． 【变式6-2】如图，矩形中，交于点F，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 设，证明，得到，从而，即，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴． 故答案为：． 【题型七】位似作图 【例7】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，点E、A、B、C都在小正方形的顶点上． (1)以点E为位似中心，画，使它与的相似比为2； (2)若建立平面直角坐标系，使点A在坐标系中的坐标为，请画出平面直角坐标系，则点的坐标是____________； (3)与的面积比为________． 【答案】(1)见解析 (2)平面直角坐标系见解析；和 (3) 【分析】本题考查了画位似图形，相似三角形的性质，写出位似点的坐标等知识，掌握位似与相似的性质是关键； （1）根据位似的知识点作图即可； （2）建立平面直角坐标系，求出点的坐标即可； （3）根据相似图形的性质即可得出结果； 【详解】（1）解：所画位似图如下： （2）解：坐标系见上图，点的坐标是和， 故答案为：和； （3）解：由于与的相似比为，则面积比为， 故答案为：． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)以M点为位似中心，相似比为2，在第一象限中画出放大后的； (3)利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）取格点E、F，连接与相交于点D，则即为所求作的中线． 【详解】（1）解：如图，为所作三角形； （2）解：如图，为所作三角形； （3）如图，为的中线． 【点睛】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换和平行四边形的性质．熟练掌握轴对称的性质和位似图形的性质，以及平行四边形的性质是解题的关键． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点逆时针方向旋转得到即可； （2） 按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，把绕点逆时针方向旋转得到，即为所求； （2）如图，在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为，即为所求； （3）的面积为． 【题型八】相似三角形的判定 【例8】如图，在中，平分交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得到，然后结合角平分线得到，然后结合即可得到； （2）首先由三角形内角和定理求出，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，， ， 平分交于点， ， ， ， ∽． （2）解：如图，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式8-1】已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）先由边成比例得，即可得，可证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：如图， 由（1）知，， ∴，即， ∵， ∴， 即，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式8-2】已知：如图，在中，点D是边上的一点，的平分线交于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可逐步证明，再根据相似三角形的判定证明即可； （2）根据相似三角形的性质列方程求出的长，即得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ，， ， 又， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型九】相似三角形的实际应用 【例9】（1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即）小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小丽的眼睛离地面的距离，求建筑物的高度； （2）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小丽站在点处不动，将镜子移动至处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小丽的眼睛高地面距离，求这个广告牌的高度． 【答案】（1）建筑物的高度为；（2）广告牌的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用光的反射定律得到等角，进而证明三角形相似． （1）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； （2）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： ，， ， ， ， ，，， ，解得； （2）如图所示： ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ． 【变式9-1】如图1，某学生身高，在灯光下，他从灯杆（）底部点D处沿直线前进到达点B时，测得他的影长． (1)求灯杆的高度； (2)若这位同学从B处继续沿直线前进到P处(如图2)，求此时这位同学的影长的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意得，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果； （2）根据题意得，由（1）得，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， ∴，即， 解得：， 即灯杆的高度为； （2）解：根据题意得：， 由（1）得， ∴， ∴，即， 解得：， 即此时这位同学的影长的长为． 【变式9-2】如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； （2）解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 【题型一】网格中的相似三角形判定错误 【例1】如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】下列的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键． 在中，先求出三角形三边的长度，证明是直角三角形，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似即可对各个选项进行分析判断． 【详解】解：在中， ，，， ， 是直角三角形，且两条直角边分别是，， 而A、D选项并不是直角三角形，所以A、D不符合题意； C选项的三角形是直角三角形，且两条直角边分别是， ， C选项中的三角形与相似， 故选：C． 【变式1-2】如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型二】相似三角形中的多解少算 【例2】如图，在平面直角坐标系中，点为原点，正方形与正方形关于点位似．若点、、的坐标分别为、、，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线）． 先根据正方形的性质得到，，，当点与点对应，点与点对应，点和点对应，点与点对应，如图1，过点作轴于点，根据位似的性质得到，再证明，得到，则可计算出，，，所以，从而得到点坐标；当点与点对应，点与点对应，点和点对应，点与点对应，如图2，再证明，得到，所以，然后求出得到点坐标． 【详解】解：∵点、、的坐标分别为、、， ∴，，， 当点与点对应，点与点对应，点和点对应，点与点对应，如图1，过点作轴于点， ∵正方形与正方形关于点位似． ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴点坐标为； 当点与点对应，点与点对应，点和点对应，点与点对应，如图2， ∵正方形与正方形关于点位似，， ∴， ∴，即， ∴， 解得， ∴点坐标为． 