第4章 第3节 特殊三角形-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（广西专用）

数 学 广西 课堂精讲册 1 第四章　三角形 第三节　特殊三角形 (必考，常在解答题中涉及) 人教：八上P75～P84，八下P21～P39；湘教：八上P61～P67，八下P2～P18；沪科：八上P132～P140，八下P51～P68. 名 称 等腰三角形 等边三角形 性 质 (1)两腰① ，两底角 ② (简记为“等边对 等角”).如图，AB＝AC， ∠B＝∠C； (2)顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高③ ⁠ (简记为“三线合一”)； (3)是轴对称图形，有 ④ ⁠条对称轴 (1)三条边⑤ .如图，AB＝ AC＝BC； (2)三个内角⑥ ，并且每个内 角都等于⑦ .如图，∠BAC ＝∠B＝∠C＝60°； (3)是⑧ 对称图形，有⑨ ⁠ 条对称轴. 【特别提醒】等边三角形是特殊的等 腰三角形，具有等腰三角形的所有性 质 相等　 相等　 相互重合 1　 相等　 相等　 60°　 轴　 3　 判 定 (1)有两边相等的三角形是等 腰三角形(定义)； (2)有两个角相等的三角形是 等腰三角形(简记为“等角对 等边”) (1)三条边都相等的三角形是等边三角 形(定义)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角 形； (3)有一个角是⑩ 的等腰三角 形是等边三角形 面 积 S＝ ah(其中a 为底边长，h 为底边上的高) S＝ ah＝⑪ 　 a2　(其中a 为三角 形的边长，h为任意一边上的高) 60°　 a2　 针对训练 1. (湘教八上P63T1改编)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分 ∠BAC. (1)若∠BAC＝50°，则∠ABC的度数为 ⁠； (2)若△ABC的周长为16. ①BD的长为 ；②若BE是AC边上的高，则BE的长为 ⁠； 65°　 3　 　 (3)若∠BAC＝60°，则△ABC的形状为 ，此时△ABC 有 条对称轴，面积为 ⁠. 等边三角形　 3　 　 2. (2025广西16题3分)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2， BD＝CD＝ ，则AD＝ 　 －1　. －1　 【解析】如解图，延长AD交BC于E. ∵AB＝CA，BD＝CD，∴AE⊥BC，BE＝CE. ∵AB＝BC＝CA＝2，∴BE＝CE＝1，∴AE＝ ＝ ，DE＝ ＝ ＝1， ∴AD＝AE－DE＝ －1. 名 称 直角三角形 等腰直角三角形 性 质 (1)两个锐角⑫ ，如图， ∠A＋∠B＝⑬ ⁠； (2)斜边上的中线等于斜边的⑭ ⁠ ，如图，若CD是斜边上的中 线，则CD＝⑮ AB； (3)30°角所对的直角边等于斜边的 ⑯ ，如图，若∠A＝ 30°，则BC＝⑰ AB； (4)勾股定理：如果直角三角形的两 条直角边长分别为a，b，斜边长 为c，那么⑱ . (1)两条直角边㉒ ，如 图，AC＝BC；三边长的比为 1∶1∶ ，如图，AC∶BC∶ AB＝ 1∶1∶ ； (2)两个锐角㉓ ，且都等 于㉔ ，如图，∠A＝ ∠B＝45°； (3)是轴对称图形，有㉕ ⁠条 对称轴. 【特别提醒】等腰直角三角形是 特殊的直角三角形，也是特殊的 等腰三角形，具有两者的所有性 质 互余　 90°　 一 半　 　 一半　 　 相等　 相等　 45°　 1　 a2＋b2＝c2　 判 定 (1)有一个角等于⑲ ⁠的三角形 是直角三角形(定义)； (2)有两个角⑳ ⁠的三角形是直 角三角形； (3)勾股定理的逆定理：如果三角形的 三边长分别为a，b，c(c＞a，c＞ b)，且满足㉑ ，那么 这个三角形是直角三角形 (1)有一个角等于90°的等腰三 角形是等腰直角三角形； (2)有两个角等于45°的三角形 是等腰直角三角形； (3)有一个角等于45°的直角三 角形是等腰直角三角形； (4)有两直角边相等的直角三角 形是等腰直角三角形 90°　 互余　 a2＋b2＝c2　 面 积 S＝ ab＝ ch(其中a，b为两直角 边长，c为斜边长，h为斜边上的 高) S＝ a2＝ ch＝ ah(其中a 为腰 长，c为底边长，h为底边上的 高) 针对训练 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上一点. 