第4章 第5节 相似三角形(含位似)-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（广西专用）

数 学 广西 课堂精讲册 1 第四章　三角形 第五节　相似三角形(含位似) (必考，常在解答题中涉及) 人教：九下P24～P59；湘教：九上P62～P107；沪科：九上P62～P110. 1. 成比例线段 对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与 另两条线段的比相等，如 ＝ (即ad＝bc)，我们就说这四条线段成比例. 2. 比例的性质 基本 性质 (1)若 ＝ ，则ad＝bc； (2)若ad＝bc(a，b，c，d都不为0)，则 ＝① ⁠ 若3x＝5y，则 ＝ ② ⁠ 等比 性质 若 ＝ ＝…＝ (b＋d＋…＋n≠0)，则 ＝ 若 ＝ ＝ ，则 ＝③ ⁠ 合比 性质 若 ＝ ，则 ＝ ， ＝ (bd≠0) 若 ＝ ，则 ＝ ④ ⁠ 　 　 　 　 3. 黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且 ＝ ，那么就说线段 AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作 黄金比，即 ＝ ≈0.618. 4. 平行线分线段成比例 文字语言 符号语言 图形语言 基本 事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 如图，l3∥l4∥l5，则 ＝ ， ＝ ， ＝ ⑤ ⁠ 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 如图，DE∥BC，则 ＝ ， ＝⑥ ⁠ 　 　 针对训练 1. (2021百色)如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点.若AC＝2，则BD ＝ ⁠ ⁠. 3－ 　 【解析】∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝36°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD. ∵∠CDB＝180°－∠B－∠BCD＝72°，∴∠CDB＝∠B，∴BC＝ CD，∴BC＝AD. ∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，∴△BCD∽△BAC，∴BC∶AB＝BD∶BC，∴AD∶AB＝BD∶AD，∴点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，∴AD＝ AB＝ －1，∴BD＝AB－AD＝3－ . 2. (人教九下P29探究改编)如图，AB∥CD∥EF，直线l1，l2与这三条平 行线分别交于点A，C，E和点B，D，F. 已知AC＝3，CE＝6，BF＝ 6，则BD的长为 ⁠. 2　 变式下面是小明画线段AB的三等分点的步骤(如图)：①以A为端点画一条 射线；②用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC，CD，DE，连接 BE；③过点C，D分别作BE的平行线，交线段AB于点M，N. M，N就 是线段AB的三等分点. 这个过程体现的数学依据是(　D　) D A. 两直线平行，同位角相等 B. 两条平行线之间的距离处处相等 C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 性 质 (1)相似三角形的对应角⑦ ，对应边⑧ ⁠； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 ⑨ ⁠； (3)相似三角形的周长比等于⑩ ，面积比等于⑪ ⁠ ⁠ 相等　 成比例　 相似比　 相似比　 相似比的 平方　 判 定 文字语言 符号语言 图形语言 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC 三边对应⑫ ⁠的两个三角形相似 ∵ ＝ ＝ ， ∴△ABC∽△A'B'C' 成比例　 判 定 文字语言 符号语言 图形语言 两边对应成比例且⑬ ⁠相等的两个三角形相似 ∵ ＝ ，∠B＝∠B'， ∴△ABC∽△A'B'C' 两角对应⑭ ⁠的两个三角形相似 ∵∠A＝∠A'，∠B ＝∠B'， ∴△ABC∽△A'B'C' 夹角　 相等　 【特别提醒】相似三角形的分类讨论：①当对应顶点不确定时，需要分类 讨论；②当两个相似三角形没有用“∽”连接时，需分类讨论. 【技巧点拨】相似三角形的判定思路： (1)有平行截线→用平行线的性质找等角； (2)有一对等角 (3)有两边成比例 (4)有两个直角三角形 与相似三角形有关的模型 3. [A字型](人教九下P31T2改编)如图，△ABC中，点D为AB上一点， DE∥BC交AC于点E. 若AD＝3，AE＝2，BD＝6，则 △ADE∽ ， ＝ 　 　， ＝ 　 　，AC＝ ， ＝ 　 　，△ADE与△ABC的周长比为 　 　. △ABC　 　 　 6　 　 　 4. [A字型]如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝ ∠DAG. 求证：△ABC∽△ADE. 证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高， ∴AF⊥BC，AG⊥DE， ∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°， ∴∠BAF＋∠B＝90°，∠DAG＋∠ADG＝90°. ∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG. ∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE. 5. [A字型]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC的中点，连 接AD，点E在AD上，连接CE，BE，且∠EBD＝∠BAD. 