故选：D． 【变式2-1】在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 【答案】C 【详解】此题考查了成比例线段，解分式方程，解一元二次方程，设长为，则，根据四条线段、、、成比例，列出比例方程，转化为一元二次方程求解． 【分析】设长为， ∵，， ∴， ∵四条线段、、、是成比例线段， ∴，即 解得或3， ∴的长为2或． 故选：C． 【变式2-2】在矩形中，已知，．点E为线段上的一个动点，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，运动时间为t（秒）．在矩形的内部作正方形，连接．若直线将矩形的面积分成两部分，则t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．分两种情况讨论直线将矩形的面积分成两部分时t的值：①设直线交于点M，当时，直线将矩形的面积分成两部分；②设直线交于点M交的延长线于点K，当时，直线将矩形的面积分成两部分．情况①证明，根据相似三角形对应边成比例列出方程求得t的值，情况②先证明得到，再证明，根据相似三角形对应边成比例列出方程求得t的值． 【详解】解：①如图，设直线交于点M，当时，直线将矩形的面积分成两部分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，设直线交于点M交的延长线于点K，当时，直线将矩形的面积分成两部分， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或． 故答案为：或． 【题型三】相似三角形中的最值问题 【例3】如图，在矩形中，．若点分别是线段上的两个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等，作点关于的对称点，与相交于点，过点作于点，交于点，则，，，，即得，由垂线段最短，可知此时取最小值，最小值即为的长，再利用矩形的性质证明，进而根据相似三角形的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，与相交于点，过点作于点，交于点， 则，，，， ∴， 由垂线段最短，可知此时取最小值，最小值即为的长， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 【变式3-1】如图，已知正方形的边长为4，E是线段上的一点，过点C作的垂线交于点F，以点F为圆心，长为半径的圆交于点P，点M在上，点N在上，则周长的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，运用正方形的对称性是解答本题的关键．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，周长最小，然后由三角形相似和勾股定理求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接， 连接，与、分别交于点、． 由对称知识可知，，，周长， 此时，周长最小 由对称性可知，，，， ， 为等腰直角三角形，， 周长最小值，当最短时，周长最小． 连接． ，且， ， ， ，， ∴， 在与中，，， ， ， ， ， 取中点． 点在以为直径的圆上运动，当、、三点在同一直线上时，最短． 此时，，， ∴， 此时，周长最小值． 故选：A． 【变式3-2】如图，在矩形中，，连接，在边上取一点，过点作，交于点，连接，在上取一点，使得，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，构造，利用相似三角形的性质可得，根据，可得，利用勾股定理可得，根据二次函数的性质可知当时，有最小值，最小值是，从而可知的最小值为． 【详解】解：如下图所示，延长交于点，过点作于点， 在矩形中，， ，， 设，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 当时，有最小值， 最小值是， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、二次函数的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求解． 【题型一】相似三角形的动点求t问题 方法技巧 一、问题特点分析 1. 动态性：图形中存在一个或多个动点，通常沿直线、射线或线段运动，点的位置随时间t变化 2. 相似性：问题核心是判断不同时刻形成的两个三角形是否相似，或在相似条件下求时间t 3. 多解性：常因相似三角形对应关系不唯一（对应顶点不确定）导致多解情况 4. 综合性：需结合几何图形性质、相似判定定理、方程思想和分类讨论思想综合求解 二、解题基本步骤 1. 建立模型：根据题意画出图形，标注动点起始位置、运动方向和速度 2. 表示线段：用含t的代数式表示动点运动路程及相关线段长度（注意运动范围对t的限制） 3. 确定对应：明确两个三角形中可能的对应顶点关系（注意：对应顶点不同，相似比不同） 4. 列解方程：根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解t的值 5. 验证取舍：检验所求t值是否在运动范围内，是否满足图形实际意义 三、关键技巧突破 （一）动态线段表示法 1. 直线运动型：若点P从点A出发沿射线AB运动，速度为v，则t秒后AP=vt · 当点在线段上运动时，需满足0≤vt≤AB · 当点在射线上运动时，需分线段上（0≤vt≤AB）和线段延长线上（vt>AB）两种情况 2. 复合运动型：若动点同时参与两个方向运动（如沿矩形两边），需分别表示水平和竖直方向路程，再用勾股定理表示斜向距离 （二）相似条件应用策略 1. AA判定的应用：当已知一角相等时（如∠A=∠D），只需再找一组角相等或夹等角的两边成比例 · 找角相等：关注动态过程中是否形成直角、对顶角、同位角等特殊角 · 比例线段：用含t的代数式表示夹等角的两边，列出比例式 2. SAS判定的应用：已知两边对应成比例时，需确定夹角是否相等 · 注意：两边对应成比例但夹角不相等时不能判定相似 · 常见夹角：直角、公共角、固定角（如等边三角形内角） 3. SSS判定的应用：三边对应成比例时，需列出三组比例式（实际解题中可简化为两组比例式，第三组自动满足） （三）分类讨论方法 1. 对应关系分类：当相似三角形顶点对应关系不明确时，需分类讨论 · 例如：△ABC与△DEF相似，可能存在： ① △ABC∽△DEF（对应顺序A→D，B→E，C→F） ② △ABC∽△DFE（对应顺序A→D，B→F，C→E） ③ 其他可能的对应组合（根据图形特点判断是否存在） 2. 运动阶段分类：动点在不同位置会形成不同图形结构，需按运动阶段分类 · 例如：点在边上运动/在延长线上运动；与特殊点重合前后；形成锐角三角形/直角三角形 （四）方程思想应用 1. 比例式方程：根据相似三角形对应边成比例列方程 · 基本形式：，代入含t的代数式求解 · 注意：比例式交叉相乘后化为整式方程，注意验根 2. 函数关系建立：当问题涉及面积比、周长比时，可利用相似三角形性质（面积比等于相似比平方）建立函数关系 【例1】如图，在中，，，．动点从点出发沿折线-以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边作矩形，使点、点始终在直线的同侧，且．设点的运动时间为秒． (1)_____ (2)当点在边上时，用含的代数式表示线段的长_____ (3)连接，当为钝角时，求的取值范围； (4)作点关于直线的对称点，连接，当直线与的边平行时，直接写出的值． 【答案】(1)4 (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）运用勾股定理即可求得； （2）证得，则 ，由题意得，可表示，而，则可得； （3）当点在边上，时，可证得，，利用相似三角形性质求得的值；当点在边上，时，同理求得的值，即可得出的取值范围； （4）分四种情况：当点在边上，时，当点在边上，时，当点在边上，时，当点在边上，时，分别利用相似三角形性质求得的值即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 故答案为：4； （2）解：由题意得， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 四边形是矩形， ． 