6.1图上距离与实际距离 导学案2025－2026学年九年级下册苏科版数学

该初中数学导学案围绕“图上距离与实际距离”展开，核心知识点涵盖线段的比、成比例线段、比例基本性质及应用。课堂通过观察地图导入，引导学生探究图上与实际距离的关系，结合“数学认识”“练一练”衔接比例基础，为后续相似图形学习搭建支架。 资料以生活情境（地图、公园平面图）激发兴趣，通过“设k法”等方法指导培养数学思维的推理能力与运算能力，例题和练习注重用比例式解决实际问题，助力学生用数学眼光观察现实、用数学语言表达关系，提升模型意识与应用能力。

第六章图形的相似 6.1图上距离与实际距离 【学习目标】 1. 了解线段的比和成比例线段，会判断成比例线段，会用比例式计算长度. 2.推导、理解比例的基本性质，能用比例的基本性质和“设上法”进行比例式变形. 【学习过程】 问题1(1)观察下面地图，你能求出徐州到宿京或连云港到南京的实际距离吗? (2)在两幅地图中，连接徐州与南京的线段比是多少?连接连云港与南京的两条线段比 呢?能得出怎样的比例式? 数学认识： 练一练： (1)如图，长和宽是成比例线段的两个矩形是 . (2)若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm,b=25cm,c=8cm, 则线段d= (3)已知a=3cm,b=12cm,则线段a、b 的比例中项c= 问题2由还能得到什么? 数学认识: 例1某公园平面图上有一块三角形草地，三边长分别为4cm、5cm、6cm, 已知这块三角形 草地最短边的实际长度为80m, 求另外两条边的实际长度， 例 2 已知, 且 x+y =24, 求 x、y 的值 例3在△ABC和 △A'B'C 中，,AB 周长,且△ABC 的周长为15cm, 求△A'B'C的周长 方法小结 课时练习 1. 已知线段 b 是线段a 、d 的比例中项，a=4cm,d=9cm, 则 b= cm. 2 . 已知,则下列等式中成立的有 (填序号). ① 3. 若 3a=5b,则a/b= ，= 4 . 已知, 且 a+c+e=6,则 b+d+f= 5. 如图，线段A₁B₁、B₁C₁、A₂B₂、B₂C₂的端点都在边长为1的小正 方形的顶点上 .这四条线段是成比例线段吗?为什么? 6. 如 图若 AD=15,AB=40,AC=28, 求 AE的 长 7. 如图，已知,求 的值. 课后作业 1.判断题 (1)两条线段的比就是这两条线段的长度的比；( ) (2)线段a=4cm, 线段b=9cm, 它们的比例中项为36 cm;( ) (3)已知四条线段的长分别为2cm 、3 cm 、4cm 、9cm, 那么这四条线段成比例；( ) ( 4 ) 把ad=bc 改写成比例式，应为( ) 2.填空题： (1)在矩形ABCD中 ，AB=2,BC=1, 则 AB:BC=_ ,AB:AC=_ (2)由4a=7b,可得比例式 (3)已知线段a=4,b=8, 则a 、b的比例中项线段等于 ( 4 ) 已 知 4 : 3 = 5 :x, 则x= ( 5 ) 已 知A、B 两地的实际距离为200 km, 地图上的比例尺为1:100000,则A 、B两地在地图上的 距离_ cm. 3.(1)已知, 那 么各等于多少? (2)已知 ,你能得出哪些结论? 4.如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高。 (1)求证：AC ·BC=CD ·AB; (2)AC、CD、AB、BC是成比例线段吗?为什么? 5.如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC 上， 求证：(1)（2） 练一练答案 1. 答案：(1)和(2) 解析：设三个矩形的长和宽分别为： - 矩形(1)：长9、宽6，比值为9:6=3:2； - 矩形(2)：长6、宽4，比值为6:4=3:2； - 矩形(3)：长8、宽4，比值为8:4=2:1； 长和宽的比值相等的是矩形(1)和(2)，故它们的长和宽是成比例线段。 2.答案：40cm 解析：因为a、b、c、d是成比例线段，所以。 代入，由比例基本性质ad=bc，得，解得d=40cm。 3. 答案：6cm 解析：线段a、b的比例中项c满足c2=ab（比例中项定义）。 代入a=3cm、b=12cm，得c236，因为线段长度为正，所以c=6cm}。 例1答案 另外两条边的实际长度分别为100m和120m 解析： - 平面图中最短边为4cm，对应实际最短边80m，先统一单位：80m=8000cm； - 比例尺=图上距离:实际距离=4:8000=1:2000； - 设5cm对应的实际长度为x，6cm对应的实际长度为y，则： 例2答案 x=9，y=15 解析：设（设k法），则x=3k，y=5k。 代入x+y=24，得3k+5k=24，即8k=24，解得k=3。 所以x=9，y=15。 例3答案 课时练习答案 1. 答案：6 解析：线段b是a、d的比例中项，故b2=ad。 代入a=4cm、d=9cm，得b2=36，线段长度为正，所以b=6cm。 2. 答案：①②③④ 解析：已知： - ①ad=bc：比例基本性质，成立； - ②：交叉相乘得ad=bc，与基本性质一致，成立； - ③：左边=，右边，故等式成立（合比性质）； - ④：设，则a=kb，c=kd，左边，成立（等比性质，）。 3. 答案： 4. 答案：15 5. 答案：是成比例线段 解析：先求四条线段的长度（小正方形边长为1，用勾股定理）： - A1B1=； - B1C1=； - A2B2=； - B2C2=； 判断比例：，，比值相等，故四条线段是成比例线段。 6. 答案：AE=10.5 7. 答案：； 解析： - 由，得，则，故； - 由，得，则，故。 课后作业答案 #1. 判断题 (1) √ 解析：两条线段的比本质是它们长度的数量比（单位统一后）。 (2) × 解析：比例中项c满足，不是36cm。 (3) × 解析：四条线段需满足“其中两条的比等于另外两条的比”，，不成比例。 (4) × 解析：ad=bc可改写成等，不一定是。 2. 填空题 (1) 解析： - AB:BC=2:1； - 对角线（化简）。 (2) （或等） 解析：由4a=7b，两边同时除以4b得。 (3)解析：比例中项c满足，（线段为正）。 (4) （或3.75） (5) 200 . 解答题 (1) 答案：；5 解析：设a=3k，b=2k： - - ； - 。 (2) 答案：（示例）ad=bc、、、等 解析：根据比例的基本性质、合比性质、分比性质可推导得出。 4. 证明题（Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高） (1) 证明： 是斜边AB上的高， （以AC、BC为直角边）， 且（以AB为底、CD为高）， ， 两边同乘2得。 (2) 答案：是成比例线段 解析：由(1)得，整理得，满足成比例线段的定义，故AC、CD、AB、BC是成比例线段。 第5题（△ABC中，） (1) 证明：设，则AD=kDB，AE=kEC。 ； ； 。 (2)证明：由(1)知AD=kDB，AB=(k+1)DB， ； 同理，； 。 学科网（北京）股份有限公司 $