第6章 第1节 圆的有关概念及性质-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（广西专用）

数 学 广西 课堂精讲册 1 第六章　圆 第一节　圆的有关概念及性质 (必考，常在解答题中涉及) 人教：九上P79～P91，P122～P125；湘教：九下P43～P63，P87～P93；沪科：九下P12～P32. 1. 相关概念 圆 (1)如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆. 其固定的端点O叫作① ⁠ ，线段OA叫作② ⁠； (2)圆心为O、半径为r的圆可以看成所有到定点O的距离等于定长r的点的集合 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆.同圆或等圆的半径相等 圆心　 半径　 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如图中的线段CD，BD 经过③ 的弦叫作直径，如图中的线段④ ⁠. 【特别提醒】直径是一个圆中最长的弦；直径等于半径的 ⑤ ⁠倍 圆心　 BD　 2　 弧 圆上任意 两点间的 部分叫作 圆弧，简 称弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫作半圆.如图中的半圆BD 大于半圆的弧叫作⑥ (用三个点表示)， 如图中 小于半圆的弧叫作⑦ ，如图中 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧(注意：等弧只存在于同圆或等圆中，长度相等的弧不一定是等弧) 优弧　 劣弧　 圆心 角 顶点在圆心的角叫作圆心角，如图中∠AOB，∠AOD 圆周 角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角，如图中∠BDC 2. 基本性质 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形.任意一条⑧ ⁠所 在直线都是它的对称轴，⑨ ⁠是它的对称中心 旋转不 变性 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合 直径　 圆心　 3. 圆的确定 (1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 文字语言 符号语言 图形语言 定 理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 如图，有以下三个结论： (1)圆心角相等：∠AOB＝∠A'OB'； (2)弧相等： ＝ ； (3)弦相等：AB＝A'B'. 只要满足其中一个，另外两个一定成立，即“知一求二” 推 论 1 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 推 论 2 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等 【注意事项】 (1)在运用定理、推论时，一定要有“同圆或等圆”的前提条件.若给出等 弧，则确定是在同圆或等圆中，而等弦和长度相等的弧不一定是在同圆或 等圆中； (2)在同圆或等圆中，若 ＝2 ，则∠AOB＝2∠A'OB' 成立，但 AB≠2A'B' . 针对训练 1. (人教九上P84思考改编)如图，AB，CD是☉O的两条弦. (1)若AB＝CD. ①连接OA，OB，OC，OD，下列结论不一定成立的是(　A　) A. OA＝OB＝AB B. ∠AOB＝∠COD C. ＝ D. O到AB，CD的距离相等 A ②连接BC，AD，求证：BC＝AD. 证明：∵AB＝CD，∴ ＝ ， ∴ ＋ ＝ ＋ ，即 ＝ ， ∴BC＝AD. (2)若 ＝2 ，则弦AB与弦CD的大小关系是(　C　) A. AB＞2CD B. AB＝2CD C. AB＜2CD D. AB＝CD C 文字语言 符号语言 图形语言 定 理 垂直于弦的直径⑩ 弦，并且⑪ 弦所对的两条弧 如图，有以下五个结论： (1) ＝ ；(2) ＝ ； (3)AM＝⑭ ⁠； (4)AB⊥CD； (5)CD是☉O的直径. 只要满足其中两个，另外三个 一定成立，即“知二求三” 推 论 平分弦(不是直径)的直径 ⑫ 于弦，并且 ⑬ ⁠弦所对的两条弧 平分 平分 BM 垂直　 平分　 【易错警示】使用垂径定理的推论时，要注意“弦(不是直径)”这个条件，因为所有的直径都互相平分，但互相平分的直径不一定互相垂直. 【技巧点拨】 (1)运用垂径定理进行有关弦的计算时，常需过圆心向弦作垂线段(弦心 距)，构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用勾股定理 求解.如图1，d2＋()2＝r2. (2)如图2，AB是☉O 的弦，C是圆上的动点，则当点C 在优弧AB 上，且 CO⊥AB 时，S△ABC取得最大值. 图1 图2 针对训练 2. (人教九上P83T1改编)如图，CD是☉O的直径，且CD＝10，AB是弦且不是直径，CD⊥AB于点E. (1)下列结论不一定正确的是(　B　) A. AE＝BE B. OE＝DE C. AO＝CO D. ＝ (2)若AB＝8， ①则AE＝ ，OE＝ ，ED＝ ，CE＝ ⁠； ②若F是☉O上的动点(不与点A，B重合)，则△ABF面积的最大值为 ⁠. B 4　 3　 2　 8　 32　 (3)若劣弧AB沿AB所在直线向上翻折，恰好经过圆心O，则AB＝ ⁠. 