6.1 图上距离与实际距离-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

6.(1)小球M到达的最高点的坐 标为(6,12)， .设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-6)2+12. 该抛物线过点O(0,0), :0=a(0-6)2+12,解得a=一3 1 .抛物线对应的函数表达式为y -号x-6+12 (2)小球M能飞过这棵树. 1 理由：对于y=3x,当x=3时y 3×8=1. ∴，此时小树顶端距离地面的高度为 1+7=8(m). 1 对于y=-3(x一6)+12，当x=3 时y=-号×3-6+12=9， 8<9, .小球M能飞过这棵树. (3)设小球M在飞行的过程中离斜 坡OA的高度为hm 1 由题意，可得h=一3(x-6)2+12 3x=-3(-》+ 11 六当x=2时，h取得最大值，此时 盟 ·小球M在飞行的过程中离斜坡 QA的最大高度是号n 7.(1):抛物线y=x2十bx十c与 x轴相交于点A(一1,0)、B(2,0), 1-b+c=0, b=-1, 解得 (4+2b+c=0, c=-2. .抛物线对应的函数表达式为y= x2-x-2. (2):PQ⊥x轴， .∠PQA=90°. ,△APQ是等腰直角三角形， ∴.AQ=PQ. :点P在抛物线y=x2一x一2上， .设P(m,m2-m-2)(m≠-1且 m≠2)，则Q(m,0). .AQ=m-(-1)|=|m+1|, PQ=m2-m-2. .∴.m+1=m2-m-2. ,.m十1=m2一m-2或m+1= -(m2-m一2)，即m2-2m-3=0 或m2=1. 当m2-2m-3=0时，解得m=3或 m=-1(不合题意，舍去)，此时P(3,4): 当m2=1时，解得m=1或m=-1 (不合题意，舍去)，此时P(1,一2). 综上所述，点P的坐标为(3,4)或 (1,-2). 第6章图形的相似 6.1图上距离与实际距离 1.A2.C3.4004.(1)6 (2)4 5.△ABC为等边三角形 理由：，a、b、c是△ABC的三条 边长， ∴.a十b十c≠0. 设“一b_6S=0=k b ∴.a-b=bk,b-c=ck,c一a=ak. .(a-b)十(b-c)+(c-a)=(a+ b+c)k=0. .k=0. .∴.a-b=0,b一c=0,c-a=0. ∴.a=b=c. '.△ABC为等边三角形 6.B7.D 8.B解析：四边形ABMN为正 方形，.MN=BM=BC一CM. ,MN是BC和CM的比例中项， ∴.BC:MN=MN:CM.∴.MN= BC·CM..∴.(BC-CM)2=BC· CM,即BC2-3BC·CM+CM2=0. 设BC=AD=x(x>3-5). CM=3-5,.x2-3X(3 5)x+(3-√5)2=0，解得x1=7 3N5,x2=2..x>3-√5，.x=2. ∴.AD的长为2. √2 9.2反cm或2cm或V2cm 解析：设另外一条线段的长为acm. 20 由题意，得头=2或 a√2 解得4=22或2或2. 二条线段的长为22cm或号cm或 √2cm. 10.二、三解析：由题意，可得b十 c=ak,u十c=bk,a十b=ck. ∴.2(a+b+c)=k(a+b+c).当a+ b十c≠0时，k=2,此时函数的表达式 为y=2x十2，其图像经过第一、二、三 象限.当a十b十c=0时，b十c=一a, .k=一1，此时函数的表达式为 y=一x一1，其图像经过第二、三、四 象限.综上所述，函数y=kx十k的图 像必经过第二、三象限 11.18解析：分两种情况讨论： ①当AB+AD=30时，BC-DC AB AD 易得提提设器子设 AD=2k(k0).DC=k,AB= AC=3k,AB+AD=5k.又，AB+ AD=30,.5k=30,解得k=6. .AB=AC=3×6=18.∴.BC= 30十15-18×2=9，符合题意.