故答案为：； （3）解：当点在边上，时，如图3，连接， 则、、在同一条直线上， ，， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ∵点不与的顶点重合， ∴若为钝角，则； 当点在边上，时，如图4， 同理可得：， 而P到达A时，用时秒， ∵点不与的顶点重合， ∴若为钝角，则； 综上所述，当为钝角时，的取值范围为或； （4）解：当点在边上，时，如图5，延长交于点，设直线交于点，交于点， 则，， ， ，即， ，， 由题意得：，， 由（2）知：，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， 点与点关于直线对称， ， ，， ， ，即， ， ， ， 解得：； 当点在边上，时，如图6，过点作于点，过点作于点， 则，，，， 同理可得， ，即， ， 四边形是矩形， ， 即， 解得：； 当点在边上，时，如图7，过点作于点，过点作于点， 则，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， 同理可得：， ，，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当点在边上，时，如图8， 则，，，，， ，， 同理可得：， 又， 同理可得， ，，， 四边形是矩形， ， 即， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，当直线与的边平行时，的值为或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题关键是运用分类讨论思想及方程思想解决问题． 【变式1—1】如图，在中，，且、的长分别是一元二次方程的两个根（），动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段的中点，过点P向上作，且，以、为边作矩形．设点P的运动时间为t（）秒．    (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）． (2)求中的长； (3)当点N恰好落在边上时，求的值． (4)当点M恰好落在的角平分线上时，求矩形的周长． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了列代数式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识点． （1）先表示，再表示，即可表示； （2）先由因式分解法解一元二次方程，即可求出，再由勾股定理求解即可； （3）此时，那么，再得到对应边成比例，即可求解； （4）按以下两种情形：当点落在的角平分线上时，满足条件，作于；当点落在的角平分线上时，满足条件作于满足条件；分别利用勾股定理以及相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵点Q为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ， 或， ∴或， ∵、的长分别是一元二次方程的两个根（）， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，当点落在上时，    ∵矩形， ∴,， ∴ ， ∴ ， ，                                                        解得； （4）解：由题意得， ∵点Q为线段的中点， ∴， ∵矩形， ∴， ∴矩形的周长为， 如图，当点落在的角平分线上时，满足条件．作于．   ，，， ， ，，设， ， 在中，则有， 解得， 同上可得， ∴， ， ， ， ∴矩形的周长为； 如图，当点落在的角平分线上时，满足条件作于．    同法可证：， ，，设， ， 在中，则有， 解得， ， ∴， ， ， 解得 ， ∴矩形的周长为； 综上所述，矩形的周长为或． 【变式1—2】如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点、重合，点不与点重合，设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到．设点的运动时间为秒． (1)的长为___________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)当点落在的一边上时，求的长； (4)在点运动过程中，直接写出射线平分面积时的长． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）直接由勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出点与点重合时；再分两种情况：当点在上（不包括端点），即时，当点在上（不包括端点），即时，分别求解即可； （3）分两种情况：当点落在上时，当点在上，且点在上时，根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解； （4）当点Q在线段上时，设射线交于点N，根据三角形中线平分三角形面积可得点N为的中点，证明，利用相似三角形的性质可得，解方程即可得到答案；当点Q在线段上时，设射线交于点T，同理可得点T为的中点，证明，利用相似三角形的性质可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：当点与点重合，即时， ∵， ∴ ∴， ， ∴此时； 当点在上（不包括端点），即时， ，， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； 当点在上（不包括端点），即时， 同理可得， ∴ ∴ 综上，线段的长为或． （3）解：当点落在上时，如图， 同理可证明 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可知， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当点在上，且点在上时，如图， 同理可得， ∴，即， ∴， ∴； 由旋转可知， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴ 综上所述，的长为或； （4）解：当点Q在线段上时，设射线交于点N， ∵射线平分面积， ∴点N为的中点， ∴， 由旋转可知， ∴， ∴， ∴ 由（2）知， ∴， ∴， ∴ 当点Q在线段上时，设射线交于点T， ∵射线平分面积， ∴点T为的中点， ∴， 由旋转可知， ∴， ∴， ∴ 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 综上所述，射线平分面积时的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【题型二】相似三角形的新定义问题 方法技巧 一、准确理解新定义内涵 1. 关键词提取法：通读题目，圈画新定义中的核心限定词（如"k-相似"中的比例系数k、"逆相似"中的对应顶点顺序等），明确相似比的计算方式、对应顶点的排列规则等关键要素。 2. 对比迁移法：将新定义与课本中相似三角形的原始定义对比，找出异同点。例如新定义可能改变对应边的比例关系或增加特殊位置要求（如"共边相似"要求一组对应边重合），需重点关注与传统定义冲突的条件。 3. 几何语言转化：将文字描述转化为数学符号表达式。若定义"△ABC与△DEF称为λ-位似相似"，需写出：①；②对应点连线交于位似中心O；③位似比等于λ。 二、构建模型与分类讨论 1. 动态图形分析法：根据新定义条件，绘制符合要求的基础图形，再考虑图形的动态变化（如平移、旋转、缩放）。例如"含30°角的相似三角形"需分锐角、直角、钝角三角形三种情况讨论。 2. 参数方程建模：对动点问题，设关键坐标为参数（如点P(x,y)在抛物线y=x²上），利用新定义的比例关系列方程（如），求解参数值。 3. 全等转化法：当新定义中相似比k=1时，可转化为全等三角形问题，直接应用SSS、SAS等判定定理，简化证明过程。 三、推理证明的关键路径 1. 条件链构建：从新定义条件出发，逐步推导中间结论。例如证明"黄金相似三角形"（相似比为），需先证对应角相等，再通过线段比例关系建立方程求解相似比。 