5 　 3. (2023广西10题3分)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为(　B　) A. 20 m B. 28 m C. 35 m D. 40m B 4. (2021北部湾)如图，☉O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝ 30°，则OD的长是(　C　) A. B. C. 2 D. 3 C 文字语言 符号语言 图形语言 定 理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ⑮ ⁠ ⁠ 如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，则：∠ABC＝⑰ ⁠＝⑱ ∠AOC，∠ACB＝⑲ ⁠x 【特别提醒】(1)一条弧只对应一个圆心角，却对应无数个圆周角；(2)一条弦对应两条弧，这两条弧所对的圆周角互补 推 论 1 同弧或等弧所对的圆周角⑯ ⁠ ⁠ 推 论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 一半 ∠ADC 　 90°　 相等 针对训练 5. (2023广西4题3分)如图，点A，B，C在☉O上，∠C＝40°，则 ∠AOB的度数是(　D　) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° D 变式如图，点A，B，C是☉O上不重合的三点，则下列结论一定正确的 是(　B　) A. ∠AOB＝∠A＋∠B B. ∠AOB＝2(∠A＋∠B) C. ∠AOB＝90°－(∠A＋∠B) D. ∠AOB＝180°－2(∠A＋∠B) B 6. (湘教九下P56T4改编)如图，AB为☉O的直径，C，D是☉O上两点， 且OD∥BC，∠BAC＝26°，则∠BCA＝ °，∠B＝ °， ∠ADC＝ °，∠DOB＝ °，∠DAB＝ ⁠°. 90　 64　 64　 64　 32　 概念 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫作圆内接四边形 性质 (1)圆内接四边形的对角⑳ (如图，∠ABC＋ ∠ADC＝㉑ )； (2)圆内接四边形的任意一个外角等于和它相邻的内角的对角(如图，∠DCE＝∠BAD) 【知识拓展】连接圆内接四边形的对角线，则必然存在两组 相似三角形，如图，△ABF∽△DCF，△ADF∽△BCF 互补　 180°　 针对训练 7. (人教九上P88T5改编)如图，四边形ABCD内接于☉O，且A为优弧BD 的中点，连接BD，若∠C＝130°，则∠ABD的度数为 ⁠. 65°　 变式如图，在平面直角坐标系中，☉C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，2)，M为第三象限内 上一点，∠BMO＝120°，则☉C的半径为 ⁠. 2　 类型1　当已知弦，求其对应的圆周角度数时，需要分类讨论： (1)如图1，当圆周角的顶点在优弧上时，∠β＝ ∠α； (2)如图2，当圆周角的顶点在劣弧上时，∠β＝180°－ ∠α. 图1 图2 圆的性质中的分类讨论 8. 已知☉O的半径等于4，AB为☉O的弦，其长为4 ，求弦AB所对的 圆周角的度数. 解：如解图，连接OA，OB，∠ACB与∠ADB为弦AB所对的圆周角， 作OH⊥AB于点H，则AH＝BH＝ AB＝2 . 在Rt△OAH中，OA＝4，AH＝2 ， ∴OH＝ ＝2 ， ∴AH＝OH，∴△OAH为等腰直角三角形， ∴∠AOH＝45°，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝ ∠AOB＝45°， ∴∠ADB＝180°－∠ACB＝135°， 即弦AB所对的圆周角的度数为45°或135°. 变式1 A，B为☉O上的两个定点，P为☉O上的动点(P不与A，B重合). 若☉O的半径为1，AB＝1，则∠APB的度数为 ⁠. 变式2已知点O是三角形ABC的外心，∠BOC＋∠A＝240°，则∠A的度 数为 ⁠. 30°或150°　 120°或80°　 类型2　已知两弦平行，但两弦的位置不确定时，需要分类讨论： 如图，设两条平行弦之间的距离为d： (1)如图1，两条平行弦在圆心异侧，d＝OE＋OF； (2)如图2，两条平行弦在圆心同侧，d＝OF－OE. 图1 图2 此类问题的解题步骤如下： 9. (2025贵港港北区一模改编)往一个水平放置的直径为26 cm的圆柱形容 器内装入一些水以后. 若水面宽AB＝24 cm，求水的深度. 解：若水面AB位于圆柱直径的下方，如解图1， 连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交☉O于点C. ∵AB＝24 cm，∴BD＝ AB＝12(cm). ∵☉O的直径为26 cm，∴OB＝OC＝13(cm). 在Rt△OBD中，OD＝ ＝5(cm)， ∴CD＝OC－OD＝8(cm)，即水的深度为8 cm； 解图1 若水面AB位于圆柱直径的上方，如解图2， 连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交☉O于点C. ∵AB＝24 cm，∴BD＝ AB＝12(cm). ∵☉O的直径为26 cm，∴OB＝OC＝13(cm). 在Rt△OBD中，OD＝ ＝5(cm)， ∴水的深度为13＋5＝18(cm). 综上所述，水的深度为8 cm或18 cm. 解图2 变式如图，一下水管道横截面为圆形，直径为200 cm，下雨前水面宽为 120 cm，一场大雨过后，水面宽为160 cm，则水位上升 cm. 20或140　 34 $