②当 AB+AD=15时，由设提易得 腿+识=识=2设A0 m (m>0),DC =2m,AB=AC= 3m,AB+AD=4m..'AB+AD= 15,4m=15,解得m=5 AB=AC=3X平5BC 30-2x-:AB+AC=C. .不符合三角形的三边关系.综上所 述，AB的长为18. 12.设营-苦=气-（≠0）. ∴.x=3k,y=5k,之=7k. y+-66+7-次=5. x+y-z 3k+5k-7k k 13.设0十4_6牛3_+8=k(k≠ 3 2 4 0),则a=3k一4，b=2k-3,c= 4k-8. 把a=3k一4，b=2k-3,c=4k一8代 入a+b+c=12,可得3k-4+2k- 3十4k一8=12，解得k=3. .a=5,b=3,c=4. .b2+c2=9+16=25,a2=25, .b2+c2=a2 ∴.△ABC是直角三角形. 1 ·△ABC的面积=2c=2X3× 4=6. 14.由题意，得AB=(1.2十c十d)m, AD=(0.8+a+b)m. a=b.c=d,c=2a, .AB=(1.2+4a)m,AD=(0.8+ 2a)m. AB:AD=8:5, ∴.(1.2+4a):(0.8+2a)=8:5. .a=0.1. 经检验，α=0.1是原方程的解，且符 合题意. .b=0.1,c=d=0.2. ·上、下、左、右边衬的宽度分别是 0.1m、0.1m、0.2m、0.2m. 15.A解析：根据比例的性质，由原 式，易得8m十n)+(8+m) (8m+n)-(8n+m) (m+1)+(n+1) (m+1)-(m+整理，得 9(m十n)=m+n+2 7(m-n) m-n 9(m+) 7 =m+n+2...2(m+ n)=14,即m+n=7 一方法归纳 运用比例的性质解决问题 比例的基本性质是如果 b 京，那么ad=bc;同样，我们还可 6,那么+1= 以得到如果4=C b 音+1，即_中 :同样，还可 b d 以得到如果4。c 6d,那么 b -1= d-1,即ab-c-d b :进而可得 如果4= b亡万，那么十bc十L,运 a-bc-d° 用这类性质可以对所给比例等式进 行进一步变形，求得问题的结果 16.(1).四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=90° ,AC是正方形ABCD的对角线， BE1⊥AC, BE,AE,-AC. 设AB=BC=a(a>0). 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=AB2+BC2=a?+a= √2a. E,号 由题意，易得△AE,B和△AE1F,均 为等腰直角三角形. E1F1⊥AB,F1E2⊥AC, ∴.易得AF1=BF1,AE2=E1E2. 12√2 同理，可得F,E。=F,E:=号 22 4a=8a. 由题意，易得△AF2E3为等腰直角三 角形 ∴.AE3=F2Ea= 8a. 2 .'AE:AB= a 8 (2)由(1)，知AE1=BE1= 24, AE:=F:E:= √2 40 22a,AE3= F:E=12 8 a 2a,…,以此类推， AE,② n4. 2 ·AE:AB=2 2 a 2" 6.2黄金分割 1.B2.C3.1.24 4.(90W5-180)cm 5.设正方形ABCD的边长为2a(a>0). ,E为BC的中点， BE-7 BC=d. ,在Rt△ABE中，由勾股定理，得 21 AE=VAB2+BE2=V(2a)2+a2= 5a. .B'E=BE=a, ∴.AB'=AE-B'E=(5-1)a. .AB"=AB'=(W5-1)a. ∴.AB”：AB=(5-1):2. .B”是线段AB的黄金分割点 (AB">BB"). 6.A解析：，∠A=36°，AB=AC, ·∠ABC=∠C=2180°-∠A)= 72°.：BD平分∠ABC,∴.∠DBC= ∠ABC=36°.·∠BDC=180° 1 ∠DBC-∠C=72°.∴.∠C= ∠BDC=72°..BC=BD..