6.1二元一次方程组和他的解——学案 2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦二元一次方程组的定义、组成及解的概念，通过“我们的小世界杯”足球比赛和校舍改建等实际问题导入，衔接一元一次方程知识，搭建从具体情境到抽象模型的学习支架。 资料设计预习自测、分层课堂练习及综合拓展作业，结合小组讨论与动手操作，培养学生抽象能力和模型意识，通过运算与推理练习提升数学思维，助力学生用数学语言解决实际问题，适合自主与合作学习。

第6章 二元一次方程 6.1 二元一次方程组和它的解 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1. 学生能够理解并掌握二元一次方程组的定义、组成及解的概念； 2. 学生能够运用所学知识，从实际问题中抽象出数学模型，并正确列出二元一次方程组； 3. 通过小组讨论、动手操作等方式，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。 学习重点：二元一次方程组的定义、组成及解的概念；如何从实际问题中抽象出数学模型，并正确列出二元一次方程组。 学习难点： 从实际问题中抽象出数学模型，并正确理解和运用二元一次方程组进行准确计算和推理。 ► 预习自测 一、知识链接 1.判断下列方程中哪些是二元一次方程： 1) 2x + 3y = 5 2) x² + y = 0 3) xy = 6 4) x + y + z = 1 5) 3x - 2 = 4y 6) 5x + y = 7 7) () + y = 2 8) x = 2y 9) + y = 3 10) x + y2 = 4 11) 4x - 5 = y 12) x + y = y + 3 13) 3x - 2y + z = 7 14) 2x + y = 0 2、 自学自测 2、下列不是方程2x+3y=13解的是（  ） A． B． C． D． 3、若是关于x、y的二元一次方程的正整数解，则的值为_______． ► 教学过程 一、创设情境、导入新课 教材第29页 问题 1 暑假里, 某地组织了 “我们的小世界杯” 足球邀请赛. 比赛规定: 胜一场得 3 分, 平一场得 1 分, 负一场得 0 分. 勇士队在第一轮比赛中赛了 9 场, 负了 2 场, 共得 17 分. 那么这个队胜了几场? 平了几场呢? 你会解决这个问题吗? 请同学们举手讨论或者小组回答问题。 二、合作交流、新知探究 探究一： 思考与探索 问题 1 中告诉了我们哪些等量关系? 问题 1 中有两个未知数, 如果分别设为 ,又会怎样呢? 探索 ：在下表的空格中填入数字或式子. 胜 平 合计 场 数 得 分 请根据表格列方程回答问题1： 【强调】有两个未知数, 并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程, 叫做二元一次方程. 探究二：新知导入 教材第31页 问题 2 某校现有校舍 ,计划拆除部分旧校舍,改建新校舍,使校舍总面积增加 30%. 若新建校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的 4 倍, 则应拆除多少旧校舍, 建造多少新校舍? 试一试：若设应拆除 旧校舍,建造 新校舍,请你根据题意列出方程组. 回答： 三、课堂练习 【必做题】 1.下列各组数中，是方程x+y＝5的解的是（    ） A． B． C． D． 2. 二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有（　　）对． A．1 B．2 C．3 D．4 3.若方程ax﹣2y＝4的一个解是，则a的值是 　 　． 【选做题】 4、若关于x，y的方程是一个二元一次方程，则m的值为_____________． 5.水果店一天卖出苹果和梨共50公斤，总收入为360元。已知苹果每公斤8元，梨每公斤6元。请问苹果和梨各卖了多少公斤？ 【综合拓展作业】 6、一个三位正整数， 百位、十位、个位上的数字分别为 ， 如果满足 ， 那 么称这个三位数为 “开心数”． (1)三位正整数中，最小的 “开心数”为 ， 最大的“开心数”为 ． (2)如果一个“开心数” 满足百位为 6 ， 且能被 6 整除， 那么称这个“开心数”为“顺利 开心数”，请求出所有的 “顺利 开心数”． 4、 总结反思、拓展升华 1. 二元一次方程组的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组。 2. 二元一次方程组的组成：由两个二元一次方程组成。 3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中两个方程的左、右两边的值都相等的一对未知数的值。 