2. 反证法应用：当直接证明困难时，假设命题不成立，推出与新定义矛盾的结论。例如证明"不存在三边均为整数的2-相似直角三角形"，可假设存在后导出勾股定理与相似比的矛盾。 3. 辅助线添加策略：常用平行线构造"A型"或"X型"相似基本图形，或作垂线构建直角三角形，将新定义中的比例关系转化到直角三角形中求解。 四、计算与应用技巧 1. 比例性质综合运用：灵活使用合比定理（）、等比定理（）简化计算，特别注意新定义中线段加减对比例式的影响。 2. 坐标几何法：在平面直角坐标系中，用两点间距离公式表示线段长度，根据新定义列比例方程。例如已知A(0,0)、B(2,0)，点C在直线y=x上，若△ABC为"1:2相似三角形"，可列，代入坐标公式求解C点坐标。 3. 实际问题转化：解决测量、投影等应用题时，先抽象出几何模型，明确新定义中的对应关系（如物高与影长的相似比），再通过方程求解未知量。 【例2】定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“白银线”． (1)如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“白银线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； (2)如图2，在四边形中，，，对角线平分． ①此时对角线是四边形的“白银线”吗?请说明理由； ②若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点E，使，过点E作交于点F，得到，连接、，在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①是四边形的“白银线”，理由见解析；②160 (3)或 【分析】1）在格点中先运用勾股定理求出、、，再分情况求出或，然后根据或的长作图； （2）①先判断出，再证明即可得出结论；②根据，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出的值； （3）先由得出，，再分两种情况，①延长交于点H，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出；②设交于点G，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出． 【详解】（1）解：满足条件的点D，如图1即为所求（画出1个即可）； 由题意得：，，，， ∵四边形是以为“白银线”的四边形； ①当时，或， ∴或， ∴或， ∴或； 故点、即为所求（画出1个即可） ②当时，或， ∴或， ∴或， 解得：或， 故点、即为所求（画出1个即可）； （2）解：①是四边形的“白银线”；理由如下： ∵，对角线平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴对角线是四边形的“白银线”； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，由（2）可知为等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴，， 分以下两种情况： 第一种情况，如图3，延长交于点H， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 第二种情况，如图4，设交于点G， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了几何图形的旋转变换、相似三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想是解题的关键． 【变式2—1】在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． AI (1)当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； (2)已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； (3)已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 【答案】(1)， (2)或 (3)①，② 【分析】（1）根据题意给定的距离系数定义化解绝对值即可； （2）利用距离系数的定义，用表示，根据距离系数小于，解含绝对值不等式即可； （3）①根据题意，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，得到点关于点A的距离系数的最小，进行计算即可； ②当，找到点E和点D所在位置，且点E、D和A共线时，满足条件，延长交x轴于点J，由题意可得，求得和，根据平行求得，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，则， ∵， ∴，，； 故关于点A的距离系数为1的是：和； （2）∵，， ∴线段：， ，即：， ∴或， ∴或， ∴当两个点的横坐标间的距离越远，越小， ∴当点离点横坐标最远时：， 当离点横坐标最远时：， 综上：或； （3）①由可知，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，根据题意，当正方形如图所示，点关于点A的距离系数的最小：此时：； ②如图，当，点E在上，点D在上(D和E可以互换位置)，且点E、D和A共线时，满足条件， 延长交x轴于点J，由题意可得，，解得， 则， ∵， ∴， 则，解得， 那么， 故答案为∶． 【点睛】本题考查坐标系中新定义下的距离系数运算，涉及化解对绝对、解含绝对值的一元一次不等式、正方形的性质和平行线所截线段成比例，解题的关键是理解给定得运算并熟练解含绝对值的不等式． 【变式2—2】定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． (1)如图，的顶点是网格图的格点，每个单元格的边长相等，点在格点上，连接交于点，求证：点是边上的一个“中项点”． (2)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． 求证：； 若，的半径为，且，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； ． 【分析】利用网格图证明，得出，利用直角三角形中角的关系可以证明，利用相似三角形对应边成比例可证点是边上的一个“中项点”； 利用圆周角定理可证，根据相似三角形的性质可证，根据点是中边上的“中项点”，可证，利用垂径定理可证结论成立； 由可知，，根据平行线的性质可证是直角，根据圆周角定理可证是的直径，设，则，，利用勾股定理可以求出，，又因为，可得：，从而可求． 【详解】（1）证明：如下图所示， ∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 点是边上的一个“中项点”； （2）证明：如下图所示，连接， ， 又， ， ， ， 点是中边上的“中项点”， ， ， ， ； 解：如下图所示，连接， 由可知，， 又， ， ， 是的直径， ， 设，则， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形相似的判定与性质、垂径定理、圆周角、勾股定理等知识点．解题的关键与难点在于理解新定义与所学知识的连接，灵活运用已有知识． 【题型三】阿氏圆问题 方法技巧 一、阿氏圆的核心概念与识别特征 1. 定义解析：平面内到两个定点（焦点）距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是圆，称为阿波罗尼斯圆（阿氏圆）。 2. 关键要素： · 两定点：记为点A、点B · 距离比：λ = PA/PB（λ≠1） · 隐含条件：圆心在直线AB上，半径r = |λ·AB|/|1-λ²| 3. 图形识别：题目中出现"PA=λ·PB"或"PA/PB=λ"（λ为非1常数）时，优先考虑阿氏圆模型。 二、解题基本步骤（四步法） 第一步：确定模型特征 1. 寻找定圆：确认题目中是否存在给定半径和圆心的圆（阿氏圆载体） 2. 锁定动点：明确圆上的动点P（核心变量） 3. 识别定点：区分圆内定点和圆外定点（决定λ值方向） 第二步：构造比例线段 1. 设圆O半径为r，圆心O到定点B的距离为d 2. 