图1 图2 (1)如图1，当D为AB的中点时. ①若CD＝3，则AB＝ ；②若∠A＝40°，则∠BCD＝ °； (2)如图2，当CD⊥AB时. 6　 50　 ①若CD＝2，AC＝4，则∠B＝ °； ②若∠A＝45°，AC＝10，则CD＝ ，△BCD的面积为 ⁠. 60　 5 　 25　 4. (2020北部湾)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开 门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是： 如图1，2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2 寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10 寸)，则AB的长是(　C　) 图1 图2 C A. 50.5寸 B. 52寸 C. 101寸 D. 104寸 【解析】取AB的中点O，过点D作DE⊥AB于点E，如解图，由题意，得OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r寸，DE＝10寸，OE＝ CD＝1寸，AE＝(r－1)寸，在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，即(r－1)2＋102＝r2，∴2r＝101寸，∴AB＝101寸. 1. 包含关系 　　　　 2. 判定关系 针对训练 5. (2020玉林)如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35° 方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则 A，B，C三岛组成一个(　A　) A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 A 【解析】如解图，过点C作CD∥AE交AB于点D，∴∠DCA＝∠EAC＝35°，∵AE∥BF，∴CD∥BF，∴∠BCD＝∠CBF＝55°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝35°＋55°＝90° ，∴△ABC是直角三角形.∵∠CAD＝∠EAD－∠CAE＝80°－35°＝45°，∴∠ABC＝ 180°－∠ACB－∠CAD＝45°，∴CA＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形. 特殊三角形中的分类讨论 6. 如果等腰三角形的一个外角为70°，那么它的一个底角为 ⁠. 变式1等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边夹角度数 为 ⁠. 变式2等腰三角形的一个外角为100°，其顶角度数为 ⁠. 变式3如果等腰三角形的一个角比另一个角大30°，那么它的顶角 为 ⁠. 35°　 38°或26°　 80°或20°　 80°或40°　 7. 若一个等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm，那么这个等腰三角形的 周长是 ⁠. 16 cm或14 cm　 8. 三角形的两边长为6和8，要使这个三角形为直角三角形，则第三边长为 (　A　) A. 2 或10 B. 10 C. 2 或9 D. 9 A 9. 如图，∠AOB＝50°，点P是OB上一个动点(不与点O重合)，当∠A 的度数为 时，△AOP为直角三角形. 90°或40°　 特别提醒 特殊三角形中常见的分类讨论： 1. 等腰三角形中的分类讨论： (1)遇角需讨论(顶角和底角)：已知等腰三角形的一个角为α ，求顶角或底 角的度数时： 若α 为钝角或直角，则α 一定为顶角，此时底角的度数为㉖ ⁠； 若α 为锐角，则应分两种情况讨论： 情况一：当α 为顶角时，底角的度数为㉗ ⁠； 情况二：当α 为底角时，顶角的度数为㉘ ⁠. 　 　 180°－2α　 (2)遇边需讨论(腰和底)：已知等腰三角形的两边长分别为a，b(a≠b)， 求周长C时，分两种情况： 情况一：当a为腰长时 情况二：当b为腰长时 2. 直角三角形中的分类讨论： (1)已知直角三角形的两边长，求第三边长，当未明确直角边和斜边时， 要分类讨论； (2)已知三角形为直角三角形，当未明确直角顶点时，需分类讨论. 26 $