6.1 图上距离与实际距离-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级下册数学同步练习课时基础强化版（苏科版）

第6章 图形的相似 6.1 图上距离与实际距离 知识梳理 1.在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫作 2.比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么 ;反过来，如果 (b≠0，d≠0)，那 么a:b=c:d. 3在比例式号=中，如果c=6,那么 我们把b叫作a和d的 强化巩固 1.2021年12月28日，南京市第一条跨市域地铁S6号线（宁句城际轨道交通）正式运营，在比 例尺为1：100000的工程示意图上，南京地铁S6号线全长约为43.7cm,它的实际长度约为 ( ) A.0.437km B.4.37km C.43.7km D.437 km 2.下列四组线段中，不构成比例线段的一组是 A.1cm、2cm、3cm、6cm B.2cm、3cm、4cm、6cm C.1cm、W2cm、w3cm、W6cm D.1cm、2cm、3cm、4cm 3.根据4a=5b,可以组成的比例有 ( A.a:b=4:5 B.a:b=5:4 C.a:4=b:5 D.a:5=4:b 41若号-号则66 2若=则时 5.如图，已知是-铝AD=8,AB=23,AC=20,则AE 6.在一幅地图上，用2cm表示实际距离90km,这幅地图的比例尺是 A君 B.4500 1 C.45000 D.4500000 7.(1)已知号=，且x+y=24,求xy的值. (②)已知-台一号≠0，求2士的值 30 第6章图形的相似 8.在2和8这两个数之间添上一个数，使之成为2与8的比例中项，这个数是 9.若x:y:之=3：5：6，且3y=2z+3,则x十2y十之的值为 [4x-3y-6之=0， 10.已知 则x:y:之= x+2y-7z=0, 11.如图，已知AB∥CD∥EF,点C、D分别在BE、AF上，若BC=4,CE=6,AF=8,则DF的 长为 12.已知线段a、b、c满足a:b:c=2:3:4,且2a十b十c=22. (1)求a、b、c的值， (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值. 拓展提升 13.如果选用同一长度单位量得两条线段AB、CD的长分别是m、n,那么就说两条线段的比 AB:CD=m:,如果把婴表示成比值及，那么有号-&或AB=k·CD,请根据以上信息 回答下列问题： (1)四条线段a、b、c、d中，如果 ,那么这四条线段a、b、c、d叫作成比例 线段. (②已哈-气，那么。子成立吗？济说明理由， (3)若=y十2=工=m,求m的值. 31w元..销售量不少于750件，∴.一10x+1500≥750，.x 75,.w=y(x-30)=(-10x+1500)(x-30)=-10(x 90)2+36000.,a=一10<0，.在对称轴直线x=90的左侧， 函数值w随自变量x的增大而增大.，x≤75，∴.当x=75 时，w有最大值，最大值为一10×(75-90)2十36000= 33750,∴.这周该电子产品获得的最大利润为33750元， (3)0<m≤20解析：若产品的进价每件提高m元(m>0),则 进价为(30+m)元，=y(x-30-m)=(-10x+1500)(x 30-m)=-10x2+(1800+10m)x-1500(30+m)..a<0, 抛物线对称轴为直缓工=0Q士1=90十2m,∴当≤ 2×(-10) 90十2m时，该产品的利润随售价的增大而增大.：这种产品 的售价不得超过进价的2倍，∴90+2m≥2(30十m）,解得 m≤20.又.m>0,.0m≤20. 拓展提升 9.(1)把A(-1,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx+4,得 a十4=0：。解得a二一1：该二次函数的表达式为 16a+4b+4=0, b=3, y=一x2十3x十4.(2)如图1，过点Q作QELx轴于点E,作 直线y=x十1交y轴于点F,则F(0,1),且该直线过点 A(-1,0).,OA=OF,∠AOF=90°，∴.∠OAF=∠BPQ= 45°，∴.PQ∥AF.设直线PQ的函数表达式为y=x+c,由 A(-1,0)B(4,0),得抛物线的对称轴为直线x=三，当点 P落在直线x=多上时，得P(号，0)，代人y=z十c,得十 c=0,解得c=一 是，直线PQ的函数表达式为y=x一多。 -3 3 x=2+®，x=2® y=x-2 2 2 联立 解得 或 y=一x2十3x十4， y=-1+2 -1-√26 2 y- (不符合题意，舍去)，PQ=√2QE=2X1士西= 2 2√13-√2 2 V A B A OP EX 图1 图2 (3)如图2，当一1x4时，QE的长随x增大而减小，.当点 P与点A(一1,0)重合时，QE的长最大，即PQ的长也最大 此时直线PQ的函数表达式为y=x+1,联立 y=x+1, x=3, x=一1， 解得{ y=-x2+3x+4, 或1 (不符合题意，舍 y=41 (y=0 去)，此时QE=4,∴.PQ=√2QE=4√2，.PQ长的最大值为 课时提优计划作业本 ·1 4√2.(4)存在.如图3，PQ是以P、Q、B、D四点为顶点的平 行四边形的一边，则BD=PQ,BD∥PQ,∴.∠PBD=∠QPB= 45,设直线x=号交x轴于点G,“∠BGD=90,∴DG= BG=4-是-号，此时PQ-=BD=厄DG-52,在抛物线上 一定存在点Q,其纵坐标为号，过点Q作QE⊥x轴于点E,在 销上取点P,使PE-QE,则∠BPQ=45且Q号，四 边形PQBD是平行四边形，此时点D的坐标为（号，一号）： 如图4，PQ是以P,Q、B、D四点为顶点的平行四边形的对角 线，则PD=BQ,PD∥BQ,∴.