△BDC CD5-1 是“黄金三角形”.BC 2 BC=2,∴.CD=5-1. 7.C解析：设AB=a(a>0)..E 是边AB的黄金分割点，AE>EB, .AE5 A5 2a. ·EB=AB-AE=a-5-1。 2a= 3-√5 2a.S3:S2= W5-13-√5 2a2u5-1 .35 2· 2 a 8.(√10一√2)解析：由勾股定理， 可得BD=√22+2=2√2(cm). E为线段BD的黄金分割点， E>DE器5E (√/10-√2)cm. 1 9.3解析：”E是AF的黄金分 割点，且AE<EF,∴.设AF=2m,则 EF=(w5-1)m,AE=2m-(W5 1)m=（3-√5)m..S正方形ErGH EF2=(6-25)m2,SE方形AD= AB2=[(3-√5)m]2+(2m)2= （18-65)m.…5E重D SE方形EFGL第6章 图形的相似 6.1图上距离与实际距离 ●“答案与解析”见P20 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.下列四组线段中，是成比例线段的为（ 6.如果a:b=12:8,且b是a和c的比例中 A.3、4、9、12 B.2、4、6、7 项，那么b:c等于 （) C.2、1、3、4 D.9、5、6、2 A.4:3B.3:2C.2:3 D.3:4 ②(2024·扬州仪征期末)若彩二，则下列式 7.若2x=3y=4x≠0，则x:y:之等于() A.2:3:4 B.4:3:2 子中，不正确的是 C.7:6:5 D.6:4:3 A.x+=7 B.T十33 8.如图，在矩形ABCD中截取正 y+44 方形ABMN.若MN是BC和 C.y 二4 D台-音 CM的比例中项，且CM=3一B M x一y (第8题) 3.小颖在一幅比例尺为1：5000000的地图上 √5，则AD的长为 ( 量得甲、乙两地的距离为8厘米，则甲、乙两 A.1 B.2 C.3 D.4 地的实际距离是 千米 9.已知三条线段的长分别为1cm、2cm、√2cm, 4.(1)已知a、b、c、d是成比例线段，其中a 如果另外一条线段与它们是成比例线段，那 3cm,b=2cm,d=4cm,则c= cm. 么另外一条线段的长为 (2)已知线段c是线段a、b的比例中项，且 线段a、b的长分别为2cm和8cm,则线段c 10.断考向·学科内综合已知十c a 的长为 cm. a十c=a十b=k(k≠0)，则函数 b c 5设a,b、c是△ABC的三条边长，且一b 6 y=kx十k的图像必经过第 象限， bC=二“，判断△ABC的形状，并说明 11.如图，在△ABC中，AB=AC, a AB AD 理由. BC=DC,BD将△ABC的周长 分为30和15两部分，则AB的长B 为 (第11题) 12若号号-0求的值 32 第6章图形的相似 3已知a,b、c为△ABC的三边长.4= 思维拓展 15.*如果实数m≠n,且 8m+n 2°=8.且a+b+c=12,求△ABC的 8nm 面积. 士那么m+n的值为( A.7 B.8 C.9 D.10 16.如图，AC是正方形ABCD的对角线， BE1⊥AC于点E1,EF1⊥AB于点F1, F1E2⊥AC于点E2,E2F2⊥AB于点F2, F2E3⊥AC于点E3. (1)求AE3:AB的值. (2)作E3F3⊥AB于点F3,F3E4⊥AC于 点E4,…,F-1Ew⊥AC于点En(n为正整 14.(2024·常州)书画装裱是指为书画配上衬 数)，求AE,:AB的值 纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有 民族传统的一门特殊艺术.如图，一幅书画 在装裱前的大小是1.2m×0.8m,装裱后， 上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、 (第16题) cm、dm.若装裱后AB:AD=8:5,且 a=b,c=d,c=2a,求四周边衬的宽度. 0.8m bm 1.2m (第14题) 33