第6章 第2节 与圆有关的位置关系-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（广西专用）

数 学 广西 课堂精讲册 1 第六章　圆 第二节　与圆有关的位置关系 (必考，常在解答题中涉及) 人教：九上P92～P104，P122～P125；湘教：九下P64～P76，P87～P91；沪科：九下P33～P46. 点与圆的位置关系 (设☉O的半径为r，点到圆心O的距离为d) 位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 d与r的 关系 d① ⁠r d② ⁠r d＞r 图示 ＜　 ＝　 直线与圆的位置关系 (设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d) 位置关系 相交 ④ ⁠ 相离 d与r的关系 d③ ⁠r d⑤ ⁠r d⑥ ⁠r 图示 直线与圆的 公共点个数 2 1 0 相切　 ＜　 ＝　 ＞　 针对训练 1. (人教九上P101T2改编)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ 6，BC＝10，D是BC的中点，以A为圆心，r为半径作☉A. (1)若r＝6，则点B在 ，点C在 ， 点D在 (填“圆内”“圆外”或“圆上”)， 且直线BC与☉A的位置关系是 ⁠； 圆上　 圆外　 圆内　 相交 (2)若r＝ ，则直线BC与☉A的位置关系是 ； 若r＝3，则直线BC与☉A的位置关系是 ⁠. 相切　 相离　 切线的性质 圆的切线⑦ 于过切点的半径 切线的判定 经过半径的外端并且⑧ 于这条半径的直线是圆的切线. 判定思路口诀：已知公共点，连半径，证垂直 如果圆心到一条直线的距离等于圆的⑨ ，那么这条直线 是圆的切线. 判定思路口诀：未知公共点，作垂直，证半径 和圆只有⑩ 公共点的直线是圆的切线(定义) 垂直　 垂直 半径　 一个　 针对训练 2. (2025梧州一模)如图，AB是☉O的直径，BM与☉O相切于点B，∠A ＝27°，半径OE的延长线交BM于点M，则∠M的度数是(　A　) A. 36° B. 38° C. 40° D. 43° A 3. (沪科九下P37T5改编)△OAB为等腰三角形，OA＝OB. (1)如图1，若☉O经过AB的中点C，求证：直线AB是☉O的切线； 图1 证明：如解图1，连接OC. ∵OA＝OB，点C为AB的中点，∴OC⊥AB. 又∵OC是☉O的半径， ∴直线AB是☉O的切线. 解图1 (2)如图2，若OA＝OB＝13，AB＝24，☉O的直径为10，求证：AB是 ☉O的切线. 解图2 证明：如解图2，过点O作OD⊥AB于点D. ∵OA＝OB＝13，AB＝24， ∴AD＝ AB＝12， ∴OD＝ ＝5. ∵☉O的直径为10， ∴☉O的半径r为5， ∴OD＝r， ∴AB是☉O的切线. 图2 内容 示例 切线 长 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长 如图，PA，PB分别切☉O 于A，B两点，则PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝ ∠APB 切线 长定 理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 针对训练 4. (湘教九下P71例5改编)如图，P为☉O外一点，PA，PB分别切☉O于 点A，B，CD切☉O于点E，分别交PA，PB于点C，D. (1)若PA＝6，则△PCD的周长为 ⁠； (2)若∠P＝60°，连接OA，OP，则∠AOP＝ ⁠°. 12　 60　 定义 圆心 性质 角度关系 三角形的 外接圆 经过三角形 三个顶点的 圆叫作三角 形的外接圆 外心：三条边的⑪ ⁠ ⁠ 的交点 三角形的外心到三角形⑫ ⁠ 的距离相等 ∠BOC＝ ⑬ ∠A 垂 直平分线　 三个顶点 2　 定义 圆心 性质 角度关系 三角形的 内切圆 与三角形各 边都相切的 圆叫作三角 形的内切圆 内心：三条 ⑭ ⁠ 的交点 三角形的内心到三角形的⑮ ⁠ ⁠的距离相等 ∠BOC＝90°＋ ⑯ ∠A 角平分线 三条 边　 　 【知识拓展】 (1)外心与内心的位置 ①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心在斜边上(斜边 中点)；钝角三角形的外心在三角形的外部.注意：当三角形形状不确定 时，涉及外心一定要分类讨论. ②三角形的内心一定在三角形的内部. (2)三角形的内切圆的半径与三边关系： ①直角三角形：r＝ (利用切线长定理)，r＝ (利用等面积 法)，如图1； ②一般三角形：r＝ (利用等面积法)，如图2. 