若∠ABC＝ ∠DCE. 求证：BC·CE＝2BE·DE. 证明：∵∠EBD＝∠BAD，∠EDB＝∠BDA， ∴△EDB∽△BDA，∴∠DEB＝∠DBA. ∵∠ABC＝∠DCE，∴∠DCE＝∠BED. ∵∠EBC＝∠EBD，∴△BED∽△BCE， ∴ ＝ ，∴BD·CE＝BE·DE. ∵D为BC中点，∴BD＝ BC，∴ BC·CE＝BE·DE， ∴BC·CE＝2BE·DE. 模型1　A字型 (1)正A字型 若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 　 (2)斜A字型 若∠1＝∠2，则△ADE∽△ABC. 　 【解题策略】 (1)隐藏条件：公共角相等； (2)找平行线或另一组等角或公共角的两边对应成比例 【模型拓展】射影定理 若∠1＝∠2＝90°，则△ABC∽△ACE∽△CBE. 更多结论： ①CE2＝AE·BE； ②BC2＝BE·BA； ③AC2＝AE·AB； ④AC·BC＝AB·CE 6. [8字型](2024广西24题改编)如图，延长平行四边形ABCD一边BC至点 F，连接AF交CD于点E，若 ＝ ，BC＝3，则CF的长为 ⁠. 9　 7. [8字型]如图，在△ABC中，射线CD交AB于点D，E是射线CD上一 点，且∠AEC＝∠ABC，连接BE. (1)求证：△ACD∽△EBD； 证明：∵∠AEC＝∠ABC， ∠ADE＝∠BDC， ∴△ADE∽△CDB，∴ ＝ . 又∵∠ADC＝∠EDB，∴△ACD∽△EBD. (2)若CD平分∠ACB，求证：AE2＝DE·CE. 证明：∵△ADE∽△CDB，∴∠DCB＝∠EAB. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠ACD＝∠EAB. ∵∠AED＝∠CEA，∴△AED∽△CEA， ∴ ＝ ，∴AE2＝DE·CE. 模型2　8字型 若∠1＝∠2，则△ADE∽△ABC　 (1)正8字型(X型) (2)反8字型(蝶型) 【解题策略】 (1)隐藏条件：对顶角相等；(2)找平行线或另一组等角或对顶角的两边对 应成比例；(3)当题目中未标明相似三角形对应顶点时，需要分类讨论 8. [一线三等角模型]如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上的一 点，D为AC上的一点，连接AP，PD，∠APD＝60°.求证： △ABP∽△PCD. 证明：在等边三角形ABC中，∠B＝∠C＝60°. ∵∠APD＝60°，∠APC＝∠PAB＋∠B＝∠APD＋∠DPC，　 ∴∠DPC＝∠PAB，∴△ABP∽△PCD. 9. [旋转(手拉手)模型](人教九上P63T10改编)如图，在Rt△ABC中，AB＝ BC＝2，∠ABC＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转后得到△EDC，连接 AE，BD相交于点F，则∠BFE的度数为 ⁠. 135°　 【解析】由旋转可得CD＝BC＝2，∠ECD＝∠ACB＝45°.在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC＝2 .由旋转得CE＝AC＝2 .∵∠ECD＝ ∠ACB，∴∠ACB＋∠ACD＝∠ECD＋∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE. 又∵ ＝ ＝ ，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∴∠AFB＝∠ACB＝45°，∴∠BFE＝180°－45°＝135°. 【链接】一线三等角模型、旋转(手拉手)模型、对角互补模型等更多与 相似三角形有关的模型见二轮A＋培优册P8～14，18～21. 图 形 定 义 如果一个图形上的点A，B，…，P，…和另一个图形上的点A'， B'，…，P'，…分别对应，并且它们的连线AA'，BB'，…，PP'，… 都经过同一点O，且 ＝ ＝…＝ ＝…，那么这两个图形叫作 位似图形，点O是⑮ ⁠ 位似中心　 性 质 (1)位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质； (2)对应点的连线所在直线都经过同一点； (3)对应边互相平行或在同一条直线上； (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于⑯ ⁠ ⁠； (5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形 位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么原图形上的点(x， y)对应的位似图形上的点的坐标为⑰ ⁠ (注意：有两种情况) 【特别提醒】位似必相似，相似不一定位似 相 似比　 (kx，ky)或(－kx，－ky) 作 图 步 骤 (1)确定位似中心； (2)确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； (3)顺次连接各点画出新图形 针对训练 10. (2022梧州)如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形 A'B'C'D'，已知 ＝ ，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的 面积是(　D　) A. 4 B. 6 C. 16 D. 18 D 11. (人教九下P50T2改编)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3， 6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则 点A的对应点A'的坐标是(　D　) A. (－1，2) B. (－9，18) C. (－9，18)或(9，－18) D. (－1，2)或(1，－2) D 34 $