根据阿氏圆性质构造：r/d = λ 或 d/r = λ（选择使λ<1的比例关系） 3. 在OB（或BO延长线）上截取线段OC，使OC = r²/d（关键构造线） 第三步：转化线段关系 1. 证明相似三角形：通过SAS证明△POC∽△BOP · 公共角：∠OPC=∠OPB · 对应边成比例：OC/OP = OP/OB = r/d 2. 实现线段转化：PC = λ·PB（核心等量关系） 3. 代换目标表达式：PA + λ·PB = PA + PC（或PA - λ·PB = PA - PC） 第四步：计算最值 1. 当求"PA + λ·PB"最小值时：连接AC，与圆O交点即为P点，最小值为AC长度 2. 当求"|PA - λ·PB|"最大值时：延长AC（或CA）与圆O交点即为P点，最大值为AC长度 3. 利用两点间距离公式计算AC：若A(x₁,y₁)、C(x₂,y₂)，则AC = √[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²] 三、常见模型拓展 类型1：直接应用型 特征：明确给出圆及两个定点 解法：直接套用四步法，重点关注定点与圆心的位置关系（同侧/异侧） 类型2：坐标系隐藏型 特征：以坐标系为背景，圆的方程隐含给出 解法： 1. 将圆方程化为标准式：(x-a)²+(y-b)² = r² 2. 确定圆心O(a,b)和半径r 3. 计算d = OB（B为坐标已知的定点） 4. 按标准步骤构造点C坐标：C点横坐标 = a + ·(Bx - a)/d（同理纵坐标） 类型3：双圆复合型 特征：存在两个阿氏圆或与其他圆综合 解法： 1. 分别对每个阿氏圆进行线段转化 2. 注意区分不同圆对应的λ值和构造点 3. 利用三角形三边关系判断最值位置 【例3】阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”． 如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆． 下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）： 过点作交的延长线于点． ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，…… 任务： （1）判断是否平分，并说明理由； （2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分； （3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________． 【答案】（1）平分．理由见解析；（2）点的运动轨迹是以为直径的圆，见解析；（3） 【分析】（1）利用相似三角形的判定及性质仿照图1的证明即可得证； （2）根据90°的圆周角所对的弦是直径即可证得点的运动轨迹是以为直径的圆； （3）结合题目所给的材料分别求得AB的内分点和外分点的坐标，进而可求得点所在圆的圆心坐标． 【详解】解：（1）平分．理由如下： ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴， 即平分． （2）∵，， 且， ∴． ∴为直径． ∴点的运动轨迹是以为直径的圆． （3）∵，， ∴AB＝3，且AO＝2OB， ∵， ∴点O为AB的内分点， 当点C为AB的外分点时，CA＝2CB， ∴CB＝AB＝3， ∴OC＝OB+BC＝4， ∴点C的坐标为（4，0）， ∴点所在圆的圆心坐标为（2，0）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 【变式3—1】数学概念 如图①，AE是△ABC的角平分线，D是直线BC上一点，如果点D满足DA＝DE，那么点D叫做△ABC的边BC上的“阿氏点”． 概念理解 （1）在图②中，利用直尺和圆规作△ABC的边BC上的“阿氏点”，用字母D表示（不写作法，保留作图痕迹）； 性质探究 （2）在（1）中，求证：△DAB∽△DCA； 知识运用 （3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点E，以D为圆心，DA为半径的圆恰好经过点C，且与BD交于点F． ①求证：点D是△ABE的边BE上的“阿氏点”； ②若BE，DE＝2，AE＝3，则⊙D和⊙O的半径长分别为 ， ． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）①见详解；②3；． 【分析】（1）根据题意，作∠BAC的角平分线，交BC于点E，作AE的垂直平分线，交直线BC于点D，连接AD，即可得到答案． （2）由DA＝DE，得到∠AED=∠EAD，然后证明∠B=∠CAD，即可得到结论成立； （3）①连接AF，由DA=DF=DC，则∠AFD=∠FAD，∠ABD=∠CAD，然后得到∠BAF=∠FAC，即可得到结论成立； ②由（2）可知，易证△DAB∽△DEA，则，即可求出DA的长度；作DG⊥AC，则点G是AC的中点，连接OG，OA，由垂径定理，得到OG⊥AC，然后求出AC的长度，然后得到DG的长度，利用勾股定理，即可求出OA的长度． 【详解】解：（1）如图：根据题意，作∠BAC的角平分线，交BC于点E，作AE的垂直平分线，交直线BC于点D，连接AD． （2）如（1）图， ∵DA＝DE， ∴∠AED=∠EAD， ∵∠AED=∠B+∠BAE，∠EAD=∠EAC+∠CAD， 又AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠EAC， ∴∠B=∠CAD， ∵∠ADC=∠CDA， ∴△DAB∽△DCA； （3）证明：①连接AF，如图： ∵DA=DF=DC， ∴∠AFD=∠FAD，∠ABD=∠CAD， ∵∠AFD=∠ABD+∠BAF，∠FAD=∠CAD+∠FAC， ∴∠BAF=∠FAC， ∴AF平分∠BAE， 在△ABE中，AF平分∠BAE，DF=DA， ∴点D是△ABE的边BE上的“阿氏点”； ②由（2）可知， ∵∠ABD=∠CAD，∠ADE=∠EDA， ∴△DAB∽△DEA， ∴，即， ∴（负值已舍去）； 如图，作DG⊥AC，连接OG，OA， ∵DA=DC， ∴点G是AC的中点， 由垂径定理，则OG⊥AC， 易证△AED∽△BEC， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在△ADG中，利用勾股定理，则 ， 在Rt△AOG中，设OA=OD=r，则OG=， 由勾股定理，得， ∴， 解得： ∴⊙D和⊙O的半径长分别为3和； 故答案为：3；． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，以及作图的基本步骤，解题的关键是熟练掌握题意，掌握所学的知识对题目进行分析，正确作出辅助线，从而进行解题． 【变式3—2】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务. 已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似. 【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值. 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在上取点，使得； 第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)： 解：在上取点，使得， 又. 任务： 将以上解答过程补充完整. 如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值. 【答案】（1）（2）. 【分析】         ⑴    将PC+kPD转化成PC+MP，当PC+kPD最小，即PC+MP最小，图中可以看出当C、P、M共线最小，利用勾股定理求出即可； ⑵    根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C对应O,D对应P，A对应C，B对应M，当D在AB上时为最小值，所以= = 【详解】解， ，当取最小值时，有最小值，即三点共线时有最小值，利用勾股定理得 的最小值为， 提示：，， 的最小值为. 