∠GPD=∠EBQ.又，∠PGD= ∠BEQ=90°，.△PGD≌△BEQ(AAS),∴.PG=BE,DG= 5 ,设DGQE=,则PE=,则BE2,'=52,则OB 4 4-5-,@(1,,代入y=-2+3x+4 4 4 得-()°+3×4+4=，解得=-号+V丽， 4 =一号-丽（金去）点D的坐标为（号，2-） 综上所述，存在点D的坐标为（号，-号）或（号， 23-9),使P,Q、B、D四点能构成平行四边形， 2 B AO GP E 图3 图4 第6章图形的相似 6.1图上距离与实际距离 知识梳理 1.成比例线段2.ad=bcad=bc3.b=ad比例中项 强化巩固 1.C解析：根据比例尺=图上距离：实际距离可得，它的实 际长度约为43.7×100000=4370000(cm)=43.7(km). 2.D解析：1：2=3：6，故A选项不符合题意；2：3=4：6， 故B选项不符合题意；1√2=√3：√6，故C选项不符合题 意；1×4≠2×3，故D选项符合题意.3.B解析：a:b= 4:5,.5a=4b,故A选项不符合题意；，a:b=5:4,.4a= 5b,故B选项符合题意；，a:4=b:5,.5a=4b,故C选项不 符合题意；a:5=4:b,.ab=20,故D选项不符合题意. 4(1)- 期断号-导a-号645 b 6= ·数学·九年级下册 1 -号（2号解折号=号5(-）=35z 号=兽5智解析是铝 5y=3y,5x=8y,g=g. 一员一货A正-得、6D解析：这地图的比例尺为 9000000-45000007.(1)设号=号=k,则x=3k,y 2 5k,z+y=3k+5k=24,k=3,x=9,y=15.(2)设号 台-号-6，则c=,6=5A,0=6,2=2X50A+- a 6k ?.8.士4解析：设2和8的比例中项是x,则x2=2X8 解得x=士4.9.19解析：x:y:之=3：5：6，∴.设x 3k,y=5k,z=6k..3y=2z十3，∴.3×5k=2X6k十3，解得k= 1,.x=3,y=5,z=6,.x+2y十之=3+10+6=19. 10.3:2:1解析：x十2y一7z=0可化为x=7z-2y,把 x=7z-2y代入4x-3y-6z=0,得28x-8y-3y-6z=0,整 理，得222一11y=0,.y=2z.把y=2之代入4x-3y-6z=0, 得4x-62-6z=0,.x=3x,.x:y:之=3z:22:z=3: 21Ⅱ特解折：ACD/,蛋-器∴6 5,解得DF=琴2.ab:c=2:3:4,∴设a= 2k,b=3k,c=4k.:2a+b+c=22,∴.4k+3k+4k=22,解得 =2,∴a=4,b=6,c=8.(2),线段x是线段a、b的比例中 项，∴.x2=ab=4×6,解得x=2√6或x=一2√6（舍去），即 x的值为2√6. 拓展提升 13.()a:b=c:d(2)成立.理由如下：分=台号 1-音-1，即台-名=台-是∴ .(3)①当 b d x十y叶之=0时，y叶之=一x,m=2=z=-1;②当 x x+y叶≠0时，m=y十+x+x+y=2(》=2.综 x十y十之 x十y十之 上所述，m的值为2或一1. 6.2黄金分割 知识梳理 黄金分割黄金分割点黄金比5,10.618 2 强化巩固 1.A解析：根据黄金分割的定义，得AC:AB=(W5一1)：2. 2.(50V5-50)解析：：点C是弦靠近点B的黄金分割点， AB=10cm,AC-5AB-52×100=(505 2 50)(cm).3.A解析：.∠A=36°，AB=AC,∴.∠ABC ∠C=2(180°-∠A)=72.:BD平分∠ABC,∠DBC= 吉∠ABC=36,∴∠BDC=180-∠DBC-∠C=72,∴∠C 课时提优计划作业本 ∠BDC=72,BC-BD,∴△BDC是“黄金三角形”， BC 5,1.:BC=2,∴CD-5-1.4.D解析：根据题意，得 2 该黄金矩形的宽是5,1X5=5,5.5.C解析：由题 2 2” 意，得王老师的理想体重为170×(1一0.618)=64.94(kg)≈ 65(k®.61解析：C是AB的黄金分割点，S ADCD-51AB-AD+CD+BC,AD-BC-51 AB 21 :AB=5+1+CD.将AB=5+1十CD,AD=51代入 2 ncD5,得后31+0D.2,2(51+ AB 2 CD)=(W5+1+CD)(W5-1),整理，得(3-√5)CD=3-√5， 解得CD=1.7.根据题意，得数学老师的下半身长是160× 0.60=96(cm),设需要穿的高跟鞋是ycm,则根据黄金分割 的定义，得隐书一=0.618，解得y~8,即需要穿的高跟鞋约 是8cm.8.(1)如图所示.(2)证明：设BC=x,则AB= 2x.BC⊥AB,AC=√AB2+BC=√(2x)+x=√5x. .CN=BC=x,∴.AN=AC-CN=(W5-1)x,∴.AP=AN= 5-1D,铝=6⑤2-5P是线段AB的黄 2x 金分割点 M 9.(1)P是线段AB的黄金分割点，AP>BP,.AP= 5-1AB=5-1×2=5-1.(2):QP平分∠AQB, 2 ∴P到AQ,BQ的距离相等，∴-韶-品又由(1 S△PBQ 知，AP=BQ=√5-1.，AB=2,∴.PB=AB-AP=2-(W5 1D=3-5,AQ=APBQ-5-D2=2. PB 3-√5 拓展提升 10.(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下：如图，过 点C作CH⊥AB于点H.:SAAc-号AD·CH,Se= AB:CH.SBD·CH,2A0.Ch SAABC AB.CH ·数学·九年级下册 2