图1 图2 针对训练 5. (人教九上P103T14改编)已知△ABC，设r为内切圆半径，R为外接 圆半径. (1)若AB＝10，AC＝6，BC＝8，则r＝ ，R＝ ⁠； (2)若△ABC是等边三角形，且AB＝2，则r＝ 　 　，R＝ 　 　； (3)若△ABC的周长为18，面积为9，则r＝ ⁠. 2　 5　 　 　 1　 与切线判定有关的证明与计算 6. [利用平行证垂直]如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画☉O，交 AC于点D，DF⊥AB于点F. 求证：DF是☉O的切线. 证明：如解图，连接OD. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠A＝60°. ∵OC＝OD， ∴∠CDO＝∠C＝∠A＝60°，∴OD∥AB. ∵DF⊥AB，∴OD⊥DF. ∵OD是☉O的半径， ∴DF是☉O的切线. 第6题解图 7. [借助角的转换证垂直]如图，已知△ABC内接于☉O，AB是☉O的直 径，∠CAB的平分线交☉O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB 的延长线于点F. 求证：EF是☉O的切线. 证明：如解图，连接OE. ∵AB是☉O的直径， ∴∠AEB＝90°，即∠AEO＋∠OEB＝90°. ∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠EAB. ∵OA＝OE，∴∠EAB＝∠AEO. ∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠AEO， ∴∠BEF＋∠OEB＝90°，∴OE⊥EF. ∵OE是☉O的半径，∴EF是☉O的切线. 第7题解图 8. [利用勾股定理的逆定理证垂直]如图，点C是☉O上一点，点P在直 径AB的延长线上，☉O的半径为3，PB＝2，PC＝4. 求证：PC是☉O 的切线. 证明：如解图，连接OC. ∵☉O的半径为3，PB＝2， ∴OC＝OB＝3，OP＝OB＋PB＝5. 在△OPC中，PC＝4，OC＝3，OP＝5， ∴OC2＋PC2＝OP2， ∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC. ∵OC是☉O的半径， ∴PC是☉O的切线. 第8题解图 9. [利用全等证垂直]如图，在☉O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD， 垂足为P，过点D作☉O的切线与AB的延长线交于点E，连接CE. 求 证：CE为☉O的切线. 证明：如解图，连接OC，OD. ∵OC＝OD，∴△COD是等腰三角形. ∵AB⊥CD，∴∠COE＝∠DOE， 在△COE和△DOE中， ， ∴△COE≌△DOE(SAS)， ∴∠OCE＝∠ODE， ∵DE是☉O的切线， ∴∠ODE＝90°，∴∠OCE＝90°. ∵OC是☉O的半径，∴CE为☉O的切线. 10. [作垂线，证半径]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分 ∠ABC，以点D为圆心，DA为半径的☉D与AC相交于点E. (1)求证：BC是☉D的切线； 证明：如解图，过点D作DF⊥BC于点F. ∵∠BAD＝90°，BD平分∠ABC， ∴AD＝DF， ∴DF是☉D的半径. ∵DF⊥BC， ∴BC是☉D的切线. (2)若AB＝5，BC＝13，求CE的长. 解：∵∠BAC＝90°，∴AB与☉D相切. ∵BC是☉D的切线，∴AB＝FB. ∵AB＝5，BC＝13， ∴CF＝BC－BF＝8，AC＝ ＝12. 设DF＝r，则AD＝r，DC＝12－r. 在Rt△DFC中，DF2＋FC2＝DC2， 即r2＋82＝(12－r)2，解得r＝ ， ∴CE＝AC－2r＝12－2× ＝ . 【方法总结】判定切线的方法 情形1　已知公共点，连半径，证垂直 作法：当直线和圆的公共点已知，连接圆心到公共点的半径，证半径与直 线垂直. (1)图中含90°的角 ①利用余角的性质进行等量转换； ②利用平行性质证明直角； ③利用全等或相似证明与所证角所在三角形全等或相似. (2)图中无90°的角 ①若图中含相关联的直径，则利用直径所对的圆周角是90°构造直角； ②若图中有等腰三角形，利用“三线合一”构造直角. 情形2　未知公共点，作垂线，证半径 若没有明确圆与直线的公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证垂线段的 长等于半径的长. 26 $