【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公1 / 75 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的相似（7知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】图上距离与实际距离 1. 线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比AB:CD=m:n，或写成。其中，AB叫做比的前项，CD叫做比的后项。两条线段的比是一个没有单位的正数。 2. 成比例线段：在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。其中a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项。 3. 比例的基本性质：如果，那么ad=bc。反之，如果ad=bc（b、d都不为0），那么。 4. 比例的重要性质 · 合比性质：如果，那么。 · 等比性质：如果（b+d+…+n≠0），那么。 5. 比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。即比例尺=图上距离:实际距离。 【清单02】黄金分割 1. 黄金分割的定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 2. 黄金比的数值：黄金比为。即，则，。 3. 黄金分割的应用：黄金分割在建筑、艺术、自然界等方面有着广泛的应用，如古希腊的帕特农神庙、断臂维纳斯雕像等都蕴含了黄金分割的美。 【清单03】相似图形 1. 相似图形的定义：形状相同的图形叫做相似图形。相似图形的对应角相等，对应边成比例。 2. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 3. 相似多边形的性质 · 相似多边形的对应角相等。 · 相似多边形的对应边成比例。 · 相似多边形周长的比等于相似比。 · 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 【清单04】探索三角形相似的条件 1. 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比。 2. 三角形相似的判定方法 · 判定方法1（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 · 判定方法2（SAS）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 · 判定方法3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 · 直角三角形相似的特殊判定：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3. 常见的相似三角形模型 · A型（或X型）相似：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 · 母子相似（射影定理相关）：直角三角形斜边上的高将原直角三角形分成两个小直角三角形，这两个小直角三角形都与原直角三角形相似。 【清单05】相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 3. 相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5. 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方（类似地，内切圆也有此性质）。 【清单06】图形的位似 1. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比。 2. 位似图形的性质 · 位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质。 · 位似图形对应点的连线相交于位似中心。 · 位似图形对应边平行（或在同一条直线上）。 · 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 3. 位似图形的画法：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形。 4. 位似变换与坐标：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。 【清单07】用相似三角形解决问题 1. 利用相似三角形测量高度：通过构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，可以测量不能直接到达顶部的物体的高度，如测量旗杆、树的高度等。常用方法有：标杆法、镜面反射法等。 2. 利用相似三角形测量距离：对于不能直接测量的两点间的距离，可以通过构造相似三角形，根据相似比计算出实际距离，如测量河宽、山的距离等。 3. 相似三角形在实际生活中的其他应用：如利用相似三角形原理制作视力表、设计图纸等，还可解决一些与几何图形相关的证明和计算问题，如求角度、线段长度、图形面积等。 4. 解决问题的一般步骤：审题，找出已知条件和所求问题；根据题意，构造相似三角形；利用相似三角形的性质列出比例式；解方程求出未知量；检验并作答。 【题型一】相似图形 【例1】下列每个选项的两个图形，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在①矩形、②锐角三角形、③正五边形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有 ．（填写序号） 【题型二】图上距离与实际距离 【例2】在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离，则甲，乙的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为，则温州与杭州的实际距离约为 ． 【题型三】比例线段与性质 【例3】下列四条线段中，不是成比例线段的为（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式3-1】已知线段，，则a，b的比例中项线段等于（    ） A．36 B．5 C．2 D．6 【变式3-2】已知，那么 ． 【题型四】黄金分割 【例4】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为）．如图，点E、F、G、H为矩形取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在E、F、G、H任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形取景框的画面约为，则矩形的面积为 ． 【题型五】平行线分线段成比例 【例5】如图所示，，两条直线，与这三条平行线分别交于点，，和，，，已知，，则的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式5-1】如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式5-2】如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是 ． 【题型六】相似三角形的性质 【例6】如图，在中，、分别是边、上的点，连接，，若，则（） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在四边形中（），，，是边上一点，交于点．当的最大值为时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，矩形中，交于点F，，则 ． 【题型七】位似作图 【例7】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，点E、A、B、C都在小正方形的顶点上． (1)以点E为位似中心，画，使它与的相似比为2； (2)若建立平面直角坐标系，使点A在坐标系中的坐标为，请画出平面直角坐标系，则点的坐标是____________； (3)与的面积比为________． