第4章 第6节 锐角三角函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（广西专用）

数 学 广西 课堂精讲册 1 第四章　三角形 第六节　锐角三角函数及其应用 (必考，常在解答题中涉及) 人教：九下P60～P85；湘教：九上P108～P139；沪科：七上P45～P48，九上P111～P139. 1. 锐角三角函数相关概念 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ，∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a，b，c. ∠A的正弦： sin A＝ ＝ ； ∠A的余弦： cos A＝ ＝①_______ ； 　 ∠A的正切：tanA＝ ＝② 　 　. 　 【知识拓展】三角函数之间的关系： sin A＝ cos (90°－∠A)；tanA＝ ； sin 2A＋ cos 2A＝1. 2. 特殊角的三角函数值 　　　　锐角α 锐角三角函数　　　　 30° 45° 60° sin α ③ ⁠ cos α ④ ⁠ tanα 1 ⑤ ⁠ 　 　 　 3. 解直角三角形 三边关系 ⑥ (勾股定理) 三角关系 ∠A＋∠B＝∠C＝⑦ ⁠ 边角关系 sin A＝ cos B＝ ； cos A＝ sin B＝⑧_______； tanA＝ ；tanB＝⑨_______ 知二推三：在Rt△ABC中，除∠C外的五个元素∠A，∠B，a，b， c，知道其中的两个元素(至少有一个是边)，即可根据三边关系、三角关 系或边角关系公式求解出其他三个未知元素 a2＋b2＝c2　 90°　 　 　 针对训练 1. (人教九下P63例1改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝ ，AC＝ ，则 (1)tanB＝ ，∠B＝ °，∠A＝ °； (2)AB＝ ⁠； (3) sin A＝ 　 　， cos A＝ 　 　， sin 2A＋ cos 2A＝ ⁠； (4) sin B· cos B－ ＝ 　－ 　； 　 60　 30　 2 　 　 　 1　 － 　 (5)过点C作CD⊥AB于点D. 下列关于线段CD的表示：①BC· sin B； ②AC· sin A；③ ；④AC· cos ∠ACD；⑤BD· sin ∠BCD. 其中不正确的是 .(填序号) ⑤　 1. 方向角，仰角、俯角，坡度(坡比)、坡角 方向角 仰角、俯角 坡度(坡比)、坡角 图形 语言 方向角 仰角、俯角 坡度(坡比)、坡角 文字 语言 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)几度.如图：点A位于点O的⑩ 方向； 点B位于点O的⑪ 方向； 点C位于点O的⑫ 方向，也称为西北方向 如图，在视线 与水平线所成 的锐角中，视 线在水平线 ⑬ 的角叫作仰角，视线在水平线⑭ ⁠的角叫作俯角 如图，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫作坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平面的夹角α 叫作坡角，i＝tanα＝⑮ ⁠ 北偏东30° 上方　 下方 　 南偏东60° 北偏西45° 2. 常见模型及辅助线作法 模型 常见辅助线作法 解题策略 母子型 构造直角三角形，通过建立已知线段和未知线段之间的等量关系求解(通常涉及线段的和、差、比值) 背靠背型 拥抱型 【特别提醒】在锐角三角函数的实际应用中，计算结果要求精确到哪一 位，即将结果四舍五入到哪一位，如3.1465保留整数是⑯ ，精确到 0.1(或精确到十分位)为⑰ ，精确到0.01(或精确到百分位)为 ⑱ ⁠. 3　 3.1　 3.15　 针对训练 2. (2023广西17题2分)如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角 形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约 m(结果取整数).(参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75) 21　 3. [背靠背型](人教九下P77T2改编)如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝4 m，AF＝DE＝6 m，斜面坡度i＝1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i＝1∶3是指DE与CE的比，则BC的长为 m. 31　 4. [母子型](2025广西模拟)如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某 天上午8点，一艘船从海岛A出发，以16海里/时的速度由西向东方向航 行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向. (1)求B处到灯塔C的距离； 解：根据题意得∠CBE＝30°，∠BAC＝15°，AB＝16×2＝32(海里)， ∴∠C＝15°，∴∠C＝∠BAC，∴BC＝AB＝32海里. 答：B处到灯塔C的距离为32海里. (2)已知在以灯塔C为中心，周围18海里的范围内均有暗礁，若该船继续由 西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由. 解：有触礁的危险，理由如下：如解图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. ∵BC＝32海里，∠CBD＝30°，∴CD＝ BC＝16(海里). ∵16＜18，∴若该船继续由西向东航行，会有触礁的危险. 5. 项目式学习[拥抱型]某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与 地面垂直的两栋楼CD与AB的高度之差，他们借助无人机设计了如下 测量方案： 方案设计：如图，无人机悬停在AB，CD两楼之间上方的点O处，此时测 出到楼AB顶部点A处的俯角为60°，测出到楼CD顶部点C处的俯角为 53°.(点A，B，C，D，O在同一平面内) 测量结果：AE⊥EO，OA＝40 m，BD＝30 m. 参考数据： ≈1.73， sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60， tan53°≈1.33. 问题解决：求两栋楼CD与AB的高度之差.(结果精确到1 m) 解：如图，过点C作CH⊥EO于点H，∴EH＝BD＝30 m. 在Rt△OEA中，∠AEO＝90°，∠AOE＝60°，OA＝40 m， ∴EA＝OA· sin 60°≈34.6(m)，OE＝OA· cos 60°＝20(m). 在Rt△OHC中，∠COH＝53°，OH＝EH－OE＝10(m)， ∴CH＝OH·tan53°≈10×1.33＝13.3(m)， ∴EA－CH≈21(m). 答：两栋楼CD与AB的高度之差约为21 m. 18 $