4.如何从实际问题中抽象出数学模型，并正确列出二元一次方程组。 五、【作业布置】 【知识技能类作业】 1、已知是二元一次方程组的解，则的值为　　 A．－1 B．1 C．2 D．3 2、若关于的方程组 的解满足与的值相等，则的值为___________． 3、若是二元一次方程2x＋3y＝k的一个解，则k的值是__________． 【综合拓展类作业】 4.已知方程组是二元一次方程组，求m的值． 5. 某读者俱乐部成员订阅两种期刊，期刊C每月出版，定价10元/期；期刊D每季度出版，定价25元/期。每位成员选择其中一本订阅半年，另一本订阅一年。已知期刊C的总订阅费为3600元，期刊D的总订阅费为3000元。求该俱乐部的成员人数。 【答案】 1. 正确答案包括1、5、6、8、11、14 2.C 3. a+b的值为6，5或4。 【课堂练习答案】 1. 对于选项A：代入 x=−2 和 y=−3 到方程 x+y=5 中，得：−2+(−3)=−5，因为 −5≠5，所以A不是方程的解。 对于选项B：代入 x=−3 和 y=2 到方程 x+y=5 中，得：−3+2=−1，因为 −1≠5，所以B不是方程的解。 对于选项C：代入 x=4 和 y=3 到方程 x+y=5 中，得：4+3=7，因为 7≠5，所以C不是方程的解。 对于选项D：代入 x=3 和 y=2 到方程 x+y=5 中，得：3+2=5，因为等式成立，所以D是方程的解。 故答案为：D。 2. 考虑方程 x+3y=10， 当 x=10 时，y=0； 当 x=7 时，y=1； 当 x=4 时，y=2； 当 x=1 时，y=3； 所以，方程 x+3y=10 的非负整数解共有4对。 故答案为：D。 3. 代入 x=2 和 y=1 到方程 ax−2y=4 中， 得：2a−2=4， 解得：a=3。 故答案为：3。 4. 由题意得：∣m∣=1 且 m−1≠0， 解得：m=−1。 故答案为：-1。 5. 设卖出苹果 x 公斤，梨 y 公斤， 根据题意得方程组： x+y=50 8x+6y=360​ 解此方程组得： x=30 y=20​ 答：卖出苹果30公斤，梨20公斤。 6. (1) 最小的“开心数”为百位取1（因为a,b,c都是正整数），b+c=1，那么只有b=0，c=1满足，所以这个数为101； 最大的“开心数”为百位取9，b+c=9，那么最大的组合为b=8，c=1（或b=1，c=8），所以这个数为981（或918）； 答：最小的“开心数”为101，最大的“开心数”为981（或918）。 (2) 根据“顺利开心数”的定义，有： 100×6+10b+c=600+10b+c=6(100+b+)， 因为该数能被6整除，所以 c 必须是6的倍数，且 c=6−b， 又因为 b 和 c 都是正整数且小于10，所以可能的组合有： b=1,c=5 得数615； b=2,c=4 得数624； b=3,c=3 得数633； b=4,c=2 得数642； b=5,c=1 得数651。 答：所有的“顺利开心数”为615，624，633，642，651。 【作业答案】 【知识技能类作业】 1、解析：a=2,b=3,a-b=-1选A 2、解答： 由于x=y，代入得： {2x−x=k x+2x=8+k​ 即 {x=k 3x=8+k​ 将x=k代入3x=8+k得： 3k=8+k⟹2k=8⟹k=4 故k的值为4。 3、 解答：k=11 【综合拓展类作业】 4. 解答：我们需要确保它是一个二元一次方程组。这意味着方程组中的每个方程都应该是关于x和y的一次方程。 首先，我们观察第二个方程(m+1)x=−2，这个方程已经是关于x的一次方程，所以我们只需要确保m+1≠0，即m≠−1，以保证x的系数不为零。 为了使第一个方程成为关于y的一次方程，我们需要确保y的指数为1。因此，我们有：∣m−2∣−2=1 解这个方程，我们得到：∣m−2∣=3 这意味着m−2=3或m−2=−3。 解得到：m=5或m=−1 但是，由于我们已经知道m=−1（以保证第二个方程中x的系数不为零），所以唯一可能的m值是5。 因此，m的值为5。 5. 解答：选项一：订阅C半年（6个月×10元/月=60元），D一年（4期×25元/期=100元） 选项二：订阅C一年（12×10=120元），D半年（2期×25=50元） 设选择选项一的有x人，选项二的有y人。总成员x+y。 期刊C的总费用为60x +120y =3600； 期刊D的总费用为100x +50y=3000. 于是方程组： 60x +120y =3600 →简化为x + 2y =60 100x +50y=3000 →简化为2x + y =60 这样解的话，可得x=20,y=20，总人数40人 学科网（北京）股份有限公司 $