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)以M点为位似中心，相似比为2，在第一象限中画出放大后的； (3)利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 【题型八】相似三角形的判定 【例8】如图，在中，平分交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式8-1】已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【变式8-2】已知：如图，在中，点D是边上的一点，的平分线交于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型九】相似三角形的实际应用 【例9】（1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即）小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小丽的眼睛离地面的距离，求建筑物的高度； （2）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小丽站在点处不动，将镜子移动至处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小丽的眼睛高地面距离，求这个广告牌的高度． 【变式9-1】如图1，某学生身高，在灯光下，他从灯杆（）底部点D处沿直线前进到达点B时，测得他的影长． (1)求灯杆的高度； (2)若这位同学从B处继续沿直线前进到P处(如图2)，求此时这位同学的影长的长． 【变式9-2】如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【题型一】网格中的相似三角形判定错误 【例1】如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 【题型二】相似三角形中的多解少算 【例2】如图，在平面直角坐标系中，点为原点，正方形与正方形关于点位似．若点、、的坐标分别为、、，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 【变式2-2】在矩形中，已知，．点E为线段上的一个动点，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，运动时间为t（秒）．在矩形的内部作正方形，连接．若直线将矩形的面积分成两部分，则t的值为 ． 【题型三】相似三角形中的最值问题 【例3】如图，在矩形中，．若点分别是线段上的两个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，已知正方形的边长为4，E是线段上的一点，过点C作的垂线交于点F，以点F为圆心，长为半径的圆交于点P，点M在上，点N在上，则周长的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在矩形中，，连接，在边上取一点，过点作，交于点，连接，在上取一点，使得，连接，则的最小值为 ． 【题型一】相似三角形的动点求t问题 方法技巧 一、问题特点分析 1. 动态性：图形中存在一个或多个动点，通常沿直线、射线或线段运动，点的位置随时间t变化 2. 相似性：问题核心是判断不同时刻形成的两个三角形是否相似，或在相似条件下求时间t 3. 多解性：常因相似三角形对应关系不唯一（对应顶点不确定）导致多解情况 4. 综合性：需结合几何图形性质、相似判定定理、方程思想和分类讨论思想综合求解 二、解题基本步骤 1. 建立模型：根据题意画出图形，标注动点起始位置、运动方向和速度 2. 表示线段：用含t的代数式表示动点运动路程及相关线段长度（注意运动范围对t的限制） 3. 确定对应：明确两个三角形中可能的对应顶点关系（注意：对应顶点不同，相似比不同） 4. 列解方程：根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解t的值 5. 验证取舍：检验所求t值是否在运动范围内，是否满足图形实际意义 三、关键技巧突破 （一）动态线段表示法 1. 直线运动型：若点P从点A出发沿射线AB运动，速度为v，则t秒后AP=vt · 当点在线段上运动时，需满足0≤vt≤AB · 当点在射线上运动时，需分线段上（0≤vt≤AB）和线段延长线上（vt>AB）两种情况 2. 复合运动型：若动点同时参与两个方向运动（如沿矩形两边），需分别表示水平和竖直方向路程，再用勾股定理表示斜向距离 （二）相似条件应用策略 1. AA判定的应用：当已知一角相等时（如∠A=∠D），只需再找一组角相等或夹等角的两边成比例 · 找角相等：关注动态过程中是否形成直角、对顶角、同位角等特殊角 · 比例线段：用含t的代数式表示夹等角的两边，列出比例式 2. SAS判定的应用：已知两边对应成比例时，需确定夹角是否相等 · 注意：两边对应成比例但夹角不相等时不能判定相似 · 常见夹角：直角、公共角、固定角（如等边三角形内角） 3. SSS判定的应用：三边对应成比例时，需列出三组比例式（实际解题中可简化为两组比例式，第三组自动满足） （三）分类讨论方法 1. 对应关系分类：当相似三角形顶点对应关系不明确时，需分类讨论 · 例如：△ABC与△DEF相似，可能存在： ① △ABC∽△DEF（对应顺序A→D，B→E，C→F） ② △ABC∽△DFE（对应顺序A→D，B→F，C→E） ③ 其他可能的对应组合（根据图形特点判断是否存在） 2. 运动阶段分类：动点在不同位置会形成不同图形结构，需按运动阶段分类 · 例如：点在边上运动/在延长线上运动；与特殊点重合前后；形成锐角三角形/直角三角形 （四）方程思想应用 1. 比例式方程：根据相似三角形对应边成比例列方程 · 基本形式：，代入含t的代数式求解 · 注意：比例式交叉相乘后化为整式方程，注意验根 2. 函数关系建立：当问题涉及面积比、周长比时，可利用相似三角形性质（面积比等于相似比平方）建立函数关系 【例1】如图，在中，，，．动点从点出发沿折线-以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边作矩形，使点、点始终在直线的同侧，且．设点的运动时间为秒． (1)_____ (2)当点在边上时，用含的代数式表示线段的长_____ (3)连接，当为钝角时，求的取值范围； (4)作点关于直线的对称点，连接，当直线与的边平行时，直接写出的值． 【变式1—1】如图，在中，，且、的长分别是一元二次方程的两个根（），动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段的中点，过点P向上作，且，以、为边作矩形．设点P的运动时间为t（）秒．    (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）． (2)求中的长； (3)当点N恰好落在边上时，求的值． (4)当点M恰好落在的角平分线上时，求矩形的周长． 【变式1—2】如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点、重合，点不与点重合，设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到．设点的运动时间为秒． (1)的长为___________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)当点落在的一边上时，求的长； (4)在点运动过程中，直接写出射线平分面积时的长． 【题型二】相似三角形的新定义问题 方法技巧 一、准确理解新定义内涵 1. 关键词提取法：通读题目，圈画新定义中的核心限定词（如"k-相似"中的比例系数k、"逆相似"中的对应顶点顺序等），明确相似比的计算方式、对应顶点的排列规则等关键要素。 2. 对比迁移法：将新定义与课本中相似三角形的原始定义对比，找出异同点。例如新定义可能改变对应边的比例关系或增加特殊位置要求（如"共边相似"要求一组对应边重合），需重点关注与传统定义冲突的条件。 3. 几何语言转化：将文字描述转化为数学符号表达式。若定义"△ABC与△DEF称为λ-位似相似"，需写出：①；②对应点连线交于位似中心O；③位似比等于λ。 二、构建模型与分类讨论 1. 动态图形分析法：根据新定义条件，绘制符合要求的基础图形，再考虑图形的动态变化（如平移、旋转、缩放）。例如"含30°角的相似三角形"需分锐角、直角、钝角三角形三种情况讨论。 2. 参数方程建模：对动点问题，设关键坐标为参数（如点P(x,y)在抛物线y=x²上），利用新定义的比例关系列方程（如），求解参数值。 3. 全等转化法：当新定义中相似比k=1时，可转化为全等三角形问题，直接应用SSS、SAS等判定定理，简化证明过程。 三、推理证明的关键路径 1. 条件链构建：从新定义条件出发，逐步推导中间结论。例如证明"黄金相似三角形"（相似比为），需先证对应角相等，再通过线段比例关系建立方程求解相似比。 2. 反证法应用：当直接证明困难时，假设命题不成立，推出与新定义矛盾的结论。例如证明"不存在三边均为整数的2-相似直角三角形"，可假设存在后导出勾股定理与相似比的矛盾。 3. 辅助线添加策略：常用平行线构造"A型"或"X型"相似基本图形，或作垂线构建直角三角形，将新定义中的比例关系转化到直角三角形中求解。 四、计算与应用技巧 1. 比例性质综合运用：灵活使用合比定理（）、等比定理（）简化计算，特别注意新定义中线段加减对比例式的影响。 2. 坐标几何法：在平面直角坐标系中，用两点间距离公式表示线段长度，根据新定义列比例方程。例如已知A(0,0)、B(2,0)，点C在直线y=x上，若△ABC为"1:2相似三角形"，可列，代入坐标公式求解C点坐标。 3. 实际问题转化：解决测量、投影等应用题时，先抽象出几何模型，明确新定义中的对应关系（如物高与影长的相似比），再通过方程求解未知量。 【例2】定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“白银线”． (1)如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“白银线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； (2)如图2，在四边形中，，，对角线平分． ①此时对角线是四边形的“白银线”吗?请说明理由； ②若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点E，使，过点E作交于点F，得到，连接、，在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，求的长． 【变式2—1】在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． AI (1)当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； (2)已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； (3)已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 【变式2—2】定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． (1)如图，的顶点是网格图的格点，每个单元格的边长相等，点在格点上，连接交于点，求证：点是边上的一个“中项点”． (2)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． 求证：； 若，的半径为，且，求的值． 【题型三】阿氏圆问题 方法技巧 一、阿氏圆的核心概念与识别特征 1. 定义解析：平面内到两个定点（焦点）距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是圆，称为阿波罗尼斯圆（阿氏圆）。 2. 关键要素： · 两定点：记为点A、点B · 距离比：λ = PA/PB（λ≠1） · 隐含条件：圆心在直线AB上，半径r = |λ·AB|/|1-λ²| 3. 图形识别：题目中出现"PA=λ·PB"或"PA/PB=λ"（λ为非1常数）时，优先考虑阿氏圆模型。 二、解题基本步骤（四步法） 第一步：确定模型特征 1. 寻找定圆：确认题目中是否存在给定半径和圆心的圆（阿氏圆载体） 2. 锁定动点：明确圆上的动点P（核心变量） 3. 识别定点：区分圆内定点和圆外定点（决定λ值方向） 第二步：构造比例线段 1. 设圆O半径为r，圆心O到定点B的距离为d 2. 根据阿氏圆性质构造：r/d = λ 或 d/r = λ（选择使λ<1的比例关系） 3. 在OB（或BO延长线）上截取线段OC，使OC = r²/d（关键构造线） 第三步：转化线段关系 1. 证明相似三角形：通过SAS证明△POC∽△BOP · 公共角：∠OPC=∠OPB · 对应边成比例：OC/OP = OP/OB = r/d 2. 实现线段转化：PC = λ·PB（核心等量关系） 3. 代换目标表达式：PA + λ·PB = PA + PC（或PA - λ·PB = PA - PC） 第四步：计算最值 1. 当求"PA + λ·PB"最小值时：连接AC，与圆O交点即为P点，最小值为AC长度 2. 当求"|PA - λ·PB|"最大值时：延长AC（或CA）与圆O交点即为P点，最大值为AC长度 3. 利用两点间距离公式计算AC：若A(x₁,y₁)、C(x₂,y₂)，则AC = √[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²] 三、常见模型拓展 类型1：直接应用型 特征：明确给出圆及两个定点 解法：直接套用四步法，重点关注定点与圆心的位置关系（同侧/异侧） 类型2：坐标系隐藏型 特征：以坐标系为背景，圆的方程隐含给出 解法： 1. 将圆方程化为标准式：(x-a)²+(y-b)² = r² 2. 确定圆心O(a,b)和半径r 3. 计算d = OB（B为坐标已知的定点） 4. 按标准步骤构造点C坐标：C点横坐标 = a + ·(Bx - a)/d（同理纵坐标） 类型3：双圆复合型 特征：存在两个阿氏圆或与其他圆综合 解法： 1. 分别对每个阿氏圆进行线段转化 2. 注意区分不同圆对应的λ值和构造点 3. 利用三角形三边关系判断最值位置 【例3】阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”． 如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆． 下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）： 过点作交的延长线于点． ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，…… 任务： （1）判断是否平分，并说明理由； （2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分； （3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________． 【变式3—1】数学概念 如图①，AE是△ABC的角平分线，D是直线BC上一点，如果点D满足DA＝DE，那么点D叫做△ABC的边BC上的“阿氏点”． 概念理解 （1）在图②中，利用直尺和圆规作△ABC的边BC上的“阿氏点”，用字母D表示（不写作法，保留作图痕迹）； 性质探究 （2）在（1）中，求证：△DAB∽△DCA； 知识运用 （3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点E，以D为圆心，DA为半径的圆恰好经过点C，且与BD交于点F． ①求证：点D是△ABE的边BE上的“阿氏点”； ②若BE，DE＝2，AE＝3，则⊙D和⊙O的半径长分别为 ， ． 【变式3—2】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务. 已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似. 【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值. 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在上取点，使得； 第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)： 解：在上取点，使得， 又. 任务： 将以上解答过程补充完整. 如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $